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22春福建师范大学《复变函数》在线作业一答案参考1. 设A，B，C为任意集合，试证： (1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)； (2)A×(B ∩C)=(A×B)∩(A×C)．设A，B，C为任意集合，试证：(1)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)；(2)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)．分析上述等式左边是表示先做括号内的并、交运算，再做笛卡尔乘积；而等式右边则表示先做括号内的笛卡尔乘积，再做并、交运算．它们的结果应该是一样的，可以用笛卡尔乘积和并、交运算的定义及括号的优先级别来证明，这是集合等式证明中常见的一种基本方法．证明(1)A×(B∪C)={(x，y)| x∈A且y∈B∪C}={(x，y) x∈A且y∈B或x∈A且y∈C}={(x，y)|(x，y)∈A×B或(x，y)∈A×C}={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∪(A×C)}=(A×B)∪(A×C)；(2)A×(B∩C)={(x，y)| x∈A且y∈B∩C}={(x，y)| x∈A且y∈B且x∈A且y∈C}={(x，y)|(x，y)∈A×B且(x，y)∈A×C}={(x，y)|(x，y)∈(A×B)∩(A×C)}=(A×B)∩(A×C)．2. 如果一条直线与它在仿射变换τ下的像重合，则称这条直线为τ的不动直线，求仿射变换的不动直线。
如果一条直线与它在仿射变换τ下的像重合，则称这条直线为τ的不动直线，求仿射变换的不动直线。
设τ(l)=l'：ax'+by'+c=0,其中l:ax+by+c=0，即β'α+c=0，β'=(a，b)，，，所以=即且再由τ(ax+by+c=0)=l':ax'+by'+c=0得不动直线为20x-5y-8=0和2x-2y-5=0。
福师《复变函数》在线作业二-0010
下列哪个符号是表示必然事件（全集）的
A:θ
B:δ
C:Ф
D:Ω
答案：D
现有一批种子，其中良种占1/6，今任取6000粒种子，则以0.99的概率推断，在这6000粒种子中良种所占的比例与1/6的差是（）
A:0.0124
B:0.0458
C:0.0769
D:0.0971
答案：A
X服从[0，2]上的均匀分布，则DX=（）
A:1/2
B:1/3
C:1/6
D:1/12
答案：B
设随机变量X服从泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则E（X）=（）
A:2
B:1
C:1.5
D:4
答案：A
设A、B互不相容，且P(A)>0,P(B)>0则下列选项正确的是（）。
A:P(B/A)>0
B:P(A/B)=P(A)
C:P(A/B)=0
D:P(AB)=P(A)*P(B)
答案：C
设两个相互独立的随机变量X，Y方差分别为6和3，则随机变量2X-3Y的方差为（）
A:51
B:21
C:-3
D:36
答案：A
下列集合中哪个集合是A＝{1，3，5}的子集
A:{1,3}
B:{1,3,8}
C:{1,8}
D:{12}
答案：A
对于任意两个随机变量X和Y,若E(XY)=EX*EY,则（）。
A:D(XY)=DX*DY
B:D(X+Y)=DX+DY。
1.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B2.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C3.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A4.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B5.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A6.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B7.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C8.下列说法错误的是：f(z)在在原点取值0，单位圆内解析，且单位圆内模都小于1，则（）A.f(z)在任意一点的模小于z的模B.导数在原点取值的模不超过1C.导数在原点也取值为0D.导数在单位圆内也解析【参考答案】: C9.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C10.关于f(z)和1/f(z)，下列说法错误的是（）A.f(z)的零点是1/f(z)的极点B.f(z)的极点是1/f(z)的零点C.f(z)的可去奇点是1/f(z)的可去奇点，如果f(z)在该可去奇点的极限非0D.f(z)的本性奇点是1/f(z)的本性奇点【参考答案】: D11.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C12.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C13.函数在复平面内为整函数是其为亚纯函数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: A14.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A15.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A16.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A17.复函数f(z)在单连通区域B内解析，C为B内任一闭路，则必有（）A.Ref(z)沿C积分为0B.Imf(z)沿C积分为0C.|f(z)|沿C积分为0 D.以上都不一定【参考答案】: D18.洛朗级数在收敛圆环内（）A.处处解析B.可以逐项求导数C.可以逐项求积分D.以上都对【参考答案】: D19.关于复球面，下列说法正确的是（）A.复球面与复平面一一对应B.复球面与扩充复平面一一对应C.无穷远点是存在的D.无穷远点就是在无穷远处的一个点【参考答案】: B20.下列说法错误的是：关于整函数有（）A.整函数的零点必定是孤立点B.整函数在一段连续曲线上都取值0则处处为0C.在闭区域内，整函数必定在边界上取到模的最大值D.整函数在整个复平面上无法取到模的最大值【参考答案】: D21.z0是f(z)的m（m为大于1的正整数）级零点，那么z0是f(z)导数的（）A.可去奇点B.m-1级零点C.m-1级极点D.本性奇点【参考答案】: B22.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A23.关于两个复级数的和级数，下列说法错误的是（）A.两个复级数都收敛则和级数收敛B.一个复级数收敛一个发散，则和函数发散C.两个复级数都发散则和函数发散D.两个复级数都无法判定则和函数也无法判定【参考答案】: C24.复函数在某点邻域内解析是在这个邻域内每一点都解析的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: C25.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B26.f(x,y)=e^x在复平面上（）A.处处连续B.处处解析C.在原点解析D.在x轴上解析【参考答案】: A27.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A28.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C29.下列说法错误的是：有理函数在复平面内（）A.处处解析B.除掉极点外处处解析C.奇点都是极点D.只有有限个奇点【参考答案】: A30.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A31.A.错误B.正确【参考答案】: A32.A.错误B.正确【参考答案】: A33.A.错误B.正确【参考答案】: A34.A.错误B.正确【参考答案】: B35.A.错误B.正确【参考答案】: B 36.A.错误B.正确【参考答案】: B 37.A.错误B.正确【参考答案】: B38.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A39.A.错误B.正确【参考答案】: B40.A.错误B.正确【参考答案】: A41.A.错误B.正确【参考答案】: B42.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A43.A.错误B.正确【参考答案】: A44.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A45.A.错误B.正确【参考答案】: B46.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A47.A.错误B.正确【参考答案】: B48.A.错误B.正确【参考答案】: A49.A.错误B.正确【参考答案】: B50.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A。
复变函数作业一一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。
（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。
（ F ）3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。
（ F ）4、设()f z u iv =+在区域D 内是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 内是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 内也是常数。
（ T ）二、填空1、13Re 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= ；13Im 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。
2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++= 0 。
3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14z z π<<<的像区域为2πarg 0<<z 。
4、若()()11n ni i +=-，则n = 。
三、计算1、 计算下列函数值：1）()n i L e ；234i + 1）、()n i L e 解： 主值()ln ln arg i i i e e i e i=+=,()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z234i +解： 设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为：2+i ，或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1；2）()()2222x y x i xy y --+- 。
1； 解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。
所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。
2）()()2222x y x i xy y --+- 。
1.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C2.一个复数列，其实部和虚部均有极限是复数列有极限的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: C3.洛朗级数在收敛圆环内（）A.处处解析B.可以逐项求导数C.可以逐项求积分D.以上都对【参考答案】: D4.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D5.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A6.。
A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A7.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: D8.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A9.关于复球面，下列说法正确的是（）A.复球面与复平面一一对应B.复球面与扩充复平面一一对应C.无穷远点是存在的D.无穷远点就是在无穷远处的一个点【参考答案】: B10.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C11.下列关于辐角的说法错误的是（）A.一个复数的辐角有无穷多个B.各个辐角之间相差2π的整数倍C.辐角主值只有一个D.z^2的辐角主值是z的2倍【参考答案】: D12.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C13.。
A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: A14.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: C15.A.AB.BC.CD.D 【参考答案】: B16.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: A17.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C18.函数在复平面内为整函数是其为亚纯函数的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【参考答案】: A19.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B20.下列说法错误的是（）A.实数与纯虚数的和是复数B.实数与纯虚数的积是纯虚数C.辐角可以有多个D.辐角主值只有一个【参考答案】: B21.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D22.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B23.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B24.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B25.关于幂级数的收敛半径，下列说法错误的是（）A.幂级数可能仅仅只在原点收敛B.可能在复平面上处处收敛C.求导后导数的收敛半径变小D.任意阶导数都与原幂级数的收敛半径一致【参考答案】: C26.下列说法正确的是（）A.sinz在复平面内模有界1B.cosz在复平面内模有界1C.e^(iz)在复平面内模有界1D.以上都错【参考答案】: D27.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: D28.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: B29.A.AB.BC.CD.D【参考答案】: C30.关于f(z)和1/f(z)，下列说法错误的是（）A.f(z)的零点是1/f(z)的极点B.f(z)的极点是1/f(z)的零点C.f(z)的可去奇点是1/f(z)的可去奇点，如果f(z)在该可去奇点的极限非0D.f(z)的本性奇点是1/f(z)的本性奇点【参考答案】: D31.A.错误B.正确【参考答案】: A 32.A.错误B.正确【参考答案】: B33.A.错误B.正确【参考答案】: B34.A.错误B.正确【参考答案】: B 35.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A36.A.错误B.正确【参考答案】: B37.A.错误B.正确【参考答案】: A38.A.错误B.正确【参考答案】: B39.A.错误B.正确【参考答案】: A40.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A 41.A.错误B.正确【参考答案】: B42.A.错误B.正确【参考答案】: A43.A.错误B.正确【参考答案】: A44.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A45.A.错误B.正确【参考答案】: B46.A.错误B.正确【参考答案】: A47.A.错误B.正确【参考答案】: B48.题面见图片A.错误B.正确【参考答案】: A49.A.错误B.正确【参考答案】: A50.A.错误B.正确【参考答案】: B。
福师（2020-2021）《复变函数》在线作业二
注：本科有多套试卷，请核实是否为您所需要资料，本资料只做参考学习使用！！！
一、单选题（共30题，60分）
1、
AA
BB
CC
DD
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
【参考选择】：C
2、
AA
BB
CC
DD
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
【参考选择】：B
3、
AA
BB
CC
DD
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
【参考选择】：A
4、
AA
BB
CC
DD
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
【参考选择】：D
5、关于泰勒级数和洛朗级数的区别，下列说法错误的是（）
A收敛区域形状一定不同
B泰勒级数能表示的解析函数类型不如洛朗级数广
C泰勒级数是洛朗级数的特例
D洛朗级数是泰勒级数的推广
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
【参考选择】：A。
福师15秋《复变函数》在线作业二满分答案一、单选题（共30道试题，共60分。
）1.z0是f(z)的m级极点，那么z0是1/f(z)的（）A.可去奇点B.m级零点C.m级极点D.本性奇点正确答案：B2.如果|z|<1，那么关于下列函数判断正确的是（）A.|e^z|<eB.|sinz|<1C.|cosz|<1D.|tanz|<π正确答案：A3.关于幂级数的收敛半径，下列说法错误的是（）A.幂级数可能仅仅只在原点收敛B.可能在复平面上处处收敛C.求导后导数的收敛半径变小D.任意阶导数都与原幂级数的收敛半径一致正确答案：C4.关于单位圆周和单位圆内部下列说法正确的是（）A.都是开集B.都是闭集C.圆周是开集，内部是闭集D.圆周是闭集，内部是开集正确答案：D5.A.B.C.D.正确答案：B6.A.B.C.D.正确答案：A7.A.B.C.D.正确答案：DA.B.C.D.正确答案：C9.复函数f(z)在单连通区域B内解析，C为B内任一闭路，则必有（）A.Ref(z)沿C积分为0B.Imf(z)沿C积分为0C.|f(z)|沿C积分为0D.以上都不一定正确答案：D10.z0是f(z)的m（m为大于1的正整数）级极点，那么z0是f(z)导数的（A.可去奇点B.m+1级零点C.m+1级极点D.本性奇点正确答案：C11.A.B.C.正确答案：B12.A.B.C.D.正确答案：D13.A.B.C.D.正确答案：D14.关于泰勒级数和洛朗级数的区别，下列说法错误的是（）A.收敛区域形状一定不同B.泰勒级数能表示的解析函数类型不如洛朗级数广C.泰勒级数是洛朗级数的特例D.洛朗级数是泰勒级数的推广正确答案：A15.A.C.D.正确答案：A16.若z0是f(z)的m（m为正整数）级极点，则z0是f'(z)/f(z)的（）A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.零点正确答案：B17.洛朗级数在收敛圆环内（）A.处处解析B.可以逐项求导数C.可以逐项求积分D.以上都对正确答案：D18.A.B.C.D.正确答案：B19.f(x,y)=e^x在复平面上（）A.处处连续B.处处解析C.在原点解析D.在x轴上解析正确答案：A20.z=0是f(z)=(cosz-1)/z的（）A.可去奇点B.极点C.本性奇点D.非孤立奇点正确答案：A21.A.B.C.D.正确答案：C22.A.AB.BC.C正确答案：D23.下列说法中错误的是：一个复数的n次方根（）A.有n个B.模相等C.辐角主值成等差数列D.和为0正确答案：A24.下列说法错误的是：有理函数在复平面内（）A.处处解析B.除掉极点外处处解析C.奇点都是极点D.只有有限个奇点正确答案：A25.下列说法错误的是：解析函数在一点解析，则（）A.则在一个区域内每点都解析B.存在任意阶导数，且导数解析C.可以展开成幂级数D.展开成的幂级数在复平面上处处收敛正确答案：D26.A.C.D.正确答案：B27.A.B.C.D.正确答案：B28.下列说法错误的是：复函数在一点处可导，则（）A.在该点处可微B.实部函数与虚部函数均在该点可微C.满足C-R条件D.在该点处解析正确答案：D29.下列函数中是单值函数的是（）A.对数函数B.幂函数C.三角函数D.反三角函数正确答案：CA.B.C.D.正确答案：A福师《复变函数》在线作业二二、判断题（共20道试题，共40分。
福师[2021-2022]《复变函数》在线作业一注：本科目作业有多套随机试卷，请核实是否与您的试卷顺序相一致！！！
一、单选题（共30题，60分）
1、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
2、
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
3、下列关于解析函数的实部函数与虚部函数说法错误的是（）
[A]实部函数与虚部函数都是解析函数
[B]实部函数与虚部函数都是调和函数
[C]实部函数与虚部函数共轭调和
[D]已知实部函数，可以用偏积分法求虚部函数
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[A]
4、下列说法错误的是：关于整函数有（）
[A]整函数的零点必定是孤立点
[B]整函数在一段连续曲线上都取值0则处处为0
[C]在闭区域内，整函数必定在边界上取到模的最大值
[D]整函数在整个复平面上无法取到模的最大值
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目
[正确答案是]：[D]
5、
题见下图
[A][A]
[B][B]
[C][C]
[D][D]
提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目。
复变函数作业一一、判断（对的用T 表示，错的用F 表示） 1、如果0()f z '存在，那么()f z 在0z 解析。
（ F ） 2、()n Ln z nLnz =。
（ F ）3、当且仅当z 为实数时，z e 为实数。
（ F ）4、设()f z u iv =+在区域D 是解析的，如果u 是实常数，那么()f z 在整个D 是常数；如果v 是实常数，那么()f z 在D 也是常数。
（ T ）二、填空1、13Re 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= ；13Im 2n i ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦= 。
2、设ω是1的n 次根，1ω≠，则211n ωωω-++++L = 0 。
3、在映射2z ω=下，扇形区域0arg ,14z z π<<<的像区域为2πarg 0<<z 。
4、若()()11n ni i +=-，则n = 。
三、计算1、 计算下列函数值：1）()n i L e ；234i + 1）、()n i L e 解： 主值()ln ln arg i i i e e i e i=+=,()()ln 22,i i Ln e e k i i k i k ππ∴=+=+∈Z234i +解： 设3+4i 的平方根是x+yi ，x 、y ∈R ，则有 x 2-y 2=3，且 2xy=4，求得 x=2，y=1，或x=-2 y=-1， 故3+4i 的平方根是 2+i ，或-2-i ， 故答案为：2+i ，或-2-i2、下列函数在复平面上何处可导？何处解析？ 1；2）()()2222x y x i xy y --+- 。
1； 解：因为 f(z)=|z| 当趋于0-时 f(z)=|-1； 当趋于0+时 f(z)=|1； 右极限不等于左极限。
所以f(z)=|z|在z=0处不可导，而在除0以外的其他地方都可导且解析。
2）()()2222x y x i xy y --+- 。
解：212,,2v 221v ,2x x y y x y y x u x v yu y x y u u v y =-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨=-=-⎪⎪⎩⎩==-⇒=-仅在直线12y =上可导，在复平面上处处不解析。
3、函数2322()2f z x y x y i =-+是否为解析函数？求出其导数。
解：不是解析函数，因为满足条件的只有两个点，不成区域2(,)24x x f x y u iv x xy '=+=+3234(0,0)0,,4323f f i⎛⎫''==+ ⎪⎝⎭4、已知222371(),:3C f z d C x y zζζζζ++=+=-⎰，求()1f i '+。
解：()2()2(371)()2(67)(1)2613f z i z z f z i z f i i πππ=++'=+'+=-+5、计算积分 1）()2311z z dz z z =--⎰；解：1）()2311z z dz z z =--⎰；2）211sin 41z z dz z π+=⎛⎫ ⎪⎝⎭-⎰； 解：2sin 41z z π⎛⎫ ⎪⎝⎭-在11z +=只有1z =-一个极点，所以令()sin 41z f z z π⎛⎫⎪⎝⎭=-，所以()()21111sin 42111z z z f z dz dz if i z z ππ+=+=⎛⎫ ⎪⎝⎭==-=-+⎰⎰3）()12121zz e dz z z -=+⎰； 解:()12121zz e dz z z -=+⎰dz z z ez )1(2121+=⎰-4）()23132z dzz z -=-⎰。
解：)44(13231+-=⎰-z z z dzz3451443z z z dzz +-=⎰-四、证明：若积分路径不经过i ±，则120,14dz k k z ππ=+∈+⎰¢。
证明：如果积分路径不经过i ±，且不绕过，i ± 则由柯西定理得，若积分绕z=转1k 圈，则积分值为 若绕z = -i 转2k 圈，则积分值为故在一般情况下，积分值为五、证明：设v 是u 的共轭调和函数，问下列各对函数中后者是不是前者的共轭调和函数？判断并给出理由： 1）,Au Bv Bu Av -+（,A B 为常数）； 2）22,u v uv -。
1）证明：2）不是的共轭调和函数证明：因为在某区域的调和函数一定是该区域某解析函数(可能多值)的实部或虚部，反之，某区域的解析函数其实部与虚部都是该区域的调和函数。
和不满足此条件，应该是2uv 是的共轭调和函数。
综上所述，不是的共轭调和函数。
复变函数作业二一、判断1、0(2)n n n a z ∞=-∑在z=0收敛，在z=3发散。
（ F ）2、在区域z R <解析，且在区间（-R ，R ）取实数值的函数f(z)展开成z 的幂级数时，展开式的系数都是实数。
（ T ）3、1tan z 在圆环区域0(0)z R R <<<<+∞不能展开成罗朗级数。
（ F ）4、z=0是1tan ()zf z e =的本性奇点。
（ T ）二、填空1、0(1)n n n i z ∞=+∑的收敛半径为 22。
2、22sin z e z 展开成z 的幂级数的收敛半径= ∞ 。
3、z=0是()sin tan f z z z =-的 3 级零点。
4、(),()f z g z 以z=a 为m 级和n 级极点，则z=a 为()()f z g z 的 m+n 级 极 点。
三、计算1、求21z 在01z =-处的泰勒展开式。
解：20111(1)(1)(11)1(1)nn n z z z z z ∞=''⎛⎫⎛⎫=-==+++<⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭∑2、 求11:2n n z z ∞Γ=-⎛⎫Γ= ⎪⎝⎭∑⎰解：112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰3、 求23()124f z z z z =+-+在z=1处的泰勒展开式。
解：当z=1时，此函数的泰勒展开式为：（z-1）^3-(z-1)^2-3(z-1)4、将21()()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域展开为罗朗级数。
解: 112n n n n dz z dz z dz i z π∞∞ΓΓΓ=-=⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰四、若()f z 为整函数，且()lim ()max ()n r z r M r M r f z r →+∞=⎛⎫<+∞= ⎪⎝⎭，则()f z 是不高于n 次的多项式。
证明：()(),,(0,1,2,)k k k kk M r f z c z z c k r ∞==<+∞≤=∑L当1k n ≥+ 时，令(1)k n pp =+≥()1()lim lim 0(1)k p n r r M r M r k n r r r →+∞→+∞=⋅=≥+当1kn ≥+时，0k c =复变函数作业三一、判断题（对的用“T ”表示，错的用“F ”表示）1、若()f z 在区域D 单叶解析，则在D ()0f z '=。
（ F ）2、线性变换将平面上的圆周变为圆周或直线。
（ T ）3、解析函数具有保形性。
（F ）4、函数在可去奇点处的留数为0。
（ F ） 二、 填空题1、方程在单位圆6426210z z z -+-=有 6 个根。
2、i 关于1z i -=的对称点为 x ²+(y-1)²=1 。
3、21(),:2(1)(5)(43)f z C z z z z i ==+-+-，则arg ()C f z ∆= －4 。
4、5z 在点1z i =+处的旋转角为 ，伸缩率为 20 。
三、 计算题 1、49(1)(2)(48)(50)z dzz z z z =----⎰解：设f1(z)=1/[(z-2)(z-48)(z-50)]， f2(z)=1/[(z-1)(z-48)(z-50)]， f3(z)=1/[(z-1)(z-2)(z-50)]，则答案为 2πi[f1(1)+f2(2)+f3(48)]2、204sin d πθθ+⎰解：()()1222011111221214sin 8142415,22lim()()41521515z z z z d dz dzz izz iz izz i z z i z z z z z i i πθθπ==→=⋅=-++-+⎛⎫=-+- ⎪=⋅ ⎪-- ⎪=--⎝⎭==⎰⎰⎰3、2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰ 解： 2sin 16x xdx x +∞-∞+⎰4、求把z 平面的单位圆变为ω平面的单位圆，并使1成为不动点，使1i -变为无穷远点的线性变换()L z ω=。
解：依题意得，设z a a z e i --=1θω，因为1+i 关于单位圆的对称点为 i -11，无穷远点关于单位圆的对称点是0，211211111,11111111,011,1i z i z i i i z i z e ii i i -⋅-+-⋅-+=⇔↔+⋅---⋅=⇒<-↔-∞↔+ωωθ5、求把z 平面的单位圆 1z < 变为ω平面的单位圆1ω<的线性变换()L z ω=，使110,arg 33L L π⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。
解：设圆周部一点Z=a(1<a )变为w=0,点a(a ≠0)关于单位圆周1=z 对称点a a 1*=，应该变为w=0 关于单位圆周 1=w 的对称点∞ ，因此所求变换具有形式为：z a dz k az a z kw --=--=111其中 1k 为常数， 当1=z 时，1=w ，故取z=1，对应点w 满足 11111k aak w =--== 因此令 为实数）ββ(1i e k =从而所求的变换为z a az ew i --=1β1<z。
