平面向量的线性运算平面向量的加减法(课堂PPT)

• 向量加法的平行四边形法则: – 1.将向量平移到同一起点 – 2.和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的 对角线
• 三角形法则推广为多边形法则：
uuur uuur uuur uuur uuur uuur 多个向量相加，如：AB BC CD DE EF AF ， 这时也必须“首尾相连”.
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0；
(2) a＋b = b＋a；
(3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
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向量加法法则
b
已知 a ,b ,求 向作 量 a b 向 a 量
A· a
B
ab
b
作法：
C
1.在平面内任取一点 A
2.作 AB a , BC b
则向量 AC a b
• 力的合成 F1 + F2 = F
F1 B
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和பைடு நூலகம்即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
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动脑思考 探索新知
2
从运动的合成看向量运算
• 在大陆和台湾没有直航之前，台湾同胞要到上海 探亲，得乘飞机要先从台北到香港，再从香港到 上海，那么这两次位移之和是什么？
u u u r u u u r u u u r 位移 A B + B C =A C
上海
台北 香港
C A
B
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创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
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巩固知识 典型例题
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f 1 与 f 2 的大小．
解 利用平行四边形法则，可以得到
f2
f1
f1f22f1cosk，
k
所以
f1
k． 2 cos
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运用知识 强化练习
计算：
u u u r u u u r u u u r
4
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点； 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
• 问:合力F与力F1、F2有怎样的关系？
F1+F2=F
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的
平行四边形的对角线
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向量的加法运算
C
• 运动的合成
u u u r u u u r u u u r A B + B C =A C A
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明． （2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
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动脑思考 探索新知
a
b
B
a
b
A a+b
C
一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A
u u u r u u u r
uuur
依次作 A Ba， B Cb ， 则向量A C 叫做向量a与向量b的和，
o· a
A
b ab
B
C
作法：
1.在平面内任取一点 O
2.作 OA a , OB b
则向量 OC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型
力的合成可以看作向量加法的 平行四边形法则的物理模型
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向量加法法则总结与拓展
• 向量加法的三角形法则: – 1.将向量平移使得它们首尾相连 – 2.和向量即是第一个向量的首指向第二个向量的尾
温故知新 零向量 长度等于 零 的向量，记作 0
单位向量 长度等于 1个单位 的向量 方向 相同或相反 的非零向量.
平行向量 向量a，b平行，记作 a∥b .
(共线向量) 规定：零向量与任一向量 平行 长度 相等 且方向 相同 的向量.
相等向量 向量a，b相等，记作 a＝b
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平面向量的线性运算
——向量的加法运算
u u u r u u u r u u u r
1 A B B C C D ； 2 O B B C C A ．
u u u r
u u u ru u u ru u u ru u u ru u u r A B A D A B B C A C ．
uuur
uuur
这说明，在平行四边形ABCD中，A C 所表示的向量就是A B 与
uuur
A D 的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法 具有以下的性质：
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的 总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
uuur 位移A C
叫做位移
uuur AB
与位移
uuur BC
的和，记作
u u u r u u u r u u u r A C A BB C .
解
如图所示，A B 表示船速，A C 为水流 速度，由向量加法的平行四边形法则，
D
B
uuur AD
是船的实际航行速度，显然
uuur uuur2 uuur2 AD AB AC
122 52 =13．
C
A
tanCAD12 5
利用计算器求得 C A D6723
即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约6723．
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探究一：当向量共线时，如何相加？
(1)同向
(2)反向
a
b
a
b
A
B
C
uuur r r
AC=a+b
B
CA
uuur r r AC=a+b
规 定 a0： 0aa
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探究二：向量的加法是否具备交换律和结合律？
• 数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R， 有a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)
• 向量的加法具备吗？你能否画图解释？
向量加r法r满足r交换r律和r 结r 合律r：r rr abba ( a + b ) + c a ( b c )
以上两个运算律可以推广到任意多个向量.
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巩固知识 典型例题
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
速度为5 km/h，求该u船uur 的实际航行u速uur 度．
记作a＋b ，即
u u u ru u u ru u u r a b A B B C A C ． （7．1）
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法
叫做向量加法的三角形法则．
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动脑思考 探索新知
D
C 如图所示，ABCD为平行四边形，由于
A
uuur uuur
B ADBC， 根据三角形法则得