平面向量的加减法演示文稿演示

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平面向量的加法减法运算PPT课件

ABCD
首
则
AC a b
首相
C
连
第8页/共29页
练一练
a, b 如图,已知用向量加法的平行四边形法则作出 ab
（1）
b
ab
首
ba
首相
（2）
b
a
ab
连
a
第9页/共29页
回顾例1：平行四边形ABCD中，
AB AD AC
AD 问: 能否不移动向量 , 而移动向
量？结果是否和原来一样呢？
AB
。 a
说明：
① 规定 0 0
② 性质
a
a
a
a
a
a
0
第16页/共29页
2、向量的减法：
向量
a
与向量
b
的负向量的和定义为向量
a
b 与向量
的差，即
ab a b
求两个向量差的运算叫作向量的减法
第17页/共29页
a b 1、向量减法法则：已知向量，不共线，求作
向量，使 c
a a a a
a
a bbbbb
B
A
C
a b AB AC CB
第21页/共29页
a b 例1 已知如图所示向量、，请画出向量
a
b
O a
A
b a b
a b
B
第22页/共29页
例2 化简：
⑴ OD OA
⑵ AB AC BD DC
解： ⑴ OD OA AD
⑵ AB AC BD DC
的向量．
这种求不共线的两个向量和的方法叫做
首
向量加法的平行四边形法则
首相

平面向量加减法课件

在物理学中的应用
01
平面向量加减法在物理学中的性质和定理
02
向量的加法满足平行四边形定则
向量的减法满足三角形定则
03
在物理学中的应用
向量的数乘满足标量积定理
1
2
平面向量加减法在物理学中的实际应用
确定力的合成与分解
3
在物理学中的应用
计算物体的运动轨迹和速度
解决物理问题，如力学、电磁学等
05
平面向量加减法的练习与巩固
平行法则适用于任何两个相同的向量。通过将一个向量分解成两个相同的子向量，可以找到原始向量的和。这个法则也可以用于任何数量的相同向量。
04
平面向量加减法的应用
解向量方程
求解向量方程的解根据给定的向量方程，确定未知量
通过加减法运算，解出未知量的值
解向量方程
检验解的正确性，确保解符合原始向量方程
向量减法的几何意义
两个向量相减，得到的新的向量的方向和大小与原来的两个向量有关系。
02
平面向量加减法的运算性质
向量的加法交换律
总结词
向量加法满足交换律
详细描述
设$\mathbf{a}$和$\mathbf{b}$是平面向量，则有$\mathbf{a} + \mathbf{b} = \mathbf{b} + \mathbf{a}$，即向量加法满足交换律。ຫໍສະໝຸດ 练习题一：判断题总结词
掌握平面向量加减法的基本概念
判断下列说法是否正确
向量a+向量b的和向量等于向量a与向量b之和。（×）
判断下列说法是否正确
向量a与向量b的和向量等于向量a+ 向量b。（×）
判断下列说法是否正确

平面向量的加法减法与数乘运算课件

数乘的运算性质
结合律
$\lambda(\mu\mathbf{a})=(\lambda\mu)\mathbf{a}$。
分配律
$\lambda(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\lambda\mathbf{a}+\lambd a\mathbf{b}$。
反交换律
$\lambda\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lambda(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})$。
2023
PART 04
平面向量的加法减法与数乘运算的应用
REPORTING
在物理学中的应用
力的合成
电磁学中的向量表示
在物理中，向量加法可以应用于力的合成，例如两个力的向量和可以表示为它们的加法运算。
在电磁学中，向量加法可以用于表示电磁场中的向量，例如电场强度和磁场强度。
速度和加速度
速度和加速度是物理学中重要的向量概念，通过向量加法可以计算出物体在不同方向上的速度和加速度。
详细描述
2. 这类题目需要学生灵活运用所学知识，进行深入思考和细致计算。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
求解向量与轴的夹角
通过数乘运算可以求得向量与轴之间的夹角。
投影问题
通过数乘运算可以求得一个向量在另一个向量上的投影。来自 2023PART 03
平面向量的加法减法与数乘运算的几何意义
REPORTING
平面向量的几何意义
01
02
03
04
向量表示为有向线段
向量的起点为线段的起点，终点为线段的终点
向量的长度和方向

平面向量的加减法PowerPoint 演示文稿

1A D ； 2O A ．
.
17
平面向量的线性运算
——向量的减法运算
.
18
向量的减法
减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？
.
19
相反向量
规定与a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，显然-(-a)=a，
规定，零向量的相反向量仍是零向量。
.
20
.
2
创设情境兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行
A
走200 m到达学校（C处）（如
图）．王涛同学这两次位移的总效果是从家（A处）到达了学
500m
C 200m
校（C处）．
பைடு நூலகம்
位移A C 叫做位移 A B 与位移 B C 的和，记作 A C A BB C .
.
3
向量加法运算及其几何意义
探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O
E
O
F
F1+F2=F
力F对橡皮条产生的效果，与力F1和F2共同作用产生的效果相同，物理学中把力F叫做F1和F2的合力.
.
4
从力的合成看向量运算
• 橡皮条在力F1与F2的作用下，从E点伸长到了O点；同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：
(1) a＋0 = 0＋a=a； a＋（− a）= 0； (2) a＋b = b＋a； (3) （a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．

平面向量的加法PPT演示文稿(1)

2020/8/21
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法1：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，AB b ，
a
则 OB a b 。
O
a
A
b
ab
B
2020/8/21
三角形法则
例1.如图，已知向量 a, b，求做向量 a b 。
作法2：在平面内任取一点O，
b
作 OA a ，OB b ，
段，能构成一个三角形吗？
请同学们
总结向量加法的“三角形法则”与 “平行四边形”法则的联系与区别。
2020/8/21
2020/8/21
思考：如图，当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法和
数的加法有什么关系？
aHale Waihona Puke ab（1）
A
B
C
ab
b
（2）
C
A
B
ab
若a，b方向相同，则 | a b || a | | b |
1.化简: AB DF CD BC FA
2.已
知|
a
|
6,|
b
|
14,|
c
|
3, 则
|
a
b
c
|
有
最大值和最小值吗?
2020/8/21
课后作业： P84练习B 1、3
2020/8/21
如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以2 3 km/h的速度向
垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小与方向（用与江水速度的夹
角来表示）。

《平面向量加减法》课件

三角形法则：将两个向量首尾相接，构成一个三角形，则其对角线就是两个向量的和。
平行四边形法则和三角形法则的适用范围：适用于任意两个向量的加法运算。
平行四边形法则和三角形法则的优缺点：平行四边形法则直观易懂，但计算量较大；三角形法则计算量较小，但需要一定的几何知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同，其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接，得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方向决定
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
新的向量的长度等于两个向量长度之和
新的向量的起点和终点分别对应两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合律： (a+b)+c=a+(b+ c)

《向量的加减法》课件

03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方向与$overset{longrightarrow}{a}$相同或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向量的终点与第二个向量的起点的向量。

《向量的加法与减法》课件

结果向量的方向由输入向量的相对位置决定，结果向量的大小则由输入向量的长度和夹角决定。
THANKS
感谢观看
向量加法的几何意义
总结词
向量加法的几何意义是表示两个向量在平面或空间中的相对位置关系。
详细描述
向量加法的几何意义在于表示两个向量在平面或空间中的相对位置关系。通过向量加法，我们可以理解一个向量是如何由另一个向量产生的，以及它们之间的角度和长度关系。
向量加法的性质
总结词
向量加法满足交换律和结合律，不满足消去律。
向量减法的性质
总结词
向量减法的性质
详细描述
向量减法具有一些重要的性质，包括交换律、结合律和反身性。交换律指的是向量减法的结果不依赖于减数向量的顺序，结合律指的是向量的加减运算满足结合律，反身性指
的是任意向量减去其自身等于零向量。
03 向量的加法与减法的应用
在物理中的应用
力的合成与分解
在物理中，向量加法和减法常用于表示力的合成与分解。通过向量加法，可以将多个力合成一个力；通过向量减法，可以将一个力分解成多个分力。
速度和加速度的计算
在运动学中，向量的加法和减法用于计算速度和加速度。例如，在平抛运动中，水平和垂直方向的速度可以通过向量加法和减法计算出物体的最终速度和加速度。
在数学中的应用
向量模的计算
向量的加法和减法可以用于计算向量的模。通过向量加法，可以计算两个向量的和的模；通过向量减法，可以计算两个向量的差的模。
详细描述
向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。同时，向量加法也满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。但是，向量加法不满足消去律，即 a+b=b+a并不意味着a=b。这是因为向量的加法不具有唯一性，与实数加法不同。

平面向量的加法PPT课件

04Biblioteka 向量加法的应用解决物理问题
力的合成与分解
通过向量加法，可以计算多个力的合力或分力，从而解决与力相关的物理问题。
速度和加速度的合成
在运动学中，向量加法用于计算物体在多个方向上的速度和加速度，以解决运动问题。
解决数学问题
向量模的计算
向量加法可以用于计算向量的模，即向量的长度或大小。
02 向量加法的坐标表示
坐标表示的定义
总结词
坐标表示是平面向量加法中的一种重要方法，通过坐标系将向量表示为坐标形式，进而进行向量的加法运算。
详细描述
在平面直角坐标系中，任意一个向量$overrightarrow{AB}$可以表示为从原点$O$ 到点$B$的有向线段，记作$(x_2-x_1, y_2-y_1)$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$ 分别是点$A$和点$B$的坐标。
结合律
总结词
向量加法的结合律是指向量的加法满足结合性，即改变向量的加法括号，结果不变。
VS
详细描述
结合律也是向量加法的基本性质之一，表示向量加法不依赖于括号的组合方式。设 $vec{A}$、$vec{B}$和$vec{C}$为任意三个向量，则有$(vec{A} + vec{B}) + vec{C} = vec{A} + (vec{B} + vec{C})$。
坐标表示的几何意义
总结词
坐标表示不仅将向量数量化，还揭示了向量的方向和大小。
详细描述
在坐标系中，向量的坐标表示形式不仅包含了向量的长度信息（即模长），还包含了向量的方向信息。例如，向量$(3, 4)$和$(-3, -4)$的模长相等，但方向相反。
坐标表示的性质

6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT

A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC

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(2)平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
二、向量加法的运算律
2．在向量加法的三角形法则中，可得|a|＋|b|≥|a＋b|.其中，“＝”在有一者为零向量或两个向量共线且方向相同时取得．
例题讲解
[例1] 如图所示，已知向量a，b，c试作出向量a＋b＋c. [精解详析] 法一：如图 1 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝ a，再作向量 AB ＝b，则得向量 OB ＝a＋b；然后作向量 BC ＝c，则向量 OC ＝(a＋b)＋c ＝a＋b＋c 即为所求．
跟踪练习
1．正方形 ABCD 的边长为 1，则| AB ＋ AD |为
A．1
B. 2
C．3
D．2 2
解析：正方形 ABCD 中， AB ＋ AD ＝ AC
∴| AB ＋ AD |＝| AC |＝ 2.
答案：B
()
2．化简下列各式： (1) PB + OP ＋ OB 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
[精解详析] 作 AB ＝υ 水，AD ＝υ 船，以 AB ，AD 为邻边作▱ABC90°，在 Rt△ABC 中，
| AB |＝|υ 水|＝10 m/min，
| BC |＝| AD |＝|υ 船|＝20 m/min，
∴cos
∠ABC＝| |
AB BC
提示：有．问题4：在问题3中，物体为什么没沿水平或垂直方向运动？
提示：力的合力不在这两个方向上．
一、向量加法的定义和法则 1．向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 2．求向量和的方法
(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面上任取一点A，
作 AB ＝a， BC ＝b，则向量 AC 叫做a与 b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．
平面向量的加减法演示文稿演示
2.2.1 平面向量的加法
新课讲解问题1：向量能进行运算吗？请举例说明．提示：能，如力的合成．问题2：如果两个力F1，F2作用于同一个物体上，当物体静止时，说明了什么？提示：F1＋F2＝0.
问题3：做斜上抛运动的物体在水平方向上有速度吗？在竖直方向上有速度吗？
答案：4 km/h
2．如图，一架飞机从 A 地按北偏西 30°的方向飞行 300 km 后到达 B 地，然后向 C 地飞行．已知 C 地在 A 地北偏东 60°的方向处，且 A，C 两地相距 300 km，求飞机从 B 地向 C 地飞行的方向及 B、C 两地的距离．
的位移，则 AC 表示小船两次的合位移(如图)．
例题讲解
[例 2] 化简或计算： (1) CD ＋ BC ＋ AB ； (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA .
[精解详析] (1) CD ＋ BC ＋ AB ＝( AB ＋ BC )＋ CD ＝ AC ＋ CD ＝ AD . (2) AB ＋ DF ＋ CD ＋ BC ＋ FA ＝( AB ＋ BC )＋( CD ＋ DF )＋ FA ＝ AC ＋ CF ＋ FA ＝ AF ＋ FA ＝0.
问题1：数的加法满足交换律和结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律？
提示：满足．问题2：你能验证向量也满足结合律吗？
提示：如图，a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
(1)向量加法的交换律：a＋b＝ b＋a ； (2)向量加法的结合律：(a＋b)＋c＝ a＋(b＋c.)
深化理解
1．对两种求向量和的方法的理解． (1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．如图所示： AC = AB ＋ AD （平行四边形法则，
AC ＝ AB ＋ BC (三角形法则)．
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意两向量起点相同．
(4)三角形法则可以推广为多边形法则，即对于几个向量，有 A0 A1 A1A2 A2 A3 An1An A0 An ，这可以称为向量加法的多边形法则．
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流速度的大小为________．
解析：由题意可知，水流速度的大小为 4 52－82＝ 4 (km/h)．
解：1 PB ＋ OP ＋ OB ＝( OP ＋ PB )＋ OB ＝ OB ＋ BO ＝0. 2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM ＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB ＝ AO ＋ OB ＝ AB .
例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向．
1．如图，已知平行向量 a、b，求作 a＋b.
解：作 OA ＝a，AB ＝b，则 OB ＝a＋b 就是求作的向量．
2．小船向正东方向行驶了 10 km，又沿北偏东 30°方向行驶了 15 km，作出小船两次的合位移．
解：用 AB 表示向正东行驶 10 km 的位移， BC 表示沿北偏东 30°方向行驶了 15 km
法二：如图 2 所示，首先在平面内任取一点 O，作向量 OA ＝a， OB ＝b，OC ＝c，以 OA、OB 为邻边作▱OADB，连接 OD，则 OD ＝ OA ＋ OB ＝a＋b.
再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC，连接 OE，则 OE ＝ OD ＋ OC ＝a＋b＋c 即为所求．
跟踪练习