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知识点2：平面力系一、平面汇交力系的合成与平衡的几何法(1)平面汇交力系的合成用力多边形法则，合力的大小和方向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和，即∑=+++=F F F F F n R 21(2)平面汇交力系的平衡平面汇交力系平衡的必要和充分的几何条件是力多边形自行封闭。
即0==∑F F R二、平面汇交力系的合成与平衡的解析法1．力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-1所示，它是一标量，即θcos F F x =； θβs i n c o s F F y == （2-1）图2-1 图2-22．力沿坐标轴的分解力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形公理。
如图2-2所示。
力沿坐标轴分解的分力的大小为xyxyx)sin(sin βθβ+=F F x ； )s i n (s i nβθθ+=F F y（2-2）由此可见，在一般情况下，力沿坐标轴分解的分力的大小不等于力在坐标轴上投影的大小。
当2πβθ=+时，在同一坐标上分力的大小和投影相等，如图2-3所示。
（a ）（b ）图2-33．合力投影定理合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即∑=x Rx F F ； ∑=y Ry F F（2-3）当投影轴x 与y 垂直时，其合力的大小与方向为22RyRx R F F F +=，R RxR F F =),cos(i F ，RRy R F F =),cos(j F （2-4）4．平面汇交力系的合成当两坐标轴间的夹角为2π时有2222)()(∑∑+=+=y x Ry Rx R F F F F F（2-5）RxR F F∑=),cos(i F ，RyR F F∑=),cos(j F5．平面汇交力系的平衡 由几何法知0=R F代入前面的代数表达式有0)()(2222=+=+=∑∑y x Ry Rx R F F F F Fx F y即0=∑xF；0=∑yF（2-6）平面汇交力系平衡的解析条件是力系中各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和均等于零。
第二节 平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系问题的几何法，具有直观简捷的优点，但是作图时的误差难以避免。
因此，工程中多用解析法来求解力系的合成和平衡问题。
解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。
一、在坐标轴上的投影如图2－5所示，设力F 作用于刚体上的A 点，在力作用的平面内建立坐标系oxy ，由力F 的起点和终点分别向x 轴作垂线，得垂足a 1和b 1，则线段a 1b 1冠以相应的正负号称为力F 在x 轴上的投影，用X 表示。
即X=±a 1b 1；同理，力F 在y 轴上的投影用Y 表示，即Y=±a 2b 2。
力在坐标轴上的投影是代数量，正负号规定：力的投影由始到末端与坐标轴正向一致其投影取正号，反之取负号。
投影与力的大小及方向有关，即⎭⎬⎫=±==±=βαcos cos F ab Y F ab X （2－3） 式中α、β分别为F 与X 、Y 轴正向所夹的锐角。
图2－5反之，若已知力F 在坐标轴上的投影X 、Y ，则该力的大小及方向余弦为⎪⎭⎪⎬⎫=+=F X Y X F αcos 22 （2－4） 应当注意，力的投影和力的分量是两个不同的概念。
投影是代数量，而分力是矢量；投影无所谓作用点，而分力作用点必须作用在原力的作用点上。
另外仅在直角坐标系中在坐标上的投影的绝对值和力沿该轴的分量的大小相等。
二、合力投影定理设一平面汇交力系由F 1、F 2、F 3和F 4作用于刚体上，其力的多边形abcde 如图2－6所示，封闭边ae 表示该力系的合力矢F R ，在力的多边形所在平面内取一坐标系oxy ，将所有的力矢都投影到x 轴和y 轴上。
得X=a 1e 1, X 1=a 1b 1, X 2=b 1c 1，X 3=c 1d 1 ,X 4=d 1e 1由图2－6可知a 1e 1=a 1b 1+b 1c 1+c 1d 1 +d 1e 1即 X=X 1+X 2+X 3+X 4同理 Y=Y 1+Y 2+Y 3+Y 4将上述关系式推广到任意平面汇交力系的情形，得⎭⎬⎫∑=+++=∑=+++=Y Yn Y Y Y X Xn X X X 2121 （2－5）图2－6即合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和，这就是合力投影定理。
解析法求解平面汇交力系平面汇交力系是指由多个力合成的力系统，其中力的作用面都在同一个平面上，力的合成规律可以通过解析法来求解。
解析法是一种通过数学分析和计算来得到力的合成结果的方法，通过解析法可以求出力的合成结果及合力的大小、方向和作用点位置。
我们需要明确力的合成规律。
在同一平面上的两个力可以用平行四边形法则进行合成，即将两个力按照大小和方向画在同一起点上，然后用平行四边形法则找到它们的合力。
如果有多个力需要合成，可以依次两两合成，直至所有力都合成为一力，这个合力即为平面汇交力系的结果。
接下来，我们以一个具体的例子来说明解析法求解平面汇交力系的过程。
假设有三个力F1、F2和F3，它们的大小、方向和作用点位置分别为100N、30°、点A；80N、150°、点B；120N、270°、点C。
我们要求解这三个力的合力大小、方向和作用点位置。
我们可以使用三角函数将每个力分解为水平方向和垂直方向的分力。
以F1为例，它的水平分力F1x = F1 * cos(30°) = 100N * cos(30°) ≈ 86.6N，垂直分力F1y = F1 * sin(30°) = 100N * sin(30°) ≈ 50N。
同样地，我们可以求得F2和F3的水平和垂直分力。
接下来，我们对水平分力和垂直分力分别进行合成。
水平分力的合力Fx= F1x + F2x + F3x ≈ 86.6N + (-71.6N) + 0N ≈ 15N，垂直分力的合力Fy = F1y + F2y + F3y ≈ 50N + (-69.3N) + (-120N) ≈ -139.3N。
我们可以利用合力的水平和垂直分力来求解合力的大小和方向。
合力的大小F =√(Fx^2 + Fy^2) ≈ √(15N^2 + 139.3N^2) ≈ 140N，合力的方向θ = arctan(Fy/Fx) ≈ arctan(-139.3N/15N) ≈ -81.8°。
第3章 平面力系的平衡条件3.1平面汇交力系的合成与平衡条件力系中各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点，这样的力系称为平面汇交力系。
3.1.1 平面汇交力系合成的解析法设作用于O 点的平面汇交力系（F 1，F 2，…，F n ），其合力矢量为R F （图3-2）。
按合力投影定理求合力R F 在x , y 轴上的投影∑∑====ni yiRy ni xiRx F F F F 11y图3-2R F = cos RxRF F α=(3-1) cos Ry RF F β=式中α，β------合力矢量F R 与x 和y 轴的正向夹角。
3.1.2 平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要与充分条件是力系的合力F R 等于零。
10nRx xi i F F ===∑10nRy yii F F===∑ (3-2)于是，平面汇交力系平衡的必要与充分条件可解析地表达为：力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别为零。
式(3-2)称为平面汇交力系的平衡方程。
3.2平面力偶系的合成与平衡条件3.2.1 平面力偶系的合成应用力偶的等效条件，可将n 个力偶合成为一合力偶，合力偶矩记为M 。
∑==ni i M M 1(3-3)3.2.2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系平衡的必要与充分条件：力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零,即 10nii M M===∑ (3-4)3.3平面任意力系的合成与平衡条件3.3.1工程中的平面任意力系问题力系中各力的作用线在同一平面内，且任意地分布，这样的力系称为平面任意力系。
3.3.2 平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩如图3-7（a ）所示。
在力系作用面内任选一点O ，将力系向O 点简化，并称O 点为简化中心。
i ′图3-7由力12,,,n F F F '''L 所组成的平面汇交力系，可简化为作用于简化中心O 的一个力RF '，该力矢量∑==ni i RF F 1'(3-5)R F '称作平面任意力系的主矢。
平面汇交力系合成的解析法 1、力的投影x已知力可求投影F x =F ·cos q F y =F ·cos b=F ·sin q反之，已知投影可求 力的大小和方向22F =F x +F y力的大小cos θ=F x ，cos β=F y FF方向力 的 交 ，F x ，F yF x =F x i ，F y =F y j力F =F x +F y力的 解所F=Fx i+Fyj2、合力投影定理合力投影定理 合力在任一 上的投影，等于 力在同一 上投影的代数和。
FR x=∑F ixF R =(FR y=∑F iy 合力的大小 22F)+(F)ix iy∑∑方向 cos(F，i)=F R x，cos(F，j)=F R yR RF R F R力系的汇交[例]已知 图 平面共 力系；求 此力系的合力。
解 解析法解 解析法F RF R ==171.3Ncos θ=F R xF R Fcos β=R y=0.6556=0.7548θ=40.99，β=49.01F F 2F 3F 4300450600450F R3、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力系的合力等于零。
2F R =(F )=0iy ∑∑F ix =0，∑F iy =0必平面汇交力系平衡的必要和充 条件是 力在两个 上投影的代数和 别等于零。
[例]已知 F =3kN ，l =1500mm ，h =200mm ，忽略自重； 求 平衡时，压块C 对工件与地面的压力，AB 杆受力。
解 AB 、BC 杆 二力杆，取销钉B 对象。
=0∑F xF cos θ+F cos θ=0BA BC F =F BA BC解F =F =F =11.35kN2sin θBABCF sin θ+F sin θ-F =0BA BC F =0y∑选压块C 对象=0F cos θ-F =0CB Cx ∑Fx解F =F cot θ=Fl =11.25kN 22h Cx∑F y =0-F CB sin θ+F Cy =0解=1.5kNF Cy[例]如图所 ，重物G =20kN ， 钢丝绳挂在支架的滑轮B 上，钢丝绳的另一端绕在铰车D 上。
