平面汇交力系合成与讲义平衡的几何法
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理论力学第二章
1 1 1 3
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
M F d F d
2 2 2 4
F F F
3
4
F F F
3 4
3 4 3 4 1 2
M Fd F F d F d F d M M
平面内任意力偶可以合成一个合力偶，该合力偶系的平衡条件
尾相接，合力沿反方向构成封闭边。
二.平面汇交力系平衡的几何条件
平面汇交力系平衡的充要条件：
Fi 0
平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭
例2.1 已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架
的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC
三.平面汇交力系合成的解析法
1.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
FR=FRx+FRy=FRxi+FRy j
2.合矢量投影定理
合矢量投影定理：合力在某一轴上的投影，等于各分力在
同一轴上投影的代数和。
即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn =∑Fx FRy=Fy1+Fy2+…+Fyn =∑Fy
3.平面汇交力系合成的解析法
2、力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面. 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂.
两个要素 a.大小：力与力偶臂乘积
b.方向：转动方向
力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量， 逆为正，顺为负。单位：N· m，或kN· m
力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换； 力偶也不能用一个力来平衡。
四.同平面内力偶的等效定理
ix
例2.4 图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标 (xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉力。
工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
二章节平面汇交力系与平面力偶系
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊 时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只 有一个未知数。 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出负 值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先 设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。
FAC
FA 450
FAB
FD
图示结构由直角弯杆ABCD与BEG及
直杆CG构成，各杆自重不计，F，a为已
知，求B处的约束力。 FE FA
F
E G
B
力偶实例 2.4 平面力偶
力 偶 实 例 F1
F2
一 力偶的定义：
作用在同一刚体上的大小相等、方向相反、作 用线又不重和的两个平行力所组成的力系称为力偶。 （F ，F′）
6、平面上一个力和一个力偶可以简化成一个 力。
7、如果某平面力系由多个力偶和一个力组成， 该力系一定不是平衡力系。
填空题：
1、同平面的两个力偶，只要 ________相同， 对刚体的外效应相同。
2、力偶________与一个力等效，也_______ 被一个力平衡。
3、平面力偶系合力偶之矩m＝ ________ 。 平面力偶系的平衡条件是________ 。
4、力矩是力使物体绕指定矩心产生________ 效应的度量，其单位是 ________ 。力F对 平面上一点O的力矩等于力的________ 与 力作用线到点的______的乘积，用_____表 示。力矩有正负之分，_____转向规定为正。
填空题：
5、力系合力对平面某点的力矩，等于该力系
02平面汇交力系
与各处摩擦，试求水平压榨力的大小。
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
y
F
B
FBA
x
FBC
F
B
A
C D
解： 1）首先选取销钉B 为研究对象， 画受力图 建立坐标轴，列平衡方程
Fix 0, Fiy 0,
FBA cos FBC cos 0 FBA sin FBC sin F 0
解得
F
FBC FBA 2sin
30
x
F3
45
F4
2 F4x F4 cos 45 4 2 2.83 kN
2 F4 y F4 sin 45 4 2 2.83 kN
二、平面汇交力系合成的解析法
1. 合力投影定理 力系的合力在任一坐标轴上的投影等于其各分力在同一轴上投 影的代数和，即
FRx Fix
F1
F2
FR
O
F3
O
F2
F3
FR1 FR2
F4
F1
FR
F4
O
任一平面汇交力系均可合成为一个作用线通过汇交点的合力。 合力的大小和方向由各分力矢依次首尾相连构成的开口多边形 的封闭边矢量确定。
对应的矢量关系式为
FR F1 F2
Fn Fi
二、平面汇交力系的平衡条件 平面汇交力系平衡的充要条件为其合力为零。
FRx 129.3 N
FRy 112.3 N
2）确定合力的大小和方向
FR FR2x FR2y 129.32 112.32 N 171.3 N
cos FRx 129.3 0.755
FR 171.3
cos FRy 112.3 0.656
第二章：平面汇交力系的合成与平衡
第二章平面汇交力系的合成与平衡课题：第一节平面汇交力系的合成与平衡（一）[教学目标]一、知识目标：1、了解求解平面汇交力系的两种方法。
2、理解平面力系、平面汇交力系。
3、理解平面汇交力系平衡的几何条件。
二、能力目标：通过用几何法求解平面汇交力系的合力，提高学生运用平面几何知识解决力学问题的能力，提高对知识的理解运用能力。
三、素质目标：培养学生的分析问题能力[教学重点]平面汇交力系平衡的几何条件。
[难点分析]用几何法求解平面汇交力系的合力。
[学生分析]学生的数学基础知识需要强化补充。
[辅助教学手段]理论联系实际进行分析，围绕练习题展开讨论。
[课时安排]2课时[教学内容]一、导入新课我们在对力系进行研究时，为了方便，可以按照各力作用线的分布情况进行分类。
从讲实际结构的受力情况入题，一般结构所受的作用力不在同一个平面内，这种力系就属于空间力系；反之，如果所受的作用力都在同一个平面内，这种力系就属于平面力系。
那么在我们研究的力系中，也把它分为两类：空间力系和平面力系。
工程中许多结构所受的作用力虽是空间力系，但在一定条件下可以简化为平面力系，比如水坝、挡土墙的受力等。
平面力系是工程中最常见的力系，本章讨论的便是平面力系的合成和平衡问题，随之引出平面汇交力系的概念及其求解平面汇交力系的两种方法：几何法和解析法。
二、新课讲解1、平面汇交力系合成的几何法（1）导入：力是矢量，矢量的合成都可以遵循平行四边形法则，那么两个汇交力怎么合成呢：两个力的合力的作用点是原汇交点，大小和方向是以两个分力为邻边所构成的平行四边形的对角线。
（2）分析：在力的平行四边形法基础上，可以得到两个汇交力合成的三角形法和多个汇交力合成的力多边形法。
（3）概念：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的大小和方向等于原力系中各力的矢量和，其作用点是原汇交力系的交点。
2、平面汇交力系平衡的几何条件（1）分析：如果某平面汇交力系的力多边形首尾相重合，即力多边形自行闭合，则力系的合力等于零，物体处于平衡状态，该力系为平衡力系。
平面汇交力系的合成与平衡
tan Fy Fy 122.3 0.501
Fx
Fx 243.91
方向角α=26.6°，合力的指向为第一象限。
机械工程基础
解： （1）选比例尺，如图所示。 （2）将F1、F2、F3首尾相接得到力多边形abcd，其封闭边矢量ad就是合
力矢量FR。量得ad的长度，得到合力FR＝1650N，FR与x轴夹角α＝16º21′。
平面力系
例2.2 一钢管放置在V形槽内如图a所示，已知：管重 P=5kN，钢管与槽面间的摩擦不计，求槽面对钢管的约束 力。 解：取钢管为研究对象，钢管受到的主动力为重力P和约 束力为FNA和FNB，汇交于O点，如图b所示。
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
（2）汇交力系的合成结果 共点力系可以合成为一个合力，合力作用在力系
的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由此 力系的力多边形的封闭边表示。
矢量的表达式： FR= F1+ F2+ F3+ ···+ Fn
F1
O F2
F4 F3
F1
O
B F2
平面力系
解法一：选比例尺，令ab=P，bc=FNA，ca=FNB，将各力矢量 按其方向依次进行首尾相连得封闭的三角形abc，如图c所示。 量取bc边和ca边的边长，按照比例尺转换成力的单位，则槽面 对钢管的约束力为
FNA =bc=3.2kN FNB =ca=4.4kN
解法二：绘制力多边形如图2-4c所示，再利用三角关系的
FR
FR
C
F3
D
F4
E
平面力系
平面汇交力系合成与平衡的几何法
BA
BC
解得 F F 11.35kN
BA
BC
选压块C
F ix
0
FCB cosθ FCx 0
解得 F F cotθ Fl 11.25kN
2 Cx
2h
F iy
0
F CBsin FCy 0
解得 FCy 1.5kN
例2-6
已知: F=1400N, θ 20 , r 60mm
O
Oy
Ox
y
x
M
O
F R
M
O
F i
M F OR
x F
i
iy
y F
i
ix
例2-1 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？ 2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
求：此力系的合力。
解：用解析法
FRx F ix F1 cos30 F2 cos60 F3 cos45 F4 cos45 129.3N
F Ry
F iy
F sin 30 1
F 2
sin 60
F sin 45 3
F 4
sin 45
112.3N
解： CD为二力杆，取踏板
由杠杆平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
解得
FCD
F
cos
yB
l
第三章.平面力系的合成与平衡
各力首尾相接
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡
例4
已知：
系统如图，不计杆、轮自重，忽略滑轮大小，P=20kN； 求：系统平衡时，杆AB、BC受力。 解：AB、BC杆为二力杆， 取滑轮B（或点B），画受力图。
用解析法，建图示坐标系。
F
x
0
FBA F1 cos 60 F2 cos 30 0
Fy F cos F Fx Fy
Fx cos F
Fx
x
O
Fx
F Fx2 Fy2
cos
Fy F
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 3）合力投影定理 平面汇交力系，由三个力组成的力多边形 合力投影定理建立了合力投影与各分力投影的关系
FRx Fix
当 x轴与 y 轴不是正交轴时 ：
F Fx Fy
力在坐标轴上的投影不等于力在这个轴上的分量。
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 2）力沿坐标轴的分解 当
Fx Fx
x y
y
Fy Fy
B
Fy
Fx F cos
Fy
A
β α
矢量和
θ
P
FNA 11.4kN FNB 10kN
F
FNB
F
θ P FNA
§3-1 平面汇交力系的合成与平衡 2、平面汇交力系的解析法 1）力在坐标轴上的投影 F力在 x 轴上的投影：
Fx F cosθ
Fy
Fx
F力在 y 轴上的投影：
Fy F cosβ
3 FR 2 FR1 F3 Fi i 1
第二章平面任意力系
M1
= F O
M2
FO1
O1
34
B
30
A O
FAB 30
A
B
FBA
O M2 O1 M1
M1
= F O
M2
FO1
O1
解：分别取杆OA和O1B为研究对象。受力图如图所示。
OA： O1B：
M i FAB OAsin30 M1 0
M i M 2 FBA O1 B 0
箭头表示力偶的转向，M 表示力偶矩的大小。
A
F
F'
M
=
B
24
平面力偶系实例
25
2.4.2 力偶的性质
性质1 力偶既没有合力，也不能用一个力等效替换。
性质2 力偶对其作用面内任意一点的矩恒等于该力偶的力 偶矩，与矩心的位置无关。
o A x
F
C d B
F'
M 0 ( F , F , ) F , ( x d ) Fx M
力对刚体的转动效应----力对点的矩(简称力矩)来度量
如图所示为用扳手松紧螺母的示意图。
力F对于点O的矩用MO(F)表示,即
A F
M O (F ) F d
O
d
B
20
平面力对点之矩
21
点O 称为矩心；d 称为力臂。
正负号表示力矩在其作用面上的转向。一般规定力F
使刚体绕点O 逆时针转动为正，顺时针转动为负。 力F 对点 O 之矩，其值还可以用以力F 为底边，以矩
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于CD杆为 二力构件，可以确定作用于C点的力的方向如图所示。 由于 FA 和 FC 两个力和力偶 (F1, F2 ) 相互平衡，可知 FA 和 FC 两个力应构成力偶。列构件AB平衡方程，有
平面汇交力系的合成与平衡
平面汇交力系的合成与平衡Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】黄河水利职课时授课计划业技术学院．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．空间力系两大类。
平面力系：力的作用线在同一平面（汇交、平行、一般）力系分类空间力系：力的作用线不在同一平面平面汇交力系：作用在物体上的所有力的作用线都在同一平面内，而且汇交于一点的力系。
求汇交力系的合成（简化）与平衡有两种方法：（1）图解法——几何作图法（2）解析法——代数计算法§1 平面汇交力系的合成与平衡一、图解法（几何法）1、两个共点里的合成合力R的作用线通过汇交点；用矢量等式表示为R=F1+F2。
合力R的大小和方向不仅与两个力的大小有关，而且还与两分力的夹角有关。
两个分力的夹角减小时：合力增大；两个分力的夹角增大时：合力减小；两个分力的夹角两个力方向相同，合力最大，值为两分力大小之和为零度时：方向与两分力方向相同。
夹角为180度时，合力最小，值为两合力大小之差，方向与较大分力同向。
2、多个共点力的合成设物体受平面汇交力系F1，F2，F3，F4作用，求力系的合力R。
将各已知力首尾相连，连成折线，后连接折线的首尾两点，得合力R，这种求合力的方法，称为力多边形法则，这种力多边形称为不封闭的力多边形。
合力的作用线通过力系的汇交点。
画力多边形时，改变各分力的相同的次序，将得到形状不同的力多边形，但最后四边形法则的基础上讲清平面汇交力系合成的几何法和平衡的几何条件的理论和结论力的投影计算是力学计算的基本功合力投影定理只从数学上的矢量和投影定理直接引出在矢量代数的基础上讲情平面汇交力系合成的解析法和平衡的解析条件的理论和结论平衡条件的应用应予足够重视，使学生理解恰当选取分离体、正确进行受力分析、画受力图、计算力的投影的重要性求得的合力不变。