高三数学第二轮专题复习系列(5)-- 平面向量

2009年高考第二轮热点专题复习：平面向量考纲指要：重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。

考点扫描：1．向量的概念：①向量；②零向量；③单位向量；④平行向量（共线向量）；⑤相等向量。

2．向量的运算：（1）向量加法；（2）向量的减法；（3）实数与向量的积。

3．基本定理：（1）两个向量共线定理；（2）平面向量的基本定理。

4．平面向量的坐标表示。

5．向量的数量积：（1）两个非零向量的夹角；（2）数量积的概念；（3）数量积的几何意义；（4）向量数量积的性质；（5）两个向量的数量积的坐标运算；（6）垂直：如果a 与b 的夹角为900则称a 与b 垂直，记作a ⊥b 。

6．向量的应用：（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

考题先知：例1． 已知二次函数f （x ）＝x 2－2x ＋6，设向量a ＝（sin x ，2），b ＝（2sin x ，21）， c ＝（cos2x ，1），d ＝（1，2）．当x ∈[0，π]时，不等式f （a·b ）>f （c ·d ）的解集为___________．解：a ·b ＝2sin 2x ＋1≥1， c ·d ＝cos 2x ＋1≥1 ，f （x ）图象关于x ＝1对称，∴f （x ）在（1，＋∞）内单调递增． 由f （a ·b ）>f （c ·d ）⇒a ·b >c ·d ，即2sin 2x ＋1>2cos 2x ＋1，又∵x ∈[0，π] ，∴x ∈（434ππ,）．故不等式的解集为（434ππ,）．例2．求函数y =.分析：由于向量沟通了代数与几何的内在联系，因此本题利用向量的有关知识求函数的值域。

解:因为y =所以构造向量21(2p x =+,21(2q x =-,则y p q =-,而(1,0)p q -=, 所以1y p q p q =-<-=,得11y -<<,另一方面:≥得0y ≥,所以原函数的值域是[0,1).点评：在向量这部分内容的学习过程中，我们接触了不少含不等式结构的式子，如||||||||||||||||||a b a b a b a b a b a b a b +≥-+≤+⋅≤⋅≤⋅，；等。

专题：利用三点共线结论解平面向量知识梳理：三点共线定理 OC →＝ (1－t )OA →＋tOB →的证明： 若OA →＝a ，OB →＝b 是平面内两不共线向量，对于平面内任一向量OC →＝c ，存在一对实数λ，μ使c ＝λa ＋μb .证明A 、B 、C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.证明：（必要性）若A ，B ，C 三点共线，则存在实数t ，使得AC →＝tAB →， 即OC →－OA →＝t (OB →－OA →)所以OC →＝ (1－t )OA →＋tOB → 令λ＝1－t ，μ＝t ，则有c ＝λa ＋t b ，即λ＋μ＝1.（充分性）若λ＋μ＝1，则c ＝λa ＋(1－λ)b 即c －b ＝λ(a －b ) 即OC →－OB →＝λ(OA →－OB →)即BC →＝λBA →.所以A 、B 、C 三点共线．(思考：当t=21时，会发现A,B,C 是什么情况？)典型例题：例1：（全国高考）设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( )A.AD →＝－13AB →＋43AC →B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝－43AB →－13AC →例2：已知平面内的三点A ，B ，O 不共线，且AP →＝λOA →＋μOB →，则A ，P ，B 三点共线的一个必要不充分条件是( )A ．λ＝μB ．|λ|＝|μ|C ．λ＝－μD ．λ＝1－μ例3：如图所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝________.例4：如图，在△ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M,N ，若N nA C A M mA B A==,,则m+n 的值为_______．练习：1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，且A ，B ，C 三点共线，则S 13＝________．2、［2021•江苏卷，10］设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．3、（2021华美）在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为4、(2021·郑州质检)如图，在△ABC 中，N 为线段AC 上靠近A 的三等分点，点P 在BN 上且A P →＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+112m AB →＋211B C →，则实数m 的值为________.5、（2021华美）A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是__________.专题：利用三点共线结论解平面向量例1：[解析] 由BC →＝3CD →知，B 、C 、D 三点共线，从四个选项知系数和为1的仅有A ，故选A.例2：解析 A ，P ，B 三点共线，即存在一个实数m ，使得AP →＝mAB →，∵AP →＝λOA →＋μOB →，∴mAB →＝λOA →＋μOB →，即m (OB →－OA →)＝λOA →＋μOB →，∴(m －μ)OB →＝(m ＋λ)OA →，∵A ，B ，O 三点不共线，∴m －μ＝0，m ＋λ＝0，即λ＝－μ＝－m ，∴A ，B ，P 三点共线的充要条件为λ＝－μ，结合各选项知A ，B ，P 三点共线的一个必要不充分条件为|λ|＝|μ|.故选B. 例3：解析 由于B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点， 所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →.又AM →＝λAB →＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12.例4：解析 解法一：AO →＝12(AB →＋AC →)＝m 2AM →＋n 2AN →.∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n2＝1.∴m ＋n ＝2.解法二：MN 绕O 旋转，当N 与C 重合时，M 与B 重合，此时m ＝n ＝1，∴m ＋n ＝2.练习：1、[解析] 由3OA →＝a 5OB →＋a 9OC →，得OA →＝a 53OB →＋a 93OC →因为A ，B ，C 三点共线，所以a 53＋a 93＝1，即a 5＋a 9＝3，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13（a 5＋a 9）2＝392.所以S 13＝3922、解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(AC →－AB →)＝－16AB →＋23AC →，∵DE →＝λ1AB →＋λ2AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.（提示，过A 作DE 平行线交BC 延长线于点F,利用B,C,F 共线）3、 答案1/34、 解析 设BP →＝λBN →＝λ(AN →－AB →)＝λ⎝⎛⎭⎫13 AC →－AB →＝－λAB →＋λ3 AC →(0≤λ≤1)， ∴A P →＝AB →＋B P →＝(1－λ) AB →＋λ3AC →. 又A P →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211 BC →＝⎝⎛⎭⎫m ＋211AB →＋211(AC →－AB →)＝mAB →＋211AC →，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ3＝211，m ＝1－λ，解得⎩⎨⎧λ＝611，m ＝511，∴m ＝511.5、【答案】(1，＋∞) [设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μm OB →， 又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1。

高考数学二轮复习专题五 平面向量【重点知识回顾】向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既具有代数特征，又具有几何特征，因此我们要借助于向量可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将某些几何问题转化为代数问题，在复习中要体会向量的数形结合桥梁作用。

能否理解和掌握平面向量的有关概念，如：共线向量、相等向量等，它关系到我们今后在解决一些相关问题时能否灵活应用的问题。

这就要求我们在复习中应首先立足课本，打好基础，形成清晰地知识结构，重点掌握相关概念、性质、运算公式 法则等，正确掌握这些是学好本专题的关键在解决关于向量问题时，一是要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，进一步加深对“向量”这一二维性的量的本质的认识，并体会用向量处理问题的优越性。

二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想，所以要通过向量法和坐标法的运用，进一步体会数形结合思想在解决数学问题上的作用。

在解决解斜三角形问题时，一方面要体会向量方法在解三角形方面的应用，另一方面要体会解斜三角形是重要的测量手段，通过学习提高解决实际问题的能力因此，在复习中，要注意分层复习，既要复习基础知识，又要把向量知识与其它知识，如：曲线，数列，函数，三角等进行横向联系，以体现向量的工具性 平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。

向量的坐标表示e e a →→→12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→=+表示。

. 平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则i j x y →→，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得()a x i y j x y a a x y →→→→→=+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标()()()设，，，a x y b x y →→==1122()()()则，，，a b x y y y x y x y →→±=±=±±11121122()()λλλλa x y x y →==1111，，()()若，，，A x y B x y 1122()则，AB x x y y →=--2121()()||AB x x y y A B →=-+-212212，、两点间距离公式（）··叫做向量与的数量积（或内积）。

平面向量一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。

向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。

例：已知A （1,2），B （4,2），把向量按向量a ＝（－1,3）平移得到的向量是_____2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。

提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线； 6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。

的相反向量是－。

例：下列命题：（1）若a b =，则a b =。

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。

（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。

（5）若,a b b c ==，则a c =。

（6）若//,//a b b c ，则//a c 。

其中正确的是_______ 二．向量的表示方法：1．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后； 2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。

数学高考复习名师精品教案第44课时：第五章 平面向量——平面向量小结课题：平面向量小结 一．复习目标：1．进一步熟练有关向量的运算和证明；能运用解三角形的知识解决有关应用问题，2．渗透数学建模的思想，切实培养分析和解决问题的能力． 三．课前预习：1．正方形PQRS 对角线交点为M ，坐标原点O 不在正方形内部，且(0,3)OP =，(4,0)OS --→=，则RM =（ ）()A 71(,22-- ()B 71(,)22 ()C (7,4) ()D 77(,222．下列条件中，ABC ∆是锐角三角形的是 （ ）()A 1sin cos 5A A +=()B tan tan tan 0A B C ++>()C 0AB BC ⋅>()D 3,30b c B ===3．已知一个平行四边形ABCD 的顶点9(,7),(2,6)2A B --，对角线的交点为3(3,)2M ，则它的另外两个顶点的坐标为 ．4．把函数cos y x =图象沿(2,1)()2b k k Z ππ=+∈ 平移，得到函数 的图象．5．在一幢20m 高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是 ．四．例题分析：例1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且310,2,cos 4a c C A A +===，求：（1）c a的值； （2）b 的值．例2．已知向量(2,sin ),(cos ,1)a b θθ=-= ，其中(,)22ππθ∈-．（1）若a b ⊥ ，求θ的值； （2）令c a b =- ，求||c的最大值．例3．已知向量(,)u x y = 与向量(,2)v x y x =- 的对应关系记作()v f u =， 求证：（1）对于任意向量a、b 及常数,m n 恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+ ； （2）若(1,1)a =,(1,0)b = ，用坐标表示()f a 和()f b ； （3）求使()(,)f c p q = ，（,p q 为常数）的向量c的坐标．例4．如图所示，某城市有一条公路从正西方向AO 通过中心O 后转向东北方向OB ，现要修建一条铁路L ，L 在AO 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部DLLBO A分为直线段，现要求市中心O 与AB 距离为10km ，问把A ，B 分别设在公路上离中心O 多远处，才能使||AB 最短，并求出最短距离．五．课后作业：1．已知||||1,a b a == 与b 的夹角为90，23,4c a b d ka b =+=- ，c 与d 垂直，k 的值为（ ）()A 6- ()B 6 ()C 3 ()D 3-2．已知ABC ∆中，,,0AB a AC b a b ==⋅< ，154S ∆=，||3,||5a b == ，则a 与b 的夹角是（ ）()A 30 ()B 0150- ()C 0150 ()D 30 或01503．在直角坐标系中，O 为原点，点M 在单位圆上运动，(2,1)N -满足2OP OM ON=-的点P 的轨迹方程为 （ ）()A 10x y +-= ()B 22(2)(1)4x y ++-= ()C 20x y += ()D 221x y +=4．已知O 为ABC ∆所在平面内一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则 ABC∆的形状为 ．5．已知ABC ∆中，若0120C ∠=，则222sin sin sin sin sin C B A BA--= ．6．已知四点(3,12)A -，(3,4)B -，(5,4)C -，(5,8)D ，求AC 与BD 的交点P 的坐标，并求直线AC 分BD 所得的比入及P 分AC 所得的比μ．7．若(cos ,sin ),(cos ,sin ),a b ααββ== ，且|||ka b a kb +=-（0k >），（1）用k 表示数量积a b ⋅ ；（2）求a b ⋅ 的最小值，并求出此时a 与b的夹角．8．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边,,a b c ，cos b a C =，且ABC ∆的最大边长为12，最小角的正弦为12，（1）判断ABC ∆的形状；（2）求ABC ∆的面积．9．已知(3,4)OP =- ，OP 绕原点O 分别旋转090,120 到OQ 、OR 的位置，求点,Q R 的坐标．10．某人在静水中游泳，速度为/h，（1）如果他径直游向河对岸，水流速度为4/km h，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？。

平面向量综合问题参考答案与试题解析一．试题（共38小题）1．如图，在ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+，则实数m的值为( )A ．911B ．511C ．211D ．311【分析】由已知中ABC ∆中，13AN NC =，P 是BN 上的一点，设BP BN λ=后，我们易将AP表示为(1)4AB AC λλ-+的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于λ，m 的方程组，解方程组后即可得到m 的值 【解答】解：P 是BN 上的一点，设BP BN λ=，由13AN NC =，则AP AB BP =+AB BN λ=+()AB AN AB λ=+-(1)AB AN λλ=-+(1)4AB AC λλ=-+211mAB AC =+1m λ∴=-，2411λ=解得811λ=，311m =故选：D ．【点评】本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，其中根据面向量的基本定理构造关于λ，m 的方程组，是解答本题的关键．2．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记AB 、BC 分别为a 、b ，则(AH = )A ．2455a b -B ．2455a b +C ．2455a b -+D ．2455a b --【分析】欲求出向量则AH ，关键是求出向量则AH 与向量AF 的线性．关系过点F 作BC 的平行线交DE 于G ，则G 是DE 的中点，利用相似三角形有知识即可得出它们的线性关系，从而解决问题． 【解答】解：过点F 作BC 的平行线交DE 于G ， 则G 是DE 的中点，且1124GF EC BC ==14GF AD ∴=，则AHD GHF ∆∆∽ 从而14FH AH =，∴45AH AF =又12AF AD DF b a =+=+ ∴4124()5255AH b a a b =+=+ 故选：B ．【点评】本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义、平行四边形的几何性质，属于基础题．3．如图所示，在凸四边形ABCD 中，对边BC ，AD 的延长线交于点E ，对边AB ，DC 的延长线交于点F ，若BC CE λ=，ED DA μ=，3(,0)AB BF λμ=>，则( )A ．3144EB EF EA =+B ．14λμ=C ．11λμ+的最大值为1 D ．49EC AD EB EA⋅-⋅ 【解答】解：对于A ，因为3AB BF =，所以3()EB EA EF EB -=-，整理得3144EB EF EA =+，故A 正确；对于B ，过点B 作//BG FD ，交AE 于点G ，则AF AD BF DG =，BC DG CE DE =，所以1AF BC ED AD DG ED BF CE DA DG DE DA⋅⋅=⋅⋅=，因为BC CE λ=，ED DA μ=，3AB BF =，所以4AF BF =，BCCEλ=，ED DA μ=， 所以41λμ=，所以14λμ=，故B 正确； 对于C ，由B 知，114()84λμλμλμ+=+=，当且仅当12λμ==时等号成立， 所以11λμ+的最小值为4，故C 错误；对于D ，因为BC CE λ=，ED DA μ=，所以(1)EB EC λ=+，(1)(1)EA DA AD μμ=+=-+， 所以111455(1)(1)9(1)(1)244EC AD EC AD EB EA EC AD λμλμλμλμ⋅⋅-===-=--++⋅-++⋅+++，当且仅当12λμ==时取等号，故D 正确． 故选：ABD ．【点评】本题主要考查平面向量的线性运算，基本不等式的应用，考查转化思想与数形结合思想的应用，属于中档题．4．已知向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则( )A ．0a e ⋅=B ．()0a a e ⋅-=C ．()0e a e ⋅-=D ．()()0a e a e +⋅-=【分析】由平面向量数量积运算可得22210t te a e a -⋅+⋅-=，对任意t R ∈恒成立，则2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，然后求解即可．【解答】解：由向量a e ≠，||1e =，满足对任意t R ∈，恒有||||a te a e --，则2222222a te a t e a e a e -⋅+=-⋅+，即22210t te a e a -⋅+⋅-=，由题意有2(2)4(21)0e a e a ⋅-⋅-，即2(1)0e a ⋅-，即1e a ⋅=，则()0e a e ⋅-=， 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了不等式恒成立问题，属基础题．5．已知e 为单位向量，向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，则||a e +的最大值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】设(1,0)e =，(,)a x y =，根据向量a 满足()(5)0a e a e -⋅-=，可得x ，y 的关系式，并得出x ，y 的取值范围，||(1)a e x +=+ 【解答】解：设(1,0)e =，(,)a x y =，则()(5)(1a e a e x -⋅-=-，)(5y x ⋅-，22)650y x x y =-++=，即22(3)4x y -+=，则15x ，22y -，所以||(1)a e x +=+=，当5x =6，即||a e +的最大值为6， 故选：C ．【点评】本题考查了向量数量积的应用，将所求问题坐标化转化为函数的最值问题是解题关键．6．已知ABC ∆中，对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆是 以C 为直角的直角 三角形．【分析】两边平方后整理成关于t 的一元二次不等式恒成立，再利用判别式小于等于0，以及正弦定理可得．【解答】解：对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，即22()|BA tBC AC-，即22222cos 0a t act B c b -+-，则△2222(2cos )4()0ac B a c b =--，化简得222cos 1b B c -，即222sin b B c ，即sin b B c，设ABC ∆外接圆的半径为R ，则由正弦定理可得2b bR c，得2c R ，得sin 1C ，又sin 1C ，sin 1C ∴=，2C π∴=．故答案为：以C 为直角的直角．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题． 7．已知ABC ∆，若对任意t R ∈，||||BA tBC AC -，则ABC ∆一定为( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．答案不确定【解答】解：令AM BA tBC =-，则根据向量的减法的几何意义可得M 在BC 上， 由||||BA tBC AC -对一切实数t 都成立可得：||||AM AC ，AC BC ∴⊥，则ABC ∆为直角三角形．故选：C ．【点评】本题是一道构造非常巧妙的试题，解题的关键是由||||BA tBC AC -对一切实数t都成立可得到AC 为A 到BC 的距离．8．如图，在平行四边形ABCD 中，AP BD ⊥，垂足为P ，且3AP =，则AP AC = 18 ．【分析】设AC 与BD 交于O ，则2AC AO =，在RtAPO 中，由三角函数可得AO 与AP 的关系，代入向量的数量积||||cos AP AC AP AC PAO =∠可求 【解答】解：设AC 与BD 交于点O ，则2AC AO =AP BD ⊥，3AP =，在Rt APO ∆中，cos 3AO OAP AP ∠==||cos 2||cos 2||6AC OAP AO OAP AP ∴∠=⨯∠==，由向量的数量积的定义可知，||||cos 3618AP AC AP AC PAO =∠=⨯= 故答案为：18【点评】本题主要考查了向量的数量积 的定义的应用，解题的关键在于发现规律：cos 2cos 2AC OAP AO OAP AP ⨯∠=⨯∠=．9．在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1AM =，点P 在AM 上且满足向量2AP PM =，则向量()PA PB PC +等于( )A ．49-B ．43-C ．43D ．49【分析】由题意M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线，又由点P 在AM 上且满足2AP PM =可得：P 是三角形ABC 的重心，根据重心的性质，即可求解．【解答】解：M 是BC 的中点，知AM 是BC 边上的中线， 又由点P 在AM 上且满足2AP PM =P ∴是三角形ABC 的重心∴()PA PB PC +2||PA AP PA ==-又1AM =∴2||3PA =∴4()9PA PB PC +=-故选：A ． 【点评】本题考查向量的数量积的应用，解题的关键是判断P 点是三角形的重心，考查计算能力．10．在ABC ∆中，2AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且,BN NC O =为ABC ∆的外心，则(AN AO ⋅= ) A ．3B ．134C ．92D ．94【分析】利用平面向量的线性运算法则以及外心的性质、数量积的定义求解． 【解答】解：因为O 为ABC ∆的外心，故2122AO AB AB ⋅==，21922AO AC AC ⋅==， 又BN NC =，故N 为BC 的中点，故1()2AN AB AC =+，所以11()()22AN AO AB AC AO AO AB AO AC ⋅=+⋅=⋅+⋅1913(2)224=+=．故选：B ．【点评】本题考查平面向量数量积的定义以及平面向量线性运算的几何意义，属于中档题．11．设a 、b 、c 是单位向量，0a b =，则()()a c b c --的最小值为 1 【分析】利用向量的运算法则展开()()a c b c --，再利用余弦值的有界性求范围． 【解答】解：设c 与a b +的夹角等于θ，()()(a c b c a b c --=-2)a b c ++20||||cos 10||1()1c a b a b a b θ=-++-++=-++2222211a b a b a b =+++=-++1=．故答案为：1【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，考查向量的运算法则：交换律、分配律，但注意不满足结合律，属于中档题．12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()()PB AB PB PC -+的最小值是( ) A ．1-B ．32-C ．2-D ．43-【分析】建立坐标系，设(,)P x y ，得出()()PB AB PB PC -+关于x ，y 的表达式，配方即可得出结论．【解答】解：以BC 为x 轴，以BC 边上的高为y 轴建立坐标系，则(0,3)A ，设(,)P x y ，则2(2,2)PB PC PO x y +==--，()(,3)PB AB PA x y -==--， 222233()()222322()22PB AB PB PC x y y x y ∴-+=+-=+--， ∴当0x =，32y =时，()()PB AB PB PC -+取得最小值32-， 故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．13．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，则AE BE 的最小值为( )A ．2116B ．32C ．2516D ．3【分析】如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，求出A ，B ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【解答】解：如图所示，以D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴， 以DC 所在的直线为y 轴，过点B 做BN x ⊥轴，过点B 做BM y ⊥轴，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==， 1cos602AN AB ∴=︒=，3sin 60BN AB =︒，13122DN ∴=+=，32BM ∴=，3tan302CM MB ∴=︒=， 3DC DM MC ∴=+=，(1,0)A ∴，3(2B ，3)2，(0,3)C ，设(0,)E m ，∴(1,)AE m =-，3(2BE =-，3)2m -，03m，∴22233333321()()224216416AE BE m m m m =+-=-+-=-+， 当34m =时，取得最小值为2116． 故选：A ．【点评】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题． 14．在ABC ∆中，D 是BC 的中点，H 是AD 的中点，过点H 作一直线MN 分别与边AB ，AC 交于M ，N ，若,AM xAB AN y AC ==，则4x y +的最小值是( )A ．52B ．73C ．94D ．14【分析】根据题意，利用MH 与NH 共线，求出x 与y 的表达式，再利用基本不等式求出4x y +的最小值即可．【解答】解：在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，H 为AD 的中点， ,AM xAB AN y AC ==，∴1()4AH AM MH xAB MH AB AC =+=+=+，∴11()44MH x AB AC =-+，同理，11()44NH AB y AC =+-， MH 与NH 共线，∴存在实数λ，使(0)MH NH λλ=<，即1111()()4444x AB AC AB y AC λλ-+=+-，即114411()44x y λλ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得14x λ-=，114y λ-=， 1115159442(444444x y λλλλ--∴+=+⨯=--+-=， 当且仅当14λλ-=-，即2λ=-时，“=”成立，4x y ∴+的最小值是94． 故选：C ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算，以及基本不等式的应用，属于中档题． 15．直角三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，(0,0)m n >>，则下列结论错误的是( ) A ．12m n+为常数 B ．m n +的最小值为169C ．2m n +的最小值为3D ．m 、n 的值可以为：12m =，2n = 【分析】作出图形，由2BP PC =可得出1233AP AB AC =+，根据三点共线的结论得出123m n+=，结合基本不等式可判断出各选项的正误，即可得出结论． 【解答】解：如下图所示：由2BP PC =，可得2()AP AB AC AP -=-，∴1233AP AB AC =+， 若,,(0,0)AM mAB AN nAC m n ==>>，则11,AB AM AC AN m n==， ∴1233AP AM AN m n=+，M 、P 、N 三点共线，∴12133m n+=，∴123m n +=，故A 正确；所以1,22m n ==时，也满足123m n +=，则D 选项正确；122252252(2)()2333333333n m n m n m n m n mn m +=++=++⋅=， 当且仅当m n =时，等号成立，C 选项成立； 1222()()1211333333n m n m n m n m n m n m +=++=++⋅，当且仅当2n m =时，即1222,33m n ++==时等号成立，故B 选项错误． 故选：B ．17．已知点O 、N 、P 在ABC ∆所在平面内，且||||||OA OB OC ==，0NA NB NC ++=，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，则点O 、N 、P 依次为ABC ∆的( )A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心【分析】根据O 到三角形三个顶点的距离相等，得到O 是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，移项相减，得到垂直，即得到P 是三角形的垂心． 【解答】证明：||||||OA OB OC ==，O ∴到三角形三个顶点的距离相等， O ∴是三角形的外心，根据所给的四个选项，第一个判断为外心的只有C ，D 两个选项，∴只要判断第三个条件可以得到三角形的什么心就可以，PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅，∴()0PB PA PC -=，∴0PB CA ⋅=，∴PB CA ⊥，同理得到另外两个向量都与相对应的边垂直，得到P 是三角形的垂心， 故选：C ．【点评】本题是一个考查的向量的知识点比较全面的题目，把几种三角形的心总结的比较全面，解题时注意向量的有关定律的应用，不要在运算律上出错． 18．已知非零向量,AB AC 和BC 满足())0||||AB AC BC AB AC +⋅=，且1||||2AC BC AC BC ⋅=，则ABC ∆为( ) A ．等边三角形 B ．等腰非直角三角形C ．非等腰三角形D ．等腰直角三角形【解答】解：根据向量的性质可得||||1||||AB ACAB AC == ∴||||AB ACAB AC +在BAC ∠的角平分线上（设角平分线为)AD (())0||||AB ACBC AB AC +⋅= AD BC ∴⊥从而有AB AC =又因为12||||AC BC AC BC ⋅=且||||1||||AC BCAC BC ==所以60C ∠=︒三角形为等边三角形 故选：A ．【点评】本题主要考查了平面向量的加法的四边形法则，向量的数量积的运算，考查了等边三角形的性质，属于综合试题．19．已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足()2||cos ||cos OB OC AB ACOP AB B AC Cλ+=++，[0λ∈，)+∞，则动点P 的轨迹一定通过ABC ∆的( ) A ．内心B ．垂心C ．重心D ．外心【解答】解：设BC 的中点为D ， ()2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ+=++，∴()||cos ||cos AB ACOP OD AB B AC C λ=++， 即()||cos ||cos AB ACDP AB B AC Cλ=+，两端同时点乘BC ，||||cos()||||cos ()()(||||)0||cos ||cos ||cos ||cos AB BC AC BC AB BC B AC BC CDP BC BC BC AB B AC C AB B AC Cπλλλ⋅⋅⋅-⋅⋅=+=+=-+=DP BC ∴⊥，∴点P 在BC 的垂直平分线上，即P 经过ABC ∆的外心故选：D ．【点评】本题主要考查了空间向量的加减法，以及三角形的外心的知识，属于基础题． 20．设点O 在ABC ∆的内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为( ) A ．2B ．32C ．3D ．53【解答】解：分别取AC 、BC 的中点D 、E ，230OA OB OC++=，∴2()OA OC OB OC+=-+，即2 4OD=-OE，O∴是DE的一个三等分点，∴3ABCAOCSS∆∆=，故选：C．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．21．已知点O在ABC∆内，且::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，AO AB ACλμ=+，则(λμ+= A．1B．29C．59D．23【分析】先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=成立，得到4320OC OA OB++=，利用向量的线性运算得到429AC AB AO+=，求出λ，μ，由此能求出结果．【解答】解：先证明0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，延长AO交BC于Q，由题意得AOB BOC AOC ABCS S S S∆∆∆∆++=，由面积关系得：BOCABCS OQS AQ∆∆=，∴APB CPAABCS SAQ AQS∆∆∆+=⋅，||||||||AOC AOBAOC AOB AOC AOBS SQC QBAQ AB AC AB ACS S S SBC BC∆∆∆∆∆∆=⋅+⋅=⋅+⋅++，∴0AOC AOB BOCS OB S OC S AO∆∆∆⋅+⋅-⋅=，∴0AOB BOC AOCS OC S OA S OB∆∆∆⋅+⋅+⋅=，由题意知::4:3:2AOB BOC AOCS S S∆∆∆=，4320OC OA OB∴++=，∴429AC AB AO+=，∴24,99λμ==，23λμ∴+=．故选：D．22．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”()Mercedesbenz的log o很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是ABC∆内的一点，BOC ∆，AOC ∆，AOB ∆的面积分别为A S ，B S ，C S ，则0A B C S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=．若O 是锐角ABC ∆内的一点，A ，B ，C 是ABC ∆的三个内角，且点O 满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅．则( )A ．O 为ABC ∆的外心B ．BOC A π∠+=C ．||:||:||cos :cos :cos OA OB OC A B C =D ．::tan :tan :tan A B C S S S A B C =【分析】选项A ，将OA OB OB OC ⋅=⋅移项，并结合平面向量的减法和数量积的运算法则，可得OB CA ⊥，同理推出OA CB ⊥，OC AB ⊥，得解； 选项B ，根据选项A 中所得，可知2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，再由三角形的内角和定理，得解；选项C ，延长CO 交AB 于点P ，结合诱导公式与余弦函数的定义，可证cos :cos :A B OA OB =，进而得解；选项D ，由三角形的面积公式与诱导公式，可得:tan :tan A B S S A B =，进而得解． 【解答】解：对于选项A ，()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅-=⇔⋅=⇔⊥，同理可得，OA CB ⊥，OC AB ⊥，故O 为ABC ∆的垂心，即A 错误； 对于选项B ，因为OB AC ⊥，OC AB ⊥，所以2OBC C π∠+=，2OCB B π∠+=，所以OBC C OCB B π∠++∠+=，又OBC OCB BOC π∠+∠+∠=，所以BOC C B ∠=+， 又A B C π++=，所以BOC A π∠+=，即B 正确； 对于选项C ，由上可知，A BOC π=-∠，B AOC π=-∠， 延长CO交AB 于点P ，cos :cos cos():cos()cos :cos ::OP OPA B BOC AOC BOP AOP OA OB OB OAππ=-∠-∠=∠∠==， 同理可得，cos :cos :A C OA OC =，所以cos :cos :cos ::A B C OA OB OC =，即C 正确；对于选项D ，11:():():tan :tan tan :tan tan():tan()tan :tan 22A B S S OC BP OC AP BP AP OP POB OP AOP BOC AOC A B A Bππ=⋅⋅⋅⋅==∠∠=∠∠=--=，同理可得，:tan :tan A C S S A C =，所以::tan :tan :tan A B C S S S A B C =，即D 正确．故选：BCD ．【点评】本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的数量积，诱导公式，平面几何基础知识是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．23．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为( )A ．3B ．22C 5D ．2【分析】方法一：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为25(1θ+，252)θ+，根据AP AB AD λμ=+，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．方法二：根据向量分解的等系数和线直接可得．【解答】解：如图：以A 为原点，以AB ，AD 所在的直线为x ，y 轴建立如图所示的坐标系，则(0,0)A ，(1,0)B ，(0,2)D ，(1,2)C ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上， 设圆的半径为r ，2BC =，1CD =，22215BD ∴=+∴1122BC CD BD r ⋅=⋅， 5r ∴=，∴圆的方程为224(1)(2)5x y -+-=，设点P 的坐标为25(1θ+252)θ+，AP AB AD λμ=+，25(1θ∴+252)(1θλ+=，0)(0μ+，2)(λ=，2)μ， ∴251θλ+=2522θμ+=，255cos sin 2sin()255λμθθθϕ∴+=++=++，其中tan 2ϕ=， 1sin()1θϕ-+，13λμ∴+，故λμ+的最大值为3，方法二：根据向量分解的等系数和线，可得λμ+的最大值为3，如图所述 故选：A ．【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P 的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．24．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A 、(1,3)B -，若点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为( )A ．32110x y +-=B ．22(1)(2)5x y -+-=C ．20x y -=D ．250x y +-=【分析】由点C 满足OC OA OB αβ=+，其中α、R β∈，且1αβ+=，知点C 在直线AB 上，故求出直线AB 的方程即求出点C 的轨迹方程．【解答】解：C 点满足OC OA OB αβ=+且1αβ+=，A ∴、B 、C 三点共线． C ∴点的轨迹是直线AB 又(3,1)A 、(1,3)B -，∴直线AB 的方程为：133113y x --=---整理得250x y +-= 故C 点的轨迹方程为250x y +-= 故选：D ．【点评】考查平面向量中三点共线的充要条件及知两点求直线的方程，是向量与解析几何综合运用的一道比较基本的题，难度较小，知识性较强．25．若动直线:440l mx y m -+-=与圆22:(4)(5)9C x y -+-=相交于A ，B 两点，则()A ．||AB 的最小值为42B ．CA CB ⋅的最大值为7-C ．(OA OB O ⋅为坐标原点）的最大值为78D ．AC AB ⋅的最大值为18【解答】解：440mx y m -+-=，(4)(4)0m x y ∴---=，故动直线l 恒过点(4,4)D ； 圆22:(4)(5)9C x y -+-=的圆心为(4,5)C ，半径为3，则22||(44)(45)1CD =-+-=， 故||AB 的最小值为2223142⨯-=；故选项A 正确；对于选项B ，||||cos 9cos CA CB CA CB ACB ACB ⋅=⋅∠=∠，易知当CD AB ⊥时，ACB ∠最小，此时22233(42)7cos 2339maxACB +-∠==-⨯⨯；故7()9()79max CA CB ⋅=⨯-=-；故选项B 正确；对于选项C ，设AB 的中点为M ，()()OA OB OM MA OM MA ⋅=+⋅-22229OM MA OM CM =-=+-，而点M 在以DC 为直径的圆2291(4)()24x y -+-=上，设1(4cos 2M θ+，91sin )([022θθ+∈，2]π，且)2πθ≠，故2222221911119(4cos )(sin )(cos )(sin )9222222OA OB OM CM θθθθ⋅=+-=+++++--284cos 4sin 2842sin()28424πθθθ=++=+++，故错误；对于选项D ，21||||cos ||2AC AB AC AB CAB AB ⋅=⋅∠=， 故当||AB 取最大值，即AB 过圆心C 时，但动直线l 的斜率一定存在， 故动直线l 不包括垂直于x 轴的直线，故AC AB ⋅的最大值不存在，即错误； 故选：AB ．【点评】本题综合考查了直线与圆的位置关系的应用及平面向量的综合应用，属于难题．。

平面向量与复数
高考分析及预测
从内容上看：向量的基本概念（共线、垂直）及其运算（加法、减法、数乘和数量积）是高考的必考内容；从题型上看，平面向量的考题比较灵活，多以向量的运算为主，平面几何图形作为载体，考查向量加减法的几何意义，考查学生分析问题、解决问题的能力和运算能力，填空题、解答题都有可能出现，可能是容易题，也可能是中档题。

复数题在高考中主要以小题形式呈现，难度不大，主要考查复数的运算。

高考能级要求：
知识梳理：
重点及易错点回顾：
典例精研：
目标达成反馈：
课堂小结：
学教反思：。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

2014高三数学：平面向量的综合应用典型例题1．利用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直问题 例1、若非零向量b a ,满足||||b a =.0)2(=⋅+b b a ,则b a ,的夹角为（）A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o1、非零向量a .b .c 满足||||||c b a ==,c b a =+,则向量a .b 夹角为（）A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°2 ．已知向量(1,cos ),(1,2cos )θθ=-=a b 且⊥ab ,则cos 2θ等于（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．223已知平面向量a ()2m =-,,b ()13=,,且()-⊥a b b ,则实数m 的值为（ ）A ．23-B ．23C ．43D ．634．设非零向量a,b 的夹角为θ,记θθsin cos ),(b a b a f -=.若21,e e 均为单位向量,且2321=⋅e e ,则向量),(21e e f 与),(12e e f -的夹角为____rad.5．已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.6 ．已知O 是ABC ∆的外心,10,6==AC AB ,若AC y AB x AO ⋅+⋅=且5102=+y x ,则=∠BAC cos _____________.7、在ABC ∆中,若22()||5CA CB AB AB +⋅=,则tan tan AB= ________. 【答案】73 8、已知O 为△ABC 的外心,210||,16||==AC AB , 若AC y AB x AO +=,且32x+25y=25,则||OA →==_____.【答案】109、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________2．利用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题例2、已知非零向量a ,b 满足|a |=|a +b |=1,a 与b 夹角为120°,则向量b 的模为________.1、在平面直角坐标系中,O 是坐标原点,()2,0A,()0,1B ,则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的平面区域的面积是________.【答案】42、已知ABC ∆是边长为4的正三角形,D 、P 是ABC ∆内部两点,且满足11(),48AD AB AC AP AD BC =+=+,则APD ∆的面积为__________.【答案】343、若向量→a 、→b 满足|→a |=1,|→b |=2,且→a 与→b 的夹角为π3,则|→a +2→b |=_______ 【答案】 214、已知向量a =(2,1),a ·b =10,|a +b |52=,则|b |=__________【答案】55、已知在等边三角形ABC 中,点P 为线段AB 上一点,且(01)AP AB =≤≤λλ.(1)若等边三角形边长为6,且13=λ,求CP ;(2)若CP AB PA PB ⋅≥⋅,求实数λ的取值范围. 3．利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 例3、已知点O 是，，内的一点，090BOC 150AOB =∠=∠∆ABC ,,,OA c OC b OB a ===设且,3,1,2===c b a 试用.,c b a 表示和1、如图，，的夹角为与，的夹角为与5OC ,30OA OC 120OB ,100===OA OB OA 用OB OA ，表示.OC 2、如图,在△OAB 中,已知P 为线段AB 上的一点,.OP x OA y OB =⋅+⋅(1)若BP PA =,求x ,y 的值;(2)若3BP PA =,||4OA =,||2OB =,且OA 与OB 的夹角为60°时,求OP AB ⋅ 的值.4．利用向量的数量积问题例题4、是圆C:22(1)(3)1x y -+-=上的一个动点,A(3,1),则OP OA 的最小值为______【答案】2(3-1) 1、直角三角形ABC 中,90,2ACB AC BC ︒∠===, P 是斜边AB 上的一个三等分点,则CP CB CP CA ⋅+⋅=__.【答案】41、在ABC ∆中,已知||||||2AB BC CA ===,则向量AB BC =（ ）A ．2B ．2-C ．23D．23-2、如图, 在等腰三角形ABC 中, 底边2=BC , DC AD =, 12AE EB =, 若12BD AC ⋅=-, 则AB CE ⋅=_____.【答案】3、在ABC ∆中,6BC=,BC 边上的高为2,则AB AC ⋅的最小值为________.【答案】5-4、在ABC ∆中,90=C 且3CA CB ==,点M 满足,2MA BM =则CB CM ⋅等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．65、若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =,45ABC ∠=,则AC BD ⋅ 的值为________【答案】36、在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅=（B ） A ．32B ．32-C ．3D ．-37、如图,在正方形ABCD 中,已知2AB =,M 为BC 的中点,若N 为正方形 内(含边界)任意一点,则AM AN ⋅的取值范围是______.）在Rt ΔAB C 中,C ∠=90.,若ΔABC 所在平面内的一点P 满足过0=++PC PB PA λ(I)当λ= 1时,222||||||PC PB PA +=_______(II) 222||||||PC PB PA +的最小值为______.【答案】(1)5;(2)1. 8、在△ABC 中,O 是中线AM 上一个动点,若AM=4,则的最小值是（B ） A ．-4 B ．-8C ．-10D ．-125．利用向量的数量积解决有关系数问题例5、如图,在△ABC 中,D,E 分别为边BC,AC 的中点. F 在边AB 上,且,则x+y的值为____【答案】521、向量b n a m b a --==若),3,2(),2,1(与b a 2+共线(其中,,0mm n R n n∈≠且）则等于_【答案】21-2、已知O 为△ABC 的外心,,120,2,20=∠==BAC aAC a AB 若AC AB AO βα+=,则βα+的最小值为____ 【答案】23、已知O 是锐角三角形△ABC 的外接圆的圆心,且,A θ∠=若cos cos 2,sin sin B CAB AC mAO C B+=则m =（ ）A ．sin θB ．cos θC ．tan θD ．不能确定4、已知ABC 和点M 满足0MA MB MC ++=.若存在实数m 使得AB AC mAM +=成立,则m = （ ）A ．2B ．3C ．4D ．55、如图,AB 是圆O 的直径,C D 、是圆O 上的点,60CBA ∠=,45ABD ∠=,CD xOA yBC =+,则x y +的值为 （ ）A ．33-B ．13-C ．23D ．36、已知向量(3,4)a =, (2,1)b =-,如果向量a xb -与b 垂直,则x 的值为（ C ）A ．233B ．323C ．25D ．25-COAB D7、已知向量AB 与AC 的夹角为0120,且|AB →|=3, |AC →|=2,若λ=+AP AB AC ,且⊥AP BC ,则实数λ的值为__________.【答案】7128、已知△ABC 中,点D 是BC 的中点,过点D 的直线分别交直线AB.AC 于E 、F 两点,若()0>=λλAE AB ,AF AC μ=()0>μ,则14λμ+的最小值是________【答案】29 9、设21,e e 为单位向量,非零向量R y x e y e x b ∈+=,,21,若21,e e 的夹角为6π,则||||b x 的最大值等于________.6.利用向量的数量积解决与直线相关问题.例题6、已知A,B,C 是函数x e y =图象上的三点,横坐标分别为1,,1+-t t t .(1)当t=1时,求实数x,y 的值,使得OC y OA x OB +=,其中O 为坐标原点;(2)①证明:对任意实数t,A,B,C 三点不在同一条直线上;②问△ABC 是锐角三角形、直角三角形、还是钝角三角形?说明理由.1、将函数y =2x 的图像按向量a →平移后得到函数y =2x +6的图像,给出以下四个命题:①a →的坐标可以是(-3.0);②a →的坐标可以是(0,6);③a →的坐标可以是(-3,0)或(0,6);④a →的坐标可以有无数种情况,其中真命题的个数是（ D ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．42、是平面上一定点,A ．B ．C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足).,0[)||||(+∞∈⋅++=λλAC ACAB AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的（ B ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心3设P 是△ABC 所在平面内的一点,2BC BA BP +=,则（B ）A ．0PA PB += B ．0PC PA += C ．0PB PC +=D ．0PA PB PC ++=4、P 是ABC ∆所在平面内一点,若PB PA CB +=λ,其中R ∈λ,则P 点一定在（B ）(A)ABC ∆内部 (B)AC 边所在直线上 (C)AB 边所在直线上 (D)BC 边所在直线上7.利用向量的数量积解决与三角函数的综合.例题7、设向量(2,sin ),(1,cos ),a b θθθ==为锐角.(1)若136a b ⋅=,求sin cos θθ+的值;(2)若//a b ,求sin(2)3πθ+的值.1、已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),(1,0)a a a b c ββ===-(Ⅰ)求向量b c +的长度的最大值;(Ⅱ)设a 4π=,且()a b c ⊥+,求cos β的值.2、已知向量a →=(cos3x 2,sin 3x 2),b →=(cos x 2,―sin x 2),且x ∈[0,π2].(1) 已知a →∥b →,求x;(2)若f(x)=a →·b →―2λ|a →+b →|+2λ的最小值等于―3,求λ的值.3、设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<是平面上的两个向量,若向量a b +与a b -互相垂直.(Ⅰ)求实数λ的值;(Ⅱ)若45a b ⋅=,且4tan 3β=,求tan α的值. 4、设平面向量)23,21(),1,3(=-=b a ,若存在实数)0(≠m m 和角θ,其中)2,2(ππθ-∈,使向量θθtan ,)3(tan 2⋅+-=-+=b a m d b a c ,且d c ⊥.(Ⅰ)求)(θf m =的关系式;(Ⅱ)若]3,6[ππθ-∈,求)(θf 的最小值,并求出此时的θ值. 8.利用向量的新型的综合.例题8、已知两个非零向量a 与b ,定义sin θ⨯=a b a b ,其中θ为a 与b 的夹角. 若()3,4-a =, ()0,2b =,则⨯a b 的值为 （ D ）A ．8- B ．6- C ．8D ．61、定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a ⊙b= mq-np,下面说法错误的是（ ）A ．若a 与b 共线,则a ⊙b =0 B ．a ⊙b =b ⊙a C ．对任意的λ∈R,有(λa)⊙b =λ(a ⊙b)D ．(a ⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|22、已知向量a=(x +z,3),b=(2,y-z),且a ⊥ b.若x ,y 满足不等式1x y +≤,则z 的取值范围为 （ D ）A ．[-2,2]B ．[-2,3]C ．[-3,2]D ．[-3,3]3、称(,)||d a b a b =-为两个向量,a b 间的距离.若a b 、满足:①||=1;b ②a b ≠; ③对任意的,t R ∈恒有(,)(,)d a tb d a b ≥,则（ B ）A ．()()a b a b +⊥-B ．()b a b ⊥-C ．a b ⊥D ．()a a b ⊥-4、以下命题:①若||||||a b a b ⋅=⋅,则a ∥b ;②a =(-1,1)在b =(3,4)方向上的投影为15;③若△ABC 中,a=5,b =8,c =7,则BC ·CA =20;④若非零向量a 、b 满足||||a b b +=,则|2||2|b a b >+.其中所有真命题的标号是______________【答案】①②④5、已知)2,3(),2,(x AC x x AB -==,若∠BAC 是钝角,则x 的取值范围是___________【答案】解析:不共线与且AC AB AC AB 0<⋅可得⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-∈,340,3131,x 6、定义*a b 是向量a 和b 的“向量积”,它的长度*sin a b a b α=,其中α为向量a 和b 的夹角,若()2,0u =,(1,3u v -=-,则*()u u v +=_____________.【答案】23【平面向量的综合应用】一、选择题1.设A 、B 、C 、D 四点坐标依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，则四边形ABCD 为( ) A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四边形2.已知△ABC 中，AB =a ，AC =b ，a ·b <0，S △ABC =415,|a |=3,|b |=5,则a 与b 的夹角是( ) A.30°B.－150°C.150°D.30°或150°二、填空题3.将二次函数y =x 2的图象按向量a 平移后得到的图象与一次函数y =2x －5的图象只有一个公共点(3，1)，则向量a =_________.4.等腰△ABC 和等腰Rt △ABD 有公共的底边AB ，它们所在的平面成60°角，若AB =16 cm,AC =17 cm,则CD =_________.三、解答题5.如图，在△ABC 中，设AB =a ，AC =b ，AP =c , AD =λa ,(0<λ<1),AE =μb (0<μ<1),试用向量a ，b 表示c .6.正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ,侧棱长为2a . (1)建立适当的坐标系，并写出A 、B 、A 1、C 1的坐标； (2)求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.7.已知两点M (－1，0)，N (1，0)，且点P 使NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列. (1)点P 的轨迹是什么曲线？(2)若点P 坐标为(x 0,y 0),Q 为PM 与PN 的夹角，求tan θ.8.已知E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点. (1)用向量法证明E 、F 、G 、H 四点共面； (2)用向量法证明：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有)(41OD OC OB OA OM +++=.参考答案一、1.解析：AB =(1，2），DC =(1，2），∴AB =DC ，∴AB ∥DC ，又线段AB 与线段DC 无公共点，∴AB ∥DC 且|AB |=|DC |，∴ABCD 是平行四边形，又|AB |=5，AC =(5，3），|AC |=34，∴|AB |≠|AC },∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又BC =(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴AB 不垂直于BC ，∴ABCD 也不是矩形，故选D. 答案：D2.解析：∵21415=·3·5sin α得sin α=21,则α=30°或α=150°. 又∵a ·b ＜0,∴α=150°. 答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：∵BP 与BE 共线，∴BP =m BE =m (AE －AB )=m (μb －a ), ∴AP =AB +BP =a +m (μb －a )=(1－m )a +m μb①又CP 与CD 共线，∴CP =n CD =n (AD －AC )=n (λa －b ), ∴AP =AC +CP =b +n (λa －b )=n λa +(1－n )b②由①②，得(1－m ）a +μm b =λn a +(1－n )b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎨⎧=-+=-+⎩⎨⎧-==-010111m n m n n m a m μλμλ即 ③解方程组③得：m =λμμλμλ--=--11,11n 代入①式得c =(1－m )a +m μb =πμ-11［λ(1－μ)a +μ(1－λ)b ］. 6.解：(1)以点A 为坐标原点O ，以AB 所在直线为Oy 轴，以AA 1所在直线为Oz 轴，以经过原点且与平面ABB 1A 1垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系.由已知，得A (0，0，0），B (0，a ,0）,A 1(0,0,2a ),C 1(－,2,23aa 2a ). (2)取A 1B 1的中点M ，于是有M (0，2,2a a ），连AM ，MC 1，有1MC =(－23a ,0,0）,且AB =(0，a ,0）,1AA =(0,02a )由于1MC ·AB =0，1MC ·1AA =0，所以M C 1⊥面ABB 1A 1，∴AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角.∵1AC =),2,2,0(),2,2,23(a aAM a a a =-a a a AM AC 49240221=++=⋅∴a a a AM a a a a AC 2324||,324143||22221=+==++=而 2323349,cos 21=⨯>=<∴aa aAM AC所以AM AC 与1所成的角，即AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°.7.解：(1)设P (x ,y ）,由M (－1，0），N (1，0）得，PM =－MP =(－1－x ,－y ）,NP PN -= =(1－x ,－y ),MN =－NM =(2,0),∴MP ·MN =2(1+x ), PM ·PN =x 2+y 2－1,NP NM ⋅ =2(1－x ).于是，NP NM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,是公差小于零的等差数列，等价于⎩⎨⎧>=+⎪⎩⎪⎨⎧<+---++=-+03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211222x y x x x x x y x 即 所以，点P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆. (2)点P 的坐标为(x 0,y 0),30,1cos 21,3041||cos 42)24)(24()1()1(||||,210220002020*******πθθθ<≤≤<∴≤<-=⋅⋅=∴-=-+=+-⋅++=⋅=-+=⋅x x PNPM PN PM x x x y x y x PN PM y x PN PM||3cos sin tan ,411cos 1sin 02022y x x =-==∴--=-=∴θθθθθ 8.证明：(1）连结BG ，则EH EF EH BF EB BD BC EB BG EB EG +=++=++=+=)(21由共面向量定理的推论知：E 、F 、G 、H 四点共面，(其中21BD =EH ）(2）因为BD AB AD AB AD AE AH EH 21)(212121=-=-=-=.所以EH ∥BD ，又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH 所以BD ∥平面EFGH .(3）连OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG 由(2）知BD EH 21=，同理BD FG 21=，所以FG EH =，EH FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分，所以).(41)](21[21)](21[212121)(21OD OC OB OA OD OC OB OA OG OE OG OE OM +++=+++==+=.。