角平分线的性质(1)

11．3．1角的平分线的性质执笔人：王金梅审核人：董介文孙秀云【学习内容】教材P19－20【学习目标】1.掌握作已知角的平分线的方法，并掌握角平分线的性质。

2.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

3.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。

4.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用。

5.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

【学习重点】利用尺规作已知角的平分线，角的平分线的性质的证明及运用。

【学习难点】角的平分线性质的探究；运用角平分线的性质解决相关的实际问题。

【教学准备】平分角的仪器（自制）、三角尺、圆规、多媒体课件。

【学习过程】[知识回顾]1、全等三角形的性质：若△ABC≌△DEF，则有。

2、三角形全等的判定方法有：。

3、如图，AB＝AD，BC＝DC，求证AC是∠DAB的平分线[自主探究]【活动1】问题：在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师展示课件，并展示学生作品。

[设计意图]回忆角的平分线的定义，掌握角的平分线的简易作法。

让学生体验成功。

【活动2】 ( 体会平分角的仪器道理)议一议：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器，如图，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？（教师演示，并介绍“平分角的仪器”的特点。

学生将实物图抽象出数学图形，思考后组内交流.）本次活动中，教师重点关注：(1)学生是否能从简易角平分仪器中抽象出两个三角形；(2)学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明线段AE 是∠BAD 的平分线。

（师生共同分析讨论，探究问题的解答.）分析：要说明AC 是∠DAC 的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB 。

角平分线的性质（1）课后反思一、教材分析本节课北师大版八年级下册角平分线的性质的第一课时。

角平分线是初中数中重要的概念，它有着十分重要的性质，通过本节的学习，可以让学生对全等三角形的判定和性质的应用价值有更深层次的认识。

同时为学习其它图形知识打好基础.二、学生情况八年级学生有一定的自学、探索能力，求知欲强。

能使脑、手充分动起来，学生间相互探讨，积极性基本被充分调动起来，该班自己动手探索的学习方式贯彻较好。

三、教法和法学：通过创设情境、动手实践，激发学生的学习兴趣，促进学生积极思考，寻找解决问题的途径和方法。

四、教学过程设计方面的反思首先，本节课我本着学生为主，突出重点的意图，结合课件使。

在角平分线的画法总结中，我让学生自己动手，通过对比平分角的仪器的原理进行作图，为了解决角平分线的性质这一难点，我通过具体实践操作、猜想证明、语言转换让学生感受知识的连贯性。

期次，从教学流程来说：情境创设---实践操作---交流探究---练习与小结---拓展提高，这样的教学环节，使学生在想与做中感受和体验，主动获取数学知识。

再次，了解学生的知识水平，注重了学生的反馈，是成功的前提，在第一个班上课时，教学设计中高估了学生，没有安排“点到直线的距离”的复习，在学到“角平分线的性质”时，发现学生对“点到直线的距离”及结合图形用符号语言表示点到直线的距离等知识相当陌生，于是匆匆给学生补充了相关的内容，从学生的练习看，有相当多的学生在用角平分线的性质证明时，漏写角平分线上的点到角两边的垂线段垂直两边的条件，只能通过不断强调来纠正学生的问题。

吸取在这个班的教训后，在对第二个班的教学前，我对原来的设计进行修改，在新课前补充了“问题1：什么是点到直线的距离？请画图说明。

”，在角平分线的性质的探索后补充了“应用性质的书写格式”“强化巩固：判断”的内容。

可见，不管用什么方式教学、如何设计，都要了解学生，因材施教是教育的灵魂。

四、本节课的不足本节课在授课开始，我没有把平分角的学具的建模思想充分传达给学生，只是利用它起到了一个引课的作用.在授课过程中，学生的能力有些高估，表现在引入新课前一些知识没有复习到，导致学生在用符号语言表达角的平分线性质时不是很顺利。

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

教学设计（一）创设情景，提出问题如图是小明制作的风筝，AB=AD，BC=DC．不用度量，就知道AC是∠DAB的角平分线，你知道其中的道理吗？师生活动：学生根据三角形全等的知识口述其中的道理，从而引入新课．（二）合作探究，形成知识问题1：在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法动手操作，然后回答问题．追问1：你能评价这些方法吗？在生产生活中，这些方法是否可行呢？师生活动：学生分析并回答──利用量角器比较方便，但是有误差；利用折叠的方法比较简捷，但是只限于可以折叠的材质，若在木板、钢板等材料上操作，此方法就不可行了．追问2：下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，射线AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理．小组交流完成教学过程教学环节教学活动评估要点追问3：从利用平分角的仪器画角的平分线中，你受到哪些启发？如何利用直尺和圆规作一个角的平分线？师生活动：师生分别在黑板和练习本上利用直尺和圆规作∠AOB的平分线．教师与学生共同归纳，得出利用尺规作角的平分线的具本方法．如果学生没有思路，教师可作如下提示：1．在用平分角的仪器画角的平分线时，把仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等（AB=CD），怎样在作图中体现这个过程呢？2．在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？追问4：你能说明为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据．【设计意图】让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能．最后让学生在简单推理的过程中体会作法的合理性．问题2 利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？首先思考下面的问题：1．操作测量：任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC，在OC上任取一点P，取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D、E 为垂足，测量PD、PE的长．将三次数据填入下表：此处的思考内容，重在发展学生的发散思维，肯定学生的闪光点2．观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________ 3．通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，一起猜想出角的平分线的性质．追问1：通过动手实验、观察比较，我们猜想“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？1．明确命题中的已知和求证．已知：一个点在一个角的平分线上．结论：这个点到这个角两边的距离相等．（如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角两边的距离相等）2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E．求证：PD=PE．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO= ∠PEO=90°(垂直的定义)∴在△PDO和△PEO中∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，∴PD=PE．师生活动：教师首先引导学生分析命题的条件和结论．如果学生感到困难，可以让学生将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后引导学生逐字分析结论，进而发现并找出结论中的隐含条件（垂直）．最后让学生画出图形，用符号语言写出已知和求证，并独立完成证明过程．学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现．学生互相补充，教师指导，追问2：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？师生活动：师生共同概括证明几何命题的一般步聚：1．明确命题中的已知和求证．2．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证．3．经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程．追问3：角的平分线的性质的作用是什么？师生活动：学生回答，角的平分线的性质的作用主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等．【设计意图】让学生通过实践发现、分析概括、推理证明角的平分线的性质，体会研究几何问题的基本思路．以角的平分线的性质的证明为例，让学生概括证明几何命题的一般步聚，发展他们的归纳概括能力．而反思性质，可以让学生进一步体会到证明两条线段相等时利用角的平分线的性质比先证两个三角形全等更简捷．（三）巩固提高1．下列结论一定成立的是（）A．如图1，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，D，E 分别为OA，OB 上的点，则PD =PE．B．如图2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则PD＝PE ．C．如图3，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．图1 图2 图32．如图4，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF ⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．图4师生活动：学生先独立思考，然后小组交流，派代表回答，教师适时点拨，并板演证明过程．【设计意图】通过有梯度的训练，提高学生运用角的平分线的性质解决问题的能力．板书设计性质一：角的平分线上的点到角的内部到角的两边的距离相等∵∠POA=∠POB（OP平分∠AOB）PA⊥OA、PB⊥OB∴PA=PB课后作业如图， OP 为∠AOB 内一条射线， C，D 分别为 OA ，OB 上两点，且∠PCO+∠PDO＝180°， PC＝PD．求证： OP 平分∠A0B．课后反思本课时重在理解掌握性质定理一，并将其灵活应用到具体的几何问题中去，一定要让学生明白应用的前提是“角平分线”，1是角平分线，2是涉及到垂直（或90度），两者缺一不可。

复习三角形的5个判定定理
∠CAD 和∠CAB 分别在△CAD 和△CAB 中，那么证明这两个三角形全等就可以了．
我们看看条件够不够．
AB AD BC DC AC AC =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
所以△ABC ≌△ADC （SSS ）． 所以∠CAD=∠CAB ．
即射线AC 就是∠DAB 的平分线．
通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自
己动手做做看．
作已知角的平分线的方法
为圆心，大于1
2 MN
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于1 2
吗？
．去掉“大于
2
MN
为圆心，大于
2
MN
这种作法的可行性可以通过全等三角形的哪个判定定理来证
1 2 3
3
4
3 5
6
※【变式2】在锐角△ABC中，
7
，则下列结论：①AD平分∠CDE
（
8
9。

八年级数学导学案时间：__年___月___日 课型：新授课 主编：郝文娟 审核人： 课题：11.3角的平分线的性质（1） 八年级___班____组 姓 名： 学习目标：1、会用尺规作一个已知角的平分线．。

2、掌握角平分线的性质。

学习重点：．利用尺规作已知角的平分线。

学习难点 ：角的平分线的作图方法的提炼．学法指导：1、回顾三角形全等的性质及判定。

2、应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。

3、思考、操作并与同伴合作交流，提炼角的平分线的作法。

4、折纸、观察、思考、归纳角的平分线的性质。

学习过程：一、温故知新1、什么是角的平分线？2、在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？二、探究新知：1、自主探究 如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ．将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 平分线．你能说明它的道理吗？2 、合作探究 你能依据平分角的仪器的原理，得出作已知角的平分线的方法吗？ 已知：求作：作法： 作图：议一议 （1）在课本19页作法的第二步中，去掉“大于 MN 的长”这个条件行吗？（2）第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB 的内部吗？213、探究如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？（1）按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？（2）如何用文字语言叙述所画图形的性质呢？把你得到的结论写下来。

（3）用符号语言来翻译（2）中的结论，并填下表：（4）证明该文字命题三、学以致用1、平分平角∠AOB。

通过上面的步骤得到射线OC后，把它反向延长得到直线CD。

直线CD与直线AB是什么关系？3、四、学习感悟本节课你学到了什么？五．教（学）后反思：当 堂 检 测时间：__年___月___日 课型：新授课 主编：郝文娟 审核人：课题：11.2三角形全等的判定（4）—直角三角形判定 八年级___班____组 姓名：1、判断题：（1）一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等。

导学案格式科目/教材数学年级：七课题:角平分线的性质（1）学习目标1、能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理；2、会用尺规作已知角的平分线．学习重点能用三角形全等的知识，解释角平分线的原理。

学习难点会用尺规作已知角的平分线。

学习方法：自主学习与小组合作探究教学内容提要（描述主要教学环节与教学要点）时间教学操作流程所需资源设计意图听课记录评价学生学习事项——学生用什么教学组织形式（个人、双人或小组、全班）和方法去完成学习事项（问题、任务、活动、作业），用什么方式表达呈现。

教师导控事项——需要教师做什么以支持学生学习(讲授、提问、举例、演示、布置、板书……)；——怎样检测学生学习效果并反馈。

环节（任务）一新课导入环节（任务）一新课导入根据问题回答（在学习案上完成）环节（任务）二知识点探究1、（两人合作完成）应怎样平分一个角呢？2、讨论结论是否仍然成立呢？3、师友制作一个如图2所示的平分角的仪器 , 说明它的道理探究（二）师友合作完成：1.如何作出一个角的平分线呢？跟老师动手画2.议一议(根据自已所画说一说)（环节（任务）一温故知新1．（Ⅰ．想一想，填一填：(学习案内容)环节（任务）二知识点探究探究（一）1、依据上题我们应怎样平分一个角呢？2、完成学习案中思考:讨论结论是否仍然成立呢？3、我们可以制作一个如图2所示的平分角的仪器：其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？探究（二）1.思考：如何作出一个角的平分线呢？师示范并讲解,要求学生跟动2.议一议： (1)、在上面作法的第二步中，去掉“大于12MN的长”这个条件行吗？环节（任务）二知识点探究环节（任务）三讨论交流环节（四、反思总结：环节五：作业探究（三）按学习案探究三内容完成并体验知识点的形成过程。

完成学习案检测练习一2、展示学习情况3、口述三角形三边的关系环节（任务）三讨论交流1.在研读的过程中，你认为有哪些不懂的问题？2.学习案双基检测环节（四、反思总结：1、叙述本节课知识点（多人复述）2、多人复述3、完成学习案达标检测环节五：作业强化训练(2)、第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？探究（三）学生完成学案内容.观察测量结果，猜想线段OD与OE的大小关系，写出结论：下面用我们学过的知识证明发现：已知：如图4，AO平分∠BAC，OE⊥AB，OD⊥AC。

12.3角的平分线的性质（1）一、教学目标：知识与技能：1.能够利用三角形全等，证明角平分线的性质．2.会用尺规作已知角的平分线．3.能利用角平分线性质进行简单的推理，解决一些实际问题．过程与方法：经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．情感态度价值观：在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

二、教学重点：角平分线画法、性质三、教学难点：角的平分线的性质的探究四、教学准备：角平分仪、三角尺、圆规、卡纸五、课时安排：1课时六、教学过程：（一）创设情境，导入新课1.在纸上任意画一个角，用剪刀剪下，用折纸的方法，如何确定角的平分线？2. 有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？（二）探索新知，建立模型探究1.(1)从上面对平分角的仪器的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。

已知什么？求作什么？已知：∠AOB求作：∠AOB的平分线(2)把简易平分角的仪器放在角的两边.且平分角的仪器两边相等,从几何角度怎么画?以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.(3) 简易平分角的仪器BC=DC,从几何角度如何画分别以点M，N为圆心，大于二分之一MN长为半径画弧，两弧在角的内部交于点C.(4)OC与简易平分角的仪器中，AE是同一条射线吗?是(5)你能说明OC是∠AOB的平分线吗?提示：利用全等的性质探究2.如图，将∠AOB的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？BD可以看出，第一条折痕为∠AOB 的平分线OC ，第二次折叠形成的两条折痕是教的平分线上的一点到∠AOB 两边的距离，这两个距离相等。

由此得到一个角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。