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角平分线的性质1详解

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数学沪科版八年级(上册)15.4.1角平分线的尺规作图与性质

数学沪科版八年级(上册)15.4.1角平分线的尺规作图与性质

求证：PD=PE.
证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
O
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).
∴PD=PE.
A
D C
P
E
B
新知探究
性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等. A
点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过
程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个
过程呢？
O
B (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
新知探究
Байду номын сангаас尺规作图
作法：
1.以_点__O_为圆心，__任__意__长为半径画圆
弧，与角的两边分别交于M、N两点；
2.分别以点 _M_、__N_ 为圆心， _大__于__1_2_M__N_的长为半径画弧，
A
其依据是SSS，两全等三角形的 对应角相等.
D
B
(E) C
新知探究
尺规作角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该
仪器的功能吗？
做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明
作图方法与仪器的关系.
A
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶
A
M C
B
N
O
课堂小测 3.请在图中作出线段AD,使其平分∠BAC且长度等于m．
B
m
A
C
课堂小测
解：
A
N D

1.4.1角平分线的性质

1.4.1角平分线的性质
D P O
B
E A C
从这节课中你有哪些收获？
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用数学语言表示为：
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴பைடு நூலகம்Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
的内部交于Ｃ．
２．分别以Ｍ，Ｎ为
Ｂ
Ｏ
Ｎ 则射线ＯＣ即为所求． ３．作射线OC．
探究
如图1-26，在∠AOB的平分线OC上任取一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分别为点D， E， 试问PD与PE相等吗？
图1-26
将∠AOB 沿OC 对折，我发现PD 与PE 重合， 即PD与PE相等.
你能证明吗？
图1-26
我们来证明这个结论. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO.
图1-26
∴ PD = PE.
由此得到角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
图1-28
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明： 在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC.
又 BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上.
图1-28
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
证明： 在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.

1.4.1角平分线的性质

1.4.1角平分线的性质

结
束
பைடு நூலகம்
动脑筋
角的内部到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上吗？ 如图，点P 在∠AOB 的内部， 作 PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D， E. 若PD= PE， 那么点P 在∠AOB的平分线上吗？
如图，过点O，P作射线OC. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO. ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在 ∠AOB的平分线OC上.
我们来证明这个结论. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90°. 在△PDO和△PEO中， ∵ ∠PDO =∠PEO， ∠DOP =∠EOP， OP = OP， ∴ △PDO≌△PEO. ∴ PD = PE.
结论
由此得到角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边 的距离相等.
1.4
角平分线的性质
角平分线是以一个角的顶
点为端点的一条射线，它把这 个角分成两个相等的角.
探究
如下图，在∠AOB的平分线OC上任取 一点P， 作PD⊥OA ， PE⊥OB ， 垂足分 别为点D， E，试问PD与PE相等吗？
将∠AOB 沿OC 对折， 我发现PD与PE 重合， 即PD与PE相等. 你能证明吗？
(2) 求证：BD是∠ABC的平分线. 证明：在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线.
练习
1.如图，在直线MN上求作一点P ，使 点P到∠AOB两边的距离相等. 解 作∠AOB的角平分线，交MN于一点， 则这点即为所求作的点P. （提示：用尺规作图）

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质

三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。

（1）一个角有且只有一条角平分线。

（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。

二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。

（1）一个三角形有且只有三条中线。

（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。

（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。

三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。

（1）三角形的心是三角形内部的一个点。

（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。

（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。

四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。

（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。

2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。

（2）利用中线求解三角形的边长。

三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。

掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。

习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。

答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。

又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。

2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。

答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。

根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。

又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。

3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。

三角形的角平分线性质

三角形的角平分线性质

三角形的角平分线性质三角形是几何学中重要的图形之一，它由三条边和三个内角组成。

其中，角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。

角平分线在三角形中具有一些特殊的性质和应用。

本文将探讨三角形的角平分线性质，帮助读者更好地理解和运用。

1. 角平分线的定义角平分线是源于一个角的顶点，将该角分成两个相等的角的线段。

在三角形中，每个内角都有一条平分线，且这些平分线相互交于一个点，称为三角形的内心。

三角形的内心是角平分线的交点，它与三角形的三个顶点的连线相交于三条边的中点。

2. 角平分线的性质（1）内角的平分线相互垂直。

对于任意一个三角形，任意一个内角的平分线与另外两个内角的外角的平分线相互垂直。

（2）角平分线分割对边成比例。

对于任意一个三角形，角平分线将对边分割成两个部分，它们的比例等于另外两个边的比例。

（3）角平分线长度关系。

对于任意一个三角形，角平分线的长度与与之对应的边的长度的比例相等。

即如果一个角的两个平分线分别与该角两边相交于点L和M，那么AL/BL=AM/BM。

（4）角平分线的外角等于直角。

对于任意一个三角形，角平分线的外角等于直角，也就是说，角平分线和对边构成的外角为90度。

3. 角平分线的应用（1）三角形的内心是角平分线的交点，它是三角形内接圆的圆心。

内接圆是与三角形的三条边都相切的圆。

（2）角平分线的性质可以用于解决一些与三角形相关的问题，例如角平分线定理、角平分线长度的计算以及面积的求解等。

（3）角平分线的长度关系可以应用于相似三角形的求解中，求解未知边长或角度大小等。

总结：三角形的角平分线是将一个角分成两个相等的角的线段。

角平分线具有垂直关系、对边成比例、长度关系等性质。

角平分线的应用包括解决与三角形相关的问题、内接圆的构造以及相似三角形的求解等。

通过深入研究和理解角平分线的性质，我们能够更好地应用它们解决实际问题，在几何学中发挥重要作用。

角的平分线的性质1

角的平分线的性质1
证明： 过点F作FG⊥AE于G， G FH AD H FM BC M FH⊥AD于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
1.在△ABC中，AC ⊥ BC,AD为∠BAC的角平 ABC中 BC,AD为 BAC的角平
如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。 求证：AD是△ABC的角平分线。3、已知:BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE 交点F,CF=BF,求证:点F在∠A的平分线上.
M C D F A E B N
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P, 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 证明：过点 作 ⊥ 于 ， 证明：过点P作PD⊥AB于D， PE⊥BC于E，PF⊥AC于F ⊥ 于 ， ⊥ 于 ∵BM是 的角平分线, ∵BM是△ABC的角平分线,点P 的角平分线 BM上 在BM上,
B A ND P E M F C
讲解着:丁睿雯、董秉清、 讲解着:丁睿雯、董秉清、 林庭亦、杨牧锬、熊真、 林庭亦、杨牧锬、熊真、 陈宏发
1、会用尺规作角的平分线. 会用尺规作角的平分线. 2、角的平分线的性质: 角的平分线的性质: 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述： ∵ OC是∠AOB的平分线 是 的平分线 PD⊥OA，PE⊥OB ⊥ ， ⊥ ∴ PD=PE
∴PD=PE 角平分线上的点到这个角的两边距离相等). (角平分线上的点到这个角的两边距离相等). 同理,PE=PF. 同理,PE=PF. ∴PD＝ ∴PD＝PE=PF. 即点P到三边AB BC、CA的距离相等 AB、 即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

角平分线的性质定理和判定（经典）

第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。

北师大版八年级数学下册课件 1.4.1 角平分线的性质与判定

A. PC = PD B. OC = OD C. ∠CPO =∠DPO D. OC = PO
提出问题 探索新知
思考：你能写出角平分线性质定理的逆命题吗？它是 真命题吗？
如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在 这个角的平分线上.
这个命题是假命题.角平分线是角内的一条射线，而角的 外部也存在到角两边距离相等的点.
∴AD 平分∠ABC（在一个角的内部，到角的两边
距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵∠BAC = 60°，∴∠BAD = 30°.
A
∴在 Rt△ADE 中，
∠AED = 90°，AD = 10，
1
1
∴ DE = 2 AD = 2 ×10 = 5（在直
角三角形中，如果一个锐角等于30°，
E
F
B
D
C
∠PDO =∠PEO，
D C
P
O
EB
∠AOC =∠BOC， OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE.
知识要点
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上；
A D
(3) 垂直距离. 定理的作用：证明线段相等.
导入新课
定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等.
你能证明这个定理吗？
探究新知
已知：如图，∠AOC =∠BOC， 点 P 在 OC 上， PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD = PE.
A
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. 在 △PDO 和 △PEO 中，
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

12.3角的平分线的性质(1)1

A C
用量角器度量，也可用折纸的方法． 再打开纸片 ，看看折 痕与这个角有何关系？
O
B
活 动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
A
1、如图，是一个角平分仪， 其中AB=AD,BC=DC。 将点A放在角的顶点,AB和AD 沿着角的两边放下,沿AC画一 条射线AE,AE就是角平分线， 你能说明它的道理吗?
D
B C E
A
2、证明： 在△ACD和△ACB中 D AD=AB（已知） DC=BC（已知） C CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） E ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
B
尺规作图
用尺规作角的平分线.
A D C
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. 作法:
B
P
O C●
D●
A
练一练
3、在△ABC中，AC⊥BC，AD为∠BAC的 平分线，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求 BE的长。
A
E
C
B
D
4、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
知识拓展
如图，在△ABC中， A AC=BC，∠C=90°， AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，垂足为E。 （1）已知CD=4cm，求 AC的长； C （2）求证：AB=AC+CD
活 动 5
探究角平分线的性质
(1)实验：将∠AOB对折，再折出一个直角三 角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察 两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

角的平分线的性质(1)


A M C
O
N
B
发现பைடு நூலகம்的平分线的性质
如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分 线OC，在OC 上任取一点P，过点P 画出OA，OB 的垂 线，分别记垂足为D，E，测量 PD，PE 并作比较，你 得到什么结论？ PD=PE 在OC 上再取几个点试一试． A HG=HF RM=RN M 通过以上测量，你发现了 角的平分线的什么性质？ 角平分线上的点到 角两边的距离相等。
A
C A P O D E A B B C
C
P B
运用角的平分线的性质
例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等. 证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA ，垂足为D、E、F ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上（已知） ∴PD=PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等） ∵CN是△ABC的角平分线，点P在CN上（已知） ∴PE=PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等） A ∴ PD=PE=PF. D 即点P到边AB、BC、CA的距离相等 F
AB=AD BC=DC AC=AC ∴ △ABC≌ △ADC（SSS） ∴ ∠BAC=∠DAC ∴ AC平分∠DAB, 即：AE平分∠DAB
D
B
C
E
用尺规作角的平分线
作法: 1，以O为园心，以任意长为半径画弧，交OA,OB于M,N。
2，分别以M,N为园心，以大于1/2MN为半径画弧，两弧 交于C。 3，过O作射线OC， 则：OC就是∠AOB的平分线。
N P M
B
E
C
运用角的平分线的性质
练习2 如图，△ABC中，∠B =∠C，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E， A F．求证：EB =FC． 证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC ∴ DE=DF, ∴ ∠BED=∠CFD=900 E F 在△BED和 △CFD中 ∠BED=∠CFD B C D ∠B=∠C DE=DF ∴ △BED≌ △CFD（AAS） ∴ EB=FC,
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Ｍ Ｃ
Ｂ
Ｎ
0
温馨提示: 作角平分线是最基本的
尺规作图,大家一定要掌握噢!
探究2---做一做
• 将∠ AOB对折,再折出一个直角三角形(使 第一条折痕为斜边),然后展开,观察两次折 叠形成的三条折痕,你能得到什么结论? A
A
D
O
B
O
B
E
证一证
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上， PD ⊥OA ，PE ⊥OB，垂足分别是D、E.
ห้องสมุดไป่ตู้
A E E
C
D
B
例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交 于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。
A
F N
G
M
P
B
E
C
例3：在△OAB中，OE是∠ AOB的角平分线， 且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足 为C，D，求证：AC=BD。
O
C
D
A
E
B
合作交流
［教学内容9］例题讲解
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法；
如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公 路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度 假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？
练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平
分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于
点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ
所在直线的距离相等．
HＤ
Ｃ
F ＰＥ
Ａ
ＢG
丰收乐园
◆这节课我们学习了哪些知识？
3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB， AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。 求证：△DBE的周长等于AB。
C
D
A
EB
思考：
如图所示OC是∠AOB 的平分线,P 是OC上任意 一点,问PE=PD?为什么? O
EA PC
D
B
PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角 平分线上任一点这个角两边的距离, 所以不一定相等.
·D
作图角度怎么画？
C·
试一试
由上面的探究可以得出作已知角的平分线的方法
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
A
作法:
⑴以O为圆心,任意长为半径作 弧,交OA于M,交OB于N. ⑵分别以M,N为圆心,大于 1 MN 的长为半径作弧,两弧在 2 ∠AOB的内部交于点C.
⑶作射线OC,
射线OC即为所求.
如图，
∵
OC是∠AOB的平分线，
又 _P_D_⊥__O_A__，_P__E_⊥__O_B_
角∴的PD平=分P线E上的( 点
到角的两边的距离相等
A
D
)C
P
O
E B
思考：
要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁 路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００ 米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
Ｏ
公路
EB
∴ PD＝PE
说一说 你能用文字语言叙述一下发现的结论吗？
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号表示为：
∵OP平分∠AOB
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
O
∴PD=PE.
A D
P
B E
∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，( 在角的平分线上的点到这 )
个角的两边的距离相等。
求证：PD=PE.
A
D
P
O
B
E
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E
求证: PD=PE
证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD和△PEO中
A
D
C
P
∠ PDO＝∠PEO O ∠ AOC＝∠BOC
OP=OP ∴ △PDO≌△PEO（AAS）
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD=DF；
求证：CF=EB
F
E
CD B 分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
试试自己写
DC=DE (因为角的平分线的性质) 证明。你一
O
B
活动 2 如果前面活动中的纸片换成木板、 A
钢板等没法折的角，又该怎么办呢？
1、如图，是一个角平分仪，
其中AB=AD,BC=DC。
D
将点A放在角的顶点,AB和AD
沿着角的两边放下,沿AC画一
条射线AE,AE就是角平分线，
你能说明它的道理吗?
B C E
A
2、证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
（×）
B
A
D
C
∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD
，(
在角的平分线上的点到这 个角的两边的距离相等。
)
A
（×） B
D
C
∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个 ）
角的两边的距离相等。
√
B
A
不必再证全等
D C
再用HL证明.
定行！
1、如图，OC平分∠AOB， PM⊥OB于点M， PN⊥OA于点N， △POM的面积为6，OM=6， 则PN=___2____。
N
A
C
0
P
MB
2、如图:△ABC中, ∠C=900，AD是 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上， BD=DF，求证：CF=EB
A
F
E
C
D
B
变题1 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB.
变题2 如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.
A
A
F
E
CD
B
E
CD
B
A
变 题 1 如 图 ： 在 △ ABC 中 ，
铁路
Ｓ
1 、 如 图 ,OC 是 ∠ AOB 的 平 分 线 , 点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则
4 PE=__________cm.
A
C
P
D B
E
O
例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分 ∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点 D到AB的距离为？
D
B
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
C
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
E
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
探究体验
A·
把简易平分角的仪器放在角的两
边时，（1）平分角的仪器两边
· AB与AD相等，从几何作图角度 B
怎么画？（2）BC=DC，从几何
角平分线的定义：
从一个角的顶点出发，把这个角分成 相等的两个角的射线叫做这个角的角
平分线。
B
C
O
A
B
C
O
A
∠AOC =∠BOC ∠AOB =2∠AOC =2∠BOC
活动 1
不利用工具，请你将一张用纸 片做的角分成两个相等的角。你有什
么办法？ （对折）
A
再打开纸片 ，看看折 C 痕与这个角有何关系？