电磁场超导体讲义的电磁性质

磁学中超导材料的电磁特性分析超导材料是一种具有特殊电磁性质的材料，其在低温下能够表现出无电阻和完全磁通排斥的特点。

这些特性使得超导材料在电磁学领域具有广泛的应用，尤其在磁学中，超导材料的电磁特性分析成为研究的重要课题。

一、超导材料的电磁特性超导材料的电磁特性可以通过两个重要参数来描述：临界温度和临界磁场。

临界温度是指超导材料转变为超导态的临界温度，通常用Tc表示。

临界磁场是指在超导态下，超导材料能够承受的最大磁场强度，通常用Hc表示。

超导材料的电磁特性与其晶体结构、材料纯度以及外界磁场等因素密切相关。

例如，超导材料的晶体结构决定了其电子能带结构和能隙大小，从而影响了其临界温度。

材料的纯度对超导材料的电磁特性也有重要影响，杂质和缺陷会破坏超导材料的电子配对，降低其超导性能。

外界磁场对超导材料的电磁特性同样具有显著影响，超导材料在外界磁场作用下会出现磁通量量子化现象。

二、超导材料的电磁特性分析方法研究超导材料的电磁特性需要使用一系列分析方法和实验手段。

其中，磁化率测量是一种常用的方法。

磁化率是材料对外界磁场响应的程度，超导材料的磁化率在临界温度附近会出现明显变化。

通过测量超导材料在不同温度下的磁化率，可以确定其临界温度。

另一种常用的方法是磁滞回线测量。

磁滞回线是材料在外界磁场变化过程中磁化强度与磁场强度之间的关系曲线。

超导材料在超导态下，磁滞回线呈现出完全磁通排斥的特点，可以通过测量磁滞回线的面积来计算超导材料的临界磁场。

此外，磁化率和磁滞回线测量还可以用于研究超导材料的磁通动力学行为。

超导材料在外界磁场作用下，磁通量会发生变化，形成磁通量的运动。

通过测量磁滞回线的形状和磁化率的变化，可以研究超导材料的磁通动力学行为，包括磁通量的损耗和磁通量的穿透深度等。

三、超导材料的应用超导材料的电磁特性使其在磁学领域具有广泛的应用。

其中，最常见的应用是超导磁体。

超导磁体利用超导材料的完全磁通排斥特性，可以产生强大的磁场，广泛应用于核磁共振成像、磁共振成像和粒子加速器等领域。

超导体的电磁性质作者:安庆师范学院物理与电气工程学院05级物理(2)班王磊学号:1505070 本文摘要:本文主要阐述了超导体的定义、现象以及它的主要电磁性质,并且用公式和的图像进行了必要的解释和说明，最后又对第二类超导体作了简要介绍。

关键字:零电阻迈斯纳效应临界磁场磁通量子涡线超导是超导电性的简称，它是指金属、合金或其它材料电阻变为零的性质。

超导现象是荷兰物理学家翁纳斯（H．K．Onnes，1853—1926年）首先发现的。

1.超导现象翁纳斯在1908年首次把最后一个“永久气体”氦气液化，并得到了低于4K的低温。

191 1年他在测量一个固态汞样品的电阻与温度的关系时发现，当温度下降到4.2K附近时，样品的电阻突然减小到仪器无法觉察出的一个小值（当时约为1⨯10–5Ω）。

图1画出了由实验测出的汞的电阻率在4.2K附近的变化情况。

该曲线表示在低于4.15K的温度下汞的电阻率为零（作为对比，在图1中还用虚线画出了正常金属铂的电阻率随温度变化的关系）。

图1 汞和正常金属铂的电导率随温度变化的关系超导体一般具有以下特性①零电阻是超导体的一个重要特性,实验表明:超导状态中零电阻现象不仅与超导体温度有关,还与外磁场强度和通过超导体的电流有关,这意味着存在临界电流,超过临界电流就会出现电阻.如果将一金属环放在磁场中,突然撤去磁场,在环内就会出现感生电流。

金属环具有电阻R和电感L。

由于焦耳热损耗,感生电流会逐渐衰减到零，衰减速度与L和R的比值有关,L/R的值越大，衰减越慢。

如果圆环是超导体，则电阻为零而电感不为零；因此电流会毫不衰减地维持下去。

这种“持续电流”已在多次实验中观察到。

测量超导环中持续电流变化的实验给出，样品铅的电阻率小于3.6×10-2欧姆厘米，它比铜在室温下的电阻率1.6×10-6欧姆厘米还要小4.4×1016倍。

这个实验结果表明超导体的电阻率确实是零。

临界温度Tc ——超导体由正常态转变为超导态的温度。

超导体的电磁学性质及热力学解释超导电是在低温下具有广泛性的现象，现在已知道，有二十多种元素，大量的化合物，都在一定的临界温度下，转入所谓超导电状态。

超导体与温度、磁场、电流密度的大小密切相关，这些条件的上限分别称为临界温度(critical temperature, Tc)、临界磁场(critical magnetic field, Hc)和临界电流密度(critical electric current density, Jc)。

超导电性有两个最基本的特性：完全导电性和完全抗磁性。

常压下，元素中超导临界温度最高的是Nb(9.26K)，最低的是Rh(0.0002K)。

近年来人们始终在努力寻求临界温度更高的所谓高 Tc 超导材料，到目前为止，已经发现了三代高温超导材料，第一代为镧系高温超导材料，第二代为钇系高温超导材料，第三代为铋系、铊系及汞系高温超导材料。

1.超导体的电磁学性质1.1 零电阻1911年荷兰物理学家昂内斯(H.R.Onnes)在研究水银在低温下的电阻时，发现当温度降低至4.2K以下后，水银的电阻突然消失，呈现零电阻状态。

昂内斯便把这种低温下物质具有零电阻的性能称为超导电性。

电阻是用灵敏电位计测量通过一定电流样品上的电压降而确定的，样品本身被浸在液氦中。

当时发现 Hg 的电阻在 4.2K 左右陡然下降。

实验证明，测量电流愈小，电阻变化愈尖锐，用足够小的测量电流能使电阻的下降集中发生在 0.01K 的狭窄范围内。

在这个转变温度以下，电阻完全消失。

汞在液氦温度左右的电阻变化如下图所示。

上述检测方法由于仪器的灵敏度问题而受到质疑。

Onnes利用“持久电流”实验解决了这个问题。

在外磁场作用下，使环状的样品发生上述转变，然后撤去磁场，这时在环内产生感生电流。

他发现当温度降到临界温度以下，用磁针在低温容器之外检验感生电流，结果在很长时间内，完全不能发现任何变化。

而温度提高到临界温度以上时，电流立即消失。

超导材料的电磁性质与应用超导材料是一种在低温下电阻为零的物质，具有非常特殊的电磁性质。

本文将介绍超导材料的电磁性质以及它们在实际应用中的重要性和潜在效益。

1. 超导材料的电磁性质超导材料的最重要的电磁性质是零电阻和完全抗磁性。

在低温下，超导材料中的电子对会形成一种称为“库珀对”的配对状态，这些电子对可以自由传播而不会受到散射或碰撞的影响，从而导致了材料的零电阻特性。

这种零电阻状态对电流的传输非常有利，不会损耗电能，因此超导材料在电力输送领域具有巨大的应用潜力。

除了零电阻特性，超导材料还表现出完全抗磁性。

在超导材料中，电流会形成闭合环路，从而产生强大的反向磁场来抵消外部磁场。

这种完全抗磁性使得超导材料非常适合用于制造磁体和磁共振成像设备，因为它们可以产生非常强大的磁场而不会被外部磁场干扰。

2. 超导材料的应用超导材料在各个领域都有广泛的应用。

其中一个重要的领域是能源输送和存储。

由于零电阻的特性，超导材料可以用于制造高效的电力输送线路，减少能量损耗。

此外，超导材料还可以用于制造超导电感器和超导电机，提高能量转换的效率，进一步节约能源。

超导材料还可以用于制造强大的磁体，例如用于核磁共振成像（MRI）的超导磁体。

由于超导材料具有完全抗磁性，它们可以产生远远超过普通磁体的强大磁场，从而提高成像分辨率和准确性。

此外，超导材料还可以用于制造超导电动机、飞轮储能系统等，为交通、工业和航天等领域提供高效稳定的动力。

除了能源和医疗领域，超导材料还具有广泛的应用前景。

例如，在科学研究中，超导材料可以用于制造超导量子比特，实现量子计算和量子通信。

此外，超导材料还可以用于制造超导传感器，用于探测微小的磁场、电场和温度变化，有助于地质勘探、环境监测和生物医学研究等领域。

3. 超导材料的发展和挑战尽管超导材料具有许多独特和有吸引力的特性，但是它们的应用仍面临一些挑战。

首先，大部分超导材料需要低温环境才能保持超导状态，这限制了它们的实际应用范围。

§5 超导体的电磁性质1本节主要内容： 1. 超导体特性之一：零电阻 2. 超导体特性之二：完全抗磁性(Meissner 迈斯纳效应) 3. 超导体的电动力学性质 4. 超导环的磁通俘获和磁通量子化现象2气体液化与低温环境的获得 1892年，发明了杜瓦瓶（中间抽真空，内胆涂有银 的双层玻璃瓶）  1899年，杜瓦（James Dewar）在伦敦皇家研究所成 立100周年庆典上，展示氢气（H2）的液化实验3水银超导体的发现Heike Kamerlingh Onnes (1853-1926) Dutch Physicist、  1882年，进入Leiden大学,研 究低温气体；  1908年,将液体的温度降低到 大约1K，成功将氦气液化；  1911年，开始研究金属在极 低温下的性质；  1912年，发现了水银的超导 电性，  1913年，获Nobel奖4The discovery of superconductivityNotebook 56, 8 April, 1911 Notebook 57, 26 October, 1911“Mercury[‘s resistance] practically zero [at 3 K] ……repeated with gold…”2014/11/5The historic plot. Superconducting transition at 4.2k in mercury5Meissner effectFritz Walther Meissner (1882-1974) 1933 Robert Ochsenfeld (1901-1993)German physicists2014/11/5Perfect diamagnetism below Tc6Londons’ theoryHeinz Fritz Wolfgang London London (1907-1970) (1900-1954) Londons’ Equation: (1935)Ampère's law:German Physicists2014/11/5 7Ginzburg-Landu theoryLev Landau (1908-1968) Vitaly Ginzburg (1916-2009) 1950 The free energy density:Complex order parameterU(1) gauge symmetry broken Soviet physicists2014/11/5其它几种超导体 元素 Al（铝） In（铟） Sn（锡） Pb（铅） Nb（铌） 1911 超导转变温度 1.2 K 3.4 K 3.7 K 7.2 K 9.2 K 198691986年，Muller和Bednorz发现：陶瓷氧化物 LaBaCuO的转变温度可达到35K。

超导电磁的特性及其应用探究超导电磁是指在超导体内部流动的电流所激发的电磁场。

由于超导材料具有零电阻和完全抗磁性的特性，其电磁特性也十分独特。

在过去的几十年里，超导电磁已经被广泛的研究和应用。

本文将会探究超导电磁的特性以及其在科技领域中的应用。

1. 超导电磁的特性在超导体内部流动电流时，由于超导体的零电阻性质，电流是不会受到阻碍的。

这也就意味着当电流通过超导体时，它会不断地流动下去，直到外界施加一个相反的电场，才会停止。

这种电场产生的电磁场叫做超导电磁场。

超导电磁场具有许多独特的特性，包括抗磁性、无耗散性和能够抵消外加磁场。

它的抗磁性表现在超导体内不会出现磁场，这意味着外部磁场无法进入超导体内部。

这项特性对于许多应用领域都有着重要的意义。

超导电磁场的无耗散性质则表现在其电流不会因为产生热量而损失能量。

这也就使得超导体具有高能效的特性，可以在很长一段时间内保持电流的稳定性。

此外，超导体的零电阻性质还意味着电流不会因为电线的阻抗而损失能量。

最后，超导材料的磁场抵消特性可以帮助提高超导体的电流密度。

当外部磁场进入超导体内部时，它会被抵消，从而形成一个磁场自由区域。

这也可以帮助提高超导体的电磁特性。

2. 超导电磁的应用由于超导电磁场的独特特性，其在很多领域中都有着广泛的应用。

2.1 超导磁体超导磁体是最常见的一种应用。

由于超导体内部无法产生磁场，同时外部磁场又会被抵消，这使得超导体能够产生高强度高稳定性的磁场。

这些特性使得超导体在磁共振成像、粒子加速器和磁控制聚变等领域中有着广泛的应用。

2.2 超导电能存储系统超导电能存储系统是一种新型的电能存储系统，可以以极高能量密度和效率存储和释放能量。

这种系统被广泛应用于电网等领域。

2.3 超导电缆超导电缆是一种新型的能量传输方式，可以降低传输能量时的损失。

其特性也使得超导电缆成为一种非常有前途的应用。

2.4 超导量子计算超导体内部的电子运动也可以被用来制造量子比特，从而在量子计算领域中实现高效的计算。

超导体的电磁性质李志兵1.概述 1911年以来,陆续发现某些元素、合金、化合物或其它材料，当温度下降至某临界温度以下时，电阻消失至微不足道,这种现象称为超导电性.具有超导电性的材料称为超导体.1933年发现超导体具有抗磁性，这现象称为迈斯纳(Meissner)效应.超导电性和抗磁性是超导体最重要的宏观性质.c T 20世纪70年代以前发现的超导体主要是元素超导体(包括金属和半导体)和合金超导体，临界温度一般为几K ,最高不超过,这些称为常规超导体.20世纪80年代以来陆续发现某些铜氧化物超导体,临界温度可达数十30K K 甚至超过100K ,这些称为高温超导体.由于高温超导体具有奇特性质和广阔应用前景，因此，对高温超导现象的理论与实验研究有着重大意义,是当今凝聚态物理一个重要的前沿课题.如何进一步提高临界温度,是其中的关键问题.超导体是量子多体系统，超导电性和Meissner 效应是宏观量子效应.因此超导理论必须是建立在量子力学基础上的微观理论.1957年，J.Bardeen ，L.N.Cooper 和J.R.Schrieffer 用电子-声子机制建立的BCS 理论认为，当材料处于超导态时，费米面附近动量和自旋大小相等、方向相反的自由电子,通过交换虚声子产生的吸引力形成Cooper 对,Cooper 对不受晶格散射,是一种无电阻的超流电子.这一理论成功地解释了常规超导体的超导电性成因及其一系列性质.但是,高温超导现象的微观理论至今仍未完善.在BCS 理论出现之前,以经典电动力学为基础的伦敦（London ）唯象理论(1935年)和金兹堡-朗道（Ginzburg-Landau ）唯象理论(1950年),在一定程度上可以解释超导体的宏观电磁性质.本节主要介绍伦敦唯象理论,其基本思想是以麦克斯韦方程为基础,建立超导电流与电磁场的局域关系即London 方程.由于没有涉及微观机制,伦敦理论与实验结果有明显偏差.1953年,皮帕德(Pippard)引入相干长度概念,提出非局域修正.2.超导体的基本现象 超导体的基本现象主要包括:(1) 超导电性 图3-8表示Hg 样品的电阻随温度变化的关系.当温度下降到以下时，4.2K 电阻消失，样品处于超导态，温度在以上4.2K 则处于正常态.就是的临界温度.不4.2K Hg c T 同材料有不同的临界温度.图3-8(用郭书的图3-8)(2) 临界磁场 若将处于超导态的材料置于外磁场中，当外磁场强度增大到某一临界值时,超导电性将受到破坏,材料由超导态转变为正常态.临界磁场与温度有关,的经验公式为c H c H T )(c T H ])((0)[1)(2cc c T T H T H −=, )(c T T ≤ (1.1) 如图3-9，该曲线将平面(实际上只是第c H T −一象限)分为两个区域，在曲线下面材料处于超导态,在曲线上面则为正常态.该曲线亦称为相变曲线．图3-9(用郭书的图3-9)(3) 迈斯纳(Meissner)效应 实验发现，当材料处于超导态时，随着进入超导体内部深度的增加磁场迅速衰减，磁场主要存在于超导体表面一定厚度的薄层内.对宏观超导体，若把这个厚度看成,则可近似认为超导体内部磁感应强度0→0=B ,超导体有完全抗磁性,我们称之为理想Meissner 态.不能理想化的状态称为一般Meissner 态．实验发现超导体的抗磁性与其所经历的过程无关.若将样品的温度降低使之转变为超导态，当加上外磁场时，只要磁场强度不超过临界磁场，则B 不能透入超导体内部；若把正常态的样品置于小于临界磁场的外磁场中，当温度下降使样品转变为超导态时,B 被排出超导体外.(4) 临界电流 当超导体内的电流达到某个临界值时，超导体将从超导态转变为正常态.可以这样理解:当超导电流时,它产生的磁场,材料便转变为正常态.c I c I ≥c H H ≥(5) 第一类和第二类超导体 实验发现有两类超导体，元素超导体多数属于第一类超导体，合金和化合物超导体多数属于第二类超导体.第一类超导体存在一个临界磁场.第二类超导体存在两个临界磁场，即下临界磁场和上临界磁场，.当外磁场时，磁场被排出体外，样品完全处于超导态.当外磁场满足c H c1H c2H c2c1H H <c1H H <c2c1H H H <<时，磁场以量子化磁通线的形式进入样品内，使之处于正常态和超导态并存的混合态，磁通线穿透的各细长区域处于正常态，其余区域处于超导态.每一条磁通线的磁通量为一个磁通量子，因此磁通线只能整条产生和消失.随着外磁场增大，穿过样品内部的磁通线逐渐增多，正常区域逐渐扩大.当外磁场时，无表面超导相的样品整个转变为正常态.由于第二类超导体有较高的临界温度和临界磁场，可以通过较大的超导电流，故有较高的应用价值.c2H H >(6) 磁通量子化 实验发现，第一类复连通超导体(如超导环和空心超导圆柱体)，以及单连通或复连通的第二类超导体，磁通量只能是基本值的整数倍,Wb 102.072150−×==e h/Φ0Φ称为磁通量子.其中为普朗克常数,为电子电荷.此外，超导体存在能隙，常规超导体还有同位素效应.这些现象只有通过量子理论才能解释清楚.h e 3.伦敦(London)唯象理论与皮帕德(Pippard)修正 麦克斯韦方程组是电磁现象的普遍规律,超导电性和Meissner 效应是特殊的电磁现象.经典电磁理论用宏观唯象的本构关系描写物质的电磁性质，例如，电介质的本构关系是E 与D 的关系，磁介质是B 与H 的关系，普通导体是传导电流与E 的关系.如果能够找出超导电流与E 和B 的关系，应当可以对超导电性和Meissner 效应给出一定程度的唯象描写,这就是London 理论的基本思路.(1) London 第一方程 当材料处于超导态时，一部分传导电子凝聚于量子态中并作完全有序运动，不受晶格散射因而没有电阻效应，其余传导电子仍属正常电子.即超导体内存在两种载流电子——正常传导电子和超导电子，它们分别形成正常传导电流和超导电流，若n J s J 0μμ≈，0εε≈，则磁化电流与极化电流可以忽略，总电流密度为.这就是“二流体模型”.正常传导电流遵从Ohm 定律s n J J J += (1.2)E J =σn σ是材料的电导率．因为超导电子运动速度远小于光速，故可略去磁力只考虑电场作用力,假定超导电子的运动不受阻力,并遵从经典力学方程 c E e t m−=∂∂v (1.3) 其中是时刻处超导电子的平均速度，),(t x v v =t x )(t x,E E =是该处的平均电场强度.设超导电子密度为，则超导电流密度为s n v e n s s −=J ，于是由(1.3)式，得E J α=∂∂ts ， 其中 m e n 2s =α (1.4) 这便是London 第一方程.应当指出，这个方程只是依据经典理论给出的一个假设,它不仅将超导电子看成经典粒子,而且也没有解释为什么超导电子的运动不受阻力.但由它可以解释稳恒情形下的零电阻效应.在稳恒情形,与时间无关,故s J 0/s =∂∂t J ,由(1.4)式可知此时超导体内0=E ，再由(1.2)式有，即稳恒情形下,超导体内的电流全部来自超导电子,没有电阻效应.0n =J但在交变情形,0/s ≠∂∂t J ，因而0≠E ，0n ≠J .因此交变情形下超导体会有电阻损耗.我们可以估算交流损耗的大小.设电流的角频率为ω,正常传导电流密度E J σ=n ，超导电流密度ωαE/J =s ，因此.可见对一般的低频交流电,损耗很小.ωωσασω122s s n 10~)/(//-e n m J J ==(2) London 第二方程 读者已经看到，零电阻状态下超导体内部0=E .若仅由Maxwell 方程，只能给出t ∂−∂=×∇/B E B 是一个与时间无关的函数或常数，还不能得出B 随着进入超导体内深度的增加而衰减的结论.可见Meissner 效应与超导电性是两个独立的效应.一般Meissner 态下的超导体，磁场和超导电流主要存在于其表面一定厚度的薄层中，超导电流不能看成为理想的面电流.当超导体外部存在磁场时，超导体表面两側的磁场应当满足边值关系t t H H 12=, 1n 2n B B = (1.5)电流与磁场是相互制约的.为了找出超导体内超导电流与s J B 的相互制约关系，取London 第一方程(1.4)的旋度，并由场方程t ∂−∂=×∇/B E ，得0)(s =+×∇∂∂B J αt可见矢量B J α+×∇s 与时间无关，但可以有某种空间分布，它取决于超导体的初始态.London 理论假设这个量为零.于是得到B J α−=×∇s (1.6)这就是London 第二方程.读者看到,两个London 方程都是基于假设而得到的.它们与Maxwell 方程组一起，构成超导电动力学的基础.下面我们仅考虑稳恒情形.此时0n =J ,)(s x J J =,超导体内的磁场和超导电流所满足的Maxwell-London 方程组为0=⋅∇B ， s 0J B μ=×∇ (1.7)0s =⋅∇J ， B J α−=×∇s (1.8)为了解释Meissner 效应,取(1.7)第二式的旋度,并由第一式，以及(1.8)的第二式，得B B 2L 21λ=∇ (1.9)其中参数2s 00L 1e n mμαμλ== (1.10)有长度的量纲.由(1.9)式可以推断,L λ是超导体内B 发生显著变化的线度.一般超导体L λ的数量级为.我们考虑一个简单情形.设的半空间为超导体,m 10~7−0>z 0<z 的半空间存在均匀磁场.由对称性，超导体内的磁场也只能沿x B e B 01=x 方向，而且只是z 的函数，即.由(1.9)式有x z B e B )(22=22L 2221d d B z B λ= (1.11)这方程有两个线性独立解和,后者随着透入深度的增加而指数增长,与Meissner 效应相违.再由边值关系(1.5)第一式,可得L 1λz/e C -L 2λz/e C +01B C =，即超导体内磁感应强度为x z/e B e B L 02λ-= (1.12)其中是超导体表面即处的值.可见超导体内随着透入深度按指数规律衰减,在0B 0=z B 2B z 达到若干个L λ处,显著地趋于零.2B L λ标志着磁场透入超导体内的线度，称为London 穿透深度.再考虑超导电流分布.取(1.8)第二式的旋度,并由第一式,以及(1.7)的第二式，得s 2L s 21J J λ=∇ (1.13)这方程与(1.9)有完全相同的形式，可知超导电流也主要存在于超导体表面厚度L ~λ的薄层内.超导体之所以显示抗磁性，是由于超导电流在其内部产生与外场逆向的磁场.对于大尺度超导体,若看成0L →λ，则可认为磁场完全被排出体外，这就是理想Meissner 态，此时其内部0)(=x B ， 0)(s =x J (1.14)超导电流可视为分布于超导体表面.例1. 求理想Meissner 态下,超导体表面电流密度s α与界面磁感应强度B 的关系. 解 由本章(1.12)和(1.13)两式描写的边值关系s 12)(α=−×H H n ,,其中n 为超导体表面外法向单位矢量,1n 2n B B =022/μB H =为界面外側真空中的磁场强度,表示超导体表面超导电流流过区域以内的磁场强度,因1H 0101==H B μ,于是得s 0αμ=×B n ， 0n =B (1.15)这里B 表示超导体表面外側的磁感应强度.可见无论超导体外部的磁场如何分布,其表面的B 线总与界面相切,B 不能透入超导体内部.这是因为表面超导电流s α对外部磁场有屏蔽效应.图3-10示出理想Meissner 态下的无穷长超导体圆柱置于均匀外磁场中的情形,超导电流s α在其内部产生的磁场与外磁场等值反向,因而把外场屏蔽,使超导体内部0=B .图3-10(用郭书中图3-10)(3) 超导电流与矢势的局域关系 本章§1已指出，由于0=⋅∇B ,可以引入矢势A ,使A B ×∇=.但A 不是唯一的,必须选择一定的规范对其加以限制.本章(1.5)式令，这称为Coulomb 规范.但即使选择这一规范,0=⋅∇A A 还不是唯一的,只要函数ψ满足方程, 02=∇ψψ∇+=′A A 同样满足Coulomb 规范.为使A 唯一地确定，除令0=⋅∇A ，还限定超导体表面上S A 的法向分量为零，即:0=⋅∇A ， 0s =⋅A n (1.16)这称为London 规范.这两个条件使得在ψ∇+=′A A 中，产生规范变换的函数ψ在超导体的内部和外部，都满足方程，而且在界面上其法向导数02=∇ψ0/S =∂∂n ψ.参照第二章§2唯一性定理的证明,可知在超导体的内部和外部,ψ只能是常数.亦即在London 规范下,，矢势可以唯一地确定.C A A =′既然A 可以唯一地确定，我们就应当提出一个问题——按经典电动力学的局域作用理论，超导体内每一点上的超导电流与s J A 的关系，是否也可以确定? 由London 第二方程即(1.6)式和A B ×∇=,有0)(s =+×∇A J α,我们引入标量函数χ,使χα∇=+A J s (1.17)显然，若χ为常数，上式便可确定与s J A 的局域关系.若χ为多值函数，则与s J A 的关系无法确定.对于单连通超导体,我们总可以在其内部取任一闭合曲线C ,围成的曲面完全处在超导体内部,将(1.17)式沿积分,并由Stokes 定理,有C S C s B J s A J d )( d )(d s s ⋅+×∇=⋅+×∇=∫∫∫S S C ααχ (1.18)由London 第二方程,上式右边为零，故χ必为单值函数.在稳恒情形下0s =⋅∇J ,0s s =⋅J n ，以及London 规范(1.16)，(1.17)式给出 02=∇χ， 0/=∂∂S n χ (1.19)可知χ只能是常数.于是得到)()(s x A x J α−= (1.20)这就是稳恒情形下，单连通超导体内超导电流与矢势的局域关系.如果超导体是复连通的(例如超导环)，或者是正常态和超导态并存的混合态，则总有某些闭合曲线不能在超导态区域内连续收缩为一点，即围成的曲面会有不为零的磁通C C S量通过，于是不能保证(1.18)式右边总是为零,χ可能为多值函数，因而无法得到与s J A 的局域关系(1.20)式.(4) Pippard 非局域修正 London 理论是局域理论，即一点上的超导电流只与该点邻域的电磁场直接发生作用，(1.10)式描写的London 穿透深度L λ与电子的自由程无关.但对合金超导体的实验发现，实际穿透深度比L λ大好几倍,并随电子平均自由程减小而增大.实际上，由于超导电子以Cooper 对为单元凝聚于一个量子态,不同点上超导电子的运动互相关联,导致超导电流与电磁场的有效相互作用不是局域的，一点上的不仅与该点的有关，还会受到附近的场的影响.1953年，Pippard 引入相干长度概念，提出非局域方程:)(s x J )(x A V r e V r ′′⋅−=∫d )]([43)(4/ξ0s p -x A r r x J πξα (1.21)其中为点到x x r ′=-x ′x 点的矢径,r 是这两点之间的距离.0ξ为大块纯金属超导体的相干长度,称为Pippard 相干长度(稍后的BCS 理论给出Δ(0)/F 0πξv h =,π2h/=h ,为费米速度,为时的能隙).F v Δ(0)0K =T p ξ称为有效相干长度，与材料有关:dl 1110p +=ξξ (1.22) 其中是正常态下纯金属的电子平均自由程,是与材料有关的系数,一般地.相应地存在有效穿透深度l d 1≤d p λ.若0ξ<<dl ,则p p λξ<<,此时在p ξ范围内)(x A ′变化较平缓,(1.21)式中可用代替并移出积分号外,的分量近似为)(x A ′)(x A s J )(d )(d )(43)(p 0310/ξ031/ξ40s p p x x x x i j r ij j j V r j i j i A r e A V e r r r A J ξξαδξαπξα−=−=′−=∑∫∑∫=∞=--即当p p λξ<<,才有)()(p 0s x A x J ξξα−= (1.23)这是Pippard 方程(1.21)的局域近似.对上式求旋度,并利用稳恒磁场方程(1.7)，可得到形如(1.9)的方程.由此得到局域近似下Pippard 有效穿透深度为2/10L 2/1p 0L p ()(dl dl +==ξλξξλλ (1.24) 因0ξ<<dl ,故,这与实验结果有较好符合.若不考虑电子自由程的影响,即假定1/20L p )(/dl ξλλ≈0p ξξ=,便回到London 局域理论的结果,即(1.23)式变为(1.20)式,(1.24)式变为L p λλ=.满足条件0ξ<<dl ,p p λξ<<的超导体属于第二类超导体,用局域近似理论计算这类超导体的磁场和超导电流分布,才较为接近实际情况.满足条件0ξ>>dl ,p p λξ>>的超导体属于第一类超导体,应当用Pippard 非局域理论处理相应问题.4.有第二类超导体存在时磁场分布的求解 下面讨论稳恒情形，有第二类超导体存在时磁场和超导电流分布的求解问题.(1) 一般Meissner 态下场分布的求解 在稳恒情形,对处于一般Meissner 态、并满足局域近似条件p p λξ<<的第二类超导体,应当在Maxwell-London 方程组(1.7)和(1.8)，以及由此得到的方程(1.9)和(1.13)中,作出修正：0p /ξξααα=′→, p L λλ→ (1.25)超导体外部的磁场则遵从一般的静磁场方程.利用这些方程并结合一定的边界条件，原则上可以求解磁场和超导电流分布.但由于这些方程都是矢量函数的偏微分方程，故一般情况下求解相当困难，难度取决于超导体边界面的形状，也与产生外磁场的源有关.只有超导体表面的形状有某种对称性，且产生外场的源很有规则,才有可能得到问题的解析解.若边界面和场源较为复杂，只能通过数值计算求出近似解.例2. 处于一般Meissner 态、半径为的无穷长超导圆柱体，放入均匀磁场中，柱轴与磁场方向平行.求磁场分布和超导电流密度.a z B e B 0=解 以柱轴为z 轴,并采用柱坐标),,(z φρ.由于超导圆柱体为无穷长，柱外真空中的磁感应强度最多只是ρ的函数，即z B e B )(11ρ=，它满足方程01=⋅∇B .因外部，故方程，由此有0=J 01=×∇B 0/)(B 1=∂∂ρρ，可知)(1ρB 只能是常数.在∞→ρ处，原外场应当基本上不受影响，于是有z B e B 01= (1.26)在柱体内,将矢量方程(1.9)中的L λ换为p λ.由对称性，柱体内的磁感应强度也只能是ρ的函数，即z B e B )(22ρ=,它也满足02=⋅∇B .现在,方程(1.9)简化为标量方程0)(d )(d 1d )(d 222222=−+ρκρρρρρΒB B (1.27) 这是零阶虚宗量Bessel 方程，其中p /1λκ=.在0=ρ即柱轴上应当有限，故这方程的解应为2B z C e B )(I 02ρ κ=,其中C 为常数,为零阶虚宗量Bessel 函数.在0I a =ρ即柱体表面,由边值关系(1.5)第一式，可定出常数)(I /00a B C κ=.于是得到z a B e B )(I )(I 0002κκρ= (1.28) 再由(1.7)的第二式,得柱体内超导电流密度φκκρμκe J )(I )(I 0000s a B −= (1.29) 讨论: ① 当圆柱半径有效穿透深度>>a p λ,即1/p >>=λ κa a ,可在柱面附近将虚宗量Bessel 函数作渐近展开,得.可见和都是随着透入深度增加即)(00)()/I (I ρκκκρ--a e a ≈2B s J ρ的减小而指数衰减.② 超导电流在柱体内产生的磁场沿s J z e −方向,部分地抵消了进入柱体内的外磁场,导致总磁感应强度随着透入深度增加而衰减.③将积分,可得单位长度超导电流为.④ 当2B s J φκμe )](I 1)[/(1000a B −−−∞→α κ,,超导电流理想化为0)(I 10→−a κ面电流,密度为φμe )/(00B s −=α,它在柱内产生的磁场为z B e B 0s −=,因此完全抵消了进入柱内的原外场,使,这是理想Meissner 态.02=B 如果超导体的边界为球面，也可以提出一系列问题，比如磁铁或电流环与超导球同时存在时，求解磁场分布以及它们之间的相互作用力.解决这些问题，需要求解球坐标中的矢量Helmholt 方程(1.9).对此,人们已经建立了系统的方法①．(2) 理想Meissner 态下场分布的求解 此时超导体内部0=B ，0s =J ，超导电流视为面电流.只需求解外部的磁场,它必须满足静磁场的基本方程和边值关系(1.15).根据已知的场源,可以选择磁标势法、镜像法，或其它方法求解.例3. 半径为、处于理想Meissner 态的超导球置于均匀磁场中.求外部真空中的磁场分布，以及球面的超导电流密度. a 0B 解 这问题类似于在均匀电场中放入导体球(见第二章§3例3).球外H B 0μ=,磁场方程为0=×∇H ,00=⋅∇⋅∇H B μ=,可引入磁标势ϕ，使ϕ−∇=H ,且ϕ满足方程.以球 02=∇ϕ心为坐标原点,令.由轴对称性,且z B e B 00=∞→R 处,θϕcos 0R H −→，方程的解应有形式02=∇ϕ∑++−=n n n n R b R H )cos (P cos 10θθϕ在球面处,由边值关系(1.15)的第二式,有αR =0/=∂∂R ϕ,由此可确定系数，当.于是得2301/a H b −=0=n b 1≠n θθϕcos 2cos 2300R a H R H −−=可见球外磁场)(0ϕμ−∇=B 是原外场与磁偶极场叠加的结果,0B B 线分布如图3-11所示.将①例如, J.D.Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed.(Wiley, New York,1998).上式第二项与本章(3.12)式比较，可知磁偶极矩为z a H e m 302π−=，它是球面的超导电流形成的,由边值关系(1.15)的第一式,可求出球面电流密度φ θe H e αsin 230R s H −=×= (1.30) 图3-11(用郭书原图3-11) 将它代入s S d 21s ∫×′=αx m 并对球面积分,的确可以得出上述值.m 读者已经知道，静电场中的导体内部电场0=E ,导体表面电场的切向分量,用镜像法可以求出一些较简单问题的解.而理想Meissner 态下超导体内部0=t E 0=B ,表面磁感应强度的法向分量.因此,对于边界面和场源较为简单的问题，若能猜测出已知场源或电流的假想镜像，以代替超导体中真实的超导电流对磁场的贡献，依据叠加原理和边界条件，就有可能求出超导体外部的磁场分布.0=n B 例4 有一小磁铁(或小电流圈)位于大块超导体平坦的表面附近的真空中，其磁矩的方向与超导体表面垂直.试估算超导体外部的磁场分布，以及这磁矩受到的作用力.m 解 作为近似，设下半空间为处于理想Meissner 态的超导体,上半空间为真空.令磁矩位于处.由对称性，的镜像0<z 0>z z m e m =a z =m m ′只能位于超导体内部z 轴上，令其位置为.由叠加原理,上半空间任一点的磁感应强度为a z −=])3([4])3([4350350m r r r r ′′′′′⋅′+⋅=′+=m r r m m r r m B B B --πμπμ 其中是到场点的矢径,r m r ′是m ′到场点的矢径,r 和r ′分别是和m m ′到场点的距离.由边值关系(1.15)的第二式，在界面0=z 处B 的法向分量0=z B ,得z m e m −=′.在所在处产生的磁感应强度为m ′m z rm r r e m r r m B 303502])3([4′−=′′′′′⋅′=′ πμπμ- 现在,于是超导体对磁矩的作用能和作用力分别为a r 2=′m3202r m W i ′=′⋅−= πμB mz i z i am r W e W e F 420323πμ+=′∂∂−=−∇= (1.31) 正号表明m 受到排斥力.若小磁铁或小电流圈受到的排斥力与地球对它的吸引力达到平衡，便可实现磁悬浮.需要指出的是，小磁铁或小电流圈的尺寸必须足够小，使其占据的区域内大致均匀,上述计算才是可靠的.B ′如图3-12所示，在理想Meissner 态下半径为a 的超导球附近，距球心为处有一磁偶d )(a d >极子的问题，同样可以用镜像法求解.由z m e m =轴对称性,以及在球面即处a R =0R =B 的条件,可求出m 的镜像为，位置为.m m 3)/(d a −=′d a z /2=许多简单问题都可以用镜像法求解,有兴趣的读者可参阅有关文献①. 图3-12(用林琼桂稿中图3-11)5 磁介质观点 在稳恒情形，一般超导体内的电流包括超导电流和分子磁化电流.对于s J M J 0μμ≈的超导体,磁化电流可以忽略.因此，按照我们前面的观点，Meissner 效应不是来自超导体作为特殊磁介质的性质，而是来自超导电流的磁屏蔽效应.我们注意到，磁场的基本物理量是与总电流密度互相制约的，至于总电流如何划分为自由电流与磁化电流，以及相应地如何分解为磁场强度B J B H 和磁化强度，则是带有一定任意性的.按照前面的观点，我们把超导电流看作自由电流并与相联系，而把分子磁化电流与相联系.M H M 其实，也可以用磁介质观点来描述超导体.按照这种观点，当超导体置于外磁场中时， 它受到“磁化”诱导出超导电流，使超导体带有宏观磁矩.为简单起见,我们仍略去超导体的分子磁化电流,因此有s J M =×∇ (1.32)①例如, Qiong-Gui Lin, Phys. Rev. B 74 (2006) 024510.还需要对的散度加以限制.我们令M 0=⋅∇M (1.33)在稳恒情形,由磁场方程s 0J B μ=×∇,0=⋅∇B ,以及)(0M H B +=μ (1.34)超导体内部磁场强度满足的方程为H 0=×∇H ， 0=⋅∇H (1.35)现在,超导体内不再与超导电流直接相联系.下面，我们分别讨论理想Meissner 态和一般Meissner 态.H s J (1) 理想Meissner 态 此时超导体内0=B ，由(1.34)式得M H −= (1.36)即理想Meissner 态的超导体内部与M H 处处等值反向，其磁化率和磁导率分别为1M −=χ， 0)1(M 0=+=χμμ (1.37)这是对超导体为完全抗磁体的另一种表述.由于内部0s =J ，故0=×∇M ，超导电流视为面电流s α.将(1.32)式的积分形式应用于超导体表面,得s α−=×M n (1.38)n 为超导体表面外法向单位矢量.按磁介质观点,表面超导电流s α在超导体内形成的磁矩和逆向磁场,完全抵消了外磁场,从而把B 排出体外.由于超导体内H 满足方程组(1.35)，故可引入磁标势ϕ,使ϕ−∇=H ,且ϕ满足方程.在超导体表面,02=∇ϕH 的边值关系为1t 2t H H =， 01n =H (1.39)例5 用磁介质观点求解例3.解 理想Meissner 态下超导球内02=B ,0s =J ,本来并不需要求解.但现在我们把划分为和,这才产生了这区域也需求解的问题.超导球内、外两区域均无自由电流，均可引入磁标势，使2B 2H M 22ϕ−∇=H ,11ϕ−∇=H ，2ϕ和1ϕ均满足方程.由轴对称性,而且处02=∇ϕ0=R 2ϕ应当有限,处∞→R θϕcos 01R H −→,故球内、外两区域的解应有形式θϕcos 12R a = )(a R <θθϕcos cos 2101R b R H +−=)(a R >在球面即处,边值关系(1.39)现在用标势表示为a R =12ϕϕ=,0/1=∂∂R ϕ.由此可定出系数,.于是得2/301H a −=2/301a H b −=θϕcos 2302R H −= θθϕcos 2cos 23001R a H R H −−= 球外的解1ϕ与例3的结果一致.球内磁场强度为2/3022H H =−∇=ϕ,磁化强度为.由(1.38)式,得球面超导电流密度2/302H H M −=−=φ θe H e M e αsin 2302s H R R −=×=×−= 这与例3的结果也是一致的.(2) 一般Meissner 态 此时超导体内0≠B ,0s ≠J ,s J M =×∇.超导电流不能看成面电流.虽然超导体内部仍然满足方程组(1.35)，因而可引入磁标势H ϕ,使ϕ−∇=H ，而且.但由于我们预先还不知道超导体内部与的关系,即使可以通过标势法解出,由02=∇ϕH M H )(0M H B +=μ可知,只要基本场量未解出,磁化强度就不能确定；或者,只要未解出,亦不能确定.B M M B例6 用磁介质观点考虑例2的置于均匀磁场中的无穷长超导体圆柱.解 由于圆柱外部的均匀磁场完全不受影响,而任何与均匀磁场z B e B 0=正交的平面都是等磁势面,故外部磁标势可取为z H 01−=ϕ.圆柱内仍可使22ϕ−∇=H ,由对称性令002ϕϕ+−=z H .在圆柱表面,由边值关系21ϕϕ=,得z H 02−=ϕ.于是圆柱内部022H H =−∇=ϕ,仍为均匀场.但还不能确定和.只有如例2那样也解出(见(1.28)式),才能给出磁化强度M 2B 2B )(I )(I 1[/000202a κκρμ-H H B M −=−= (1.40) 这表明，一般Meissner 态的超导圆柱体内部与不是简单的线性关系.在柱面即M 2H a =ρ处，随着0=M ρ减小的绝对值非线性地增大,直到M 0=ρ处才有,使该处2H M -=0)(202=+=M H B μ.可以预期,一般Meissner 态下其它形状的超导体内部,与也不会有简单的线性关系.M H 6.磁通量子化 磁通量子化现象很早就被实验证实①.下面，我们用量子概念解释这现象.设当时，把一个处于正常态的超导环置于c T T >外磁场中，降低温度使，该环转变为超导态，c T T <然后撤去外磁场.结果是通过环孔的磁通量仍然保持着，这是因为超导环表面薄层内诱导出超导电流，它维持着通过环孔的磁通量.如图3-13.若无其它扰动，超导电流与通过环孔的磁通量将长期存在. 图3-13(用郭书图3-12)B. S. Deaver, Jr. and W. M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7 (1961) 43①-46; R. Doll and M. Näbauer, Phys. Rev. Lett. 7(1961)51-52.。

超导体的导电性和磁特性超导体是一种在低温下具有零电阻和完全磁通排斥的材料。

自从发现超导体现象以来，人们一直致力于研究其导电性和磁特性。

超导体的导电性和磁特性不仅对于基础科学研究具有重要意义，而且在现代科技中也有广泛的应用。

导电性是超导体最突出的特性之一。

当超导体冷却到低温以下，电子形成了库珀对，这是一种具有零自旋的耦合态电子对。

由于存在电子的配对，电子的运动受到微观的约束，电阻为零。

这种零电阻的特性使得超导体在电力输送方面具有巨大的潜力。

目前，许多国家正在积极开展超导电缆的研发工作，以提高能源输送的效率。

另一个与超导体密切相关的特性是磁特性。

超导体在强磁场下表现出一种称为磁通排斥的特性。

当磁场穿过超导体时，超导体内部会形成一种磁屏蔽效应，磁场被完全排斥在超导体外部。

这种排斥现象使得超导体成为一种理想的磁体材料。

超导磁体广泛应用于核磁共振成像、磁共振治疗等领域，已经成为现代医学和科学研究的重要工具。

超导体的导电性和磁特性是相互关联的。

磁场对超导体的电子配对起到了关键的作用。

在超导体中，电子通过库珀对的形式耦合在一起。

而磁场的存在会干扰电子配对，破坏库珀对，导致超导态破裂，出现有限的电阻。

这种现象被称为磁通钉扎效应。

研究磁通钉扎效应不仅有助于理解超导体的性质，还对于开发新型的高温超导体具有重要的启发。

除了磁通钉扎效应，超导体的磁特性还包括磁滞效应和磁通量量子化。

磁滞效应是指超导体在外加磁场下，磁化强度与磁场强度之间的非线性关系。

磁滞效应会导致超导体在磁场变化过程中出现一种延迟现象，即磁化强度与磁场强度不一致的情况。

磁通量量子化是指超导体在强磁场下，磁通量呈现出离散的量子化现象。

这种磁通量量子化现象是由于超导体的电子态被限制在准粒子能级上所导致的。

这两种磁特性不仅对于基础研究有着重要的意义，而且在磁性传感器、磁存储器等领域也有着广泛的应用。

总之，超导体的导电性和磁特性是人们长期研究的热点领域，对于基础科学研究和应用技术都具有重要的意义。