大一高数课件第七章 7-3-1

关于向量的投影定理（ 关于向量的投影定理（1） 投影定理
向量 AB 在轴 u上的投影等于向量的模乘以轴与向 量的夹角的余弦： 量的夹角的余弦： Pr ju AB =| AB | cos ϕ
证
Pr ju AB = Pr ju′ AB
=| AB | cos ϕ
A ϕ
A′
B
B′′
B′
u′ u
定理1的说明： 定理1的说明： π (1) 0 ≤ ϕ < , 投影为正； 投影为正； 2 π ( 2) < ϕ ≤ π, 投影为负； 投影为负； 2 π ( 3) ϕ = , 投影为零； 投影为零； 2 (4) 相等向量在同一轴上投影相等； 相等向量在同一轴上投影相等；
例4
设有向量 P1 P2 ，已知 P1 P2 = 2 ，它与 x 轴和 y 轴
π π 的夹角分别为 和 ，如果 P1 的坐标为(1,0,3)，求 P2 的 3 4
坐标. 坐标. 解 设向量 P1 P2 的方向角为 α 、 β 、γ
1 π π α = , cos α = , β = , 3 2 4
2 cos β = , 2
1 Q cos α + cos β + cos γ = 1, ∴ cos γ = ± . 2 2π π . 设 P2 的坐标为( x , y , z ), ⇒γ= , γ= 3 3
2 2 2
x −1 x −1 1 cosα = ⇒ x = 2, ⇒ = P1 P2 2 2
y−0 y−0 2 cos β = ⇒ ⇒ y = 2, = P1 P2 2 2 z−3 z−3 1 ⇒ z = 4, z = 2, ⇒ cos γ = =± 2 P1 P2 2
r 向量的坐标表达式 坐标表达式： 向量的坐标表达式： a = {a x , a y , a z }
M 1 M 2 = { x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
特殊地： 特殊地： OM = { x , y , z }
向量的加减法、 向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式 r r a = { a x , a y , a z }, b = { bx , b y , bz }, r r a + b = { a x + bx , a y + b y , a z + bz } r r r = ( a x + bx )i + ( a y + b y ) j + ( a z + bz )k ; r r a − b = { a x − bx , a y − b y , a z − bz } r r r = ( a x − bx )i + ( a y − b y ) j + ( a z − bz )k ; r r r r λ a = { λ a x , λ a y , λ a z } = ( λa x )i + ( λa y ) j + ( λ a z )k .
∴ AC = AB + BC .
作为坐标原点． 例 1 在 u 轴上取定一点o 作为坐标原点． A, B ,是 u 设
r 轴上坐标依次为 u1 , u 2 的两个点，e 是与 u 轴同方向 的两个点， r 的单位向量， 的单位向量，证明 AB = ( u 2 − u1 ) e . r B A e 证 Q OA = u1 , o u2 u 1 u1
a y = y2 − y1
r o i
r j
y
x 轴
上 的 投 影
z轴
上 的 投
a x = x2 − x1
v P1 P2 = ( x2 − x1 ) i v Q1Q2 = ( y2 − y1 ) i v R1 R2 = ( z 2 − z1 ) i
z
R2 ( z 2 ) R1 ( z1 )
M1
M2
Q2 ( y 2 ) Q1 ( y1 ) P1 ( x1 )
2 2 2
r 2 2 2 | a |= a x + a y + a z 向量模长的坐标表示式
向量方向余弦的坐标表示式
当 a x + a y + a z ≠ 0 时，
2 2 2
cos α =
cos γ =
ax a x + a y + az
2 2 2
, cos β =
ay a x + a y + az
r r r r 解 Q a = 4m + 3n − p r r r r r r = 4( 3i + 5 j + 8k ) + 3( 2i − 4 j − 7 k ) r r r r r r − (5i + j − 4k ) = 13i + 7 j + 15k ,
r 轴同方向的单位向量， 设 e 是与 u 轴同方向的单位向量， r r A e AB = ( AB )e .
B
o
1
u
轴上任意三点， 设 A , B , C 是 u 轴上任意三点，不论这 三点的相互 位置如何， 位置如何， Q AC = AB + BC , r r r r 即 ( AC )e = ( AB )e + ( BC )e = ( AB + BC )e ,
P2 ( x 2 )
y
x
按基本单位向量的坐标分解式： 按基本单位向量的坐标分解式： 坐标分解式
r r r 在三个坐标轴上的分向量 分向量： 在三个坐标轴上的分向量： a x i , a y j , a z k ,
向量的坐标： 向量的坐标：a x , a y , a z , 坐标
r r r M 1 M 2 = ( x2 − x1 )i + ( y2 − y1 ) j + ( z 2 − z1 )k
为两已知点， 例 2 设 A( x1 , y1 , z1 )和 B( x2 , y2 , z 2 )为两已知点，而在 AB 直线 上的点 M 分有向线段 AB 为两部分 AM 、 MB ，使它们的值的 AM 求分点的坐标 = λ ，求分点的坐标. 比等于某数λ ( λ ≠ −1 )，即 MB z
解 设 M ( x , y , z ) 为直线上的点， 为直线上的点，
2 2 2
,
az a x + a y + az
2 2 2
.
方向余弦的特征
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
特殊地： 特殊地：单位向量的方向余弦为
r a 0 a = r = {cos α , cos β , cos γ }. |a |
r r r r 例 3 求平行于向量 a = 6i + 7 j − 6k 的单位向量
一、向量在轴上的投影与投影定理
设有一轴 u，AB 是轴 u 上的有向线段 .
A B
u
如果数 λ 满足 λ = AB ，且当 AB 与 u 轴同 是正的， 是负的， 向时 λ 是正的，当 AB 与 u 轴反向时 λ 是负的， 那末数 λ 叫做轴 u 上有向线段 AB ，即 λ = AB . AB 的值，记作 的值，
P2 的坐标为 ( 2, 2 ,4), ( 2, 2 ,2).
r r r r r r r r i 例 5 r设 m = 3r + 5 j + 8k ， n = 2i − 4 j − 7 k ， r r r r r r p = 5i + j − 4k ，求向量 a = 4m + 3n − p 在 x 轴上 轴上的分向量. 的投影及在 y 轴上的分向量.
r b
ϕ
r a
类似地，可定义向量与一轴 空间两轴的夹角 向量与一轴或 的夹角. 类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角. 特殊地，当两个向量中有一个零向量时， 特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定 它们的夹角可在0 之间任意取值. 它们的夹角可在0与 π 之间任意取值.
空间一点在轴上的投影
•
AM = { x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 }
A
x
B M
MB = { x2 − x , y2 − y , z 2 − z }
o
y
由题意知： 由题意知： AM = λMB
{ x − x1 , y − y1 , z − z1 } = λ { x2 − x , y2 − y , z2 − z },
r 故 OA = u1e ,
r 同理， OB 同理， = u2 e , 于是 r r r = u2e − u1e = ( u2 − u1 )e . AB = OB − OA
空间两向量的夹角的概念： 空间两向量的夹角的概念：
r r r r r r a ≠ 0 , b ≠ 0 , 向量a 与向量 b 的夹角 r r r r ϕ = ( a , b )= ( b , a ) ( 0 ≤ ϕ ≤ π )
r c
r a
r b
u
关于向量的投影定理（ 关于向量的投影定理（2） 投影定理 r r r r 两个向量的和在轴 Pr j (a1 + a2 ) = Pr ja1 + Pr ja2 . 上的投影等于两个 C 向量在该轴上的投 A r 影之和. r 影之和. a 可推广到有限多个） （可推广到有限多个）
•M
2
•
N
Q
P
o
y
r r r 轴正向的单位向量. 以 i , j , k 分别表示沿 x , y , z 轴正向的单位向量.
z
R
r r r r a = axi + ay j + azk
向 量 在 向 量 在
y 轴 上 的 投 影
影
向 量 在
r k
•M
2
M1