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_________ ，关于 z 轴的对称点是
3、点 A ( − 4 , 3 , 5 ) 在 xoy 平面上的射影点为_____ ______, 面上的射影点为__________ __________， ______,在 yoz 面上的射影点为__________，在 轴上的射影点为_________ _________， zox 轴上的射影点为_________，在 x 轴上 的射影 的射影点为______ ______， 点为________ ________， 点为________，在 x 轴上 的射影点为______，在 的射影点为_______ z 轴上 的射影点为_______ ; 已知空间直角坐标系下， 4、已知空间直角坐标系下，立方体的 4 个顶点为 A( − a ,− a ,− a ) ， B( a ,− a ,− a ) ，C ( − a , a ,− a ) 和 则其余顶点分别为_________ _________， D( a , a , a ) ，则其余顶点分别为_________，____ __________，__________， __________，__________，_________ ;
5、已知三角形的三个顶点 A( 2 ,−1 ,4 ) ， B( 3 , 2 ,−6 ) ， 点的中线长为__________; ） C (−5 , 0 , 2 ) 则（1）过 A 点的中线长为 −
中线长为________ ________； （ 2）过 B 点的 中线长为________； ） 长为___________ ___________； （ 3）过 B 点的 中 线长为___________； ）
（注意它与平面直角坐标系的区别） 注意它与平面直角坐标系的区别） 区别
空间两点间距离公式
M1 M 2 =
( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 )
2 2
2
思考题 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？
A(1,−2,3) , B( 2,3,−4) , C ( 2,−3,−4) , D( −2,−3,1) .
6、已知平行四边形 ABCD 的两个顶点 A( 2 ,−3 ,−5 ) , B(−1 , 3 , 2 ) 的及它的对角线的交点 E ( 4 ,−1 , 7 ) ，则 − _________， 顶点 D 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标 为_____ ______； ______； 7、若直线段落 AB 被点C ( 2 , 0 , 2 ) 及点 D( 5 ,−2 , 0 ) 内 等分， 的坐标为_________ _________， 分为3 等分， 端点 A 的坐标为_________， 端点 B 则 的坐标为_________ 的坐标为_________ .
x
空间直角坐标系共有八个卦限 空间直角坐标系共有八个卦限
1− − 空间的点 ← 1→ 有序数组
( x, y, z )
P , Q , R,
特殊点的表示: 特殊点的表示: 坐标面上的点
O (0,0,0)
坐标轴上的点
A, B , C ,
R( 0 ,0 , z )
z
B ( 0, y , z )
•
C ( x , o, z )
∴ M 2 M 3 = M 3 M1 ,
原结论成立. 原结论成立.
轴上， 例 2 设 P 在 x 轴上，它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为到点 P2 ( 0,1,−1) 的距离的两倍， 的坐标. 的距离的两倍，求点 P 的坐标.
解 因为 P 在 x 轴上， P 点坐标为 ( x ,0,0), 设 轴上，
一、空间点的直角坐标
三个坐标轴的正方向符合 右手系. 右手系.
即以右手握住 z 轴，当右 手的四个手指从正向 x
z 竖轴
定点
o
•
y 纵轴
π 轴以 角度转向正向 y 轴 2
时，大拇指的指向就是 z 轴的正向. 轴的正向.
横轴 x
空间直角坐标系
Ⅲ
z
zox 面
Ⅱ
yoz 面
Ⅳ
xoy 面
Ⅶ Ⅷ
o
y
Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
思考题解答
A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ; Ⅳ Ⅴ Ⅷ Ⅲ
练习题
一、填空题 下列各点所在卦限分别是： 1、下列各点所在卦限分别是：
( a、 1 , - 2 , 3)在 _________ ；
( c、 2, − 3 , −4 )在 ________ ； ( d、 − 2 , − 3 , 1)在 _______;
二 、 在 yoz 面 上 ， 求 与 三 个 已 知点 A ( 3 , 1 , 2 ) ， B ( 4 , − 2 , − 2 ) 和 C ( 0 , 5 , 1 ) 等 距 离的 点 .
练习题答案
一、1、Ⅳ ,Ⅴ,Ⅷ,Ⅲ； 2、(-3,2,1),(3,2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)； (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)； 3、(-4,3,0),(0,3,5),(-4,0,5), (-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)； (-4,0,0),(0,3,0),(0,0,5)； 4、(a , a ,− a ), ( − a , a , a ), ( − a ,− a , a ), (a ,− a , a ) ； 1 1 6、(6,1,19),(9,-5,12)； 5、7, 430 , 262 ； 6、(6,1,19),(9,-5,12)； 2 2 (-1,2,4),(8,-4,-2)； 7、(-1,2,4),(8,-4,-2)； 1 4 1 4 1 4 8、 x = ∑ x i , y = ∑ y i , z = ∑ z i . 4 i =1 4 i =1 4 i =1 (0,1,-2). 二、(0,1,-2).
PP1 = x 2 + ( 2 )2 + 32 =
x 2 + 11,
x 2 + 2,
PP2 =
2 x 2 + (− 1) + 12 =
Q PP1 = 2 PP2 ,
∴ x 2 + 11
= 2 x2 + 2
⇒ x = ±1,
所求点为 (1,0,0), ( −1,0,0).
三、小结
卦限） 空间直角坐标系 （轴、面、卦限）
M ( x, y, z)
Q ( 0 , y ,0 )
o
y
x
P ( x ,0 ,0 )
A( x , y ,0)
二、空间两点间的距离
设 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 、 M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 为空间两点
z
R
•M 2
M1
d = M1 M 2 = ?
•
Q
N
P
在 直 角 ∆M 1 NM 2 及 直角 ∆M 1 PN 中 ，使 用勾股定理知
解 M 1 M 2 = (7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14,
2 2 2 2 M 2 M 3 = (5 − 7 ) + ( 2 − 1) + ( 3 − 2) = 6, 2
M 3 M1 = (4 − 5)2 + ( 3 − 2)2 + (1 − 3)2 = 6,
2
( b、 2 , 3 , − 4 )在 ________ ；
2、点 p ( − 3 , 2 , − 1 ) 关于平面 ________ ，关于平面 关于平面 的对称点是 zox 的对称点是
xoy 的对称点是 ______,
yoz 的对称点是
________ ，关于 x 轴 _________ ；
_________ ，关于 y 轴的对称点是
o
x
y
d 2 = M 1 P + PN + NM 2 ,
2 2 2
Q M 1 P = x2 − x1 ,
NM 2 = z2 − z1 ,
∴d =
2 2
PN = y2 − y1 ,
2
z
R
• M2
M1
•
M 1 P + PN + NM 2
P
o
Q NyxM1 M 2 =( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) + ( z2 − z1 ) .
2 2 2
空间两点间距离公式 特殊地： 特殊地：若两点分别为 M ( x , y , z ) , O(0,0,0)
d = OM = x 2 + y 2 + z 2 .
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 (7,1,2) 、 M 3 (5,2,3) 三点为顶点的 三角形是一个等腰三角形. 三角形是一个等腰三角形.
