人教版高一根式和分数指数幂运算练习(含答案)

2 2 2 ⎝ ⎝ ⎭⎭指数与指数幂的运算 习题（含答案）一、单选题1．已知 x ，y 为正实数，则 A ． 2lnx+lny =2lnx +2lny B ． 2ln （x+y ）=2lnx •2lny C ． 2lnx•lny =2lnx +2lnyD ． 2ln （xy ）=2lnx •2lny12．化简[( ‒ 2)6]2 ‒ ( ‒ 1)0的结果为A ． −9B ． 7C ． −10D ． 93. 若 > 0，且 ， 为整数，则下列各式中正确的是A ． a m ÷ a n = anB ． a m ⋅ a n = a mnC ． () =+D ． 1 ÷ a n = a 0 ‒ n4. 若 a >1，b >0，且 a b ＋a －b ＝2，则 a b －a －b 的值为( )A ．B ． 2 或－2C ． －2D ． 25．3‒ 27的值为（）． A.9B. ‒ 9C.‒ 3D.3a 3x + a ‒ 3x26．若 = A ． 2 ‒ 1 C ． 2 + 1‒ 1，则 a x + a ‒ x 等于B ． 2 ‒ 2 D ． + 1log 3x , x > 0 ⎛ ⎛ 1 ⎫⎫7．已知函数 f (x )= { 2x , x ≤ 0，则 f f 9 ⎪⎪ 等于（ ）A ． 4B ． - 1 41C ． -4D ． 4 18．设 a = log 3,b = 20.3, c = log 2 ，则（ ）3A ． a > b > cB ． a > c > bC ． c > a > b (1)9．设 y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝ 2 －1.5，则( ) A ． y 3＞y 1＞y 2 B ． y 2＞y 1＞y 3 C ． y 1＞y 2＞y 3 D ． y 1＞y 3＞y 2 10．有下列各式：D ． b > a > c2 2n a n 3 x4+ y 36 (-5)2m ‒ 2n4 163 x3 x 227 - - ① = a ；②若 a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；4③ = x 3+ y ；④ 35 = .其中正确的个数是( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2D ．311．化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A ． 1B ． －1C ．a 2 -1a 2 +1a 2 +1D ．a 2 -112. 下列各式计算正确的是( )A ． (－1)0＝1B ． 21a 2·a 2＝a2 1 1 C ． 43＝8D ． a 3÷ a － 3= a 313. 已知a m ＝4，a n ＝3，则 的值为( )2A.33B. 6 C ． 2D ． 2二、填空题化简 ⋅(x > 0) 的结果是.14.x ⋅ 15. 设函数 f (x ) = a x + (k -1)a -x + k 2 （ a > 0, a ≠ 1 ）是定义域为 R 的奇函数.（1） 求 k 值；（2） 若 f (1) > 0 ，求使不等式 f (x 2 + x ) + f (t - 2x ) > 0 恒成立的t 的取值范围；（3）若 f (1) = 3 ，设 g (x ) = a 2x + a -2x - 2mf (x ) ， g (x ) 在[1, +∞) 上的最小值为-1，2求m 的值.12⎛ 1 ⎫ - 16．计算： 83 ÷ ⎪ = .⎝ 4 ⎭ ⎛ 8 ⎫- 13 - ⎛ - 3 ⎫0+ =17． log 3 +⎝ 125 ⎪⎭ ．⎝ 5 ⎪⎭2 518． (2a -3b 3 ) ⋅ (-3a -1b ) ÷ (4a -4b 3)(a > 0, b > 0) =.19．若2x + 2-x = 5 ，则8x + 8-x =.6 x23 a - 33 b- ⎛ 8 9 2 ( ‒ 8) （3） ；20． 0.064 13- - 1 ⎫0 + ⎡(-2)3 ⎤- 34 +16 ⎪ ⎣ ⎦⎝ ⎭- 34 + 0.0112 =⎛ 1 ⎫0 21. 计算： lg4 + lg25 + - ⎪ ⎝ ⎭=．22. 直线y = 2a 与函数 y = a x -1 (a > 0且a ≠ 1)的图象有且仅有两个公共点，则实数 a 的取值范围是.1 + log 12 - (0.7)0+ 0.25-1 ＝。

根式和分数指数幂的互化及其化简运算专题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 下列各式中正确的一个是（ ） A.(n m)7=n 7m 17 B.√(−3)412=√−33C.√x 3+y 34=(x +y )34 D.√354=3542. 设a >0，将2√a⋅√a 2表示成分数指数幂，其结果是（ ）A.a 12B.a 56C.a 76D.a 323. 当 √2−x 有意义时，化简 √x 2−4x +4−√x 2−6x +9的结果是（ ） A.2x −5 B.−2x −1 C.−1 D.5−2x4. 化简(√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33的结果是（ ） A.1−a B.2(1−a) C.a −1 D.2(a −1)5. 化简√(x +3)2−√(x −3)33得（ ） A.6 B.2x C.6或−2x D.6或2x 或−2x6. 化简(√√a 963)4⋅(√√a 936)4的结果为（ ） A.a 16 B.a 8 C.a 4 D.a 27. 若x <13，则√9x 2−6x +1等于（ ） A.3x −1 B.1−3xC.(1−3x)2D.非以上答案8. 若n <m <0，则√m 2+2mn +n 2−√m 2−2mn +n 2等于（ ） A.2m B.2n C.−2m D.−2n9. √m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=( )A.1B.m 12C.m 13D.m10. 下列各式成立的是（ ） A.√m 2+n 23=(m +n)23 B.(ba)2=a 12b 12C.√(−3)26=(−3)13 D.√√43=21311. 已知正数a ，b 满足√9a×√27b=3，则ab 的最小值为( ) A.6 B.12 C.18 D.2412. 已知a >0，则√a 13√a 12√a 化为( )A.a 712 B.a 512C.a 56D.a 1313. (614)−12=( )A.32B.23C.25D.5214. 若2<a <3，化简√(2−a)2+√(3−a)44的结果是( ) A.5−2a B.2a −5 C.1 D.−115. 已知 a >0 √a 23=( )A.a 12B.a 32C.a 23D.a 1316. 设a >0，将2√a⋅√a 2表示成分数指数幂，其结果是( )A.a 12B.a 56C.a 76D.a 3217. 化简√√ab 23⋅a 3b 2√b 3⋅(a 16b 12)4（a ，b 为正数）的结果是（ ）A.baB.abC.abD.a 2b18. 当x ∈(−∞, 2)时，√(x −2)2+√(x −1)33的值为（ ） A.2x −3 B.1 C.−1 D.−2x +319. 已知x 12+x −12=5，则 x 2+1x的值为（ ）A.5B.23C.25D.2720.(√a⋅√a 35)9(√a 45)3⋅(√a 2⋅√a 5)43(√a 2⋅√a 3)2的值为（ ）A.1B.a 2C.a 3D.以上答案均不正确21. 已知x +x −1=3，则x 32+x −32值为( ) A.±4√5 B.2√5C.4√5D.−4√522. 设a =√(−8)33，b =√(−10)2，则a +b =( ) A.−18 B.18 C.−2 D.223. 已知，，则________．24. 已知 x +x −1=3,则x 2+x −2=________； x 12+x −12=________.25. 已知x +x −1=3，则x 2+x −2=________；x −x −1=________.26. 计算(√23×√3)6+√2√2)43−4×(1649)−12−√24×80.25−(−2013)0=________．27. 已知x +x −1=3，则x 32+x −32值为________．28. 化简√a 72⋅√a −33÷√√a −83⋅√a 153÷√√a −3⋅√a −13=________．29. 已知x +y =12，xy =9，且x <y ，则x 12−y 12x 12+y 12=________．30. 先化简，再求值：，其中.31. 计算(1)√8+√32−√24(2)√12÷√27×√1832. 求下列各式的值： （1）0.001−13−(78)0+1634+(√2⋅√33)6．（2）设 x 12+x −12=3，求x +x −1 的值．33. 已知a <b <0，n >1，n ∈N ∗，化简 √(a −b)n n+√(a +b)n n．34. （1）计算4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)]； 34. （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅．35. 化简下列各式（1）√11+6√2+√11−6√2（2）√a 2b 2√ab3(a 14b 12)a−13b13(a >0b >0)36. 解答.(1)求值：√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44；(2)计算：2x −13(12x 13+x −23)x ；(3)计算：(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12.37. 化简求值： (1)√254+(√π)0−2−1；(2)(2a 23b 12)(−6a 12b 13)÷(−3a 16b 56). 38. 设x =√3−2，y =√3+2，求代数式x 2+xy+y 2x+y的值．39.(1)求值： (√23×√3)6+(−2020)0−4×(1649)−12+√(3−π)44；(2)已知√a −√a=4，求值：a 12+a −12.40. 化简或求值. b √a 3⋅√ab 3a √b 2√ab3>0,b >0);(2)(214)12+0.1−2−(278)13+π0.参考答案与试题解析根式和分数指数幂的互化及其化简运算专题含答案一、 选择题 （本题共计 22 小题 ，每题 3 分 ，共计66分 ） 1.【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】正确计算各选项，得出答案. 【解答】解：A ，(n m)7=n 7m −7，故A 错误；B ，√(−3)412=√3412=3412=313=√33，故B 错误； C ，√x 3+y 34=(x 3+y 3)14，故C 错误；D ，√354=354，故D 正确.故选D . 2. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式与分数指数幂的互化规则所给的根式化简即可将其表示成分数指数幂，求得其结果选出正确选项． 【解答】 解：由题意2√a⋅√a 2=2√a⋅a 23=a 2a 56=a 76.故选C ． 3.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：当 √2−x 有意义时，x ≤2．√x 2−4x +4−√x 2−6x +9=|x −2|−|x −3|=2−x +x −3=−1． 故选C ． 4.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ √a −1 有意义， ∴ a −1≥0，即a ≥1．∴ (√a −1)2+√(1−a)2+√(1−a)33=(a −1)+|1−a|+(1−a)=(a −1)+(a −1)+(1−a)=a −1． 故选C ． 5.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】化简√(x +3)2−√(x −3)33=|x +3|−(x −3)={6,x ≥−3−2x,x <−3．【解答】解：√(x +3)2−√(x −3)33=|x +3|−(x −3)={6,x ≥−3−2x,x <−3，故选C ． 6. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式和分数指数幂的关系，将式子化为分数指数幂形式，再由指数的运算法则求解即可． 【解答】解：(√√a 963)4⋅(√√a 936)4=a 9×16×13×4a 9×13×16×4=a 4 故选C 7.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用|a|={a,a ≥0−a,a <0及其乘法公式即可得出．【解答】解：∵ x <13，∴ 1−3x >0．则√9x 2−6x +1=√(1−3x)2=1−3x ． 故选：B ． 8.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用乘法公式与根式的运算性质即可得出． 【解答】解：原式=|m +n|−|m −n|， ∵ n <m <0，∴ m +n <0，m −n >0，∴ 原式=−(m +n)−(m −n)=−2m ． 故选：C ． 9.【答案】 A【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】将根式化为分数指数幂的形式，从而计算． 【解答】解：√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12⋅m 13⋅m 14⋅m−56⋅m −14=m (12+13+14−56−14) =m 0=1， 故选A ． 10.【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用指数幂的运算法则即可得出． 【解答】解：A ．∵ (m +n)23=√(m +n)23，因此不正确； B.(ba )2=b 2⋅a −2，因此不正确； C ．∵√(−3)26=√326=313，因此不正确；D.√√43=223×12=213，正确．11.【答案】 D【考点】基本不等式及其应用根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√9a×√27b=32a +3b=3，即2a +3b =1，∴ ab =3a +2b ≥2√6ab ，解得ab ≥24，当且仅当3a =2b ，即a =4，b =6时，等号成立. 故选D . 12.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：√a 13√a 12√a=√a 13√a 12⋅a 12 =√a 13⋅a 12=a 12×56=a 512. 故选B . 13. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂的化简求值 【解析】【解答】 解：原式=(254)−12=√425=25.故选C . 14.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】由根式的意义知√x n n=|x|，n 为偶数时，利用此式进行化简即可． 【解答】解：√(2−a)2+√(3−a)44=|2−a|+|3−a|， 因为2<a <3，所以上式=a −2+3−a =1. 故选C. 15. 【答案】 D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 √a 23=a a 23=1a 23−1=a 13.故选D . 16.【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】化根式为分数指数幂，然后利用有理指数幂的运算化简求值． 【解答】 解：2√a⋅√a 2=a 2√a ⋅a 23=a 2√a 1+23=2√a 53=a 2a 56=a 76． 故选C ． 17. 【答案】 C【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原式=[(ab 2)13⋅a 3⋅b 2]12b 13⋅a 23⋅b 2=a 16+32−23b 13+1−13−2=ab．故选C ． 18. 【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】根据根式与分数指数幂的运算法则进行化简即可． 【解答】解：∵ x ∈(−∞, 2)时，x −2<0；∴ √(x −2)2+√(x −1)33=|x −2|+(x −1) =−(x −2)+(x −1) =1．故选：B ． 19.【答案】 B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】根据指数幂的运算法则进行求值即可． 【解答】 解：∵ x 12+x−12=5，∴ 平方得x +2+x −1=25， 即x +x −1=23，∵x2+1x =x+1x=x+x−1，∴x2+1x=23，故选：B．20.【答案】D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】根据根式与分数指数幂的互化进行化简运算即可．【解答】解：原式=a 45×3˙⋅(a2⋅a12)23˙=a125a125⋅a2215a53=a−15，即原式的值为a−15．故选D．21.【答案】B【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】由x+x−1=3，得x12+x−12=√5．所以x32+x−32=(x12+x−12)(x+x−1−1)=2√5．【解答】解：∵x+x−1=3，∴x12+x−12=√(x12+x−12)2=√x+x−1+2=√5．∴x32+x−32=(x12+x−12)(x+x−1−1)=2√5．故选B．22.【答案】D【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】直接利用有理指数幂的运算性质化简求值．【解答】解：a=√(−8)33=−8，b=√(−10)2=10，则a+b=−8+10=2．故选：D．二、填空题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）23.【答案】23【考点】顺序结构的应用根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数式、对数式的综合比较【解析】」利用指数及指数幂的运算律求解．【解答】10∘=210−=3，10−r=10−10∘=23故答案为：2324.【答案】7,√5【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算分数指数幂【解析】此题暂无解析【解答】解：因为x+x−1=3，所以(x+x−1)2=9，即x2+x−2+2=9，所以x2+x−2=7；∵(x12+x−12)2=x+2+x−1=5，∴x12+x−12=√5.故答案为：7；√5.25.【答案】7,±√5【考点】有理数指数幂根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】（1）把已知条件平方，再化简即可得解【解答】解：∵(x+x−1)2=x2+x−2+2=9，∴x2+x−2=9−2=7，∴x2+x−2=7，(x −x −1)2=x 2+x −2−2=7−2=5， ∴ x −x −1=±√5. 故答案为：7；±√5. 26.【答案】 100【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 有理数指数幂【解析】利用分数指数幂的运算性质即可得出． 【解答】解：原式=22×33+(234)43−4×(47)2×(−12)−214+34−1=108+2−7−2−1 =100．故答案为：100． 27. 【答案】2√5【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用完全平方公式和立方差公式即可得出． 【解答】解：∵ (x 12+x −12)2=x +x −1+2=3+2=5， 又∵ x 12+x −12>0，∴ x 12+x −12=√5． ∴ x 32+x−32=(x 12+x −12)(x +x −1−1)=√5(3−1)=2√5．故答案为：2√5． 28. 【答案】a 16【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】本题先将根式化成指数幂的形式，再利用负指数将除转化为乘，然后利用指数运算的法则计算，得到本题的解． 【解答】解：原式=√a 72⋅a −323÷√a −83⋅a 153÷√a −32⋅a −123=√a 23÷√a 73÷√a −23=a 23÷a 76÷a−23=a 16．故答案为：a 1 6．29.【答案】−√3 3【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】由题设形式与条件的形式知，需要利用完全平方差公式与完全平方和公式构造出题设中的分子与分母的形式，求值【解答】解：由题设0<x<y∵xy=9，∴√xy=3∴x+y−2√xy=(x12−y12)2=12−6=6x+y+2√xy=(x 12+y12)2=12+6=18∴x12−y12=−√6，x12+y12=3√2∴x 12−y12x 12+y12=√63√2=−√33故答案为：−√33三、解答题（本题共计 11 小题，每题 10 分，共计110分）30.【答案】、x−13、Ex+2′2【考点】运用诱导公式化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算有理数指数幂【解析】先将除法变为乘法，再约分，再同分化简．然后再将x=√2−2代入求解．【解答】原式=x+2x ×x2(x+2)2−x−2(x+2)(x−2)=xx+2−1x+2=x−1x+2再将x=√2−2代入得：√2−2−1√2−2+2=√2√2=1−3√2231.【答案】【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 32. 【答案】解：（1）原式 =(0.1)3×(−13)−1+24×34+(212)6⋅(313)6=10−1+8+8×9=89．（2）∵ x 12+x −12=3，∴ x +x−1=(x 12+x −12)2−2=32−2=7．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：（1）原式 =(0.1)3×(−13)−1+24×34+(212)6⋅(313)6=10−1+8+8×9=89．（2）∵ x 12+x −12=3， ∴ x +x −1=(x 12+x −12)2−2=32−2=7．33.【答案】解：∵ a <b <0，∴ a −b <0，a +b <0． 当n 是奇数时，原式 =(a −b)+(a +b)=2a ；当n 是偶数时，原式= |a −b|+|a +b|=(b −a)+(−a −b)=−2a ． ∴ √(a −b)n n+√(a +b)n n={2a,n 为奇数，−2a,n 为偶数.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ a <b <0，∴ a −b <0，a +b <0． 当n 是奇数时，原式 =(a −b)+(a +b)=2a ；当n 是偶数时，原式= |a −b|+|a +b|=(b −a)+(−a −b)=−2a ． ∴ √(a −b)n n+√(a +b)n n={2a,n 为奇数，−2a,n 为偶数.34.【答案】解：（1）4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)] =4×(−3)÷(−6)x 14+14−(−12)y −13−(−23)=2xy 13； （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12+13+14m 56+14=m 1312m 1312=1．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】（1）先把系数运算，再利用有理指数幂的运算性质化简得答案； （2）化根式为分数指数幂，再由有理指数幂的运算性质化简得答案． 【解答】解：（1）4x 14(−3x 14y −13)÷[−6(x −12y −23)] =4×(−3)÷(−6)x14+14−(−12)y−13−(−23)=2xy 13； （2）√m ⋅√m 3⋅√m 4⋅=m 12+13+14m 56+14=m 1312m 1312=1．35. 【答案】解：（1）原式=√9+2√18+2+√9−2√18+2 =√9+√2+√9−√2 =6． （2）原式=(a2+13b 2+13)12a 14−13b 12+13=a 76+112b 76−56=a 53b 13．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 （1）（2）利用指数幂的运算法则、乘法公式即可得出． 【解答】解：（1）原式=√9+2√18+2+√9−2√18+2 =√9+√2+√9−√2 =6． （2）原式=(a2+13b 2+13)12a 14−13b 12+13=a76+112b76−56=a 53b 13．36. 【答案】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2.(3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y.【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 分数指数幂 【解析】解：（1）√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)24=32+π−2+4−π=9−2+4=11（2)2x −13(12x 13+x −23)x =(1+2x −1)x =x +2.（3）(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12=(x −4y 12)y 12=x √y −4y. 【解答】解：(1)√(−27)23+√(2−π)2+√(4−π)44=32+π−2+4−π=9−2+4=11.(2)2x −13(12x 13+x −23)x=(1+2x −1)x =x +2. (3)(x 12+2y 14)(x 12−2y 14)÷y −12 =(x −4y 12)y 12=x √y −4y.37. 【答案】解：(1)原式=52+1−12=3．(2)原式=[2×(−6)÷(−3)]a 23+12−16 b 12+13−56 =4ab 0 =4a ．【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】 无 无 【解答】解：(1)原式=52+1−12=3． (2)原式=[2×(−6)÷(−3)]a 23+12−16 b12+13−56=4ab 0 =4a ．38. 【答案】 解：∵ x =√3−2=−√3−2，y =√3+2=2−√3，∴ x +y =−2√3，xy =−1， ∴x 2+xy+y 2x+y=(x+y)2−xyx+y=√3)2−2√3=−13√36． 【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】首先化简x ，y ，再化简原式，最后代入计算即可． 【解答】 解：∵ x =√3−2=−√3−2，y =√3+2=2−√3，∴ x +y =−2√3，xy =−1， ∴ x 2+xy+y 2x+y=(x+y)2−xyx+y=√3)2−2√3=−13√36． 39. 【答案】解：(1) 原式=(213×312)6+1−4×(74)(−2)×(−12)+|3−π|=22×33+1−4×74+π−3=99+π. (2)∵ √a −√a=4，∴ a 12−a −12=4， ∴ (a 12−a −12)2=16， ∴ a +a −1=18，∴ (a 12+a −12)2=a +a −1+2=20. ∵ a 12+a −12>0， ∴ a 12+a−12=2√5.【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】(1)将根式转化为分数指数幂进行求解即可； (2)将已知条件两边平方，得到a +a −1=18，再代入(a 12+a −12)2=a +a −1+2=20，即可求解.【解答】解：(1) 原式=(213×312)6+1−4×(74)(−2)×(−12)+|3−π|=22×33+1−4×74+π−3=99+π. (2)∵ √a −√a=4，∴ a 12−a −12=4， ∴ (a 12−a −12)2=16， ∴ a +a −1=18，∴ (a 12+a −12)2=a +a −1+2=20. ∵ a 12+a −12>0， ∴ a 12+a −12=2√5. 40. 【答案】 解：(1)原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=b×a 32a×b 23=a 12b 13； (2)原式 =(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101.【考点】有理数指数幂的化简求值根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】（1）利用根式与分数指数幂的运算性质化简运算即可；（2）根式与分数指数幂的运算性质先进行分式指数幂的运算，再化简即可． 【解答】 解：(1)原式=b(a 3(ab)13)12a(b 2(ab)12)13=b×a 32a×b 23=a 12b 13； (2)原式 =(94)12+(110)−2−[(32)3]13+1=32+100−32+1=101.。

课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。

课时4指数函数一. 指数与指数幂的运算（1）根式的概念 ①如果,,,1nxa a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n表示；当n 是偶数时，正数a 的正的nn次方根用符号0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当na =；当n(0)|| (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,m naa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rs r s aa a a r s R +⋅=>∈②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈二.指数函数及其性质（4）指数函数a 变化对图象影响在第一象限内，a 越大图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越大图象越低，越靠近x 轴． 在第一象限内，a 越小图象越高，越靠近y 轴； 在第二象限内，a 越小图象越低，越靠近x 轴．三.例题分析1.设a 、b 满足0<a<b<1,下列不等式中正确的是(C) A.a a <a b B.b a <b b C.a a <b a D.b b <a b解析：A 、B 不符合底数在(0,1)之间的单调性;C 、D 指数相同,底小值小.故选C. 2.若0<a<1,则函数y=a x 与y=(a-1)x 2的图象可能是(D)解析：当0<a<1时,y=a x为减函数,a-1<0,所以y=(a-1)x 2开口向下,故选D.3.设指数函数f(x)=a x (a>0且a ≠1),则下列等式中不正确的是(D) A.f(x+y)=f(x)f(y)B.f(x-y)=)()(y f x f C.f(nx)=［f(x)］n D.f ［(xy)n ］=［f(x)］n ［f(y)］n (n ∈N *) 解析：易知A 、B 、C 都正确. 对于D,f ［(xy)n］=a(xy)n,而［f(x)］n·［f(y)］n=(a x )n·(a y)n=anx+ny,一般情况下D 不成立.4.设a=31)43(-,b=41)34(-,c=43)23(-,则a 、b 、c 的大小关系是(B)A.c<a<bB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a解析：a=413131)34()34()43(>=-=b,b=434141)23()278()34(-=>=c.∴a>b>c.5.设f(x)=4x -2x+1,则f -1(0)=______1____________. 解析：令f -1(0)=a,则f(a)=0即有4a-2·2a=0.2a·(2a-2)=0,而2a>0,∴2a=2得a=1.6.函数y=a x-3+4(a>0且a ≠1)的反函数的图象恒过定点______(5,3)____________.解析：因y=a x的图象恒过定点(0,1),向右平移3个单位,向上平移4个单位得到y=a x-3+4的图象,易知恒过定点(3,5).故其反函数过定点(5,3).7.已知函数f(x)=xx xx --+-10101010.证明f(x)在R 上是增函数.证明：∵f(x)=1101101010101022+-=+---x x xx x x , 设x 1<x 2∈R ,则f(x 1)-f(x 2)=)110)(110()1010(21101101101101010101010101010212122112222111122222222++-=+--+-=+--+-----x x x x x x x x x x x x x x x x . ∵y=10x 是增函数, ∴21221010x x -<0. 而1210x +1>0,2210x +1>0, 故当x 1<x 2时,f(x 1)-f(x 2)<0, 即f(x 1)<f(x 2). 所以f(x)是增函数.8.若定义运算a ⊗b=⎩⎨⎧<≥,,,,b a a b a b 则函数f(x)=3x ⊗3-x 的值域为(A)A.(0,1]B.［1,+∞)C.(0,+∞)D.(-∞,+∞)解析：当3x ≥3-x ,即x ≥0时,f(x)=3-x ∈(0,1］;当3x<3-x,即x<0时,f(x)=3x∈(0,1).∴f(x)=⎩⎨⎧<≥-,0,3,0,3x x x x 值域为(0,1).9.函数y=a x 与y=-a -x (a>0,a ≠1)的图象(C) A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线y=-x 对称解析：可利用函数图象的对称性来判断两图象的关系.10.当x ∈［-1,1］时,函数f(x)=3x -2的值域为_______［-35,1］___________. 解析：f(x)在［-1,1］上单调递增.11.设有两个命题:(1)关于x 的不等式x 2+2ax+4>0对一切x ∈R 恒成立;(2)函数f(x)=-(5-2a)x 是减函数.若命题(1)和(2)中有且仅有一个是真命题,则实数a 的取值范围是_______(-∞,-2)__________.解析：(1)为真命题⇔Δ=(2a)2-16<0⇔-2<a<2.(2)为真命题⇔5-2a>1⇔a<2.若(1)假(2)真,则a ∈(-∞,-2].若(1)真(2)假,则a ∈(-2,2)∩［2,+∞］=∅. 故a 的取值范围为(-∞,-2).12.求函数y=4-x -2-x +1,x ∈［-3,2］的最大值和最小值. 解：设2-x =t,由x ∈［-3,2］得t ∈［41,8］,于是y=t 2-t+1=(t-21)2+43.当t=21时,y 有最小值43.这时x=1.当t=8时,y 有最大值57.这时x=-3. 13.已知关于x 的方程2a 2x-2-7a x-1+3=0有一个根是2,求a 的值和方程其余的根. 解：∵2是方程2a 2x-2-9a x-1+4=0的根,将x=2代入方程解得a=21或a=4. (1)当a=21时,原方程化为2·(21)2x-2-9(21)x-1+4=0.① 令y=(21)x-1,方程①变为2y 2-9y+4=0, 解得y 1=4,y 2=21.∴(21)x-1=4⇒x=-1,(21)x-1=21⇒x=2. (2)当a=4时,原方程化为2·42x-2-9·4x-1+4=0.② 令t=4x-1,则方程②变为2t 2-9t+4=0.解得t 1=4,t 2=21. ∴4x-1=4⇒x=2, 4x-1=21⇒x=-21. 故方程另外两根是当a=21时,x=-1; 当a=4时,x=-21. 14.函数y=243)31(x x -+-的单调递增区间是(D) A.［1,2］B.［2,3］C.(-∞,2]D.［2,+∞)解析：因为y=3x2-4x+3,又y=3t 单调递增,t=x 2-4x+3在x∈［2,+∞)上递增,故所求的递增区间为［2,+∞).15.已知f(x)=3x-b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则F(x)=f 2(x)-2f(x)的值域为(B) A.［-1,+∞)B.［-1,63) C.［0,+∞)D.(0,63］解析：由f(2)=1,得32-b =1,b=2,f(x)=3x-2. ∴F(x)=［f(x)-1］2-1=(3x-2-1)2-1. 令t=3x-2,2≤x≤4.∴g(t)=(t -1)2-1,t∈［1,9］. ∴所求值域为［-1,63］.2.1指数函数练习1．下列各式中成立的一项（）A ．7177)(m n mn= B ．31243)3(-=-C ．43433)(y x y x +=+D ．3339=2．化简)31()3)((656131212132b a b a b a ÷-的结果（）A ．a 6B ．a -C ．a 9-D ．29a3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是（） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．)()(y f x f y x f =-）（ C ．)()]([)(Q n x f nx f n∈=D ．)()]([·)]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n4．函数21)2()5(--+-=x x y（）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或5．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于 （）A ．251+B ．251+- C ．251± D ．215± 6．当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax =的图象只可能是 （）7．函数||2)(x x f -=的值域是（）A ．]1,0(B ．)1,0(C ．),0(+∞D ．R8．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围 （）A ．)1,1(-B ．),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或9．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是 （）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[10．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是 （）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数 11．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是. 12．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 三、解答题：13．求函数y x x =--1511的定义域.14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .15．已知函数11)(+-=x x a a x f (a ＞1).（1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.16．函数f(x)＝a x(a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大，求a 的值．参考答案一、DCDDDAADDA二、11．(0,1)；12．(2，－2)； 三、13．解：要使函数有意义必须：∴定义域为：{}x x R x x ∈≠≠且01,14．解：rrrrr c b c a c b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cbc a . 当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr ，所以a r +b r ＞c r . 15．解：(1)是奇函数.(2)设x 1＜x 2，则1111)()(221121+--+-=-x x x x a a a a x f x f 。

分数指数幂 1、用根式的形式表示下列各式)0(>a （1）51a = （2）32a- =2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）34y x = （2）)0(2>=m mm3、求下列各式的值 （1）2325= （2）32254-⎛⎫⎪⎝⎭=4、解下列方程 （1）1318x - = （2）151243=-x分数指数幂（第9份）答案12、33222,x y m3、（1）125 （2）81254、（1）512 （2）16指数函数（第10份）1、下列函数是指数函数的是（填序号）（1）x y 4=（2）4x y =（3）xy )4(-=（4）24x y =。

2、函数)1,0(12≠>=-a a a y x 的图象必过定点。

3、若指数函数xa y )12(+=在R 上是增函数，XX 数a 的取值X 围。

4、如果指数函数xa x f )1()(-=是R 上的单调减函数，那么a 取值X 围是（） A 、2<a B 、2>a C 、21<<a D 、10<<a5、下列关系中，正确的是（）A 、5131)21()21(> B 、2.01.022> C 、2.01.022--> D 、115311()()22- - >6、比较下列各组数大小：（1）0.53.1 2.33.1（2）0.323-⎛⎫ ⎪⎝⎭0.2423-⎛⎫ ⎪⎝⎭（3） 2.52.3-0.10.2-7、函数xx f 10)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。

函数xx f 1.0)(=在区间[1-，2]上的最大值为，最小值为。

8、求满足下列条件的实数x 的X 围： （1）82>x （2）2.05<x9、已知下列不等式，试比较n m ,的大小：（1）nm22<（2）n m 2.02.0<（3）)10(<<<a a an m10、若指数函数)1,0(≠>=a a a y x的图象经过点)2,1(-，求该函数的表达式并指出它的定义域、值域和单调区间。

高中数学新人教版必修一知识讲解及练习附答案指数与指数幂的运算编稿： 审稿：【学习目标】1.理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质(1)理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算；(2)能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化；(3)能利用有理指数运算性质简化根式运算.2.掌握无理指数幂的概念，将指数的取值范围推广到实数集；3.通过指数范围的扩大，我们要能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力；4.通过对根式与分数指数幂的关系的认识，能学会透过表面去认清事物的本质． 【要点梳理】要点一、整数指数幂的概念及运算性质 1．整数指数幂的概念()()),0(1010*Z*n a a a a a Z n a a a a nn an n ∈≠=≠=∈⋅⋅⋅=-个2．运算法则 （1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm mb a ab =.要点二、根式的概念和运算法则 1．n 次方根的定义：若x n =y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根.n 为奇数时，正数y 的奇次方根有一个，是正数，记为n y ；负数y 的奇次方根有一个，是负数，记为ny ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，0=. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，na =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a n n要点诠释：①要注意上述等式在形式上的联系与区别；②计算根式的结果关键取决于根指数的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．要点三、分数指数幂的概念和运算法则 为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1na =m m na ==-1m nm naa=要点四、有理数指数幂的运算 1．有理数指数幂的运算性质()Q b a ∈>>βα,00，，(1);a a aαβαβ+⋅=(2)();a a αβαβ= (3)();ab a b ααα=当a>0，p 为无理数时，a p是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用. 要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.2.指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）的运用，能够简化运算.【典型例题】 类型一、根式例1.计算：（1；（2.【答案】【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.（1==2|-|2|=2-（2（211=【总结升华】对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全n次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）的分子、分母中同乘以1).举一反三：【变式1】化简：（1（2|3) x<【答案】（11；（2）22(31),4(13).x xx---<<⎧⎨-≤<⎩。

n 次方根与分数指数幂同步练习一、选择题1. 若2m ⋅4n =16，则必有（ ）A. mn =4B. mn =2C. m +2n =2D. m +2n =42.√a 55+√(2a −1)44的化简结果为（）A. 1−aB. 3a −1C. 1−a 或3a −1D. a −1或1−3a3. 当x >0时，若√√x 3=3x，则x =( )A. 927B. 327C. 925D. 3254. 若{1,a,ba }={0,a 2,a +b }，则a 2012+b 2012的值为( )A. 0B. 1C. −1D. 1或−15. 若10a =5,10b =2，则a +b =( )A. −1B. 0C. 1D. 26. 已知a m =4，a n =3，则√a m−2n 的值为（）A. 23B. 6C. 32D. 27. 化简√√ab 23⋅a 3b 2√b 3⋅(a 16b 12)4(a,b 为正数)的结果是（ ）A. baB. abC. abD. a 2b8. 有下列说法：①81的4次方根是3；②√164的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义； ④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义．其中，正确的是( )A. ①③④B. ②③④C. ②③D. ③④9. 若xy ≠0，那么等式√x 2y 3=−xy √y 成立的条件是A. x >0,y >0B. x >0,y <0C. x <0,y >0D. x <0,y <010. 已知a =0.24，b =0.32，c =0.43，则（）A. b <a <cB. a <c <bC. c <a <bD. a <b <c二、填空题11. 化简(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)的结果是____.12. 化简：√(−4)44=__________． 三、解答题 13. (1)计算0.027−13−(−16)−2+810.75+(19)0−3−1;(2)若x 12+x −12=√6，求x+x −1−1x 2+x −2−2的值．14. 求下列各式的值：(1)√10044； (2)√(−0.1)55； (3)√(π−4)2； (4)√(x −y)66．15. (1)求值：(214)12−(−9.6)0−(338)−23+1.5−2+[(−5)4]14；(2)已知a 12+a −12=3，求a 32+a −32的值． (附：a 3+b 3=(a +b)(a 2−ab +b 2))答案和解析1.D【解答】解：∵2m ⋅4n =2m ⋅22n =2m+2n =24， ∴m +2n =4．2.C解：√a 55+√(2a −1)44=a +|2a −1|={1−a,a <123a −1,a ≥12，故√a 55+√(2a −1)44的化简结果为1−a 或3a −1．3.A解：∵√√x 3=3x，∴√x 3=9x 2，∴x 2⋅x 32=x 72=9， ∴x =927．4.B解：根据题意，对于{a,ba ,1}，有a ≠1，a ≠0； 又有{1,a,ba }={0,a 2,a +b }， 则有a =0或b a =0； 又由a ≠0；故b =0；代入集合中．可得{a,1，0}={a 2，a ，0}， 必有a 2=1， 又由a ≠1， 则a =−1；则a 2012+b 2012=1．5.C解：10a =5,10b =2，所以10a ·10b =10a+b =5×2=10, a +b =1，6.A解：√a m−2n =√a m (a n )2=√49=23．7.C解：原式=[(ab 2)13⋅a 3⋅b 2]12b 13⋅a 23⋅b 2=(a 13+3·b 23+2)12a 23·b 13+2=(a 103·b 83)12a 23·b 73=a 103×12−23·b 83×12−73=a ·b −1=ab．8.D解：①81的4次方根是±3，故①错误；②√164的运算结果是2，故②错误；③当n 为大于1的奇数时，√a n对任意a ∈R 都有意义，故③正确；④当n 为大于1的偶数时，√a n只有当a ⩾0时才有意义，故④正确．9.C解：∵xy ≠0，且√x 2y 3=−xy √y ， ∴y >0，xy <0， 则y >0，x <0，10.B解：∵c =0.43=0.064，a =0.24=0.0016， ∴a <c ，又∵c =0.43=0.064，b =0.32=0.09，c <b ， ∴a <c <b ，11.−9a解：(a 23b 12)(−3a 12b 13)÷(13a 16b 56)=−9a 23+12−16b 12+13−56=−9a ．12.4解：根据偶次方根的性质得√(−4)44=|−4|=4． 故答案为4．13.解;(1)原式=0.33×(−13)−1(−16)2+34×0.75+1−13=103−36+27+1−13=−5．(2)若x 12+x −12=√6，两边平方得x +x −1=4， 再两边平方得x 2+x −2=14，故x+x −1−1x 2+x −2−2=4−114−2=14．14.解：(1)√10044=10044=1001=100； (2)√(−0.1)55=(−0.1)55=(−0.1)1=−0.1；；(4)√(x −y)66=|x −y |．15.解：=32−1−49+49+5 =112；(2)∵a 12+a−12=3，∴a 32+a −32=(a 12)3+(a −12)3=(a 12+a −12)(a +a −1−1)， ∵(a 12+a −12)2=9=a +a −1+2，所以a +a −1=7，代入上式得，a 32+a −32=3×(7−1)=18．。

第四章 指数函数与对数函数4.1.1 n 次方根与分数指数幂一、选择题1．计算(94)12=（ ）A.8116 B.32C.98D.23【答案】B【解析】由题意可得(94)12=[(32)2]12=(32)2×12=32，故选：B.2．（2019·广东高三学业考试）已知0a >=( )A ．12aB ．32aC ．23aD ．13a【答案】D23a =2113323a aa a-===.故选D.3．（2019·浙江镇海中学高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( ) A．12()(0)x x =-≥ B13(0)x x =≤C．340)xx -=>D．130)x x -=≠【答案】C【解析】12(0)x x =-≥，故A 错13x =，故B 错,130)x x -=≠，故D 错,选C 4.（2019·广西桂林十八中高一期中）若4x =8，则x = A.2 B.4 C.12D.32【答案】D【解析】由4x =8得22x =23，∴2x =3，∴x =32．故选D ． 5（2019·河南高一期中）式子 ） ABCD【答案】D【解析】因为a ＜0，所以==．故选：D ． 6．（2019·广西桂林十八中高一期中）化简√−2√23的结果是 A.−213 B.−212C.−223D.−232【答案】B【解析】由题意得√−2√23=−√2√23=−(2×212)13=−232×13=−212．故选B ．二、填空题7.（2019·=______． 【答案】8()1344322=8⎡⎤==⎢⎥⎣⎦．8．（2019·辽宁高一期中）120.5233274()(3)(0.008)825--+⨯=______． 【答案】52【解析】120.5233274()(3)(0.008)825--+⨯211332332314()3()2525⎛⎫⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭=-+⨯ 353422=-+=．9．已知m =2，n =3，则3的值是______．【答案】227【解析】m=n=3，则原式=3231345323221322213m n mn m n m n nm nm ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥÷=⨯ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=m•n -3=2×3-3=227; 10．（2019·江苏高一期中）已知17a a+=，则22a a -+=______． 【答案】47 【解析】222117247a a a a a a-+=∴+=+-=，（） 三、解答题11．（2019·重庆南开中学高一期中）0.509134-﹣()2设0a >()3若1122xx-+=12212x x x x --+-+-的值．【答案】(1)43π+;(2)116 a -;(3)1 4.【解析】()1原式241133ππ=+-+=+；()2原式4111326223a aaa a --⋅==⋅；()3若1122xx-+=则14x x -+=，2214x x -+=，故122141121424x x x x --+--==+-- 12．（2019·广东佛山一中高一期中）设22332100064a =⨯++ （1）化简上式，求a 的值；（2）设集合{}A x x a =>，全集为R ，RBC A N =⋂，求集合B 中的元素个数． 【答案】(1)218 (2)219个【解析】（1）原式223320002164=⨯++2100162=⨯++218=（2）{}218A x x =>，{}218R C A x x =≤，{}0218B x x x N ，=≤≤∈， 所以B 中元素个数为219．。

课时评价作业根底达标练1.〔2021浙江镇海中学高一期末〕以下式子的互化正确的选项是( ) A.√y 26=y 13(y ＜0) B.x−13=−√x 3(x ≠0)C.x−54=√(1x)54(x ＞0) D.−√x =(−x)12(x ＞0)答案：C2.〔2021广东揭阳三中高一期中〕化简：√(π−4)2+π= ( ) A.4B.2 π−4C.2 π−4或4D.4−2 π 答案：A3.〔2021湖南娄底高一期中〕以下式子成立的是( ) A.a √−a =√−a 3 B.a √−a =−√−a 3 C.a √−a =√a 3 D.a √−a =−√a 3 答案：B4.假设√(a −1)44=a −1，那么实数a 的取值范围是 . 答案：[1,+∞〕5.假设a ＜b ，那么√(a −b)2= . 答案：b −a6.假设√(3a −1)2=√(1−3a)33，那么实数a 的取值范围是 . 答案：〔−∞,13]解析：√(3a −1)2=|3a −1|,√(1−3a)33=1−3a ，由题意得|3a −1|=1−3a ，那么3a −1≤0，即a ≤13 .7.用分数指数幂表示以下各式： 〔1〕√a 3⋅√−a 6(a ＜0)； 〔2〕(√b 234)23(b <0)； 〔3〕√x(√x 2)23≠0) .答案：〔1〕原式=a 13⋅(−a)16=−(−a)13⋅(−a)16=−(−a)12(a ＜0). 〔2〕原式=b 23×14×23=(−b)19=−b 19(b ＜0).〔3〕原式=1x 13⋅x 45×13=1x 35=x −35(x ≠0).素养提升练8.ab =−5 ,那么a√−b a +b √−ab 的值是( ) A.2√5C.−2√5D.±2√5 答案：B解析：由题意知ab ＜0,a√−ba+b √−ab=a√−ab a2+b√−ab b 2=a√5a2+b√5b2=a ×√5|a|+b ×√5|b|=0，应选B.9.二次函数f(x)=ax 2+bx +0.1的图象如下图，那么√(a −b)44化简的结果是 . 答案：b −a解析：由题图可知f(−1)=a −b +0.1＜0，∴a −b ＜0 .∴√(a −b)44=|a −b|=−(a −b)=b −a . 10.求以下各式的值： 〔1〕√3+2√2√3−2√2 ;〔2〕√5+2√6√6−4√2√7−4√3 .答案：〔1〕原式=√(√2)2+2√2+1+√(√2)2−2√2+1=√(√2+1)2+√(√2−1)2=√2+1+√2−1=2√2 .〔2〕原式=√(√3+√2)2−√(2−√2)2+√(2−√3)2=√3+√2−(2−√2)+2−√3=2√2 .11.求使等式√(a −3)(a 2−9)=(3−a)√a +3成立的实数a 的取值范围. 答案：∵√(a −3)(a 2−9)=√(a −3)2(a +3)=|a −3|√a +3 .∴要使等式√(a −3)(a 2−9)=(3−a)⋅√a +3成立， 那么需{|a −3|=3−a,a +3≥0,即{3−a ≥0,a +3≥0,解得−3≤a ≤3 .故a 的取值范围是[−3,3] .创新拓展练12.化简y =√4x 2+4x +1+√4x 2−12x +9，并画出简图，写出最小值.答案：原式=|2x +1|+|2x −3|={2−4x,x ≤−12,4,−12＜x ＜32,4x −2,x ≤32.其图象如下图.解析：由图象易知函数的最小值为4.。

4．1指数4．1.1n次方根与分数指数幂必备知识基础练1．解析：正数的偶次方根有两个，负数的偶次方根不存在．①③错误，②④正确．答案：C2．解析：∵5是奇数．∴x ＝56. 答案：B3．解析：81的平方根为－9或9，即a ＝－9或9，－8的立方根为－2，即b ＝－2， ∴a ＋b ＝－11或7. 答案：7或－11 4．解析：6(－3)2＝632＝33，4a 4＝|a|，a 0＝1，条件为a ≠0.故A 、B 、D 错．答案：C5．解析：原式＝|x ＋3|－(x －3)，当x ≥－3时，原式＝6；当x ＜－3时，原式＝－2x ，故选B .答案：B6．解析：∵a>0，∴x ≤0，－ax 3＝|x|－ax ＝－x·－ax ，故选C .答案：C7．解析：－x ＝－x 12(x>0)；6y 2＝(|y|2)16＝－y 13 (y<0)；x 34-＝(x －3)14＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3(x>0)；x 13-＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 13＝31x (x ≠0)．答案：C8．解析：a 2a·3a2＝a 2÷⎝⎛⎭⎫a·a 2312＝a 52-6＝a 76，故选D . 答案：D9．解析：原式＝2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－18＋1－13＝2＋12＋1－13＝196. 答案：196关键能力综合练1．解析：当n 为奇数时，a 的n 次方根只有1个，为x ；当n 为偶数时，由于(±x)n ＝x n ＝a ，所以a 的n 次方根有2个，为±x.所以说法②④是正确的，选B .答案：B2．解析：(47)4＝7，(5a)5＝a ，6a 6＝|a|，(3a)3＝a ，故选A . 答案：A 3．解析：(a －b )2＋5(a －b )5＝|a －b|＋(a －b)＝⎩⎨⎧2(a －b )，a ≥b ，0，a<b ，故选C .答案：C4．解析：∵2x>1，∴1－2x<0，∴(1－2x )2＝|1－2x|＝2x －1.故选C .答案：C5．解析：选项A 中，(－1)13和(－1)26均符合分数指数幂的定义，但(－1) 13＝3－1＝－1，(－1) 26＝6(－1)2＝1，故A 不满足题意；选项B 中，0的负指数幂没有意义，故B 不满足题意；选项D 中，432-和⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3虽符合分数指数幂的定义，但值不相等，故D 不满足题意；选项C 中，212＝2，414＝422＝212＝2，满足题意．故选C .答案：C6．解析：原式＝|m ＋n|－|m －n|，∵n ＜m ＜0，∴m ＋n ＜0，m －n ＞0.故原式＝－2m.故选A .答案：A7．解析：∵x －1＋4x ＋y ＝0，∴x －1＝0，x ＋y ＝0，∴x ＝1，y ＝－1，x 2 017＋y 2 018＝2.答案：28．解析：(2a －1)2＝|2a －1|,3(1－2a )3＝1－2a ，∴|2a －1|＝1－2a ，即2a －1≤0，∴a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，129．解析： 3(1＋2)3＋4(1－2)4＝1＋2＋(2－1)＝2 2.答案：2 2 10．解析：(1) (x －y )2＝|x －y|， 当x ≥y 时， (x －y )2＝x －y ； 当x ＜y 时， (x －y )2＝y －x.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2. 学科素养升级练1．解析：A 中应为⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 7＝n 7m －7；12(－3)4＝1234＝33，B 项正确；C 中当x ＝y ＝1时，等式不成立；D 项正确．故选BD .答案：BD2．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2－4＝a 2＋1a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，因为0<a ≤1，所以a ≤1a ，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝1a －a. 答案：1a －a3．解析：解法一 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝6，ab ＝4.∵a>b ，⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝210＝15，∴a －b a ＋b ＝15＝55.解法二 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a>b ，而由x 2－6x ＋4＝0，得x 1＝3＋5，x 2＝3－5，∴a ＝3＋5，b ＝3－5，∴a －b a ＋b＝a ＋b －2aba －b＝3＋5＋3－5－43＋5－(3－5)＝6－425＝15＝55.。