根式、指数、分数指数幂---3

1．计算4 163的结果为( A )
A．8
B．4
C．2
D．18
3
3
解析：由题意可得4 163＝164＝(24)4＝23＝8.
2．根式
1 a
1a的分数指数幂的形式为( D )
解析：
题型 2◆利用分数指数幂的运算性质化简与求值
典例 1
A．x C．1
化简 x·3 x2(x>0)的结果是( A ) 6 x B．x2 D． x
a3是否可以写成 这方面的知识．
…呢？今天这一节课我们就要学习
二、提出问题
1．amn，a (a>0)如何写成根式形式？
2．amn，a 中 a≤0 是否有意义？
3．amn (a>0，m，n∈N*，n>1)是否表示mn 个 a 相乘？
[学习目标]
1.通过对有理数幂
am n
(a>0，m，n∈N*，且 n>1)含义的认识，
11
11
1．化简(a3b2)2÷(a2b4)(a>0，b>0)的结果为( A )
A．a
B．b
C．ab
D．ba
解析：
2．( 2)0－(1－0.5－2)÷28723的值为( D )
A．－13
B．13
C．43
D．73
解析：原式＝1－(1－22)÷322＝1－(－3)×49＝73.
题型 3◆条件求值问题
关于分数指数幂的教学，建议从根式的性质入手，将一些特殊的根式转 化为整数指数幂，再将整数指数转化为分数指数，引出根式与分数指数 幂的互化，对运算性质作进一步推广．对于无理数指数幂及其运算性质 只需给出定义，让学生了解即可．
一、导入新课 我们已经知道 aa，aaa，aaaa，…可以写成 a2，a3，a4，…，那么 a， a2，

二、课堂设问，任务驱动
内 14 问题2: 当 生 物 死 亡 后 ， 它 机 体 原 有 的 碳 会 按 确 这个时间称为“半衰期 ，根据此规律，人们 得了 ” 获 生 物 体 内 碳 含 量 与 死 亡 年 数之 间 的 关 系 14 t 1 5730 P( ) 2 由此可知：
t
定 的 规 律 衰 减 ， 大 约 每 过5730 衰 减 为 原 来 的 一 半 ， 经 年
2年后 2002 ),我国GDP可望为 ( 年 2000 年的 1 7.3% ) 倍; (
2
3年后( 2003 ),我国GDP可望为 年 2000 年的(1 7.3% )3 倍; 从2000 年起, x年后,我国GDP 可望为 2000 年的y倍,则
y (1 7.3% )x 1.073x ( x N * , x 20)
(1) a a a
r s
r s
rs
rs
(a 0, r , s Q);
(2) (a ) a (a 0, r , s Q); (3) (ab)r a r br (a 0, b 0, r Q).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析： 题型1、利用根式的性质化简、求值 ； 题型2、有条件的根式的化简 ； 题型3、分数指数幂的运算 ； 题型4、根式化为指数式。
4
c 5 c (c 0).
5 4
1)规定正数的正分数指数幂的意义:
三、新知建构，交流展示
a
m n
a (a 0, m` n N , 且n 1)
n m

正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿.
2)规定:
a

m n

（1） 4 1004 =100
（2）
5 (0.1)5 = －0.1
（3）
( 4)2 = | π－4 = 4 － π
（4）
|
6 ( x y)6 ( x y) = | x－y = x－y
|
阅读分数指数幂，回答以下问题： （1）分数指数幂是如何定义的； （2）有理指数幂的运算性质是怎样的；
（3）( a b ) n = a m b n
a m ÷a n = a m ×b －n = a m－n
a n
b
= ( a ×b －1 ) n = a n × b
－n
an bn
3）根式又是如何定义的？有那些规定？ 如果一个数的平方等于 a ，则这个数叫做 a 的平方根； 如果一个数的立方等于 a ，则这个数叫做 a 的立方根； 如果一个数的 n 次方等于 a ，则这个数叫做 a 的 n 次方根；
练习
a ＞ 0，m、n∈N *，n ＞ 1
正数的正分数指数幂的意义：
m
a n n am
正数的负分数指数幂的意义：
m
a n
1
m
an
0 的正分数指数幂等于 0 ； 0 的负分数指数幂没有意义
有理指数幂的运算性质： ( a＞ 0，b ＞ 0，r、s∈ Q ) （1）a r×a s = a r + s （2）( a r ) s = a rs （3）( ab ) r = a r×b r
(m n)2
(2)
3 (m n)2
2
(m n)3 (4)
p6 q5 ( p 0)
5
p3 q2
学生板演
3、求下列各式的值：
2
（1） 27 3

因此A点坐标为(1,2)．
答案：(1,2)
加法和减法是一级运算，乘法和除法是二级运算，当引进分数指数幂后，乘方 和开方也可看作同一级运算．利用指数的运算性质，可将根式与指数幂进行互 化运算，同时指数运算也是研究指数函数图象和性质的基础．
【例1】 计算下列各式：
学习指数函数的图象与性质是为研究其它函数图象与性质提供了典型范例，
复合，因此其单调性的判断类似于函数y＝
2．作为选择题，本题的关键是判断函数y＝ 利用单调性，必要时还可考虑求函数的值域等．
＝1＋
的奇偶性和单调性，主要是
3．学习函数的性质和图象，关键在于对具体函数的性质和图象进行系统的研究 和把握，建议可借助于几何画板等手段作出常见的整式函数如 y＝x3＋x，y＝ x3－x；分式函数如：
A．0 B．1 C．2 D．3
)
解析：A＝{x∈Z|1≤2－x<3}＝{0,1}，B＝{x∈R|log2x>1，或log2x<－1} ＝(0， )∪(2，＋∞) ，2]，∴A∩(∁RB)＝{0,1}．
∴∁RB＝(－∞，0]∪[ 答案：C
4．方程3x－1＝
的解是________．
解析：3x－1＝3－2，∴x－1＝－2，解得x＝－1. 答案：－1 5．(2010·高三调研)如图，过原点O的直 线与函数y＝2x的图象交于A、B两点， 过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C.若AC 平行于y轴，则点A的坐标是________． 解析： 设 A点坐标是 (x,2x)，则 C(x,4x)， B(x0,4x)，由 B点在函数 y＝ 2x的图象上， 则 ＝4x，则x0＝2x，又O，A，B在一条直线上 ，解得x＝1，
>0时，方程①有解．解得－1<y<1.

4. 例题与练习:
例1 求值：
2
83 ,
1
100 2 ,
( 1 )3 ,
(
16

)
3 4
.
4 81
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
a2 a; a3 3 a2; a a .
4. 例题与练习: 例2 用分数指数幂的形式表示下列各式 (其中a＞0)：
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
当n为偶数时， n
an
| a
|
a(a 0) a(a 0).
② 当n为任意正整数时，
复习引入
2. 根式的运算性质：
① 当n为奇数时， n a n a;
2.1.1指数与指数幂 的运算
主讲老师：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
复习引入
1. 整数指数幂的运算性质：
a m a n a mn (m, n Z ), (a m )n amn (m, n Z ), (ab)n a n bn (n Z ).
复习引入
2. 根式的运算性质：
4. 例题与练习:
例4
已 知x

x 1

1
3，求x 2

x

1
2的
值.
课堂小结
1. 分数指数幂的意义； 2. 分数指数幂与根式的互化； 3. 有理数指数幂的运算性质．
课后作业
1．阅读教材P.50-P.52； 2．《习案》作业十六.
；佳境配资 佳境配资 ；

③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2

3
1．分数指数幂的意义
正分数指 规定：a＝_n__a_m__(a>0，m，
数幂
n∈N*，且n>1).
分数指 负分数指 数幂 数幂
规定：a－mn ＝a1mn ＝_n__1_a__m__
(a>0，m，n∈N*，且 n>1).
性质
0的正分数指数幂等于_0_,0 的负分数指数幂_无__意__义___.
4
2.有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝_a_r＋__s ； (2)(ar)s＝_a_rs_； (3)(ab)r＝_a_rb_r_. 3．无理数指数幂 无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个_确__定__ _的__实__数__．有理数指数幂的运算性质对于无理数 指数幂同样适用．
5
根式与分数指数幂互化 用分数指数幂的形式表示下列各式．(其 中 a>0)
(1)3 a·4 a；
(2)a3·3 a2； (3) a3· a；
3 (4)(
a)2· ab3.
6
将根式化为分数指数幂形式―→根据分数指数 幂的运算性质化简―→结论
7
[解题过程] (1)3 a·4 a＝a13·a14＝a13＋14＝a172.
(2)a3·3 a2＝a3·a23＝a3＋23＝a131. (3) a3· a＝(a3·a12)12＝a74.
3 (4)(
a)2· ab3＝a132·(ab3)12＝a23·a12b32
＝a23＋12b32＝a76b32.
8
[题后感悟] (1)此类问题应熟练应用 amn ＝ n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)．当所求根式 含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向 外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化 简． (2)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指 数幂与根式可以相互转化．

n 次方根
1.根式的概念
xn＝a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方 (1)a 的 n 次方根：如果________
根，其中 n＞1，且 n∈N*.当 n 是奇数时，a 的 n 次方根表示为
a R ________ ，a∈________ ；当 n 是偶数时，a 的 n 次方根表示为
n
(0，＋∞) ±n a ，a∈___________. ________
例1.计算下列各式：
(1)(0.064) ＋[(－2)3] ＋16
1 27 2 (2)－ 8 3 ＋(0.01) 2 .

1 3

4 3
－0.75
；
3 (2m2 n

3 5 10
) (m n3 )6
1 2
解：(1)原式＝(0.43) ＋(－2)－4＋(24)
1 1 1 3 3
3
1 1 1 2 3 6
＝2×3＝6.
1 2 2 1 2 1 2 2
(3)原式＝
(m n ) (m n ) (m n )(m n )
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2
2m＋n ＝ . m－n
式子中既含有分数指数幂，又含有根式，应该
把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.
对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未
知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法
求值.
3.计算： (2m2 n ) (m n3 )6 (m, n N ) 解：原式=(2m2 n )
10
3 5 10

3 5 10
1 2
(m n3 )6
6
1 2

4 3 4
12 3
8 = (8 ) = 8
2 3
n m n n m n
2 3 3
2 3
n
a =
m
(a ) = a (a > 0, m, n ∈ N *, 且n > 1)
⒈正分数指数幂的意义 正数的正分数指数幂的定义： ⑴正数的正分数指数幂的定义：
m 用语言叙述： 次幂(m,n∈N*,且n>1) 用语言叙述：正数的 n 次幂 ∈ 且
小结： 分数指数幂的意义及运算性质 小结 ①
指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， ②指数概念的扩充，引入分数指数幂概念后， 指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 ． 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用，这样指数概念就扩充到了整个实数范围。 这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿，就是倒数： 数指数幂的意义相仿，就是倒数：
m − n
a
=
1 a
m n
=
1
n
(a>0,m,n∈N*,且n>1). ∈ 且
a
m
规定： 的正分数指数幂等于 的正分数指数幂等于0； 的负分数指 规定 ： 0的正分数指数幂等于 ； 0的负分数指 数幂没有意义. 数幂没有意义
⑴ ar·as=ar+s (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈R)； ∈ ； ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈R). ∈
1.正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义： 正数的正分数指数幂的意义 m
a
n
=
− m n

分数指数幂的运算是许多初中生学习数学的一个相当重要的知识点，分数指数幂的运算也是数学学习中必不可少的知识内容。

下面，我们将对分数指数幂的运算作一次详细的学习。

首先，我们来认识一下分数指数幂的概念。

分数指数幂是以负数及分数作为指数的指数运算，常用的记法有：a^（m/n），m/n可以是任意的分数。

这里的“a”代表的是根式的底数。

接下来，我们来看看分数指数幂的运算规则。

（1）首先，我们把 m/n解成m个 n，将a^(m/n)表示为 (a^n)^m （2）若 m 为偶数，则 a^(m/n) = (a^n)^(m/2)=（a^(n/2)）^(2m) （3）若 m 为奇数，则 a^(m/n) = (a^n)^[(m+1)/2]*a分数指数幂的运算公式还包括以下几种：（1）a^(-m/n) = (1/a)^(m/n)（2）（a^m）^(-n) = a^(-mn)（3）a^(m/n) * a^(k/n) = a^((m+k)/n)（4）a^(m/n) : a^(k/n) = a^((m-k)/n)（5）(a^m)^(k/n) = a^(mk/n)（6）a^(m/n) a^(k/n) = a^((m-k)/n)（7）a^(m/n) (a^(k/n))^2 = a^((m+2k)/n)让我们来看一个例子：例 1/3幂根式：3^(1/3)解们将 m/n解成 m=1，n=3，满足上面奇数的运算规则，则有：3^(1/3)=(3^3)^[(1+1)/2]*3=(27)^1*3=27*3=81根据以上可以看出，3^(1/3)=81在此，我们总结一下：分数指数幂的运算是学习数学中不可或缺的重要知识点，其计算的运算规则及其公式概念也是必然需要熟悉的。

掌握了分数指数幂的运算，能够在数学计算实践中拓展一下思路，可以帮助我们更好地把握数学知识，更好地提升学习成绩。

第27讲 根 式 一 知识点精讲1整数指数幂概念 =n a =0a (0≠a ) =-na *∈≠N n a ,02整数指数幂运算性质：=⋅n m a a =nm a )( =nab )( 3．根式的概念：一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． 如何求出x当2=n 时，a 的范围是 =x 当3=n 时，a 的范围是 =x4 任何实数都有奇次方根，正数的奇次方根为正，负数的奇次方根为负，0的奇次方根为0 正数的偶次方根有两个，负数没有偶次方根；0的偶次方根是0， 5.根式运算性质：①a a nn =）（ ②当n 是奇数时，a a nn=，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a n n二 典例解析： 例1.与aa 1-的值相等是（ ） A. a B. a - C. a - D. a -- 例2 求下列各式的值：（1）338）（－ （2）210）（－（3）443）－（π （4）)(2b a b a >-）（（5）.,325- （6） .)3(4- （7）.)32(2-（8）.625- （9）11410104848++（11）;246347625---++ （12）63125.132⨯⨯例3 判断正误（1）a a nn =）（ （2） a a nn= （3）a a =2 （4）a a =33例4.已知02)2(4-+-x x 有意义，求实数的取值范围例5.若x x x 211442-=+- 求实数x 的取值范围.例6 若36221144x x x -=+- 求实数x 的取值范围例7．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。

例8．已知),0(56>-=a a x求xx xx a a a a ----33的值。

第28讲 分数指数幂一 知识点精讲 例子：当0>a ①5102552510)(a a a a=== ②3124334312)(a a a a===③32333232)(a a a ==④21221)(a a a ==通过以上例子可以得出结论： 2 分数指数幂概念 =nma （1,,,0>∈>*n N n m a ）=pq a （1,,,0>∈>*p N q p a ） =-nm a（1,,,0>∈>*n N n m a ）3有理指数幂运算性质（可以扩充到实数集）Q s r a ∈>,,0 （1） =⋅s r a a （2）=s r a )( （3）=r ab )((4)0的正分数指数幂等于 (5)0的负分数指数幂二 典例解析：例1 求值： （1）328 （2）21100－ （3）341－）（ （4）。

根与幂的运算规则一、平方根与算术平方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

2.算术平方根的定义：一个非负实数的算术平方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

3.平方根与算术平方根的关系：一个数的算术平方根一定是该数的平方根，但一个数的平方根不一定是该数的算术平方根。

4.立方根的定义：一个数的立方根是指与其相乘后得到该数的非负实数。

5.立方根的性质：一个数的立方根与该数的性质符号相同。

三、负整数指数幂1.负整数指数幂的定义：一个数的负整数指数幂是指该数的倒数的正整数次幂。

2.负整数指数幂的性质：一个数的负整数指数幂与该数的性质符号相同。

四、正整数指数幂1.正整数指数幂的定义：一个数的正整数指数幂是指该数连乘自身正整数次。

2.正整数指数幂的性质：a)同底数幂的乘法：底数相同，指数相加。

b)同底数幂的除法：底数相同，指数相减。

c)幂的乘方：底数不变，指数相乘。

d)积的乘方：先将每个因数分别乘方，再将所得的幂相乘。

五、零指数幂1.零指数幂的定义：0的正整数指数幂等于0。

2.零指数幂的性质：0的零次幂没有意义。

六、分式指数幂1.分式指数幂的定义：一个数的分式指数幂是指该数的指数为分数的形式。

2.分式指数幂的性质：a)分式指数幂的乘法：底数相同，分子相乘，分母相乘。

b)分式指数幂的除法：底数相同，分子相除，分母相除。

c)分式指数幂的乘方：底数不变，分子相乘，分母相乘。

七、根式与分数指数幂1.根式的定义：一个数的根式是指以该数为底数的分数指数幂。

2.分数指数幂的定义：一个数的分数指数幂是指该数的指数为分数的形式。

3.根式与分数指数幂的关系：根式可以转化为分数指数幂，分数指数幂也可以转化为根式。

八、混合运算1.混合运算的定义：根与幂的运算规则在实际应用中，经常会与其他数学运算（如加、减、乘、除）结合进行。

2.混合运算的注意事项：a)先进行乘方、开方等运算，再进行乘除运算，最后进行加减运算。

C．25
D．27
31
32
C.
1
45
D.5 4
8
B [425＝5 42＝5 16，故选B.]
9
3．已知 a>0，则 a－23等于( )
A. a3
B. 1 3 a2
B [a－23＝ 12＝ 1 .] a3 3 a2
C.
1 a3
D．－3 a2
4．(m12)4＋(－1)0＝________.
10
m2＋1 [(m12)4＋(－1)0＝m2＋1.]
3
自主预习 探新知
4
1．分数指数幂的意义 正分数指数幂 规定：amn＝_n__a_m_(a>0，m，n∈N*，且 n>1)
分数指 数幂
负分数指数幂 规定：a－mn＝a1mn＝__n_1_a_m_ (a>0，m，n∈N*，且 n>1)
0 的分数指数 0 的正分数指数幂等于_0_，
幂
0 的负分数指数幂_没__有_意义
4 3
16
利用分数指数幂的运算性质化简求解 【例 2】 化简求值：
17
18
指数幂运算的常用技巧 1有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. 2负指数幂化为正指数幂的倒数. 3底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然 后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母 又含有负指数.
得a2＋a－2的值
[解] (1)将a12＋a－12＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14. (2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
24
1．在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值． [解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2， ∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8 3，即a－a－1＝±8 3. 2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值． [解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8 3×14＝±112 3.

第二章 根式与分数指数幂背景在《基本初等函数（Ⅰ）》一章中，有两个符号是学生比较不熟悉的：n a 和N a log ，教材中是通过实例引入并给出定义：如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根。

如果)1,0(≠>=a a N a x ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作N x a log =。

当我们按照书上的安排，通过大量的实例来引出并说明根式与对数的含义时，仍有不少学生不能很好地理解，在教师的特别强调下，勉强记住了这两个“奇怪”的东西，时间久了，若没有经过“脑白金”式的反复记忆，遗忘是理所当然的事了。

至于理解能力较差、基础不好的学生，则只能是象在看天书了。

“老师，为什么要学习根式呢？”是啊，为什么要引入根式，又为什么要引入对数？当学生这样问我时，我便经常问自己：有什么办法可以顺利地引入根式呢？ 解决策略 当我们重新回忆“2”的出现时，发现它是数系扩充的必然结果：古希腊毕达哥拉斯学派中一个叫希帕索斯的学生在研究1与2的比例中项时，发现没有一个能用整数比例写成的数可以表示它。

如果设这个数为x ，既然21x x =，推导的结果即22=x 。

他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，根据勾股定理211222=+=x ，可见边长为1的正方形的对角线的长度即是所要找的那个数，这个数肯定是存在的。

可它是多少？又该怎样表示它呢？后来人们把它写成了2，当然无理数的发现引发了第一次数学危机，人们发现并承认它的存在曾经付出巨大的曲折与艰辛。

那么，“2”是什么呢？相信每位高中学生都非常清楚：2是一个数，它的平方等于2！由此，“n a ”也是一个数，它的n 次方等于a ！更进一步，N a log 是什么呢？由N a x =知N aN a =log ，故N a l o g 也是一个数（对数），a 的N a log 次方等于N 。

如此，则n a 及N a log 便不难理解了。

于是我们认为，在讲授根式时，应向学生介绍数系的扩充与发展，让学生明白数系扩充的必要性以及引入数学符号的意义，这样做起码有以下几点好处：（1）介绍数学发展的历程，让学生对实数系有一个清晰的认识，而且数学史的精彩内容可以激发学生学习的兴趣。

立方根概念：1、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，3a 读作“三次根号a ”，其中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数。

2、求一个数a 的立方根的运算叫做立开方。

注意：正数的立方是一个正数，负数的立方是一个负数，零的立方等于零，所以正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零。

任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

例：1、求下列各数的立方根（1）28- （2）0.064（3）17427- （4）2162、求出下列各式的值(1) (3)3、若33731++x x 和互为相反数，求x 的值。

练习：30.729 25－3125 3827＋19n 次方根概念:1、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数为奇数方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶数方根。

2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开放数，n 叫做根指数。

3、实数a 的奇数方根有且只有一个，用“n a ”表示.其中被开方数a 是任意一个实数，根指数n 是大于1的奇数。

正数a 的偶数方根有两个，它们互为相反数，正n 次方跟用“n a ”表示，负n 次方用“—n a ”表示.其中被开方数a >0，根指数n 是正偶数（当n =2时，在±n a 中省略n ）.负数的偶数方根不存在.零的n 次方根等于零，表示为00=n .“n a ”读做“n 次根号a ”。

例1：6641=()886-= 例2：当意义取何值时，下列各式有x x1-2-x 34-x xx 42+例3、()的值。

求已知x x nn,532,813-2=-=例4、的值。

求2018201742,011y x y x +=++-用数轴上的点表示实数1、每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，而且这样的点是唯一的，它是这个实数在数轴上所有对应的点。

1 根式及分数指数幂
1、根式定义：
一般地，若*),1(N n n a x n ∈>= 则x 叫做a 的n
叫做根式，n 叫做根指数，
a 叫做被开方数
2、性质：
①当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数 记作： n a x = ②当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数） 记作：
n a x ±= ③负数没有偶次方根， ④ 0的任何次方根为0
3、常用公式：
根据n 次方根的定义，易得到以下三组常用公式： ①当n 为任意正整数时，(n a )n =a.例如，(327)3=27，(532-)5=-32.
②当n 为奇数时，n n a =a ；当n 为偶数时，n n
a =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a . 例如，33)2(-=-2，552=2；443=3，2)3(-=|-3|=3. ③根式的基本性质：n m np mp a a =，
（a ≥0）. 4、正数的正分数指数幂的意义
n m n m
a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1)
5、要注意两点：一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是根式与分数指数幂可以进行互化.另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定：
(1)n m
n m
a a 1
=- (a ＞0，m ,n ∈N *,且n ＞1) (2)0的正分数指数幂等于0.
(3)0的负分数指数幂无意义.。

2.1.1指数与指数幂的运算重难点题型【举一反三系列】【知识点1 根式的意义】1.n次方根2.根式（1）定义：式子n a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．（2）性质：(n＞1，且n∈N*)①nn a )(＝a .②nna ＝⎪⎩⎪⎨⎧为偶数为奇数，n a n a ,,【知识点2 分数指数幂及其运算】 1.分数指数幂（1）意义：nma ＝n ma ，nm a-＝nm a1＝nma 1，其中a ＞0，m ，n ∈N *，n ＞1；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义；（3）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数． 2．有理数指数幂的运算性质（1）s r a a ＝s r a +a (＞0，r ，s ∈Q )； （2）s r a )(＝rs a a (＞0，r ，s ∈Q )； （3）r ab )(＝r r b a a (＞0，r ，s ∈Q )．3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂αa (a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【知识点3 化简求值的方法与技巧】（1）在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数指数幂为分数指数幂，并尽可能统一成分数指数幂的形式，再利用分数指数幂的性质进行化简、求值、计算. （2）结果必须化为最简的形式.（3）巧妙公式变形：完全平方公式，立方和、立方差等.【考点1 根式的化简】【例1】（2019秋•信阳期中）式子( ) ABC．D．【变式2-1】（2019秋•中原区校级期中）当0a >(= )A ．B ．C ．-D ．-【变式2-2】（2019秋•32(0)a a a >的结果是( )A B C D【变式2-3】（2019秋•九龙坡区校级期中）把(a -根号外的(1)a -移到根号内等于( )A ．BC ．D 【考点2 根式与分数指数幂互化】【例2】（2019秋•( ) A ．35a -B ．53aC ．35aD ．53a -【变式2-1】下列关系式中，根式与分数指数幂互化正确的是( )A 56aa a -=-B ．24x =C ．332b =D ．52()a b --=【变式2-2】（2019秋•桐庐县期中）下列根式中，分数指数幂的互化，正确的是( )A ．12()(0)x x =-> B 13(0)y y <C ．340)xx ->D ．130)xx -=≠【变式2-3】（2019秋•城关区校级期中）若0a >，则用根式形式表示35a -为和．( ) A532a bB ，1235a bC532a bD 1235b b【考点3 多重根式的化简】【例3】（2019秋•3a a a 的分数指数幂表示为( )A ．32aB ．3aC ．34aD ．都不对【变式3-1】（2019秋•等于( )A ．B ．2 CD ．2【变式3-2】（2019秋•凌源市月考）已知0a >( )A ．712aB ．512aC ．56aD ．13a 【变式3-3】（2019秋•(0)a >为( ) A ．56aB ．16aC ．112a-D ．13a -【考点4 根式与分数指数幂的混合运算】 【例4】（2019秋•巴宜区校级期中） （1）2102329272()(9.6)()()483---+（2）1323422()ab b a ---÷【变式4-1】（2019秋•鸠江区校级期中） （121xy xy-；（21327()8-++．【变式4-2】（2019秋•温江区校级月考）计算： （1）210232983()( 2.5)()()4272----+；（2）10.523321(4()0,0)4(0.1)()ab a b a b ---->>．【变式4-3】（2019秋•石河子校级月考）计算下列各式的值：（10,0)a b >>，（2）210232183(2)(9.6)()()4272----+．【考点5 利用整体代换思想求值】 【例5】（2019秋•凌源市月考）已知11223x x --=．求：（1）1x x -+； （2）1x x --．【变式5-1】（2019秋•沙坪坝区校级期中）若1122x x-+，求12212x x x x --+-+-的值．【变式5-2】（2019秋•越秀区校级月考）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．【变式5-3】（2018秋•湛江校级月考）已知11223a a -+=，求3322a a-+的值．【考点6 幂的综合应用】【例6】已知333ax by cz ==，且1111x y z++=，求证：11112223333()ax by cz a b c ++=++．【变式6-1】（2019秋•临沂期中）已知33()5x x f x --=，33()5x x g x -+=．（1）求证：()f x 是奇函数，并求()f x 的单调区间；（2）分别计算f （4）5f -（2）g （2）和f （9）5f -（3）g （3）的值，由此概括出涉及函数()f x 和()g x 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明．【变式6-2】（2019秋•双桥区校级期末）设函数4()42xx f x =+，若01a <<，试求：（1）求f （a ）(1)f a +-的值；（2）求1231000()()()()1001100110011001f f f f +++⋯+的值．【变式6-3】设正整数a 、b 、()c a b c 剟和实数x 、y 、z 、ω满足：30x y z a b c ω===，1111x y z ω++=，求a 、b 、c 的值．。