《全等三角形》考点精析

１２　Ｋ册　

全等三角形　

《全等三角形》考点精析　

。曼　篓　竺　例１如图，　ｃ：／ＡＢＤ，　开放性试题

，由于全等三角形的：　一’　’　识别方法有ＳＳＳ，ｓＡｓ，ＡｓＡ．　使ＤＣ＝ＯＤ（只添一个即可）・　

ＡＡＳ，因此。这类题目添加的条件　

具有不唯一的特点．在添加条件：　

时，要结合图形，挖掘隐含的公共　

边、公共角、对顶角等条件；本题　

既考查了全等的判定，又考查了　

全等的性质，需要用到两次全等，　

是一道综合性较强的试题．　请你添加一个条件：　

Ｄ　

图　１　Ｃ　

点拔本题立意新颖，以同　

学们熟悉的学具三角板为载体，　

要求从中抽象出几何图形．探求　

全等的三角形，背景熟悉而又不　

落俗套，密切联系学生生活实际，　

借助等腰直角三角形相关性质，　

突出考查全等三角形的判定和性　

质．有效地考查了同学们的抽象　

能力和探究创新能力．　１例２　两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图２所示　

放置，图３是由它抽象出的几何图形，　，Ｃ，Ｅ在同一条直线上，连　

接ＤＣ．　

（１）请找出图３中的全等三角形，并说明理由（说明：结论中不　

得含有未标识的字母）；　

（２）说明：ＤＣ上ＢＥ的理由．　

Ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　ｓｃｅｎｅ　ｉｓ　ｎｏｔ　ｃｈａｎｇｅ　ｏｆ　ｎａｔｕｒｅ　

江山易改，本性难移。——伊索　图　２　图

３　Ｃ　点拨本题以破损三角形　

模具为背景．考查了三角形全等　

的判定方法，要求同学们能够根　

据实际情况选择合适的判定方　

法．同时考查了全等作图，利用全　

等三角形的知识解决生活当中的　

实际问题．体现了新课程理念．　例ｌ３　如图４。一块三角形模具的阴影部分已破损．　

（１）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带　

残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具ＡＢＣ的形状和大　

小完全相同的模具Ａ　Ｂ　Ｃ　？请简要说明理由．　

（２）作出模具△　Ｂ　Ｃ　的图形．　

（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）．　

图　４　Ｃ　

点拔　本题是以三角形为　

载体的动态探究型试题，通过三　

角形的运动所形成的几何图形．　

探索线段间的数量关系和位置关　

系，要解决这个问题．不仅要有扎　

实的数学基础知识，还应有分析　

问题、解决问题的能力，第（１）小　

题是特殊情形下的结论．这个结　

论为第（２）小题结论的猜想铺设　

了台阶，而第（２）小题又为第（３）　

小题的结论的探索及证明提供了　

有意义的、可借鉴的过程．整个试　题考查了同学们从具体、特殊的　

情形出发探究运动变化过程中的　

规律的能力．　例４　如图５，△ＡＢＣ的边ＢＣ在直线ｆ上，　Ｃ＿Ｉ＿ＢＣ，且　Ｃ＝　

ＢＣ：△　的边ＦＰ也在直线Ｚ上，边ＥＦ与边Ａ　Ｃ重合，且ＥＦ＝ＦＰ．　

（１）在图５中，请你通过观察、测量，猜想并写出ＡＢ与ＡＰ所　

满足的数量关系和位置关系：　

（２）将△ＥＦＰ沿直线ｆ向左平移到图６的位置时，ＥＰ交ＡＧ　

于点ｑ，连接　Ｐ，ＢＱ．猜想并写出ＢＱ与　Ｐ所满足的数量关系和　

位置关系，请证明你的猜想；　

（３）将△Ｅ　沿直线ｆ向左平移到图７的位置时，ＥＰ的延长　

线交Ａ　Ｃ的延长线于点Ｑ，连接　Ｐ，８Ｑ．你认为（２）中所猜想的　

８Ｑ与　Ｐ的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若　

不成立，请说明理由．　‘　

Ａ（Ｅ）　Ｅ　Ａ　

，　Ｂ　Ｃ（Ｆ）Ｐ　图　５　Ｂ　Ｆ　图　Ｃ　Ｐ　

６　

Ｔｈｅｒｅ　ｉｓ　ｉｎ　ｈｕｍａｎ　ｎａｔｕｒｅ　ｇｅｎｅｒａｌｌｙ　ｍｏｒｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｆｏｏｌ　ｔｈａｎ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｗｉｓｅ　

一般地说，人类的本性里愚昧多于智慧。——弗朗西斯・培根　。　

Ｐ　Ｃ　

．　

１　

３　１４　点拔本题把全等三角形　

判定和性质的“双基”内容巧妙　

地和分类讨论这种数学基本思　

想方法结合在一起．　瓣　知：点０到ＡＡＢＣ的两边ＡＢ，ＡＣ所在直线的距离　

相等．且ＯＢ＝０ｅ　

（１）如图８，若点０在边ＢＣ上，求证：ＡＢ＝Ａ　Ｃ；　

（２）如图９，若点０在ＡＡＢＣ的内部，求证：ＡＢ＝ＡＣ；　

（３）若点０在ＡＡＢＣ的外部，ＡＢ＝ＡＣ成立吗？请画图表示．　

Ｏ　图　８　Ｃ　

图９　Ｃ　

本作图的基础上，核心考查了矩：　（１）在ＢＣ边上找一点Ｐ，使ＢＰ：ＢＡ，分别过点日，Ｐ作ＡＣ的　

…之…一定　斌具有一定　．　＿的数　霎　姜的数量关系．请你写出一个等式表示这个数量关系（等式中含‘有　

图　１０　Ｃ　

（答案在参考答案第１页）　

Ｉｔ　ｉｓ　ｇｒｅａｔ　ａｒｔ　ｔｏ　ｄｏ　ｔｈｅ　ｆｉｇｈｔ　ｔｈｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｆｉｇｈｔ　ｓｅａｓｏｎ．　一一一一一一一一一一～一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一～一一一一一一一一一一一一　在适当的时候做适当的事是一种伟大的艺术。——伊

索　全等三角形综合题型展示｛题在第９页）　铡１．解法一：延长ＡＤ到Ａ　．使ＤＡ　＝ＤＡ，连接　ｆＤＢ　在ＡＡＤＣ和ＡＡ　ＤＢ中，｛　Ａ　ｌ　

．　．△ＡＤＣ　△Ａ　ＤＢ（ＳＡＳ）．　

Ａ　Ｃ　

解法二过点曰作ＡＣ的平行线交ＡＤ的延长线于Ａ　．　’．‘删’∥ＡＣ，．’．￡Ａ　ＢＤ＝　Ｃ．　ｆＬＡ　ＢＤ＝　Ｃ。　在△ＡＤＣ和△Ａ　ＤＢ中，｛ＤＢ＝ＤＣ，　【　Ａ　ＪＤＢ＝　ＡＤＣ　

．。．△ＡＤＣ　△Ａ　ｎ日（ＡＳＡ）．　

．’．Ａ　Ｂ＝ＡＣ．Ａ　＝ＡＤ．　在△ＡＢＡ　中．ＡＢ＋Ａ　Ｂ＞ＡＡ’．　

．　．Ａ日＋ＡＧ＞２ＡＤ．　例２．删＝ＡＣ　理由如下：　・．・ＡＤ上ＢＣ．ＬＡＢＣ：４５。　．△Ａ肋是等腰直角三角　形　．ＡＤ＝ＢＤ．　又‘．　Ｃ＋￡Ｃ＝９０。，　ＤＢ　＋　Ｃ＝９０。．　

．厶ＤＡＣ＝厶ＤＢＨ．　ｔ　ＤＡＣ：ＬＤＢＨ．　在ＡＡＤＣ和△ＢＤＨ中，｛ＡＤ＝ＢＤ，　＼　ＢＤＨ＝厶ＡＤＣ．　

．－．△ＡＤＣ鉴△ＢＤ　（ＡＳＡ）．　

．‘．Ｂ日＝ＡＣ．　例３。ＡＡＣＥ　△ＤＣＢ，△Ａ洲　ＡＤＣＮ，　△ＭｃＥ　△ＮＣＢ．　证明ＡＡＣ　△Ｄ∞．理由如下：　－．・△ＡＣＤ。△ＢＣＥ是正三角形．　

．・．Ｃ　＝ＣＤ．ＣＥ＝ＣＢ．　Ｊ４ＣＤ＝　ＢＣＥ＝６０。．　・　ｆＣＡ＝ＣＤ，　在△ＡｃＥ和△Ｄｃ口中，｛　ＡｃＥ＝ＬＤＣＢ，　【ＣＥ：ＣＢ．　

．‘．△ＡＣＥ　△ＤＣ８（ＳＡＳ）．　例４．（１）ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＣ；　（２）△ＯＭＮ是等腰直角三角形．　理由如下：连接ｏＡ．　

．。Ａｃ＝ＡＢ　ｏｃ＝ＯＢ．．　．Ａｏｉ８ｃ．　

．・．￡０ｔ０＝ＬＢＡ０＝４５。．　又　．’　Ｂ＝４５。．．　．　Ｍ０＝￡Ｂ．　ｆＡＮ＝ＢＭ，　：艇△ＡＯＮ和△ＢＯＭ中，｛　ＮＡ０：　曾，　【ＯＡ＝ＯＢ．　

．‘．ＡＡ０Ｎ　△曰Ｏ腻（ＳＡＳ）．　

．’．ＯＮ＝ＯＭ，　①　ＮｏＡ：厶ＭｏＢ．　

．厶ＮｏＡ七　ＡｏＭ：ＬＭｏＢ＋　ＡＯＭ：　ＡＯＢ＝９０￣，　②　由①和②可知△０　是等腰直角三角形．　例５．（１）在△ＡＤＥ和△ＡＤＦ中，　ｆ　ＥＡＤ＝　Ｄ．　｛　ＤＥＡ＝　Ｄ　＝９０。．　１ＡＤ　ＡＤ，　Ｂ　

．　．ＡＡＤＥ　△ＡＤＦ（ＡＡＳ）．　’．ＡＥ＝Ａ　Ｃ　Ｆ　

（２）连接ＤＢ，ＤＣ，则ＤＢ＝ＤＣ．　ＩＪ　在Ｒｔ△脚和Ｒｔ△Ｄ　中，Ｂ

…Ｄ＝

…ＣＤ，　

．’．Ｒｔ△ＤＥＢ　Ｒｔ△ＤＦＣ（ＨＩ　）。．　．ＢＥ＝Ｃ　（３）设ＡＥ＝ＡＦ＝ｘ厘米，则船＝（８一　）厘米．　ＣＦ＝（　一４）厘米．　．。ＢＥ＝ＣＦ，．　．８一　＝　一４，．’．　：６．　即ＡＥ＝６厘米．　例６．延长ＢＥ至Ｆ．使ＥＦ＝ＡＥ，连接ＦＣ。在ＢＣ上截取ＢＤ＝　ＢＡ．连接ＤＥ．　

ＡＡＢＥ　ＡＤＢＥ（ＳＡＳ）．　／＼Ｅ　孝＝Ｉ：Ｏ０　￣。，Ｂ＝：Ａ４Ｃ。．ＬＣ　ＬＡＣＢ。，８　：：　ｃ０。Ｒ　Ｌ　，１　ＡＢＥ

；２０。，　”　ｎ　ｂ　ｆ．　ＡＥＢ：　ＢＥＤ＝　ＤＥＣ＝６铲。　

．上ＤＥＣ＝　ＦＥＣ．　叉。　ＥＤ：ＥＡ＝ＥＦ．　．　ＥＦＣ　△ＥＤＣ（ＳＡＳ、　

．・．　Ｅ：ＬＤＣＥ＝４０。．　ＢＣＦ：８０。．　又’．‘　Ｃ＝２０。．．‘．　＝８０。．　

．‘．　曰　Ｃ＝　ＢＣ　．．‘．　Ｃ＝ＢＦ＝ＢＥ＋　Ｆ．　

．８Ｃ＝８Ｅ＋ＡＥ．　例７．延长ＡＣ到点Ｅ，使ＡＥ＝ＡＢ，连接Ｄ　，　ｆＡＢ：ＡＥ．　在△Ａ曰Ｄ和△ＡＥＤ中，｛　ｌ＝　２，　【』４Ｄ＝ＡＤ．　。．△ＡＢＤ　△ＡＥＤ（ＳＡＳ）．　’．　Ｂ＝ＬＥ　ＡＣＤ：　Ｅ＋ＬＣＤＥ．　ＬＡＣＤ　２ＬＢ　Ｂ　’．　ＡＥＤ＝ＬＣＤＥ．　’　ＣＤ＝ＣＥ．ｆ．ＡＢ：ＡＣ＋ＣＤ．　《全等三角形》考点精析（题在第１２页）　例，要使　Ｃ＝　．只要使ＡＡ　△肋Ｃ即可，而在　△　０Ｄ，△日ＯＣ中隐含的条件是　上）　＝￡ＣＯＢ．已知　的条件　Ｃ＝　ＢＤ在ＡＡＯＤ．△ＢＯＣ的全等中又　用不上。所以要解决此题，可以先说明ＡＡＢＤ　△　ｃ因为　Ｃ＝ＬＡＢＤ，ＡＢ是公用边．所以傲据　全等三角形判定法．添加的条件是Ａ（　＝ＢＤ，　＝　Ｄ　或　Ａ　Ｃ＝　Ｄ或　ＯＡＤ＝　ＯＢＣ．　可以使　△　ＡＢＤ　△ＢＡＣ．　例２（１）图中的全等三角形是△　ＢＥ芝ＡＡＣＤ．理由如下：　‘．’△ＡＢＣ与△ＡＥＤ均为等腰直角ｉ角形，　

．。．』４Ｂ＝ＡＣ，ＡＥ＝ＡＤ，　ＢＡＣ＝　ＥＡＤ＝９０。．　

．　．　Ｃ＋　Ｅ＝Ｌ　Ｄ＋　ｃＡＥ　

参考答案第１页（共４页）

　即　Ｅ＝　ＣＡＤ．　．　

．　．△　Ｅ　△ＡＣｎ　（２）由／ＸＡＢＥ　△ＡＣＤ可知．　￡ＡＣＤ＝厶ＡＢＥ＝４５。．　又／ＡＣＢ＝４５。．　

．‘．　ＢＣＤ＝　ＡＣＢ＋　ＡＣＤ＝９０。．　ｆ．ＤＣＬＢＥ．　例３（１）只要度量残留的三角形模具片的　Ｂ，　Ｃ的度数　和边ＢＣ的长即可．因为两角及其夹边对应相等的两　个三角形全等．　（２）按尺规作图的要求．正确作出△Ａ　Ｂ　Ｃ　的图形．　例４（１）①ＡＢ＝ＡＪｐ；②ＡＢ￣ＡＰ．　（２）①ＢＱ＝ＡＰ；（　８Ｑ上ＡＰ　证明：①由已知，得ＥＦ＝ＦＰ，ＥＦ￣ＦＰ，　

．　ＥＰＦ＝４５ｏ．　义。．　ＡＣ上ＢＣ，．。．　Ｃ（　＝／ｃｆ】（）＝４５。．　

．’．ｃｏ＝ＣＰ．　在ＲｔＺＸＢＣＱ和Ｒｔ△ＡＣ．ｐ中．　ＢＣ＝ＡＣ，Ｚ＿ＢＣＱ＝　ＡＣＰ＝９０￣，ｃｏ：ＣＰ，　

．。．ＲｔＡＢＣＯ　ＲｔＺＸＡＣＰ．．’．ＢＱ＝ＡＰ．　②如图，延长８Ｑ交　Ｐ于点肘．　’．。ＲｔＡＢＣＯ　ＲｔＡＡｃＰ．．’．　ｌ＝　在ＩｌｔＺＸＢＣＯ中，　ｌ＋　３：９０。．　又　３＝　４．　

．‘．　２＋／４：　ｌ＋　３＝９０。．　

．。．　ＯＭＡ＝９０。．．　．曰Ｑ上Ａ　Ｊｐ．　（３）成立．　证明：①如图，・．・Ｚ．ＥＰＦ＝４５。，　

．‘．　ＣＰＱ＝４５。．　义　．’ＡＣ上ＢＣ．　

．’．　ｃｏＰ＝　Ｃ户Ｑ：４５。．　

．　．ｃｏ＝Ｃ　在ＲｔＡＢＣＱ和Ｒｔ△ＡＣＰ中　Ｃ＝ＡＣ．　Ｚ＿ＢＣＱ＝　ＡＣＰ＝９０。．ｃｑ：　Ｂ　Ｅ　Ｃ　ｐ　

＼＼＼　

Ｆ－　Ｐ　Ｃ　

．‘．Ｒｔ△ＲＣＱ　Ｒｔ△ＡＣＰ，．‘．ＢＯ＝ＡＰ　（　如图，延长ＱＢ交ＡＰ于点／、．，则　，ｖ＝　ｃ８０．　’．。ＲｔＺＸＢＣＱ　Ｒｔ△ＡＣＰ．。‘．／８ｑｃ：／＿ＡＰＣ．　在Ｒｔ／ＸＢＣＱ中．／８ｑｃ十／ｃＢｏ＝９０。．　

．’．　ＡｐＣ＋　册＾，＝９０。．．‘．／　＝９０。．　

．‘．ＯＢ　Ｊ－Ａ　例５（１）过点Ｏ分别作ＯＥ￣ＡＢ，ＯＦ￣ＡＣ，Ｅ，Ｆ分别是垂足，　由题意知，Ｏ　＝０Ｆ，ＯＢ＝ＯＣ，　

．・．Ｒｌ△ＤＥ８　Ｒｔ△０ＦＣ．　

．　．　Ｂ＝　Ｃ．从而ＡＢ＝Ａｅ　（２）如图，过点Ｏ分别作０Ｅ　Ｊ－ＡＢ　ＯＦ￣ＡＣ．Ｅ，Ｆ分别是垂足．　由题意知，Ｏ　：０　在Ｒｔ△ＯＥＢ和Ｒｌ△０　中，　Ｒ　’．‘ＯＥ：ＯＦ，ＯＢ：ＯＣ，．‘．ＲｔＡＯＥＢ　Ｒｔ△ＯＦＣ