全等三角形(知识点讲解)

全等三角形

全等三角形 知识梳理

一、知识网络

对应角相等性质对应边相等边边边 SSS全等形全等三角形应用边角边 SAS判定角边角 ASA角角边 AAS斜边、直角边 HL作图 角平分线性质与判定定理

二、基础知识梳理

（一）、基本概念

1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形；

即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质

（1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等；

3、全等三角形的判定方法

（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等

判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上

（二）灵活运用定理

1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 DCBAEDCBAFEDCBAODCBAFEDCBA2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1）已知条件中有两角对应相等，可找：

①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS)

（2）已知条件中有两边对应相等，可找

①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS)

（3）已知条件中有一边一角对应相等，可找

①任一组角相等(AAS 或 ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS)

5. 经典例题透析

证明图形全等

基础版——“SSS”

（1）已知：AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C

（2）如图，E是AD上的一点，AB=AC，AE=BD，CE=BD+DE，求证：∠CED=∠B+C

基础版——

“SAS”

（3）如图，AD∥BC，AD=CB，AE=CF，求证：BE=DF

（4） 已知：如图，点ABCD、、、在同一条直线上，EAAD，

FDAD，AEDF，ABDC．求证：ACEDBF．

基础版—— “ASA”与“AAS”

（5）如图，已知：AB＝AC，点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，∠B＝∠C，求证：BD＝CE

NMEDCBAOEDCBA（6）如图，△ABC中，∠BAC=90，AB＝AC，直线MN过点A，BDMN于D，CEMN于E，求证：DE＝BD+CE

基础版——“HL”（Rt△）

（7）如图，ABAC，AB//CD，AC=CD，BC=DE，BC与DE相交于点O，求证：DEBC

类型一：全等三角形性质的应用

1、如图，△ABD≌△ACE，AB=AC，写出图中的对应边和对应角.

举一反三：

【变式1】如图，△ABC≌△DBE.问线段AE和CD相等吗？为什么？

2、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠B=50°，BF=2，求∠DFE的度数与EC的长。

举一反三： 【变式1】如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°.

求证：（1）CD⊥AB；（2）EF∥AC.

类型二：全等三角形的证明

3、如图，AC＝BD，DF＝CE，∠ECB＝∠FDA，求证：△ADF≌△BCE．

举一反三：

【变式1】如图，已知AB∥DC，AB＝DC，求证：AD∥BC

【变式2】如图，已知EB⊥AD于B，FC⊥AD于C，且EB＝FC，AB＝CD． 求证 AF＝DE．

、

类型三：综合应用

4、如图，AD为ΔABC的中线。求证：AB+AC>2AD.

举一反三：

【变式1】已知：如图，在RtΔABC中，AB=AC,∠BAC=90°,∠1=∠2，CE⊥BD的延长线于E，

求证：BD=2CE.

5、如图，AB＝CD，BE＝DF，∠B＝∠D，

求证：(1)AE＝CF，(2)AE∥CF，(3)∠AFE＝∠CEF

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC中，延长AC边上的中线BD到F，使DF＝BD，延长AB边上的中线CE到G，使EG＝CE，求证 AF＝AG．

6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F． 求证：AF平分∠BAC．

举一反三：

【变式1】已知，如图，AC、BD相交于O，AC=BD，∠C＝∠D＝90° 求证：OC=OD

7、⊿ABC中，AB=AC，D是底边BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB垂足分别是E、F、G..

试判断：猜测线段 DE、DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

三角形练习题

1、根据下列条件画三角形，不能唯一确定三角形的是( ).

A.已知三个 角 B.已知三边 C. 已知两角和夹边 D. 已知两边和夹角

2、下列语句不是命题的是（ ）

A．对顶角相等 B．连接AB并延长至C点

C．内错角相等 D．同角的余角相等

3、如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（ ）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN

4、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 （ ）

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去

第3题 第4题

5、如图，要用“S．A．S．”证明△ABC≌△ADE，已知AB=AD，AC=AE，则还需条件 ( )

A．∠B=∠D B．∠C=∠E C．∠1 =∠2 D．∠3= ∠4

6、D是△ABC内一点，那么，在下列结论中错误的是 ( )

A．BD+CD>BC B．∠BDC>∠A C．BD>CD D．AB+AC>BD+CD

7、如果多边形的内角和是外角和的k倍，那么这个多边形的边数是 ( )

A．k B．2k+1 C．2k+2 D．2k-2 8、如图,四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是 ( )

9、下列判断：①三角形的三个内角中最多有一个钝角②三角形的三个内角中至少

有两个锐角③有两个内角为500和200的三角形一定是钝角三角形，④直角三角形,

中两锐角的和为900，其中判断正确的有 ( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

10、 如图，在直角三角形ABC中，AC≠AB，AD是斜边上的高，DE⊥AC，DF⊥AB垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是( )

A 5 B 4 C 3 D 2

11、如图：（1）在△ABC中，BC边上的高是 ；（2）在△AEC中，AE边上的高是 ；

12、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．

13、已知：如图,△ABE≌△ACD,∠B=∠C,则∠AEB=_______,AE=________．

14、如图,ADAC,BDBC,AB与CD相交于O.则AB与CD的关系是 .

15、如图，CDAB，BCAD、相交于O，要使DCOABO≌，应添加的条件是 .

第

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图

16、已知:三角形的两个外角分别是α0,β0,且满足（α－50）2＝－｜α+β－200|.

求此三角形各角的度数

A

E

C D B F

10题 A B C D

(D)ECBA(C)ECBA(B)ECBA(A)ECBA

17、如图，在△ABC中：

（1）画出BC边上的高AD和中线AE．

（2）若∠B=30°，∠ACB=130°，求∠BAD和∠CAD的度数．

18、如图，D是AB上一点，DF交AC于点E,AE=EC,CFAB.

求证：AD=CF

19、如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD=CE．

(1)求证：△ACD≌△BCE；

(2)若∠D=50°，求∠B的度数．