全等三角形知识点梳理

第十二章 全等三角形

2018.9 杨

1．全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．对应边相等。

2．全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．对应角相等。

证明三角形全等基本思路：

三角形全等的判定(1)

三边分别相等的两个三角形全等，简写成边边边或SSS．

1.如图，AB＝AD，CB＝CD，求证：(1)△ABC≌△ADC；(2)∠B＝∠D.

证明：(1)连接AC，在△ABC与△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)．

(2)∵△ABC≌△ADC，∴∠B＝∠D.

2.已知在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,,求证AD//BC

A D 做辅助线，连接AC，利用SSS证明全等， 得到∠DAC=∠ACB ，从而证明平行

B C

三角形全等的判定(2)

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.

1.如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接(A，B，D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°)，连接AE，CD，试确定AE与CD的关系，并证明你的结论． 解：结论：AE＝CD，AE⊥CD.

证明：延长AE交CD于F，在△ABE与△CBD中AB＝CB，∠ABE＝∠CBD，BE＝BD， ，

∴△ABE≌△CBD(SAS)，∴AE＝CD，∠EAB＝∠DCB，

∵∠DCB＋∠CDB＝90°，∴∠EAB＋∠CDB＝90°，

∴∠AFD＝90°，∴AE⊥CD.

2.在△ABC和△CDE中，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°，AE与BD交与点F

（1）求证：△ACE≌△BCD

（2）求证：AE⊥BD

1,利用SAS证明全等，

AC=BC DC=EC ∠BCD=∠ACE

2，全等得到角相等 ∠CAE=∠DCB

∠CAB+∠EAB+∠ABC=90°

∠DCB∠EAB+∠ABC=90°

三角形全等的判定(3)

两角和它们的夹边分别对应相等的两个三角形全等，简称角边角或ASA．

两个角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简称角角边或AAS．

求证：三角形一边的两端点到这边的中线或中线延长线的距离相等．

如图，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD，交AD的延长线于点E，求证：BE＝CF.

证法1：

∵AD为△ABC的中线，∴BD＝CD.∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠BED＝∠CFD＝90°.在△BED与△CFD中∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，

∴△BED≌△CFD(AAS)，∴BE＝CF.

证法2：∵S△ABD＝12AD·BE，S△ACD＝12AD·CF，

且S△ABD＝S△ACD(等底同高的两个三角形面积相等)，

∴12AD·BE＝12AD·CF，∴BE＝CF.

三角形全等的判定(4)

斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简称“斜边、直角边”或“HL”．

如图，E，F分别为线段AC上的两点，且DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，若AB＝CD，AE＝CF，BD交AC于点M. 求证：BM＝DM，ME＝MF. F 证明：∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF∴AF＝CE.

在Rt△ABF与Rt△CDE中AB＝CD，AF＝CE，

∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，

∴BF＝DE.∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠DEM＝∠BFM＝90°.

在△BFM与△DEM中∠BFM＝∠DEM，∠BMF＝∠DME，BF＝DE，

∴△BFM≌△DEM(AAS)，

∴BM＝DM，ME＝MF.

角的平分线的性质

角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

文字命题的证明方法：

a.明确命题中的已知和求证；

b.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；

c.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

方法总结：

（1）角平分线的性质是证明线段相等的另一途径．

（2）在已知角平分线的条件下，也可想到翻折构造全等的方法．角平分线的性质是证线段相等的常用方法之一，角平分线的性质与判定通常是交叉使用，作角的平分线或过角的平分线上一点作角两边的垂线段是常用的辅助线．

1.在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是AB，AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．

解：结论：DE＝DF.

证明：过点D作DG⊥AB于点G，作DH⊥AC于点C，

∵AD是△ABC的角平分线，∴DG＝DH.

∵∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＋∠BAC＝180°，

∵∠EDF＋∠EAF＝180°，∴∠GDH＝∠EDF，

∴∠GDH－∠EDH＝∠EDF－∠EDH，∴∠GDE＝∠FDH.

在△DGE与△DHF中，∠DGE＝∠DHF＝90°，DG＝DH，∠GDE＝∠HDF，

∴△DGE≌△DHF(ASA)，

∴DE＝DF

2.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，连接AD，过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，且BE＝CF.求证：AD是△ABC的中线． 利用AAS证明全等

∠BDE=∠F

∠BDE=∠CDF

BE=CF

利用全等证明垂直

此类题目中必有垂直，利用垂直角度和是90°，再根据全等转换一个角，达到另外的两个角度和是90°，得到第三个角是90°，进一步证明线的垂直关系。

1. 将两块全等的直角三角形如图1摆放，其中∠DCE=∠ACB=90°∠D=∠A.

2. (1)求证:AB⊥DE;

3. (2)将图中的ADCE绕点C顺时针旋转45’得到图2,AB.CD交于点N,DE,BC交于M.求证:CM=CN

4.

5.

第一问中延长AB交DE于F，已经知道全等，知道垂直，

就可以将 ∠D+∠E=90°转化为∠A+∠E=90°

得到∠AFE=90° 进而证明了垂直

第二问中，利用ASA证明相等

旋转角度是45°∠MCD=∠DCA=45°∠A=∠D CD=CA

得到△CMD≌△CNA(ASA)

从而证明CM=CN

2.如图，已知等腰RtOABC和等腰RtACDE,AC=BC,CD=CE,M,N分别为AE,BD的中点

(1)判断CM与CN的位置关系和数量关系:

(2)若△CDE绕C旋转任意角度，其他条件不变，则(1)的结论是否仍成立?试证明，

几何证明中常见的“添辅助线”方法

一.连结:构造全等三角形或等腰三角形

1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.

1.连结AC构造全等三角形

2.连结BD构造两个等腰三角形

2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD,求证:点M是CD的中点.

连结AC、AD构造全等三角形

3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC

连结AD构造全等三角形

二. 角平分线上点向两边作垂线段:构造直角三角形,得到距离相等 1:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6, AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.

过点D作DE⊥AB构造全等的直角三角形且距离相等

2:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC,AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC

过点D作DE⊥AB构造了全等的直角三角形且距离相等

3:如图,梯形中, ∠A= ∠D =90o,BE、CE均是角平分线,求证:BC=AB+CD.

过点E作EF⊥BC构造全等的直角三角形且距离相等

三. 垂直平分线上点向两端连线段构造直角三角形,得到斜边相等

△ABC中,AB＞AC ，∠A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D，过D作DE ⊥AB于E，作DF⊥AC于F。求证：BE=CF

连接DB,DC垂直平分线上点向两端连线段

四. 倍长中线：中线延长一倍构造直角三角形,得到斜边相等

AD是△ABC的中线，求证

延长AD到点E，使DE=AD，

连结CE..

如图，在△ABC中，D为BC的中点．

(1)求证：AB＋AC>2AD；

(2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围．

五. 截长补短

1.已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2求证:AB=AC+CD

在AB上取点E使得AE=AC，连接DE

在AC的延长线上取点F使得CF=CD，连接DF

2.如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，

交BC于点C。求证：AD+BC=AB

在AB上取点F使得AF=AD,连接EF

3.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．

六. “周长问题”的转化借助“角平分线性质”

如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?

BE+BD+DE BE+BD+CD

BE+BC BE+AC

BE+AE AB

七. .“周长问题”的转化借助“垂直平分线性质”

AD+AE+DE

BD+CE+DE