05函数的微分共24页文档

(mm) A 的相对误差限约为
第二十页，共24页。
练习
(liànxí)
1.
第二十一页，共24页。
4. 设 求
由方程
(fāngchéng)
解: 方程两边(liǎngbiān)求微得
分,
当
时
由上式得
确定 , (quèdìng)
第二十二页，共24页。
作业(zuòyè)：p- P123 习题2-4
3 (4) , (7) , (8) , (9) , ; 4 ; 8(1) ; 9(2)
1.函数(hánshù)的近似计算
当 很小时 得近似等式:
, (xiǎoshí)
使用原则:
第十四页，共24页。
特别(tèbié) 当
很小时 , (xiǎoshí)
常用近似(jìn sì)公式: 很小)
证明: 令 得
第十五页，共24页。
例7. 求 解: 设 取
则
的近似值 .
例8. 计算(jì
suàn)
例4
解
第十二页，共24页。
例5. 设
求
解: 利用(lìyòng)一阶微分形式不变性 , 有
例6. 在下列括号中填入适当(shìdàng)的函数使等式成 立:
说明: 上述微分的反问题(wèntí)是不定积分要研究的内容.
注意: 数学中的反问题往往出现多值性.
第十三页，共24页。
四、微分(wēi fēn)在近似计算中的应用
解:
的近似值 .
第十六页，共24页。
例9. 有一批半径(bànjìng)为1cm 的球 ,为了(wèi le)提高球面的光洁
要镀上一层铜 , 厚度定为 0.01cm 度, , 估计一下, 每只球需

d(ax) ax lnadx
d(ex) exdx
d(loga
x)
1 dx xlna
d(arcsixn) 1 dx 1 x2
d(lnx) 1dx x
d(arccoxs) 1 dx 1 x2
d(arctaxn)
1 1 x2
dx
d(arccotx) 11x2 dx
2. 函数和、差、积、商的微分法则
x 0 x
即 f ( x ) 在 函 x 0 可 ,且 点 A 数 f 导 ( x 0 ).
(2) 充分性 函 f(x ) 数 在 x 0 可 点 , 导
lxi m 0 xyf(x0),
即 x yf(x0),
从 y f ( x 而 0 ) x ( x ) , 0 ( x 0 ),
End
d(uv)d udv d(C)u Cdu
u vdudv
d(u)vvdu udv
d( ) v
v2
例3 设 ye1 3xco x ,求 sd.y 解 d c yx o d (e s 1 3 x ) e 1 3 x d (c x )os
( e 1 3 x ) 3 e 1 3 x ,(x c ) s o x . is n d c y x o ( 3 e 1 s 3 x ) d e 1 x 3 x ( sx ) i d n x
e a(x b cb o x s a sb in )d x .x
例6在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使 等式成立.
( 1 ) d () c t o ; d ( 2 s ) d t (x s 2 ) ( i ) d ( n x ).
解 ( 1 ) d ( s t ) i c n t o ,d s t
例5 设 ye as x ibn ,求 xd.y

蚌埠学院 高等数学
18
四、微分在估计误差中的应用
某量的精确值为 A , 其近似值为 a ,
Aa 称为a 的绝对误差
Aa a
称为a 的相对误差
若 AaA
A 称为测量 A 的绝对误差限
A a
称为测量 A 的相对误差限
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
19
误差传递公式 :
若直接测量某量得 x , 已知测量误差限为 x ,
1 limy 1 f(x0)x0x
所以 x 0时 y 与 d y 是等价无穷小,
故当 x 很小时,有近似公式
ydy
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
8
微分的几何意义
切线纵坐标的增量
dyf(x0) xtanx
dy
当 x 很小时, ydy 当y x 时，
令 xx0x f ( x ) f ( x 0 ) f ( x 0 ) x ( x 0 )
使用原则: 1) f(x0), f(x0)好;算 2) x与x0 靠近 .
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
14
特别当 x00, x很小时, f(x ) f(0 ) f(0 )x
03.07.2019
蚌埠学院 高等数学
6
可 可 . 导 A 微 f ( x 0 ).
注1：函数 yf(x)在任x意 的点 微 , 称 分为函数 微,分 记作 d或 yd(fx),即 dyf(x)d.x
注 2：函数的 d与 y微 自 分 变量 d之 的 x 商 微等 分
该函数.的 导导 数数 "也 微叫 "商 .
1d 2
x
03.07.2019

《函数的微分》教学设计本节课是《高等数学》中比较难理解的一节概念课。

本节主要介绍微分的概念。

这节课前承一元函数导数，后接微分的应用，在教材中起着承前启后的作用，又可以用微分来计算函数的增量，这部分内容不仅有着非常广泛的实际应用，同时它还是培养学生数学能力的良好题材。

所以说函数的微分是《高等数学》的重要内容之一。

如何调动学生学习这节课的积极性呢？怎样更好地把本节课讲透能让学生更好地理解呢？本文在这节课的教学设计上给出了新的尝试。

1教学目标1.1知识目标（1）要求学生正确理解微分的概念；（2）能够用微分的定义式去求微分；（3）会解决简单的微分应用题。

1.2能力目标培养学生观察分析、独立思考、猜想归纳以及解决实际问题的能力。

1.3情感目标培养学生主动探索、实事求是、科学严谨的学习和工作作风。

2教学重、难点2.1教学重点微分的概念、微分的求法。

2.2教学难点微分的实际应用。

3教学方法运用引导式、启发式、对比式等多种教学法。

4教学设计4.1课题引入函数的微分是一个抽象的概念，为了使其更加形象化，便于学生理解接受，可先从一个简单的物理问题入手。

例如可以让一个小球从某一点处开始做自由落体运动，其路程函数为，点对应的是小球在时刻的位置，当时间经过后，小球到达点，求这段时间内的路程的改变量。

通过对问题的求解分析，得到函数微分的初步模型。

但是这只是从这个具体的物理问题得出的分析结果，它是否具有一般性呢？接下来就可以进行一般性分析了，从而得出微分的定义。

从这个实际物理问题入手，而不是先从微分定义讲起，更容易激起学生对本节课的学习兴趣。

从问题的提出、解决到最后微分概念的提炼，让学生体会到数学源于实践，并且实际问题的牵引容易激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性。

4.2概念分析微分的定义给出后，教师先让学生回忆什么是线性主部，然后帮助学生自己总结出微分的实质。

教师不但从代数角度给出微分定义，为了更好地让学生理解微分这个抽象定义，可以再从几何角度来研究一下微分的几何意义。