高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 对数的运算
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4.3.2 对数的运算
1.对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)=logaM+logaN.
即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.
这个性质可推广到若干个正因数的积:
loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0，i=1，2，3，…，k).
即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.
(2)loga𝑀𝑁=logaM-logaN.
即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.
特别地，logaaN=N.
2.换底公式及导出公式
(1)换底公式:logab=log𝑐blog𝑐a(a>0， 且a≠1;b>0;c>0，且c≠1).
(2)logab=1log𝑏a.
(3)logaN=log𝑎𝑛Nn.
(4)𝑛𝑚logaN=log𝑎𝑚Nn.
对数的运算性质 [例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;
(2)lg3+25lg9+35lg√27-lg √3lg81-lg27;
(3)log535-2log573+log57-log51.8.
解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2
=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2
=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2
=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(2)原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3
=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115.
(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log595
=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+
log55
=2log55=2.
(1)利用对数的运算性质进行对数式的化简与计算.一般有两种思路:一是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算性质将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值;二是将式中对数的和、差、积、商逆用对数的运算性质化为真数的积、商、幂、方根，然后化简求值. (2)对数计算问题中，涉及lg 2，lg 5时，常利用lg 2+lg 5=1及lg 2=1-lg 5，lg 5=1-lg 2等解题.
针对训练1:计算:
(1)lg 14-2lg 73+lg 7-lg 18;
(2)lg 2×lg 50+lg 5×lg 20-lg 100×lg 5×lg 2;
(3)2lg2+lg31+lg0.6+lg2.
解:(1)法一 原式=lg(2×7)-2(lg 7-lg 3)+lg 7-lg(32×2)
=lg 2+lg 7-2lg 7+2lg 3+lg 7-2lg 3-lg 2=0.
法二 原式=lg 14-lg(73) 2+lg 7-lg 18
=lg 14×7(73) 2×18=lg 1=0.
(2)原式=lg 2×(lg 5+1)+lg 5×(2lg 2+lg 5)-2lg 5×lg 2
=lg 2lg 5+lg 2+lg 5lg 5
=lg 5(lg 2+lg 5)+lg 2
=lg 5+lg 2=1.
(3)原式=lg4+lg3lg10+lg0.6+lg2=lg12lg12=1.
换底公式及其推论的应用
类型一 用已知对数式表示对数值
[例2] 已知log37=a，2b=3，试用a，b表示log1456.
解:因为2b=3，
所以b=log23，即log32=1𝑏，
log1456=log356log314=log3(23×7)log3(2×7) =3log32+log37log32+log37=3𝑏+a1𝑏+a=3+𝑎𝑏1+𝑎𝑏.
用已知对数式的值表示不同底数的对数值，首先将待求式用换底公式表示为已知对数式的底数的对数，然后将真数统一为已知对数的真数的乘积的形式.
针对训练2:(1)已知log147=a，log145=b，用a，b表示log3528;
(2)已知log189=a，18b=5，用a，b表示log3645.
解:(1)log147=a，log145=b，
所以log3528=log1428log1435=log14(14×2)log14(5×7)=1+log14147𝑎+𝑏=2-𝑎𝑎+𝑏.
(2)因为log189=a，18b=5，所以log185=b，
所以log3645=log1845log1836=log189+log185log1818+log182=𝑎+𝑏1+log18189=𝑎+𝑏2-𝑎.
类型二 应用换底公式及其推论求值
[例3] 计算:(1)log1627×log8132;
(2)(log32+log92)(log43+log83).
解:(1)log1627×log8132=lg27lg16×lg32lg81=lg 33lg 24×lg 25lg 34=3lg34lg2×5lg24lg3=1516.
(2)(log32+log92)(log43+log83)
=(log32+log32log39)( log23log24+log23log28)
=(log32+12log32)(12log23+13log23)
=32log32×56log23
=54×lg2lg3×lg3lg2 =54.
(1)换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数转化成自然对数或常用对数来运算.要注意换底公式的正用、逆用及变形应用.
(2)当一个题目中同时出现指数式和对数式时，一般需要统一成一种表达形式.
针对训练3:计算:
(1)log23×log34×log45×log52;
(2)log89×log2732;
(3)(log2125+log425+log85)(log52+log254+log1258).
解:(1)原式=lg3lg2×lg4lg3×lg5lg4×lg2lg5=1.
(2)原式=log2332×log3325=23log23×53log32=23×53log23×log32=109.
(3)原式=(log253+log2252+log235)(log52+log5222+log5323)
=(3log25+log25+13log25)(log52+log52+log52)
=133×3×(log25×log52)=13.
指数与对数的综合应用
[例4] (1)设3a=4b=36，求2𝑎+1𝑏的值;
(2)已知2x=3y=5z，且1𝑥+1𝑦+1𝑧=1，求x，y，z.
解:(1)法一 由3a=4b=36，
得a=log336，b=log436， 由换底公式得1𝑎=log363，1𝑏=log364，
所以2𝑎+1𝑏=2log363+log364=log3636=1.
法二 由3a=4b=36，
两边取以6为底数的对数，得
alog63=blog64=log636=2，
所以2𝑎=log63，1𝑏=12log64=log62，
所以2𝑎+1𝑏=log63+log62=log66=1.
(2)令2x=3y=5z=k(k>0)，
所以x=log2k，y=log3k，z=log5k，
所以1𝑥=logk2，1𝑦=logk3，1𝑧=logk5，
由1𝑥+1𝑦+1𝑧=1，
得logk2+logk3+logk5=logk30=1，
所以k=30，
所以x=log230=1+log215，y=log330=1+log310，z=log530=1+log56.
利用对数式与指数式互化求值的方法
(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的转化.
(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解.
针对训练4:(1)已知logax=2，logbx=3，logcx=6，求logabcx的值; (2)已知2x=50y=100，求x-1+y-1的值.
解:(1)因为logax=2，logbx=3，logcx=6，
所以lg𝑥lg𝑎=2，lg𝑥lg𝑏=3，lg𝑥lg𝑐=6，lg x≠0.
则logabcx=lg𝑥lg𝑎+lg𝑏+lg𝑐=lg𝑥lg𝑥2+lg𝑥3+lg𝑥6=1.
(2)因为2x=50y=100，
所以x=log2100，y=log50100，
所以x-1+y-1=log1002+log10050=1.
典例探究:素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式(n是素数)，法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式(n是素数)的素数称为梅森素数.已知第20个梅森素数为P=24 423-1，第19个梅森素数为Q=24 253-1，则下列各数中与𝑃𝑄最接近的数为(参考数据:lg 2≈0.3)( )
A.1045 B.1051 C.1056 D.1059
解析:𝑃𝑄=24 423-124 253-1≈2170.
令2170=k，则lg 2170=lg k，
所以170lg 2=lg k，又lg 2≈0.3，
所以51≈lg k，即k≈1051.
所以与𝑃𝑄最接近的数为1051.故选B.
应用探究:已知lg 3≈0.477 1，由此可以推断32 022是几位整数.( ) A.963 B.964 C.965 D.966
