人教A版高中数学必修一全册导学案对数与对数运算(3)

4.3.2 对数的运算

1.对数的运算性质

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，则

(1)loga(MN)=logaM+logaN.

即两个正因数积的对数等于同一底数的这两个正因数的对数的和.

这个性质可推广到若干个正因数的积:

loga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni>0，i=1，2，3，…，k).

即正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和.

(2)loga𝑀𝑁=logaM-logaN.

即两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.

(3)logaMn=nlogaM(n∈R).

即正数幂的对数等于幂指数乘同一底数幂的底数的对数.

特别地，logaaN=N.

2.换底公式及导出公式

(1)换底公式:logab=log𝑐blog𝑐a(a>0， 且a≠1;b>0;c>0，且c≠1).

(2)logab=1log𝑏a.

(3)logaN=log𝑎𝑛Nn.

(4)𝑛𝑚logaN=log𝑎𝑚Nn.

对数的运算性质 [例1] 计算:(1)(lg 5)2+2lg 2-(lg 2)2;

(2)lg3+25lg9+35lg√27-lg √3lg81-lg27;

(3)log535-2log573+log57-log51.8.

解:(1)原式=(lg 5)2+(2-lg 2)lg 2

=(lg 5)2+(1+lg 5)lg 2

=(lg 5)2+lg 2·lg 5+lg 2

=(lg 5+lg 2)lg 5+lg 2

=lg 5+lg 2=1.

(2)原式=lg3+45lg3+910lg3-12lg34lg3-3lg3

=(1+45+910-12)lg3(4-3)lg3=115.

(3)原式=log5(5×7)-2(log57-log53)+log57-log595

=log55+log57-2log57+2log53+log57-2log53+

2.2.1 对数与对数运算

【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.

【自主梳理】

1．对数的定义 bNalog 其中 ),1()1,0(a与 ),0(N

2．指数式与对数式的互化

)10( logaabNNaab且

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵01loga，1logaa

⑶对数恒等式NaNalog

4．指数运算法则 )()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm

【重点领悟】

积、商、幂的对数运算法则：

如果 a ＞ 0，a  1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：

)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa

证明：①设alogM=p, alogN=q． 由对数的定义可以得：M=pa，N=qa．

∴MN= paqa=qpa ∴alogMN=p+q， 即证得alogMN=alogM + alogN．

②设alogM=p，alogN=q． 由对数的定义可以得M=pa，N=qa ．

∴qpqpaaaNM ∴qpNMalog 即证得NMNMaaalogloglog．

③设alogM=P 由对数定义可以得M=pa,

∴nM＝npa ∴alognM=np， 即证得alognM=nalogM．

【探究提升】

（1）负数和零没有对数；

（2）1的对数是零：01loga；

（3）底数的对数是1：1logaa； （4）对数恒等式：NaNalog；

（5）nanalog．

【学法引领】

例1． 用xalog，yalog，zalog表示下列各式：

32log)2(;(1)logzyxzxyaa．

解：（1）zxyalog=alog（xy）-alogz=alogx+alogy- alogz

课题：2.2.2 对数函数及其性质（3）

一、三维目标：

知识与技能：

能够解决对数函数形式的复合函数单调性及最值问题，并可以利用图像来解决相关问题。

过程与方法：

① 通过师生之间，学生与学生之间的合作交流，使学生学会与别人共同学习。

② 通过探究对数函数形式的复合函数单调性，感受复合思想，培养学生数学的分析问题的意识。

情感态度与价值观：

通过学生的相互交流来加深理解对数函数形式的复合函数的理解，增强学生数学交流能力，培养学生倾听，接受别人建议的优良品质。

二、学习重、难点：

重点：准确描绘出对数函数形式的复合函数单调性。

难点：依据图像来进行对相关问题的处理。

三、学法指导：对比指数函数相关性质。

四、知识链接：

B1.函数lg(4)yx的定义域为

B2.若log2log20mn时，则m，n的大小关系是

五、学习过程：

B例1、讨论函数2()log(321)afxxx的单调性。

思路分析:本题为复合函数,要注意求解定义域和对a进行讨论。

解:由23210xx得函数的定义域为113xx或x<-

则当a>1时，

若x>1,∵u=2321xx为增函数， ∴2()log(321)afxxx为增函数。

若x<13,∵u=2321xx为减函数， ∴2()log(321)afxxx为减函数。

当1>a>0时，

若x>1,∵u=2321xx为增函数， ∴2()log(321)afxxx为减函数。

若x<13,∵u=2321xx为减函数， ∴2()log(321)afxxx为增函数。

B变式训练1:求以下函数的单调区间：

（1）)32xx(logy22 （2）23xlogy （3）212ylog(xx)

1 高中数学 对数的运算法则导学案 新人教A版必修1

学习目标

（1）掌握对数的运算法则，并能理解推导这些法则的依据和过程；

（2）能较熟练地运用对数的运算法则解决有关问题．

学习重点：对数运算法则及其应用．

学习难点：对数运算法则的证明方法.

一、课前准备回忆下列问题：

1．对数的定义：若baN，则logaNb，其中 a),1()1,0(，(0,)N．

2．指数式与对数式的互化公式：baNlogaNb.

3. 对数的性质：

（1） 负数与零没有对数；（2）01loga，1logaa；（3）对数恒等式：logaNaN．

4．指数运算法则：（1）(,)mnmnaaamnR； （2） (,)mnmnaaamnR；

（3）()(,)mnmnaamnR； （4） ()()nnnababnR.

二、新课导学

（一）自主学习： 自学教材P64-65，完成《创新设计》P37“新知导学”

如果0a且1a，0M，0N，那么

（1）log()aMN；（2）logaMN；

（3）lognaM()nR.

注意：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达可以帮助记忆）.

（2）有时必须逆向运算：如：333311log37loglog(27)log3199.

（3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.

222log[(3)(5)]log(3)log(5)是不成立的，21010log(10)2log(10)是不成立的.

（4）当心记忆错误：

log()loglogaaaMNMN，试举反例， log()loglogaaaMNMN，试举反例.

（5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.

（二）典型例题

【例1】求下列各式的值：