2018 年下半年教师资格考试 《数学学科知识与教学能力(初级中学)》真题试卷及答案
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２０１８年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题（初级中学）
注意事项：
１.考试时间为１２０分钟，满分为１５０分。
２.请按规定在答题卡上填涂、作答。在试卷上作答无效，不予评分。
一、单项选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请用２Ｂ铅笔把答题卡上对应
题目的答案字母按要求涂黑。错选、多选或未选均无分。
１．与向量ａ＝（２，３，１）垂直的平面是（）。
Ａ．ｘ－２ｙ＋ｚ＝３Ｂ．２ｘ＋ｙ＋３ｚ＝３
Ｃ．２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３Ｄ．ｘ－ｙ＋ｚ＝３
２．lim
x→0tan3x
x
cosx的值是（）。
Ａ．０Ｂ．１
Ｃ．３Ｄ．∞
３．函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上黎曼可积的必要条件是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上（）。
Ａ．可微Ｂ．连续
Ｃ．不连续点个数有限Ｄ．有界
４．定积分a
-a乙
b1-x
aa2
姨
dx（a＞0，b>0）的值是（）。
Ａ．πabＢ．πab
2
Ｃ．πab
3Ｄ．πab
4
５．与向量α＝（１，０，１），β＝（１，１，０）线性相关的向量是（）。
Ａ．（３，２，１）Ｂ．（１，２，１）
Ｃ．（１，２，０）Ｄ．（３，２，２）
６．设ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ是Ｒ到Ｒ的函数，Ｖ＝｛ｆ（ｘ）｜ｆ（ｘ）＝ａｃｏｓｘ＋ｂｓｉｎｘ，ａ，ｂ∈Ｒ｝是线性空间，则
Ｖ的维数是（）。
Ａ．１Ｂ．２
Ｃ．３Ｄ．∞
７．在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）。
Ａ．理解Ｂ．了解
Ｃ．掌握Ｄ．知道
1——８．命题Ｐ的逆命题和命题Ｐ的否命题的关系是（）。
Ａ．同真同假Ｂ．同真不同假
Ｃ．同假不同真Ｄ．不确定
二、简答题（本大题共５小题，每小题７分，共３５分）
９．求过点（ａ，０）的直线方程，使该直线与抛物线ｙ＝ｘ２＋１相切。
１０．设D=25
1
3，x′
y
′表示x
y在D作用下的象，若x
y满足方程ｘ２－ｙ２＝１，求x′
y
′满足
的方程。
１１．设ｆ（ｘ）是［０，１］上的可导函数，且ｆ′（ｘ）有界。证明：存在Ｍ＞０，使得对于任意ｘ
１，ｘ
２∈
［０，１］，有｜ｆ（ｘ
１）－ｆ（ｘ
２）｜≤Ｍ｜ｘ
１－ｘ
２｜。
１２．简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。
2——１３．给出完全平方公式（ａ＋ｂ）２＝ａ２＋２ａｂ＋ｂ２的一种几何解释，并说明几何解释对学生数学学习
的作用。
三、解答题（本大题１小题，１０分）
１４．设随机变量ξ服从［０，１］上的均匀分布，即P｛ξ∈（-∞，x）｝=0，x<0，
x，0≤x≤1，
1，x>11
。求ξ的数学期望
Ｅξ和方差Ｄξ。
四、论述题（本大题１小题，１５分）
１５．论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的关系。
3——五、案例分析题（本大题１小题，２０分）阅读案例，并回答问题。
１６.案例：
如下是某教师教学“代入消元法解二元一次方程组”的主要环节。
首先，教师引导学生复习二元一次方程组的有关知识。
然后，呈现如下教材例题，让学生独立思考并解决。
例题：篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜１场得２分，负１场得１分。某队１０场比赛中得
到１６分，那么这个队胜负场数分别是多少？
针对学生的解答，教师给出了如下板书：
解1：设胜x场，则负（
10-x）场，解2：设胜x场，负y场，则
2x+（10-x）=16x+y=10，
2x+y=11
6y=10-x
10-x=y
最后，教师强调了两种解法的内在联系，并给出了代入消元法的基本步骤及数学思想。
问题：
（１）该教师教学设计的优点有哪些？（６分）
（２）该教师教学设计的不足有哪些？（６分）
（３）代入消元法的基本步骤及数学思想是什么？（８分）
4——六、教学设计题（本大题１小题，３０分）
１７.教学课题为平行四边形的判定定理：“对角线互相平分的四边形是平行四边形”。
请你完成下列任务。
（１）设计一个问题情境引入该定理，并说明设计意图。（１０分）
（２）设计定理证明的教学片段，并说明设计意图。（１０分）
（３）在教学中，为了巩固对该定理的理解，教师设计了如下例题。
如图，平行四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，点Ｅ，Ｆ是ＡＣ上的两点，并且ＡＥ＝ＣＦ，求
证：四边形ＢＦＤＥ是平行四边形。
OA
BCD
E
F
请设计此题的变式题，以进一步理解和巩固定理。（１０分）
5——２０１８年下半年中小学教师资格考试
数学学科知识与教学能力试题（初级中学）参考答案及解析
一、单项选择题
１.
【答案】Ｃ
。解析：本题考查空间解析几何中平面的法向量的相关知识。平面的法向量是垂直于平面的非零
向量。在直角坐标系中，平面Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃｚ＋Ｄ＝０
（A
，B
，C
不同时为零）的一个法向量为ｎ＝
（Ａ
，Ｂ
，Ｃ
）。本题中，向量ａ＝
（２
，３
，１
）为平面２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３
的法向量，故垂直于平面２ｘ＋３ｙ＋ｚ＝３
。故本题选Ｃ
。
２.
【答案】Ｃ
。解析：本题考查函数极限的四则运算以及等价无穷小量替换。
（方法一）当ｘ→０
时，ｔａｎ３ｘ～３ｘ
。所以lim
x→0tan3x
x
cosx=lim
x→0tan3x
x·lim
x→01
cosx=lim
x→03x
x·1=3
。
（方法二）lim
x→0tan3x
xcosx=lim
x→0sin3x
xcos3xcosx=lim
x→0sin3x
x·lim
x→01
cos3xcosx=lim
x→0sin3x
x=3
·lim
x→0sin3x3x=3
。故本题选Ｃ
。
３.
【答案】Ｄ
。解析：本题考查黎曼可积的条件。
若函数ｆ
（ｘ
）在［ａ
，ｂ
］上（黎曼）可积，则ｆ
（ｘ
）在［ａ
，ｂ
］上必有界（可积的必要条件），故本题选Ｄ
。
下面说明其他三个选项。可积的充分条件有以下３
个：①
函数在闭区间上连续；②
函数在闭区间上有界且只
有有限个间断点；③
函数在闭区间上单调。由此可排除Ｂ
项和Ｃ
项。又因为在一元函数中，可微一定连续，且连续
一定可积，但反之不成立，故排除Ａ
项。
一元函数在
闭闭
闭区
闭间上连续、可导、可微、可积、有界的关系图如下：有界
连续可导
可微可积
４.
【答案】Ｂ
。解析：本题考查定积分的几何意义或定积分的计算。
（方法一）定积分a
-a乙
b1-x
aa2
姨
dx
表示被积函数y=b1-x
aa2姨
与ｘ
轴所围成的图形的面积，即椭圆x2
a2+
y2
b2=1
在ｘ
轴上方部分的面积。而椭圆x2
a
2+y2
b2=1
的面积为πab
。所以a
-a乙
b1-x
aa2姨
dx=πab
2。
（方法二）本题也可用第二换元积分法计算。令ｘ＝ａｓｉｎｔ
，由于－ａ≤ｘ≤ａ
，所以-π
2≤t≤π
2，且ｄｘ＝ａｃｏｓｔｄｔ
，所以
a
-a乙
b
1-x
aa2
姨
dx=π
2
-π
2乙
bcost
·acostdt=abπ
2
-π
2乙
cos2tdt=abπ
2
-π
2乙
cos2t+1
2dt=ab
2π
2
-π
2乙
cos2tdt+π
2
-π
2乙
da
t=πab
2。故本题
选Ｂ
。
５.
【答案】Ａ
。解析：（方法一）一个向量组中，若一个向量可由其余向量线性表出，则这几个向量必线性相关；
若任意一个向量都不能被其余向量线性表出，则这几个向量必线性无关。结合选项可知，只有选项A
可以由向量
α
和向量β
线性表出，即（3
，2
，1
）=α+2β
。故本题选A
。
（方法二）向量组α
，β
，γ
线性相关圳
矩阵A=
（αT，βT，γT）的秩小于向量的个数圳|A|=0
；向量组α
，β
，γ
线性无
关圳
矩阵
A=
（αT，βT，γT）
满秩
圳|A|≠0
。结合选项知，113
01
2
101=0
，111
012
101=2≠0
，111
012
100=1≠
6——
