高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)

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专业分享 【高考地位】

近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性

质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，

因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也

要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合

的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题 .

【方法点评】

类型一 求三角函数的单调区间

使用情景：一般三角函数类型

解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准 式，要特别注意参数 A, 的正负；

第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；

第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.

例 1 函数 cos( 2 )

y x 的单调递增区间是（ ）

4

A．[k π＋ ，kπ＋

8 5

8 π] B ． [k π－ 3

8 π， kπ＋

8 ]

C．[2k π＋ ， 2kπ＋

8 5

8 π] D ． [2k π－ 3

8 π，2kπ＋

8 ] （以上 k∈Z）

【答案】 B.

考点：三角函数单调性 .

【点评】本题解题的关键是将 2

x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数 y cos( 2x)的单调 4

4

递增区间转化为 2x 在区间2k ,2k 上递减的 .

4

【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是 y f (x) 图像的任意两条对称

6

轴，且 x1 x 的最小值为

2

2 ．求函数 f (x) 的单调增区间； WORD格式

专业分享 【答案】 [ k , k ], k Z . 3 6

【解析】

试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求 ，根据公式求此函数的单调递增区间 .

试 题 解 析 ： 由 题意 得 T , 则 1, f (x) sin(2 x ). 由 2k 2x 2k , 解 得

6 2 6 2

3 k , Z. 故 f ( x) 的单调增区间是 k k ], k Z

x k k [ .

,

6 3 6

考点： 1． y A sin x 的单调性；

【变式演练 2】已知函数 sin( )+ ( 0 0 )

f x A x B A ， ， 的一系列对应值如下表： 2

x

6 3 5

6 4

3 11

6 [ 7

3 17

6

y 2 4 2 4

（1）根据表格提供的数据求函数 f x 的解析式；

（2）求函数 f x 的单调递增区间和对称中心；

【答案】（1） f x 3sin x 1（2）

3 5

2k ，2k (k Z )（k + ，1）(k Z) .

6 6 3

（2）当 2 2 ( ) k x k k Z ，即 2 3 2 5

x k ， k k Z 时，函数 f x 单调递

2 2 ( ) WORD格式

专业分享 6 6 WORD格式

专业分享 增．令 = ( x k k Z) ，所以函数 f x 的对称中心为 + 1 (

x k k Z) ，得 = + ( k k Z)

（ ，） ． 3 3

3

考点： 1．三角函数解析式及基本 性质； 2．数形结合法

[ 来源 :Z*xx*]

类型二 由 y A sin( x ) 的图象求其函数式

使用情景：一般函数 y A sin( x ) 求其函数式

解题模板：第一步 观察所给的图像及其图像特征如振幅、周期、与 x轴交点坐标等；

第二步 利用特殊点代入函数解析式计算得出参数 A, , 中一个或两个或三个；

第三步 要从图象的升降情况找准第一个零点的位置，并进一步地确定参数；

第四步 得出 结论.

例 2 已知函数 y A sin( x ) y A sin( x )( 0, , x R) 的图象如图所示，则该函数的

2

解析式是（ ）

（A） y 4 sin( x ) （B） y 4 sin( x )

8 4 8 4

（C） y 4 sin( x ) （D） y 4 sin( x )

8 4 8 4

【答案】 D

考点： y Asin x 的图像

【点评】本题的解题步骤是：首先根据已知图像与 x轴的交点坐标可得其周 期为 T ，进而可得 的大小；

然后观察图像知其振幅 A 的大小；最后将图像与 x 轴的交点坐标代入函数的解析式即可得到 的大小 .

【变式演练 3】已知函数 f x A sin x （其中 A 0, 0, ）的部分图象如图所示， 则 f x

2WORD格式

专业分享 的解析式为（ ）

A． 2sin

f x x B． f x 2sin 2x

3 6

C． 2sin 2

f x x D． f x 2sin 4x

6 6

【答案】 B

【解 析】

考点：由 y A sin( x )的部分图像确定解析式。

【变式演练 4】函数 y A sin( x )( A 0, 0,| | ) 的图象如图所示，则 y 的表达式为（ ）

2

10x

A． y 2 sin( )

11 6

10x

B． y 2 sin( )

11 6

C． y 2 sin( 2x )

6

D． y 2 sin( 2x )

6

【答案】 CWORD格式

专业分享 【解析】

试题分析：由图像可知最大值为 2，所以 A=2，周期 2

T ，代入点 ,2

2 2

3 6 6 得

sin 1

3 6 ，所以函数式为 y 2 sin( 2x )

6

考点：三角函数图像及性质

【变式演练 5】已知某三角函数的部分图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）

A． sin( )

y x B ．

4 3

y sin(2 x )

4

C. cos( )

y x D ．

4 3

y cos(2 x )

4

【答案】 C

【解析】

考点：三角函数解析式

[来源:]

【变式演练 6】函数 y Asin( x )( A 0, 0,0 ) 在一个周期内的图象如下， 此函数的解析式

为（ ）

x

A． y 2sin( ) B． y 2sin(2 x )

2 3 3

C． 2

y 2sin(2 x ) D． y 2sin(2 x ) 3 3 WORD格式

专业分享 【答案】 C

【解析】

5

试 题分析 ：因 T 2( ) , 故 2 , 借 助图 象可 以看出 A 2 , 所以 y 2 sin 2( x ) , 将

12 12

x 代入可得 sin( ) 1, 故

12 6 2 2k 2k , 应选 C． 2 6 3

考点：三角函数的图象和性质及运用．

【变式演练 7】如图所示，是函数 y A sin( x ) k （ A 0 ， 0 ，| |

）的图象的一部分，

2

则函数解析式是（ ）

A． y 2sin(2 x ) 1 B． sin(2 ) 1

y x

6 3

C． 1

y 2sin( x ) 2 D． y sin(2 x ) 2 2 6 3

【答案】 A

【解析】

【方法点晴】本题主要考查函数 y A sin( x ) 的图象，属于中等题型，本题可以采用直接法（即按

A, k, , 顺序求 解），但 计算量 稍大，速度较慢 ．本题 可以采 用排除法 解题速 度较快 ，即先由

3 ( 1)

A 2排除 B、D，由

2 3 ( 1)

k 1排除 C，可得正确答案 A．故解决此类题型的常用方法有：

2

1、采用直接法（即按 A, k, , 顺序求解）． 2、排除法（抓住部分特征进行排除）．WORD格式

专业分享 类型三 求三角函数的周期

使用情景：一般三角函数类型

解题模板：第一步 利用恒等变换将其化成“ y A sin( x ) 、 y A cos( x ) ”的形式；

第二步 运用周期的计算公式 2

T 直接计算可得所求 .

第三步 得出结论 .

例 3 设 f (x) a sin x b cos x( 0) 的周期 T ，最大值 ) 4

f ，（1）求 、a、b 的值；

(

12

（2）若 、、 为方程f (x) 0的两根， 、、 终边不共线，求 tan( )的值 。

【答案】（1） a 2,b 3；（2） 3

3 .

【点评】方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性 .

【 变 式 演 练 8 】 设函 数 f (x) si n ( x ) ， A 0, 0 ， 若 f (x) 在 区 间 [ , ] 上 单 调 ， 且

6 2

2

f f f ，则 f ( x) 的最小正周期为（ ）

2 3 6

A． B ．2π C ．4π D ．π

2

【答案】 D

【解析】

试题解析： f (x) sin( x ) 在区间 [ ] 上单调， 0 ，

,

6 2

2 -

2 6 T

2 1

2 2 ，即 0 3 ，