2011-2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》：第11章 名师检测题

第一模块集合与常用逻辑用语第1页共61页考纲要求1 •了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.3•理解集合之间的包含与相等关系，给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.4■理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5•理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6■了解逻辑连结词“或”、"且”、"非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.命题走向纵观近几年各省、市的高考试题知:本模块是必考内容之一, 多以选择题、填空题出现■主要考查集合的简单运算，命题的充分条件、必要条件、充要条件■因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合，还可以出解答题.第_讲集合的概念及简单运算走进高考第一关考点关回归教材1 •集合的概念(1) 集合是数学中的一个不定义的原始概念，像平面几何中的点、线、面一样只可描述•一般地，某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.(2) 根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.⑶符号“e”和 y 表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.2 ■集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法, 它们各有优点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析.3•子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或B2A.⑵如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么, 集合A叫集合B的真子集，记作A B或B A.4.空集(1)空集0是指不含任何元素的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.⑵集合｛0｝不是空集;0曰0｝、0曰0｝、0 ｛0｝三种表示法都是对的.5•有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素, 则A的子集有2"个;非空子集有2^1个;真子集有2九1个.6•集合的运算⑴交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集，记作API B.⑵并集一般地，对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A U B.⑶全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个给定的集合为全集, 通常用U表示、⑷补集如果A是全集U的一个子集，由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CyA.7 ■集合中的常用运算性质(1) A C B,B C A,J!!)A=B;A C B5B C C,贝！|A U C;(2) 0 匚A,若AM0,则0 A;(3) AClA=A,An0=0;(4) A U A=A5A U B=B U A5A U 0=A;(5) AAC U A=0,AUC U A=U;(6) ACIB 匸AvAUB;⑺ C u(AnB)=(C u A)U(C u B);C u(AUB)=(C u A)n(C u B);(8)若A C B5则AnBuAUB,AClB二A，AUB=B.考点训练1 .（2009 •全国卷I）设集合A={4555759}5B={354575859}5全«U=AUB3则集合Cu(AClB)中的元素共有()A. 3个B.4个C.5个D.6个答案:A 解析:依题意得U=A UB={3,4,5,7,8,9},AAB={4,7,9}. .•.Cu（AnB）={3,5,8},故选A.2.(2009 •四川卷)设集合S={x||x|<5},T={x|x2+4x-21 <0},则sm=()A.{x|-7<x<-5}B.{x|3<x<5}C.{x 卜5vxv3}D.{x 卜7vxv5}答案:C解析:S=(-555)5T=(-753)5/.SnT=(-553).3.(2009 •江西卷)已知全集U=AUB中有m个元素,( CuA)U(CuB)中有n个元素•若APIB非空，则ACIB 的元素个数为()A.mn .m+n C.n-m D.m-n答案:D解析:••(CuA)U(CuB)=Cu(AnB),.•.Cu(AnB)有n个元素，故ACIB有个元素.5.(2009•盖甘#)cu wp i a -a H U o +m (p」)-m m 30JL b -b"」二+n s > )3m 3徊39 可**?>a p n Q U ()Ad(二二 Bi:?」)}cduo)}cup-二®竽a"」m.b"」+nh^pnQUCPb&a H b ^n H +=®« n H pmH」••••p n Q H 5解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合，既可以表示为{a, 2 ,1},也可表示为{a25a+b50}5J!!ja2009+b2009= _______ ■°答案"解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐.这时A若能发现0这个特殊元素，和？中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法. "=-1.b由已知得—=0,及aMO,所以b=0,于是a2=*|,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=l应舍去，因而a=i,故a2009+b2009=(_1)2009点评：1 •利用集合中元素的特点，列出方程组求解,但仍然要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征. 2•此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验.=-1.变式1：已知X?曰1,0,X｝,求实数X的值.解:由集合中元素的确定性可知X2=1,0或X,由集合中元素的互异性可知x卅,0.若X2=OJI)X=O,此时集合为｛1,0,0｝,不符合集合中元素的互异性，舍去.若x2=1，则x= 土 1 .当X=1时,集合为｛1,0,1 ｝，不符合集合中元素的互异性，舍去；Sx=-1时,集合为｛1,0,-1｝，符合.若x2=x，则X=0或X=1，由上可知,X=0和X=1都不合题意，舍去.综上所述，x=・1.点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题，又要利用它们检验解的正确性，特别是互异性，最易被忽视，在学习中必须加以重视.题型二元素与集合的关系例2已知集合A={x|ax2・3x+2=0}，若A中元素至多有一个，求a 的取值范围.2解:(l)a = OHt原方程为-3x + 2 = 0，x =「符合题意; ' 73 (2)a丰0时，方程ax2 -3x + 2 = 0为关于x的一元二次方程,当A = 9 - 8a 5 0时,即a n細关于x的方程Oax2-3x + 2 = 0无实数根或有两个相等的实数根，9都符合题意.综上所述,a的取值范围为a = 0或a >变式2:设A是数集，满足性质：若a G A,则宀1-a⑴若2 G A,求A;8(2)若a G A,求证:1- —e A.解：(1)由2 e A,则= -1 e A,---- --- = — u A，—-~— = 2 u A，1(1) 2 !_12故A = {2,_1,*}.(2)证明：由a G A知，'G A，1 —a・•・亘一=1- — e A,得证.题型三集合的基本运算例3 设全集为实数集R,M={x||x|<2},N={x|y=lg(1-x)<0},H!)(C R M)AN等于()A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|-2<x<1}答案:A解析:\M={x|-2<x<2},.•，C R M={X|X<-2或X>2},N={X|1-X>0}={X|XV1}. /.(C R M)AN={X|X<-2}.点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时，可利用数轴来表示各不等式的解集，以便于能直观地分析出各集合之间的关系.2变式3: （2009薮徽卷）若集合A 如礬＜。

第十模块算法初步､框图与复数综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2011·浙江省温州市高三八校联考)若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i是虚数单位,b 是实数),则b为( )A.1B.-1C.2D.-2解析:(1+bi)(2+i)=(2-b)+(2b+1)i∵该复数为纯虚数,∴20, 210,bb-=⎧⎨+≠⎩∴b=2.答案:C2.(2011·河南省豫南九校高三第一次联考)已知i为虚数单位,复数z=121ii+-,则复数z在复平面内的对应点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:z=12(12)(1)1313. 12222i i i ii i+++-+===-+-它对应的点为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,在第二象限.答案:B3.(2011·山东省罗美中学高三上学期测试)如图是一算法的程序框图,若此程序运行结果为s=720,则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )A.k≥6B.k≥7C.k≥8D.k≥9解析:s=10×9×8=720,故判断条件为k≥8. 答案:C4.(2011·安徽省皖南八校高三第一次联考)设复数z=1-i,则222z z+等于( ) A.-1+i B.1+iC.-1+2iD.1+2i解析:∵z=1-i,∴z 2=-2i,∴221i z i==-, ∵2211i z i ==+-,∴222112i i i z z+=++=+. 答案:D5.(2011·安徽省皖南八校高三摸底联考)已知复数z 的实部为-1,虚部为2,则5iz等于( )A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i解析:因为由条件知z=-1+2i,故55(12)5102(12)(12)5i i i iiz i i---+===--+--.答案:A6.(2011·安徽省合肥市高校附中高三联考)i是虚数单位,复数z=i2010+21i+的虚部是( )A.-2B.-1C.-iD.1解析:z=i2010+21i+=i2+(1-i)=-1+1-i=-i.∴复数z的虚部为-1.答案:B7.(2011·安徽省合肥市高校附中高三联考)运行如图所示的程序框图,若输出的y值的范围为[0,4],则输入的x的值的范围可以为( )A.[-1,2]B.[-1,3]C.[0,2]D.[-2,2]解析:该程序框图表示的分段函数为21,1,,11,3, 1.x x y x x x x +>⎧⎪=-⎨⎪-<-⎩≤≤∴当x>1时,y>2;当-1≤x≤1时,y∈[0,1]; 当x<-1时,y>4.∵y 的范围为[0,4],∴输入的x 的范围可以是[-1,3]. 答案:B8.(2011·浙江省温州市高三八校联考)某同学设计下面的流程图用以计算和式1×10+3×12+5×14+…+19×28的值,则在判断框中可以填写( )A.I≥19B.I>20C.I>21D.I<21解析:当S=S+19×28执行后,I=I+2=21,此时循环终止,故判断框内的条件为I>20. 答案:B9.(2011·浙江省温州市高三八校联考)某程序框图如图所示,现将输出(x,y)值依次记为:(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n ),…;若程序运行中输出的一个数组是(x,-10),则数组中的x 的值为( )A.64B.32C.16D.8解析:输出的数组(x,y)依次为(1,0),(2,-2),(4,-4),(8,-6),(16,-8),(32,-10),…,故当y=-10时,x=32.答案:B10.(2011·浙江省高三调研测试数学试题)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S的值为( )A.1B.1 2C.14D.18解析:循环过程中得到的S的值依次为111,,842,1,…,它的周期为4,故程序终止时,k=2011,故输出的值为14.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.(2011·山东省罗美中学高三上学期测试)如果复数212bii-+(其中i为虚数单位,b∈R)的实部和虚部互为相反数,则b等于________.解析:2(2)(12)(22)(4) 1255bi bi i b b ii-----+==+,∵复数212bii-+的实部和虚部互为相互数,∴(2-2b)-(4+b)=0,∴3b=-2,∴b=-23.答案:2 3 -12.(2010·上海)若复数z=1-2i(i为虚数单位),则z·\overline {z}+z=________. 解析:z·z+z=1+4+(1-2i)=6-2i.答案:6-2i13.(2010·北京海淀区高三练习)阅读如图所示的程序框图,若运行该程序后输出的y值为18,则输入的实数x的值为________.解析:当x>0时,令2x 2-1=18,∴x=34; 当x≤0时,11()28x=,解得x=3>0与x≤0矛盾. 因此,输入的实数x 的值为34. 答案:3414.(2010·浙江温州十校联合体高三模拟)某程序框图如图所示,该程序运行后输出的结果是________.解析:按照程序框图运行后可得S=0+1+3+…+49=25(149)2⨯+=625.故输出的结果为625.答案:62515.设a 、b 为实数,若复数12ia bi++=1+i,则a+b=______. 解析:a+bi=1231122i i i +=++,∴31,22a b ==, ∴a+b=2. 答案:2三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知z 、w 为复数,(1+3i)z 为纯虚数,2zw i=+ ,且||w =求w. 解:解法一:设z=a+bi(a,b∈R ), 则(1+3i)z=(a-3b)+(3a+b)i. 由题意知a=3b≠0.∵||||2zw i==+||z ==将a=3b 代入,解得155a b =⎧⎨=⎩或15,5.a b =-⎧⎨=-⎩∴w=±1552ii++=±(7-i). 解法二:由题意,设(1+3i)z=ki(k≠0,且k∈R ),则(2)(13)kiw i i =++.∵||w =-i).17.观察所给程序框图,说明它所表示的函数,当输入x=2时,求输出的y 值.解:读图可知,所表示的函数为5,(0),20,(0),3,(0).2xx y x xx ⎧->⎪⎪==⎨⎪⎪+<⎩当x=2时,输出的y=-4.18.画出程度框图并设计程序,对输入的任意两个实数,按从大到小的顺序排列,并输出. 解:程序框图如图:程序为:输入a,bIf a<b Thenx=aa=bb=xEnd If输出a,b19.证明在复数范围内,方程|z|2+(1-i)z-(1+i)z=552ii-+(i为虚数单位)无解.证明:原方程化简为|z|2+(1-i)z -(1+i)z=1-3i, 设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得x2+y2-2xi-2yi=1-3i,∴221, 223, x yx y⎧+=⎨+=⎩∴8x2-12x+5=0,∵Δ=(-12)2-4×8×5=-16<0, ∴方程8x2-12x+5=0无解,∴原方程在复数范围内无解.20.已知z是复数,z+2i､2zi-均为实数(i为虚数单位),且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解:设z=x+yi(x、y∈R),∵z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.∵21(2)(2) 225z x ix i ii i-==-+ --11(22)(4)55x x i=++-,由题意得x=4.∴z=4-2i.∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,11根据条件,可知212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩,解得2<a<6,∴实数a 的取值范围是(2,6).21.设计一个算法,输入一个学生的成绩S,根据该成绩的不同作如下输出:若S<60,则输出“不及格”;若60≤S<85,则输出“及格”,若S≥85,则输出“优秀”.画出程序框图,并写出程序.解:程序框图如下:程序如下:。

第一模块集合与常用逻辑用语综合检测(时间120分钟,满分150分)一､选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列命题中,正确的是( )A.存在一个实数,使-2x2+x-4=0B.所有的质数都是奇数C.在同一平面中斜率相等且不重合的两条直线都平行D.对数函数在定义域上是单调增函数答案:C2.“m>0>n”是方程“mx2+ny2=1表示双曲线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A3.已知集合A={x|x2-3x<0},B={x||x|<1},则A∪B=( )A.(-1,1)B.(0,1)C.(1,3)D.(-1,3)答案:D4.“a=1”是“函数y=cos2ax-sin2ax的最小正周期为π”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件答案:B5.已知命题p:|x-1|≥2,命题q:x∈Z,如果“p且q”与“非q”同时为假命题,则满足条件的x为( )A.{x|x≥3或x≤-1,x∉Z}B.{x|-1≤x≤3,x∉Z}C.{-1,0,1,2,3}D.{0,1,2}解析:由题意知p假q真,由p假可知|x-1|<2,-1<x<3,由q真知x∈Z,∴x=0,1,2,故选D.答案:D6.已知集合I=R,集合M={x|x2-x<0},集合N={x|1x≤1}.则下列关系正确的是( )A.M ∁I NB.M ∁I NC.M=∁I ND.∁I M∪N=R 解析:∵M={x|0<x<1},N=11xx⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤=1xxx-⎧⎫⎨⎬⎩⎭≤={x|x<0或x≥1},∴∁I N={x|0≤x<1},故选A. 答案:A7.已知函数f(x)=2(1)(1)log x x x c x ⎧⎨+<⎩≤,则“c=-1”是函数f(x)在R 上递增的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:当c=-1时,f(x)在(-∞,1)､[1,+∞)上分别是增函数,且log 21=0,则f(x)在R 上是增函数,反之,当f(x)在R 上是增函数,只须1+c≤0,而c≤-1,∴“c=-1”是“函数f(x)在R 上递增”的充分不必要条件.答案:A8.P={α|α=(-1,1)+m(1,2),m∈R },Q={β|β=(1,-2)+n(2,3),n∈R }是两个向量集合,则P∩Q 等于( )A.{(1,-2)}B.{(-13,-23)}C.{(1,2)}D.{(-23,-13)}解析:先化简,α=(m-1,2m+1),β=(2n+1,3n-2).依题意,α=β.得121,2132,m n m n -=+⎧⎨+=-⎩解得n=-7,m=-12.∴α=β=(-13,-23),故选B.答案:B9.给出下列四个命题:①点(a,b)关于直线y=1的对称点的坐标是(a,2-b);②与坐标轴距离相等的点的轨迹方程是x+y=0;③直线Ax+By=0与圆x 2+y 2+Ax+By=0相切;④直线y=xtan α+b 的倾斜角一定是角α.其中正确命题的是( )A.①②B.③④C.①③D.②④解析:与坐标轴距离相等的点的轨迹方程为y=±x,故②不正确;直线y=xtan α+b,当α∉(0,π)时,不是直线的倾斜角,故④不正确.故选C.答案:C10.对任意x∈R ,kx 2-kx-1<0是真命题,则实数k 的最大取值范围为( )A.-4≤k≤0B.-4≤k<0C.-4<k≤0D.-4<k<0解析:当k=0时,kx 2-kx-1=-1<0, 当k≠0时,2040,k K k <⎧⎨+<⎩得-4<k<0, ∴-4<k≤0,故选C.答案:C二､填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上.11.已知P={x|2≤x≤6},Q={x|a≤x≤a+1},若Q ⊆P,则a 的取值范围是________.解析:由题意知,216a a ⎧⎨+⎩≥≤,∴2≤a≤5. 答案:{a|2≤a≤5}12.命题p:对任意x∈R ,x 2-x+14<0,命题q:存在x∈R ,sinx=sin2x,则命题“p 且q”、“p 或q”、“¬p”、“¬q”中真命题有________个.解析:∵x 2-x+14=212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥0, ∴命题p 为假命题.∵当x=0时,sinx=sin2x,∴命题q 为真命题.故p 且q 为假,p 或q 为真,¬p 为真,¬q 为假.答案:2 13.命题:“对任意x∈13110,,32xlog x ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的否定是____________________. 答案:存在x∈10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,1312xlog x ⎛⎫ ⎪⎝⎭≥ 14.设命题p:点(2x+3-x 2,x-2)在第四象限,命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,若¬p 是¬q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是________. 解析:命题p:223020x x x ⎧+->⎨-<⎩,∴-1<x<2.命题q:x 2-(3a+6)x+2a 2+6a<0,即(x-a)(x-2a-6)<0,当a<-6,q:2a+6<x<a,当a>-6,q:a<x<2a+6. 由题可知¬p ⇐¬q,∴p ⇒q,∴62612a a a <-⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≥或61262a a a >-⎧⎪-⎨⎪+⎩≤≥解得-2≤a≤-1.经检验a=-1和a=-2时,符合条件. 答案:[-2,-1]15.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1”的________条件.解析:对任意正数x,2x+ax≥1,即2x2+a≥x,即2x2-x+a≥0恒成立,∴2214x⎛⎫-⎪⎝⎭≥18-a恒成立,∴18-a≤0,a≥18,故“a=18”是它的充分不必要条件.答案:充分不必要三､解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16.已知全集U=R,A={x|x2-2x>0},B=322xxx+⎧⎫⎨⎬-⎩⎭≥,求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B). 解:(1)A={x|x<0或x>2},由32xx+-≥2得72xx--≤0,即2<x≤7,∴B={x|2<x≤7},∴A∩B={x|2<x≤7}.(2)∁U A={x|0≤x≤2},∁U B={x|x≤2或x>7},(∁U A)∩(∁U B)={x|0≤x≤2}.17.(2011•福建模拟)已知p:x2-3x-4<0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若¬p是¬q的充分而不必要条件,求实数m的取值范围.解:由x2-3x-4<0,得-1<x<4,∴¬p:x≤-1或x≥4.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,∴¬q:x<1-m或x>1+m.∵¬p是¬q的充分不必要条件,∴1141mm--⎧⎨+⎩≤≥,∴0<m≤2.经检验m=2时¬p是¬q的充分不必要条件. 故实数m的取值范围为0<m≤2.18.已知A={x|2x2-ax+b=0},B={x|bx2+(a+2)x+5+b=0},且A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,求A∪B.解:∵A∩B=12⎧⎫⎨⎬⎩⎭,∴12为方程2x2-ax+b=0及bx2+(a+2)x+5+b=0的公共根,∴2211202211(2)5022a bb a b⎧⎛⎫⨯-⨯+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⨯++⨯++=⎪⎪⎝⎭⎩解得439269ab⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.∴A=2432612620,9929x x x ⎧⎫⎧⎫+-==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B=22625191190,999213x x x ⎧⎫⎧⎫--+==-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭. ∴A∪B=11926,,2139⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 19.已知c>0,设命题p:函数y=c x 为减函数.命题q:当x∈1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,函数f(x)=x+11x c >恒成立.如果p 或q 为真命题,p 且q 为假命题.求c 的取值范围.解:由命题p 知0<c<1｡ 由命题q 知2≤x+1x ≤52, 要使此式恒成立,则2>1c ,即c>12, 又由p 或q 为真,p 且q 为假知,p 、q 必有一真一假,当p 为真,q 为假时,c 的取值范围为0<c≤12, 当p 为假,q 为真时,c 的取值范围为c≥1,综上知,c 的取值范围为{c|0<c≤12或c≥1}. 20.已知三个集合A=10mx x x -⎧⎫<⎨⎬⎩⎭,B={x|x 2-3x-4≤0},C={x|12log x>1};三个命题p:实数m 为小于6的正整数,q:A 是B 成立的充分不必要条件,r:A 是C 成立的必要不充分条件.已知三个命题p 、q 、r 都是真命题,求实数m 的值.解:∵命题p 是真命题,即0<m<6,m∈N* ①∵A=11|0|0mx x x x x m -⎧⎫⎧⎫<=<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭, B={x|x 2-3x-4≤0}={x|-1≤x≤4}, C={x|12log x>1}=102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭, 又∵命题q 、r 都是真命题, ∴14112m m ⎧⎪⎪⎨⎪>⎪⎩≤,②由①②得m=1. 21.已知函数f(x)=4sin 2(4πcos2x-1,且满足条件p:“4π≤x≤2π”. (1)求f(x)的最大值和最小值;(2)若又给条件q:“|f(x)-m|<2”,且p 是q 的充分条件,求实数m 的取值范围. 解:(1)∵f(x)=2[1-cos(2πcos2x-1214(2)13x sin x π+=-+, ∵4π≤x≤2π, ∴6π≤2x -3π≤23π, ∴2≤4sin(2x -3π)≤4, ∴3≤f(x)≤5.即f(x)的最大值为5,最小值为3.(2)∵|f(x)-m|<2,∴m-2<f(x)<m+2,又p是q的充分条件,∴2325mm-<⎧⎨+>⎩,解得3<m<5,即m的取值范围是(3,5).。

第十一章 概率名师检测题时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列说法正确的一项是( )A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小解析：由互斥事件与对立事件的意义可知，选B.答案：B2．某学校共有2008名学生，现将从中选派5名学生去国家大剧院参加音乐晚会，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样从2008名学生中剔除8名学生，再从2000名学生中随机抽取5名，则其中学生甲被选派的概率是( )A.1400B.12008C.12000D.52008解析：依题意，对于简单随机抽样来说，每个个体被选取的概率均相等，因此学生甲被选取的概率是52008，选D. 答案：D3．设集合P ＝{b,1}，Q ＝{c,1,2}，P Q ，若b ，c ∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b ＝c 的概率是( )A.18B.14C.12D.34解析：依题意得当b ＝2时，c 可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b ≠c ；当b 从3,4,5,6,7,8,9中选取时，b ＝c .因此，b ＝c 的概率为77＋7＝12，选C. 答案：C4．10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，每人1张，至少有1人中奖的概率是( )A.310B.112C.12D.1112解析：无人中奖的概率为C 75C 105＝112.故至少有1人中奖的概率为1－112＝1112. 答案：D点评：本题主要考查排列，组合，等可能事件的概率计算等知识，注意“至少”的出现，一般是先求出其对立事件的概率．5．羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、沸羊羊中选派两只羊去割草，则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( )A.310B.67C.35D.45解析：从5只羊中任选两只，有C 52＝10种选法，喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的结果有C 21·C 31＝6种，故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为C 21·C 31C 52＝610＝35.选C.答案：C6．在正方体上任取三个顶点连成三角形，则所得的三角形是等腰三角形的概率是( ) A.114B.17C.314D.47解析：依题意得，从正方体的八个顶点中任取三个顶点可形成的等腰三角形的个数按所选取的三个顶点是否来自于该正方体的同一个面来分类：(1)若所选取的三个顶点来自于该正方体的同一个面，这样的三角形共有4×6＝24个；(2)若所选取的三个顶点不是来自于该正方体的同一个面，这样的三角形共有8个．而从正方体的八个顶点中任取三个顶点可形成的三角形共有C 83＝56个．于是，所求的概率等于24＋856＝47，选D. 答案：D7．两个同学做同一道数学题，他们做对的概率分别是0.8和0.9，则该题至少被一个同学做对的概率是( )A ．0.72B ．0.83C ．0.7D ．0.98解析：依题意，P ＝1－(1－0.8)×(1－0.9)＝1－0.02＝0.98，选D.答案：D8．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为( )A.132B.3132C.532D.15解析：依题意得，一枚硬币连掷5次，至少一次正面向上的概率等于1－⎝⎛⎭⎫125＝3132，选B.答案：B9．在正方体的顶点、面的中心和体中心共15个点中任取三个点，那么所取三点共线的概率是( )A.591B.38455C.491D.19455解析：三点共线的情形有：面对角线，体对角线，相对面中心连线．概率P ＝12＋4＋3C 153＝19455. 答案：D10．要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为( )A.C 104·C 52C 156B.C 103·C 53C 156C.C 156A 156 D.A 104·A 52C 156解析：按分层抽样的方法从10名女生和5名男生中选出6名学生，则女生中选4人，男生中选2人，共有C 104C 52种选法．而从15名学生中选6名学生共有C 156种选法，故其概率P ＝C 104C 52C 156，故选A. 答案：A11．某篮球选手每次投篮命中的概率为12，各次投篮相互独立，令此选手投篮n 次的命中率为a n (a n 为进球数与n 之比)，则事件“a 6＝12，a n ≤12，n ＝1,2,3,4,5”发生的概率为( ) A.12B.364C.564D.116解析：依题意，因为a 6＝12，a n ≤12(n ＝1,2,3,4,5)，所以第六次一定投中，第一次一定投不中，且第二次到第五次中只能投中两次．若第二次投不中，则第三次到第五次投中两次有3种方法，若第二次投中，则第三次必投不中，从而第四次到第五次投中一次有2种方法，因此事件a 6＝12，a n ≤12(n ＝1,2,3,4,5)发生的概率为3＋226＝564，选择C. 答案：C12．若一个四位数字的数，前两位数字之积恰好等于后面两位数，则称这个数为“吉积数”．如“0900”，“1909”，“9218”等都为“吉积数”．某地汽车牌照某批次的号码前两位是固定的英文字母，后面是四位数字，丁先生买了新车，给汽车上牌照时最多有三次选择机会(有放回地随机选择号码)．丁先生选号时刚好是选这批号码的第一位车主，如果他想选一个末尾数字没有4的“吉积数”，则丁先生成功的最大概率最接近的值为( )A ．3%B ．1%C ．0.88%D ．2.64%解析：显然，在一个“吉积数”的车牌号中，确定了第1个和第2个数位上的数字，后面两个数字自然就确定了．而每个数位上的数字有10种选择，所以“吉积数”共有：C 101C 101＝100个．而尾数为4的“吉积数”有：1404,2204,2714,3824,4104,4624,6424,6954,7214,8324,8864,9654共12个，∴尾数不含4的“吉积数”有C 101C 101－12＝88个，而这批车牌号码一共有104个，∴选择一次成功的概率为：P ＝C 101C 101－12104＝0.0088.而丁先生一共有3次选择的机会，∴成功的最大概率为0.0088×3＝0.0264＝2.64%，故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．某篮球运动员在三分线投球的命中率是12，他投球10次，恰好投进3个球的概率为________．(用数值作答)解析：C 103⎝⎛⎭⎫123⎝⎛⎭⎫1－127＝15128.答案：1512814．从正二十边形的对角线中任取一条，则其与此正二十边形的所有边都不平行的概率为________．解析：正二十边形共有20×(20－3)2＝170条对角线，在平面直角坐标系中作一个单位圆，将单位圆与y 轴正半轴的交点记作A 1，然后按顺时针方向在单位圆上等距离地依次取19个点，依次记为A 2、A 3、A 4、A 5、…、A 20；显然，第11个点A 11在单位圆与y 轴负半轴的交点上，顺次连接A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、…、A 20，即可得到正二十边形A 1A 2A 3A 4A 5…A 20，再连接A 1A 3、A 2A 4、A 3A 5、…、A 10A 12.显然A 1A 3不平行于任何一条边，而与A 1A 3平行的对角线有：A 20A 4，A 19A 5，A 18A 6，A 17A 7，A 16A 8，A 15A 9，A 14A 10，A 13A 11，共8条；类似地，A 2A 4、A 3A 5、…、A 10A 12也均不平行于任何一条边，且对于这9条对角线的每一条，也均有8条对角线与之平行；故与正二十边形的边不平行的直线有10×9＝90条．其概率为P ＝90170＝917. 答案：91715．一对酷爱运动的年轻夫妇，让刚满十个月大的婴儿把“0,0,2,8，北，京”六张卡片排成一行，若婴儿能使得卡片排成的顺序为“2008北京”或“北京2008”，则受到父母的夸奖，那么婴儿受到夸奖的概率为______．解析：将“0,0,2,8，北，京”这六张卡片进行排列共有C 62·A 44＝360(从6个位置中任选2个位置作为0的位置，有C 62种方法，然后再将“2,8，北，京”在余下的4个位置上进行排列共有A 44种方法)种方法，在这些排列中只有两种方法满足要求，因此所求的概率是2360＝1180. 答案：118016．分别写有a ，a ，g ，g ，g ，h ，n ，n ，u 的九张卡片随意排成一列，恰能拼成“黄冈”的汉语拼音的概率是________．解析：依题意，将a ，a ，g ，g ，g ，h ，n ，n ，u 排成一列共有C 91C 81C 72C 52C 33＝15120种不同的排法，能组成“黄冈”的汉语拼音的只有1种，因此概率为115120. 答案：115120三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)甲、乙两人在同一位置向目标射击，已知在一次射击中，甲、乙击中目标的概率分别为35与34.求： (1)甲射击两次，至少一次击中目标的概率；(2)甲、乙两人各射击两次，他们一共击中目标2次的概率．解析：(1)甲射击一次，未击中目标的概率为1－35＝25，因此，甲射击两次，至少击中目标一次的概率为1－⎝⎛⎭⎫252＝2125.(2)设“甲、乙两人各射击两次，甲击中目标2次，乙未击中”为事件A ；“甲、乙两人各射击两次，乙击中目标2次，甲未击中”为事件B ；“甲、乙两人各射击两次，甲、乙各击中1次”为事件C ，则P (A )＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫142＝9400；P (B )＝⎝⎛⎭⎫252×⎝⎛⎭⎫342＝36400；P (C )＝C 2135×25·C 2134×14＝72400. 因为事件“甲、乙两人各射击两次，共击中目标2次”为A ＋B ＋C ，而A ，B ，C 彼此互斥，所以，甲、乙两人各射击两次，共击中目标2次的概率为P ＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝117400. 18．(本小题满分12分)因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立，该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4.(1)求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率；(2)求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率．解析：(1)令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件，则P (A )＝0.2×0.4＋0.4×0.3＝0.2.(2)令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，则P (B )＝0.2×0.6＋0.4×0.6＋0.4×0.3＝0.48.19．(本小题满分12分)甲、乙、丙三个同学都解同一道竞赛题，若各自单独解题，每个同学解出正确答案的概率都为12；若任意两个同学合成一组解，则这一组得出正确答案的概率为45；若三个同学合成一组，则得出正确答案的概率为89.问：怎样安排，才能使这道题的解答正确的概率最大？说明理由．解析：记A 、B 、C 分别为事件“分三组解题、分二组解题、分一组解题，得出正确答案”则P (A )＝1－P (A )＝1－⎝⎛⎭⎫123＝78P (B )＝1－P (B )＝1－15·12＝910P (C )＝89.P (B )＞P (C )＞P (A ) ∴三个同学分两人一组，一人一组解题，解出正确答案的概率最大．20．(本小题满分12分)某城市有30%的家庭订阅了A 报，有60%的家庭订阅了B 报，有20%的家庭同时订阅了A 报和B 报，从该城市中任取4个家庭．(1)求这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报的概率；(2)求这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报的概率；(3)求这4个家庭中恰好有2个家庭A 、B 报都没有订阅的概率．解析：(1)设“这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了A 报”的事件为A ，P (A )＝C 43(0.3)3×(0.7)＝0.0756.(2)设“这4个家庭中至多有3个家庭订阅了B 报”的事件为B ，P (B )＝1－(0.6)4＝1－0.1296＝0.8704.(3)设“这4个家庭中恰好有2个家庭A 、B 报都没有订阅”的事件为C ，因为有30%的家庭订阅了A 报，有60%的家庭订阅了B 报．有20%的家庭同时订阅了A 报和B 报．所以两份报纸都没有订阅的家庭有30%.所以P (C )＝C 42(0.3)2×(0.7)2＝0.2646.21．(本小题满分12分)某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费1000元，便可以获得奖券一张，每张奖券中奖的概率为15，若中奖，则家具城返还顾客现金1000元．某顾客购买一张价格为3400元的餐桌，得到3张奖券．(1)求家具城恰好返还顾客现金1000元的概率；(2)求家具城至少返还顾客现金1000元的概率．解析：(1)家具城恰好返还给该顾客现金1000元即该顾客的三张奖券有且只有一张中奖P ＝C 31⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＝48125.(2)解法一：设家具城至少返还给该顾客现金1000元为事件A ，这位顾客的三张奖券有且只有一张中奖为事件A 1，这位顾客有且只有两张中奖为事件A 2，这位顾客三张都中奖为事件A 3，则A ＝A 1＋A 2＋A 3，A 1、A 2、A 3是互斥事件．P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 31⎝⎛⎭⎫15×⎝⎛⎭⎫452＋C 32⎝⎛⎭⎫152×45＋C 33⎝⎛⎭⎫153＝48125＋12125＋1125＝61125. 解法二：家具城至少返还给该顾客现金1000元即这位顾客的三张奖券中至少有一张中奖，设为事件B .则它的对立事件为B ：三张奖券都没有中奖P (B )＝1－P (B )∵P (B )＝C 30⎝⎛⎭⎫150×⎝⎛⎭⎫453＝64125∴P (B )＝1－P (B )＝61125. 22．(本小题满分12分)某足球俱乐部2008年1月份安排4次体能测试，规定每位运动员一开始就要参加测试，一旦某次测试合格就不必参加以后的测试，否则4次测试都要参加．若运动员李明4次测试每次合格的概率依次组成一公差为18的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过12，且他直至第二次测试才合格的概率为932. (1)求李明第一次参加测试就合格的概率P 1；(2)求李明1月份参加测试合格的概率．解析：(1)设四次测试合格的概率为a ，a ＋18，a ＋14，a ＋38⎝⎛⎭⎫a <12，则(1－a )⎝⎛⎭⎫a ＋18＝932，即a 2－78a ＋532＝0，解得a ＝14或a ＝58(舍去)． ∴P 1＝a ＝14. ∴李明第一次参加测试就合格的概率P 1为14. (2)解法一：由(1)知李明四次测试合格的概率分别为14，38，12，58， 直至第3次测试才合格的概率为P 3＝34×58×12＝1564； 直至第4次测试才合格的概率为P 4＝34×58×12×58＝75512， ∴P 1＋P 2＋P 3＋P 4＝14＋932＋1564＋75512＝467512， ∴李明1月份参加测试合格的概率为467512. 解法二：由(1)知李明四次测试合格的概率分别为14，38，12，58，则李明四次测试不合格的概率分别为34，58，12，38， ∴1月份李明参加测试不合格的概率为34×58×12×38＝45512，45 512＝467 512.∴李明1月份参加测试合格的概率为1－。

第九章(A)直线、平面、简单几何体名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．过空间一点与已知平面垂直的直线有()A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条解析：根据线面垂直的定义及其性质定理可知过空间一点与已知平面垂直的直线只有1条，故选B.答案：B2．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由面面垂直的判定定理可知必要性成立，而当两平面α、β垂直时，α内的直线m只有在垂直于两平面的交线时才垂直于另一个平面β，∴充分性不成立．答案：B3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直解析：因为只有过m及m在平面α内的射影的平面是过m且垂直于平面α的平面，因此B正确，选择B.答案：B4．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，则下列命题中，其逆否命题不成立的是()A．当m⊥α，n⊥β时，若m∥n，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，若n⊥m，则n⊥αD．当m⊂α，且n⊄α时，若n∥α，则m∥n解析：根据原命题与逆否命题的真假性相同，只需判断原命题的真假即可．由面面垂直、平行的性质定理或判定定理等很容易判断出A 、B 、C 都是正确的，而在答案D 中，m 与n 显然可以异面．故选D.答案：D5．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为棱AB 的中点，则异面直线DM 与D 1B 所成角的余弦值为( )A.156 B.155 C.153D.1510解析：取CD 的中点N ，连结NB 、ND 1，则易知NB ∥DM ，∴∠NBD 1(或其补角)就是异面直线DM 与D 1B 所成的角．不妨设正方体的棱长为1，则D 1N ＝NB ＝ 12＋⎝⎛⎭⎫122＝52.又D 1B ＝3，故在△NBD 1中，cos ∠NBD 1＝NB 2＋D 1B 2－D 1N 22·NB ·D 1B ＝155.故选B.答案：B6．如果对于空间任意n (n ≥2)条直线总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，那么这样的n ( )A ．最大值为3B ．最大值为4C ．最大值为5D ．不存在最大值解析：若n ＝4，显然此时对于空间的任意四条直线不都存在这样的平面α，因此结合各选项知B 、C 不正确；对于空间任意3条直线，总存在一个平面α，使得这n 条直线与平面α所成的角均相等，选A.答案：A 7.如图，在棱长均为2的正四棱锥P －ABCD 中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是( )A ．BE ∥平面P AD ，且直线BE 到平面P AD 的距离为 3B ．BE ∥平面P AD ，且直线BE 到平面P AD 的距离为263C ．BE 不平行于平面P AD ，且BE 与平面P AD 所成的角大于30° D ．BE 不平行于平面P AD ，且BE 与平面P AD 所成的角小于30°解析：取PD 的中点F ，连结EF ，AF ，则有EF ∥CD ，且EF ＝12CD ，又AB ∥CD ，AB＝CD ，因此有EF ∥AB ，EF ＝12AB ，四边形ABEF 为梯形，直线BE 与AF 必相交，直线BE与平面P AD 不平行．注意到BE 与BC 的夹角为30°，因此直线BE 与AD 的夹角为30°，由最小角原理可知，直线BE 与平面P AD 所成的角小于30°，选D.答案：D8．已知三棱锥P －ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，P A ＝PB ＝2PC ＝2a ，且三棱锥外接球的表面积为S ＝9π，则实数a 的值为( )A ．1B ．2 C. 2D.12解析：如图，将三棱锥P —ABC 嵌入长方体中，则长方体的体对角线BD 为三棱锥外接球的直径，由此得三棱锥外接球的表面积为S ＝4π⎝⎛⎭⎫BD 22＝π(PB 2＋PD 2)＝π[(2a )2＋(5a )2]＝9π.∴a ＝1，故选A.答案：A 9.如图，∠C ＝90°，AC ＝BC ，M 、N 分别为BC 和AB 的中点，沿直线MN 将△BMN 折起，使二面角B ′—MN —B 的大小为60°，则斜线B ′A 与平面ABC 所成角的正切值为( )A.25B.35C.45D.35解析：设AC ＝BC ＝2a ，由已知得MN ⊥CM ，B ′M ⊥MN ，MN ⊥平面B ′CM ，∠B ′MB ＝60°，B ′M ＝MN ＝a .作B ′E ⊥CB 于点E ，连结AE ，则有MN ⊥B ′E ，B ′E ⊥CE ，B ′E ⊥平面ABC ，∠B ′AE 是直线B ′A 与平面ABC 所成的角．在Rt △B ′AE 中，B ′E ＝B ′M sin60°＝32a ，EM ＝B ′M cos60°＝a2，AE ＝AC 2＋CE 2＝⎝⎛⎭⎫2a )2＋(a ＋a 22＝5a 2，所以tan ∠B ′AE ＝B ′E AE ＝35，选B.答案：B 10.如图，在棱长为4的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是AD 、A ′D ′的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面A ′B ′C ′D ′上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角A －A ′D ′－B ′所围成的几何体的体积为( )A.4π3 B.2π3 C.π3D.π6解析：依题意可知|FP |＝12|MN |＝1，因此点P 的轨迹是以点F 为球心、1为半径的球面，于是所求的体积是14×⎝⎛⎭⎫43π×13＝13π，选C. 答案：C11．一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的高是( )A.12 B.32 C ．1D.33解析：由题知三棱锥的高为球的半径，故选C. 答案：C12．球O 与锐二面角α－l －β的两半平面相切，两切点间的距离为3，O 点到交线l 的距离为2，则球O 的表面积为( )A.4π3 B ．4π C ．12π D ．36π解析：设球O 与平面α、β分别相切于点P 、Q ，过点O 作OR ⊥l 于点R ，连结PR 、QR 、PQ ，设PQ 与OR 相交于点S ，其抽象图如图所示，则有OP ⊥PR 、OQ ⊥QR ，故O 、P 、R 、Q 四点共圆，此圆的直径为2，由正弦定理得PQ sin ∠PRQ＝2，∴sin ∠PRQ ＝PQ 2＝32.又二面角α－l －β为锐二面角，∴∠PRQ ＝60°，∴∠PRO ＝30°，∴OP ＝1，即球的半径为1，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π，故选B. 答案：B第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．下列命题：①如果一个平面内有一条直线与另一个平面内的一条直线平行，那么这两个平面平行；②如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；③平行于同一平面的两个不同平面相互平行；④垂直于同一直线的两个不同平面相互平行．其中的真命题是________(把正确的命题序号全部填在横线上)．解析：对于①，相应的两个平面可能相交，因此①不正确；对于②，其中的两条直线可能是两条平行直线，此时相应的两个平面不一定平行，因此②不正确；对于③④，显然正确．答案：③④ 14.如图是一几何体的平面展开图，其中ABCD 为正方形，E 、F 分别为P A 、PD 的中点．在此几何体中，给出下面四个结论：①直线BE 与直线CF 异面； ②直线BE 与直线AF 异面； ③直线EF ∥平面PBC ； ④平面BCE ⊥平面P AD . 其中正确的有________个． 解析：将几何体展开图拼成几何体(如图)，因为E 、F 分别为P A 、PD 的中点，所以EF ∥AD ∥BC ，即直线BE 与CF 共面，①错；因为B ∉平面P AD ，E ∈平面P AD ，E ∉AF ，所以BE 与AF 是异面直线，②正确；因为EF ∥AD ∥BC ，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC ，③正确；平面P AD 与平面BCE 不一定垂直，④错．答案：215．如图，将∠B ＝π3，边长为1的菱形ABCD 沿对角线AC 折成大小等于θ的二面角B－AC －D ，若θ∈[π3，2π3]，M 、N 分别为AC 、BD 的中点，则下面的四种说法：①AC ⊥MN ；②DM 与平面ABC 所成的角是θ； ③线段MN 的最大值是34，最小值是34；④当θ＝π2时，BC 与AD 所成的角等于π2.其中正确的说法有________(填上所有正确说法的序号)． 解析：如图，AC ⊥BM ，AC ⊥MD ⇒AC ⊥平面BMD ，所以AC ⊥MN ，①正确；因为θ∈[π3，2π3]，且线与面所成角的范围为[0，π2]，所以DM 与平面ABC 所成的角不一定是θ，②错；BM ＝DM ＝32，MN ⊥BD ，∠BMD ＝θ，所以MN ＝BM ·cos θ2＝32·cos θ2，所以线段MN 的最大值是34，最小值是34，③正确；当θ＝π2时，过C 作CE ∥AD ，连结DE ，且DE ∥AC ，则∠BCE (或其补角)即为两直线的夹角，BM ⊥DM ，BM ＝DM ＝32，BD 2＝32，又DE ∥AC ，则DE ⊥平面BDM ，∴DE ⊥BD ，BE 2＝32＋1＝52，cos ∠BCE ＝1＋1－522＝－14≠0，所以④错．答案：①③16．设A 、B 、C 是球面上三点，线段AB ＝2，若球心到平面ABC 的距离的最大值为3，则球的表面积等于________．解析：△ABC 所在截面圆的直径为2r ＝AB ＝2时，球心到平面ABC 的距离最大，此时球半径R ＝1＋3＝2，S 球＝4πR 2＝16π.答案：16π三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，长方体AC 1中，AB ＝2，BC ＝AA 1＝1.E 、F 、G 分别为棱DD 1、D 1C 1、BC 的中点．(1)试在底面A 1B 1C 1D 1上找一点H ，使EH ∥平面FGB 1；(2)求四面体EFGB 1的体积．解析：(1)取A 1D 1的中点P ，D 1P 的中点H ，连结DP 、EH ，则DP ∥B 1G ，EH ∥DP ， ∴EH ∥B 1G ，又B 1G ⊂平面FGB 1，∴EH ∥平面FGB 1. 即H 在A 1D 1上，且HD 1＝14A 1D 1时，EH ∥平面FGB 1.(2)∵EH ∥平面FGB 1，∴VE —FGB 1＝VH —FGB 1， 而VH —FGB 1＝VG —HFB 1＝13×1×S △HFB 1，S △HFB 1＝S 梯形B 1C 1D 1H －S △B 1C 1F －S △D 1HF ＝58，∴V 四面体EFGB 1＝VE —FGB 1＝VH —FGB 1＝13×1×58＝524.18．(本小题满分12分)直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2. (1)求证：平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C ；(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论．解析：(1)证明：直棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，BB 1⊥平面ABCD ， ∴BB 1⊥AC .又∵∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2， ∴AC ＝2，∠CAB ＝45°，∴BC ＝2，∴BC ⊥AC . 又BB 1∩BC ＝B ，BB 1⊂平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C .又∵AC ⊂平面ACB 1，∴平面ACB 1⊥平面BB 1C 1C . (2)存在点P ，P 为A 1B 1的中点．要使DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行，就要使DP 与平面BCB 1和平面ACB 1的交线平行．因为平面BCB 1∩平面ACB 1＝B 1C ，所以只要DP ∥B 1C 即可． 因为A 1B 1∥DC ，所以四边形DCB 1P 为平行四边形， 所以B 1P ＝DC ＝12A 1B 1＝1，所以P 为A 1B 1的中点．即当P 为A 1B 1的中点时，DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行．19．(本小题满分12分)(2010·浙江)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在线段AB ，AD 上，AE ＝EB ＝AF ＝23FD ＝4.沿直线EF 将△AEF 翻折成△A ′EF ，使平面A ′EF ⊥平面BEF .(1)求二面角A ′－FD －C 的余弦值；(2)点M ，N 分别在线段FD ，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使C 与A ′重合，求线段FM 的长．解析：(1)取线段EF 的中点H ，AF 的中点G ，连结A ′G ，A ′H ，GH ，因为A ′E ＝A ′F 及H 是EF 的中点， 所以A ′H ⊥EF .又因为平面A ′EF ⊥平面BEF ， 所以A ′H ⊥平面BEF . 又AF ⊂平面BEF ， 故A ′H ⊥AF ，又因为G ，H 是AF 、EF 的中点． 易知GH ∥AB ， 所以GH ⊥AF ， 于是AF ⊥平面A ′GH ，所以∠A ′GH 为二面角A ′－FD －C 的平面角． 在Rt △A ′GH 中，A ′H ＝22，GH ＝2，A ′G ＝2 3. 所以cos ∠A ′GH ＝33. 故二面角A ′－DF －C 的余弦值为33. (2)设FM ＝x .因为翻折后，C 与A ′重合， 所以CM ＝A ′M ，而CM 2＝DC 2＋DM 2＝82＋(6－x )2，A ′M 2＝A ′H 2＋MH 2＝A ′H 2＋MG 2＋GH 2＝(22)2＋(x ＋2)2＋22，得x ＝214，经检验，此时点N 在线段BC 上． 所以FM ＝214.20．(本小题满分12分)(2010·重庆)如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝6，点E 是棱PB 的中点．(1)求直线AD 与平面PBC 的距离；(2)若AD ＝3，求二面角A —EC —D 的平面角的余弦值．解析：(1)如图，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，从而AD ∥平面PBC ，故直线AD 与平面PBC 的距离为点A 到平面PBC 的距离．因P A ⊥底面ABCD ，故P A ⊥AB ，由P A ＝AB 知△P AB 为等腰直角三角形，又点E 是棱PB 的中点，故AE ⊥PB .又在矩形ABCD 中，BC ⊥AB ，而AB 是PB 在底面ABCD 内的射影，由三垂线定理得BC ⊥PB ，从而BC ⊥平面P AB ，故BC ⊥AE ，从而AE ⊥平面PBC ，故AE 之长即为直线AD 与平面PBC 的距离．在Rt △P AB 中，P A ＝AB ＝6，所以AE ＝12PB ＝12P A 2＋AB 2＝ 3.(2)过点D 作DF ⊥CE ，交CE 于F ，过点F 作FG ⊥CE ，交AC 于G ，则∠DFG 为所求的二面角的平面角．由(1)知BC ⊥平面P AB ，又AD ∥BC ，得AD ⊥平面P AB ，故AD ⊥AE ，从而DE ＝AE 2＋AD 2＝ 6.在Rt △CBE 中，CE ＝BE 2＋BC 2＝ 6.由CD ＝6，所以△CDE 为等边三角形，故F点为CE 的中点，且DF ＝CD ·sin π3＝322.因为AE ⊥平面PBC ，故AE ⊥CE ，又FG ⊥CE ，知FG 綊12AE ，从而FG ＝32，且G 点为AC 的中点． 连结DG ，则在Rt △ADC 中，DG ＝12AC ＝12AD 2＋CD 2＝32. 所以cos ∠DFG ＝DF 2＋FG 2－DG 22·DF ·FG ＝63. 21．(本小题满分12分)如图，在四棱锥S －ABCD 中，AD ∥BC 且AD ⊥CD ；平面CSD ⊥平面ABCD ，CS ⊥DS ，CS ＝2AD ＝2；E 为BS 的中点，CE ＝2，AS ＝ 3.求：(1)点A 到平面BCS 的距离；(2)二面角E －CD －A 的大小．解析：(1)因为AD ∥BC ，且BC ⊂平面BCS ，所以AD ∥平面BCS ，从而A 点到平面BCS 的距离等于D 点到平面BCS 的距离．因为平面CSD ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，故AD ⊥平面CSD ，从而AD ⊥DS .由AD ∥BC ，得BC ⊥DS .又由CS ⊥DS 知DS ⊥平面BCS ，从而DS 为点A 到平面BCS 的距离．因此，在Rt △ADS 中，DS ＝AS 2－AD 2＝3－1＝ 2.(2)如图，过E 点作EG ⊥CD ，交CD 于点G ，又过点G 作GH ⊥CD ，交AB 于点H ，故∠EGH 为二面角E －CD －A 的平面角，记为θ，过E 点作EF ∥BC ，交CS 于点F ，连结GF ，因平面ABCD ⊥平面CSD ，GH ⊥CD ，易知GH ⊥GF .故θ＝π2－∠EGF . 由于E 为BS 边的中点，故CF ＝12CS ＝1，在Rt △CFE 中， EF ＝CE 2－CF 2＝2－1＝1.因EF ⊥平面CSD ，又EG ⊥CD ，故由三垂线定理的逆定理得FG ⊥CD ，从而又可得△CGF ∽△CSD ，因此GF DS ＝CF CD，而在Rt △CSD 中，CD ＝CS 2＋SD 2＝4＋2＝6，故GF ＝CF CD ·DS ＝16·2＝13. 在Rt △EFG 中，tan ∠EGF ＝EF FG ＝3，可得∠EGF ＝π3，故所求二面角的大小为θ＝π6.22．(本小题满分12分)右图是一个直三棱柱(以A 1B 1C 1为底面)被一平面所截得到的几何体，截面为ABC .已知A 1B 1＝B 1C 1＝1，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝2，CC 1＝3.(1)设点O 是AB 的中点，求证：OC ∥平面A 1B 1C 1；(2)求二面角B －AC －A 1的大小；(3)求此几何体的体积．解析：(1)证明：作OD ∥AA 1交A 1B 1于D ，连结C 1D .则OD ∥BB 1∥CC 1.因为O 是AB 的中点，所以OD ＝12(AA 1＋BB 1)＝3＝CC 1. 则四边形ODC 1C 是平行四边形，因此有OC ∥C 1D ，C 1D ⊂平面C 1B 1A 1且OC ⊄平面C 1B 1A 1，则OC ∥平面A 1B 1C 1.(2)如图，过B 作截面BA 2C 2∥平面A 1B 1C 1，分别交AA 1、CC 1于A 2、C 2，作BH ⊥A 2C 2于H ，连结CH .因为CC 1⊥平面BA 2C 2，所以CC 1⊥BH ，则BH ⊥平面A 1C .又因为AB ＝5，BC ＝2，AC ＝3⇒AB 2＝BC 2＋AC 2，所以BC ⊥AC ，根据三垂线定理知CH ⊥AC ，所以∠BCH 就是所求二面角的平面角．因为BH ＝22，所以sin ∠BCH ＝BH BC ＝12，故∠BCH ＝30°，即所求二面角的大小为30°. (3)因为BH ＝22，所以VB —AA 2C 2C ＝13SAA 2C 2C ×BH ＝13×12×(1＋2)×2×22＝12， VA 1B 1C 1—A 2BC 2＝S △A 1B 1C 1·BB 1＝12×2＝1. 所求几何体体积为V ＝VB —AA 2C 2C ＋VA 1B 1C 1—A 2BC 2＝32.。

第七章 直线和圆的方程名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．将圆x 2＋y 2＝1按向量a ＝(2，－1)平移后，恰好与直线x －y ＋b ＝0相切，则实数b 的值为( )A ．3±2B ．－3±2C ．2±2D ．－2±2解析：∵将圆x 2＋y 2＝1按向量a ＝(2，－1)平移后，圆心(0,0)平移到点(2，－1)，此时平移后的圆恰好与直线x －y ＋b ＝0相切，则圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|2－(－1)＋b |2＝1＝r ，解得b ＝－3±2，故选B.答案：B2．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．－32D.23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2b ＋1＝－2，解得a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13，选B.答案：B3．已知点A (－2,0)，B (0,2)，C 是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ∈R )上任意一点，则△ABC 的面积的最小值等于( )A.3－22B ．3＋ 2C ．3D ．3－ 2解析：直线AB ：y ＝x ＋2，点C 在圆(x －1)2＋y 2＝1上，圆心(1,0)到直线AB 的距离为322，∴(S △ABC )min ＝12×22×⎝⎛⎭⎫322－1＝3－2，故选D.答案：D4．已知圆M ：(x －4)2＋(y －3)2＝25，过圆M 内定点P (2,1)作两条相互垂直的弦AC 和BD ，那么四边形ABCD 的面积最大值为( )A ．21B ．21 3 C.212D ．42解析：当直线AC 、BD 中有一条直线斜率为0时，不妨设直线AC 的斜率为0，易知此时|AC |＝|BD |＝221，S 四边形ABCD ＝12·|AC |·|BD |＝42(对于此题来说，至此再结合选项可知，选D)．当直线AC 、BD 的斜率均不为0时，设直线AC 的斜率为k (k ≠0)，则直线AC 的方程是y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，此时圆心M (4,3)到直线AC 的距离等于|2k －2|k 2＋1，|AC |＝225－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k －2|k 2＋12＝221＋8k k 2＋1，同理|BD |＝225－⎣⎢⎡⎦⎥⎤|2×⎝⎛⎭⎫－1k －2|⎝⎛⎭⎫－1k 2＋12＝221－8k k 2＋1，S 四边形ABCD ＝12·|AC |·|BD |＝2212－64k 2(k 2＋1)2<42.综上所述，四边形ABCD 的面积最大值是42，选D. 答案：D5．将直线l 1：y ＝2x 绕原点逆时针旋转60°得直线l 2，则直线l 2到直线l 3：x ＋2y －3＝0的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：记直线l 1的斜率为k 1，直线l 3的斜率为k 3，注意到k 1k 3＝－1，l 1⊥l 3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，直线l 2到直线l 3的角是30°，选A.答案：A6．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F .则PE →·PF →的最小值是( )A ．12B ．10C ．6D ．5解析：显然圆C 是一个以(2,0)为圆心，2为半径的圆；设圆M 的圆心为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋5cos θy ＝5sin θ，即(x －2)2＋y 2＝25，显然，圆M 的圆心在一个以(2,0)为圆心，5为半径的圆上运动，这类似于一个地球绕着太阳转的模型，显然当点P 距离点C 最近时，PE →·PF →最小．在圆(x －2)2＋y 2＝25上取一点(2,5)，以点(2,5)为圆心作圆M ，此时圆M 上距离点C 最近的点为P (2,4)，连结PE 、PF 、CE 、CF ，∵PE 、PF 是圆C 的切线，∴PE ⊥CE ，PF ⊥CF ；又∵PC ＝4，CE ＝CF ＝2，∴PE ＝PF ＝12；在△CPE 中，cos ∠CPE ＝124，∴cos ∠FPE ＝cos2∠CPE ＝2×⎝⎛⎭⎫1242－1＝12；∴PE →·PF →＝|PE →|·|PF →|cos ∠FPE ＝12×12×12＝6；类似地，当点M 在圆(x －2)2＋y 2＝25上运动时有同样的结论．故选C.答案：C7．已知A 为xOy 平面内的一个区域．甲：点(a ，b )∈{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0}；乙：点(a ，b )∈A .如果甲是乙的必要条件，那么区域A 的面积( )A ．最小值为2B ．无最大值C ．最大值为2D ．最大值为1解析：如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0x ≥03x ＋y －6≤0所表示的平面区域，记作B .∵甲是乙的必要条件，∴乙⇒甲，∴(a ，b )∈A ⇒(a ，b )∈B ，即区域A 内的点都在区域B 内，而S B ＝12×4×1＝2，∴S A ≤2，即S A 的最大值为2，故选C.答案：C8．(2011·济南模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x －y ≤20≤y ≤3，若目标函数z ＝y －ax 仅在点(5,3)处取得最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：点(5,3)为直线y ＝3和直线x －y ＝2的交点，通过绘制可行域，观察直线z ＝y －ax 绕点(5,3)旋转，易得该直线的斜率即a 的取值范围为(1，＋∞)．答案：A9．设O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)．若点N (x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤02x ＋y －12≤0，x ≥1则使得OM →·ON →取得最大值时点N 的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个解析：作出可行域为如图所示的△ABC ，令z ＝OM →·ON →＝2x ＋y .∵其斜率k ＝－2＝k BC ，∴z ＝OM →·ON →＝2x ＋y 与线段BC 所在的直线重合时取得最大值，所以满足条件的点N 有无数个，故选D.答案：D10．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 两点的坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y －25≤0x －2y ＋2≤0，x －1≥0则tan∠POQ 的最大值等于( )A.12 B ．1 C.32D ．0解析：作出可行域，则P 、Q 在图中所示的位置时，∠POQ 最大，即tan ∠POQ ＝tan(∠POM －∠QOM )＝tan ∠POM －tan ∠QOM1＋tan ∠POM ·tan ∠QOM＝7－341＋7×34＝1，所以最大值为1，选B.答案：B11．已知两个不相等的实数a 、b 满足以下关系式：a 2·sin θ＋a ·cos θ－π4＝0，b 2·sin θ＋b ·cos θ－π4＝0，则连接A (a 2，a )、B (b 2，b )两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．不能确定解析：依题意得，点A ，B 均在直线x sin θ＋y cos θ－π4＝0上，即直线AB 的方程是x sin θ＋y cos θ－π4＝0，注意到原点到该直线的距离为d ＝π4<1，因此选B.答案：B12．已知关于x 的方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0的三个实根可作为一个椭圆，一个双曲线，一个抛物线的离心率，则b －1a ＋1的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．(0,2)C ．(－1,0)D ．(0,1)解析：依题意，方程x 3＋ax 2＋bx ＋c ＝0必有三根0<x 1<1，x 2>1，x 3＝1，所以c ＝－(a ＋b )－1，则f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －(a ＋b )－1＝(x －1)[x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1]，因此，0<x 1<1，x 2>1是方程g (x )＝x 2＋(a ＋1)x ＋a ＋b ＋1＝0的两根，因此⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝a ＋b ＋1>0g (1)＝2a ＋b ＋3<0，作出此不等式组对应的可行域，如图，b －1a ＋1表示可行域内的点与点(－1,1)连线的斜率k ，因为a ＋b ＋1＝0与2a ＋b ＋3＝0交点为(－2,1)，所以由图易知－2<k <0，选择A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析：原不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线z ＝abx ＋y (a >0，b >0)过直线2x －y ＋2＝0与直线8x －y －4＝0的交点(1,4)时，目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)取得最大值8，即8＝ab ＋4，ab ＝4，∴a ＋b ≥2ab ＝4.答案：414．直线y ＝2x ＋m 和圆x 2＋y 2＝1交于A 、B 两点，以Ox 为始边，OA 、OB 为终边的角分别为α、β，则sin(α＋β)的值为________．解析：设AB 的倾斜角为θ，AB 的中点为C ，AB 与x 轴的交点为D ，则tan θ＝2，∠xOC ＝α＋β2，(π－∠xOC )＋θ＝π2，即α＋β2＝π2＋θ，α＋β＝π＋2θ，所以sin(α＋β)＝－sin2θ＝－2sin θcos θ＝－2tan θ1＋tan 2θ＝－45. 答案：－4515．过原点O 作一条倾斜角为15°的直线l 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点M 、N ，则OM →·ON →＝________.解析：设圆C 与x 轴交于E ，F 两点，依题意得原点O 位于圆内，向量OM →、ON →反向共线，则OM →·ON →＝－|OM |·|ON |，由相交弦定理得|OM |·|ON |＝|OE |·|OF |.又|OE |·|OF |＝(2－|OC |)(2＋|OC |)＝4－|OC |2＝3，因此OM →·ON →＝－|OM |·|ON |＝－3.答案：－3点评：有关圆的问题，常常需要借助有关圆的性质将问题转化，否则计算可能会比较复杂．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知集合A ＝{(x ，y )|x －y ≤2，x ≥0，y ≤0}，则集合B ＝{(2x ＋y ，x －2y )|(x ，y )∈A }表示的平面区域的面积为________．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ＋yy ′＝x －2y ，则⎩⎨⎧x ＝2x ′＋y ′5y ＝x ′－2y ′5，代入集合A 中需要满足的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋3y ′≤102x ′＋y ′≥0x ′－2y ′≤0，则此不等式组表示的平面区域即为集合B ，作出图象可知，可行域即为以(0,0)，(－2,4)，(4,2)为顶点的三角形，则其面积为10.答案：10三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 边所在直线上．(1)求AD 边所在直线的方程； (2)求矩形ABCD 外接圆的方程．(3)过N (－2,0)作圆P 与ABCD 外接圆外切，求圆心P 的轨迹方程．解析：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.又因为点T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －6＝03x ＋y ＋2＝0解得点A 的坐标为(0，－2)，因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)， 所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心． 又|AM |＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.(3)因为动圆P 过点N ，所以|PN |是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M 外切，所以|PM |＝|PN |＋22，即|PM |－|PN |＝2 2.故点P 的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为22的双曲线的左支．因为实半轴长a ＝2，半焦距c ＝2，所以虚半轴长b ＝c 2－a 2＝ 2.从而动圆P 的圆心的轨迹方程为x 22－y 22＝1(x ≤－2)．18．(本小题满分12分)如图，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝a 2和直线l ：3x ＋4y ＋3＝0，若圆C 上有且仅有两个点到l 的距离等于1，求a 的取值范围．解析：设与l 平行且到l 距离为1的直线为： 3x ＋4y ＋c ＝0，则|c －3|52 ＝1，∴c ＝－2或c ＝8.由已知|3a ＋4a －2|5 <|a |或|3a ＋4a ＋8|5 <|a |，整理得|7a －2|<5|a |或|7a ＋8|<5|a |， 即6a 2－7a ＋1<0或3a 2＋14a ＋8<0. 解得16 <a <1或－4<a <－23.因此所求a 的范围是：－4<a <－23 或16<a <1.19．(本小题满分12分)如图，已知定圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，定直线m ：x ＋3y ＋6＝0，过A (－1，0)的一条动直线l 与直线m 相交于N ，与圆C 相交于P 、Q 两点，M 是PQ 的中点．(1)当l 与m 垂直时，求证：l 过圆心C ； (2)当|PQ |＝23时，求直线l 的方程；(3)设t ＝AM →·AN →，试问t 是否为定值，若为定值，请求出t 的值；若不为定值，请说明理由．解析：(1)证明：由已知k m ＝－13，故k l ＝3，所以直线l 的方程为y ＝3(x ＋1)．将圆心C (0,3)代入方程易知l 过圆心C .(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由于|PQ |＝23，所以|CM |＝1，由|CM |＝|－k ＋3|k 2＋1＝1，解得k ＝43.故直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.(3)解法一：当l 与x 轴垂直时，易得M (－1,3)，N (－1，－53)，又A (－1,0)，则AM →＝(0,3)，AN →＝⎝⎛⎭⎫0，－53， 故AM →·AN →＝－5.即t ＝－5.当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，代入圆的方程得(1＋k 2)x 2＋(2k 2－6k )x ＋k 2－6k ＋5＝0.则x M ＝x P ＋x Q 2＝－k 2＋3k 1＋k 2，y M ＝k (x M ＋1)＝3k 2＋k 1＋k 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2＋3k 1＋k 2，3k 2＋k 1＋k 2，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋11＋k 2，3k 2＋k 1＋k 2. 又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x ＋3y ＋6＝0，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k ＋61＋3k ，－5k 1＋3k ，则AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋3k ，－5k 1＋3k . 故t ＝AM →·AN →＝－15k －5(1＋k 2)(1＋3k )＋－5k (3k 2＋k )(1＋k 2)(1＋3k )＝－5(1＋3k )(1＋k 2)(1＋3k )(1＋k 2)＝－5.综上，t 的值为定值，且t ＝－5.解法二：连结CA 并延长交直线m 于点B ，连结CM 、CN ，由(1)知AC ⊥m ，又CM ⊥l ，所以四点M 、C 、N 、B 都在以CN 为直径的圆上，由相交弦定理得t ＝AM →·AN →＝－|AM →|·|AM →|＝－|AC →|·|AB →|＝－5.20．(本小题满分12分)已知关于x 、y 的二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0.(1)求函数u ＝3x －y 的最大值和最小值； (2)求函数z ＝x ＋2y ＋2的最大值和最小值． 解：(1)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由u ＝3x －y ，得y ＝3x －u ，得到斜率为3，在y 轴上的截距为－u ，随u 的变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C 点时，截距－u 最大，即u 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x ＋2＝0得C (－2,3)，∴u min ＝3×(－2)－3＝－9.当直线经过可行域上的B 点时，截距－u 最小，即u 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝4，x －y ＝1，得B (2,1)，∴u max ＝3×2－1＝5.∴u ＝3x －y 的最大值是5，最小值是－9. (2)作出二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤4，x －y ≤1，x ＋2≥0表示的平面区域，如图所示．由z ＝x ＋2y ＋2，得y ＝－12x ＋12z －1，得到斜率为－12，在y 轴上的截距为12z －1，随z 变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A 点时，截距12z －1最小，即z 最小，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2＝0，得A (－2，－3)，∴z min ＝－2＋2×(－3)＋2＝－6.当直线与直线x ＋2y ＝4重合时，截距12z －1最大，即z 最大，∴z max ＝4＋2＝6.∴z ＝x ＋2y ＋2的最大值是6，最小值是－6.21．(本小题满分12分)已知圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0及点Q (－2,3)． (1)若点P (m ，m ＋1)在圆C 上，求直线PQ 的斜率； (2)若M 是圆C 上任一点，求|MQ |的最大值和最小值；(3)若点N (a ，b )满足关系式a 2＋b 2－4a －14b ＋45＝0，求μ＝b －3a ＋3的最大值．解析：(1)由P 在圆C 上可得m 2＋(m ＋1)2－4m －14(m ＋1)＋45＝0⇒m ＝4， ∴P (4,5)，∴k PQ ＝5－34－(－2)＝13.(2)圆C ：(x －2)2＋(y －7)2＝8， ∴|CM |＝22，∴|MQ |max ＝|CQ |＋r ＝62， |MQ |min ＝|CQ |－r ＝2 2. (3)由图可知，设E (－3,3)．当过点E 的直线与圆相切时，取最大值．设切线斜率为k ，则切线方程为y －3＝k (x ＋3)， d ＝|5k －4|1＋k 2＝22，解得k ＝20±26617，∴μmax ＝20＋26617.22．(本小题满分12分)已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋21＝0和直线kx －y －4k ＋3＝0. (1)求证：不论k 取什么值，直线和圆总有两个不同的公共点； (2)求当k 取何值时，直线被圆截得的弦最短，并求这最短弦的长．解析：(1)证明：已知圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝4，其圆心(3,4)到直线kx －y －4k ＋3＝0的距离为|3k －4－4k ＋3|1＋k 2＝|k ＋1|1＋k 2.要证明直线和圆总有两个不同的公共点，只要证|k ＋1|1＋k2<2，即证(k ＋1)2<4(1＋k 2)，即证3k 2－2k ＋3>0.而3k 2－2k ＋3＝3⎝⎛⎭⎫k －132＋83>0成立． (2)由于当圆心到直线的距离最大时，直线被圆截得的弦最短， 而d ＝|k ＋1|1＋k 2＝(k ＋1)2k 2＋1＝ 1＋2k k 2＋1≤1＋1＋k 2k 2＋1＝ 2. 当且仅当k ＝1时，“＝”成立，即k ＝1时，d max ＝ 2.故当k ＝1时，直线被圆截得的弦最短，该最短弦的长为222－(2)2＝2 2.。

第十章排列、组合和二项式定理名师检测题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为()A．324B．328C．360 D．648解析：若个位数是0，从其余9个数中取出两个数排在前两位，有A92种排法；若个位数不是0，先从2、4、6、8中取一个放在个位，在其余的3个数和1、3、5、7、9中取出1个数排在首位，再从其余8个数(包括0)中取出一个数排在十位，有4×8×8＝256(种)排法．所以满足条件的三位偶数共有A92＋4×8×8＝328(个)，故选B.答案：B2．某校在高二年级开设选修课，其中数学选修课开三个班．选课结束后，有4名同学要求改修数学，但每班至多可再接收2名同学，那么不同的分配方案有() A．72种B．54种C．36种D．18种解析：依题意，就要求改修数学的4名同学实际到三个班的具体人数分类计数：第一类，其中一个班接收2名、另两个班各接收1名，分配方案共有C31·C42·A22＝36(种)；第二类，其中一个班不接收、另两个班各接收2名，分配方案共有C31·C42＝18(种)．因此，满足题意的不同的分配方案有36＋18＝54(种)，选B.答案：B3．数列{a n}共有6项，其中三项是1，两项是2，一项是3，则满足上述条件的数列共有()A．24种B．60种C．72种D．120种解析：∵数列{a n}共有6项，可以找6个位置，先放3个1，相当于从6个位置中选出3个位置放1，由于3个1相同，所以没有顺序，共有C63种方法；类似地，剩下的3个位置2个放2,1个放3，因此一共有C63C32C11＝60(种)，故选B.答案：B4．为预防和控制甲型流感，某学校医务室欲将22支相同的温度计分发到高三年级10个班级中，要求分发到每个班级的温度计不少于2支，则不同的分发方式共有()C．90种D．100种解析：依题意，先把这22支相同的温度计给每班分配2支，则满足题意的分发方式的种数就取决于余下的2支温度计的分配方法种数，余下的2支温度计的分配方法有两类：第一类，将余下的2支温度计全部分给某一个班，有C101＝10(种)方法；第二类，将余下的2支温度计全部分给某两个班，有C102＝45(种)方法．因此，满足题意的分发方式共有10＋45＝55(种)，选B.答案：B5．计划在4个候选场馆举办排球、篮球、足球3个项目的比赛，在同一个场馆比赛的项目不超过2项的安排方案共有()A．24种B．36种C．42种D．60种解析：依题意知，满足题意的方案可分为两类：第一类，这3个项目分别安排在某3个场馆，相应的方案数为A43＝24；第二类，这3个项目分别安排在某2个场馆，相应的方案数为C42·C21·C32＝36.因此，满足题意的方案共有24＋36＝60(种)，选D.答案：D6．从8个不同的数中选出5个数构成函数f(x)(x＝1,2,3,4,5)的值域，如果8个不同的数中的A、B两个数不能是x＝5对应的函数值，那么不同的选法种数为() A．C82A63B．C71A74C．C61A74D．无法确定解析：依题意，分步确定当x取1、2、3、4、5时相应的函数值，第一步，从除A、B 外的六个数中任选一个作为x＝5时相应的函数值，有C61种方法；第二步，再从其余的7个数中任选4个作为x取1、2、3、4时相应的函数值，有A74种方法．因此满足题意的不同的选法种数有C61A74，选C.答案：C7．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人，现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是() A．C802C208B．A808C202C．A808C202D．C808C202解析：依题意得这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是C808C202，选D.答案：D8．若自然数n使得作竖式加法n＋(n＋1)＋(n＋2)均不产生进位现象，则称n为“可连数”．例如：32是“可连数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因23＋24＋25产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为()C ．39D ．48解析：根据题意，要构造小于1000的“可连数”，个位上的数字的最大值只能为2，即个位数字只能在0,1,2中取．十位数字只能在0,1,2,3中取；百位数字只能在1,2,3中取．当“可连数”为一位数时：有C 31＝3(个)；当“可连数”为两位数时：个位上的数字有0,1,2三种取法，十位上的数字有1,2,3三种取法，即有C 31C 31＝9(个)；当“可连数”为三位数时：有C 31C 41C 31＝36(个)；故共有：3＋9＋36＝48(个)，故选D.答案：D9．(2x ＋4)2010＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2010x 2010，则a 0＋a 2＋a 4＋…＋a 2010被3除的余数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定解析：在已知等式中分别取x ＝1与x ＝－1得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2010＝62010，a 0－a 1＋a 2－…＋a 2010＝22010，两式相加得2(a 0＋a 2＋…＋a 2010)＝62010＋22010，即a 0＋a 2＋…＋a 2010＝12×(62010＋22010)＝12×62010＋22009. 注意到12×62010能被3整除； 22009＝2×(22)1004＝2×(3＋1)1004＝2×(31004＋C 10041·31003＋…＋C 10041003·3＋1)，被3除的余数是2，因此选C.答案：C10．如果f (m )＝1＋m C n 1＋m 2C n 2＋…＋m n －1C n n －1＋m n C n n ，那么log 2f (3)log 2f (1)等于( ) A ．2B.12 C ．1D ．3 解析：∵f (m )＝(1＋m )n ，∴log 2f (3)log 2f (1)＝log 24n log 22n ＝2n n ＝2，故选A. 答案：A11．(C 41x ＋C 42x 2＋C 43x 3＋C 44x 4)2的展开式的所有项的系数和为( )A ．64B ．224C ．225D ．256解析：在已知代数式中取x ＝1得其展开式的所有项的系数和等于(C 41＋C 42＋C 43＋C 44)2＝152＝225，选C.答案：C12．设(5x－x)n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x3的系数为()A．－150 B．150C．－500 D．500解析：依题意得，M＝4n＝(2n)2，N＝2n，于是有(2n)2－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0,2n ＝16＝24，n＝4，二项式(5x－x)n即(5x－x)4的展开式的通项T r＋1＝，令4－r2＝3，得r＝2，因此(5x－x)n的展开式中x3的系数等于C42·54－2·(－1)2＝150，选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．)13．北京大学今年实施校长实名推荐制，某中学获得推荐4名学生的资格，校长要从7名优秀学生中推荐4名，7名学生中有2人有体育特长，另有2人有艺术特长，其余3人有其他特长，那么至少含有1名有体育特长和1名有艺术特长的学生的推荐方案有________种(用数字作答)．解析：依题意，推荐方案分四类：①1名体育特长生，1名艺术特长生，有C21C21C32＝12(种)方案；②2名体育特长生，1名艺术特长生，有C22C21C31＝6(种)方案；③1名体育特长生，2名艺术特长生，有C21C22C31＝6(种)方案；④2名体育特长生，2名艺术特长生，有C22C22＝1(种)方案．于是，满足题意的推荐方案共有12＋6＋6＋1＝25(种)方案．答案：2514．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共有________个．解析：依题意，本题中的“好数”一定是由三个1与其他一个数或一个1与其他三个相同的数构成，故共有C31C31＋C31＝12(个)．答案：1215．在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．解析：注意到二项式(x＋43y)20的展开式的通项是T r＋1＝C20r·x20－r·(43y)r＝C20r·3r4·x20－r·y r.当r＝0,4,8,12,16,20时，相应的项的系数是有理数．因此(x＋43y)20的展开式中，系数是有理数的项共有6项．答案：616．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1＋1，则a 1C n 0＋a 2C n 1＋…＋a n ＋1C n n ＝________. 解析：∵a n ＝2n －1＋1，∴a 1C n 0＋a 2C n 1＋…＋a n ＋1C n n ＝C n 0(20＋1)＋C n 1(21＋1)＋…＋C n n (2n ＋1)＝(C n 020＋C n 121＋…＋C n n 2n )＋(C n 0＋C n 1＋…＋C n n )＝(2＋1)n ＋2n ＝3n ＋2n .答案：2n ＋3n三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)7个人到7个地方去旅游，甲不去A 地，乙不去B 地，丙不去C 地，丁不去D 地，共有多少种旅游方案？解析：此题可用排除法，7个人分别去7个地方共有A 77种可能．(1)若甲、乙、丙、丁4人同时都去各自不能去的地方旅游，而其余的人可以去余下的地方旅游的不同选法有A 33＝6(种)．(2)若甲、乙、丙、丁中有3人同时去各自不能去的地方旅游，有C 43种，而4人中剩下1人旅游的地方是C 31种，都选完后，再考虑无条件3人的旅游方法是A 33种，所以共有C 43C 31A 33＝72(种)．(3)若甲、乙、丙、丁4人中有2人同时去各自不能去的地方旅游，有C 42种，余下的5个人分别去5个不同地方的方案有A 55种，但是其中又包括了有条件的四人中的两人(不妨设甲、乙两人)同时去各自不能去的地方共A 33种，和这两人中有一人去了自己不能去的地方共2A 31A 33种，所以共有C 42(A 55－A 33－2A 31A 33)＝468(种)．(4)若甲、乙、丙、丁4人中只有1人去了自己不能去的地方旅游，有C 41种方案，而余下的六个人的旅游方案仍与(3)想法一致，共有C 41[A 66－A 33－C 32(A 44－A 33)－C 31(A 55－A 32－2A 31·A 33)]＝1704(种)．所以满足以上情况的不同旅游方案，共有A 77－(6＋72＋468＋1704)＝2790(种)．18．(本小题满分12分)设(5x 12－x 13)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，M －N ＝992.(1)判断该展开式中有无x 2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；(2)求此展开式中有理项的项数．解析：令x ＝1得M ＝4n ，而N ＝2n ，由M －N ＝992，得4n －2n ＝992，即(2n －32)(2n ＋31)＝0.故2n ＝32，n ＝5.(1) 由题意，5－r 2＋r 3＝2，r ＝3.故含x 2项存在，它的系数为－250. (2)由通项可知，必须5－r 2＋r 3＝15－r 6为整数．分别把r ＝0,1,2,3,4,5代入，只有r ＝3成立，故只有一项有理项．19．(本小题满分12分)把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列构成一个数列．(1)43251是这个数列的第几项？(2)求这个数列的第96项是多少？(3)求这个数列的各项和．解析：(1)先考虑大于43251的数有三类：以5开头的有A44个，以45开头的有A33个，以435开头的有A22个，则不大于43251的五位数有：A55－(A44＋A33＋A22)＝88(个)，即43251是此数列的第88项．(2)此数列共有120项，即96项以后还有120－96＝24项，即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，而以5开头的五位数恰好有A44＝24个，所以小于以5开头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项，即为45321.(3)因为1,2,3,4,5各在万位时都有A44个五位数，所以万位上数字的和为(1＋2＋3＋4＋5)×A44×10000；同理，它们在千位、百位、十位、个位上也都有A44个五位数，所以其和为(1＋2＋3＋4＋5)×A44×(1＋10＋100＋1000)，综上，这个数列的和为：(1＋2＋3＋4＋5)×A44×(1＋10＋100＋1000＋10000)＝3999960.20．(本小题满分12分)(1)求证：k C n k＝n C n－1k－1；(2)等比数列{a n}中，a n＞0，化简：A＝lg a1－C n1lg a2＋C n2lg a3－…＋(－1)n C n n lg a n＋1.解析：(1)证明：∵左式＝k·n！k！(n－k)！＝n·(n－1)！(k－1)！(n－k)！＝n·(n－1)！(k－1)！[(n－1)－(k－1)]！＝n C n－1k－1＝右式，∴k C n k＝n C n－1k－1.(2)由已知：a n＝a1q n－1，∴A＝lg a1－C n1(lg a1＋lg q)＋C n2(lg a1＋2lg q)－C n3(lg a1＋3lg q)＋…＋(－1)n C n n(lg a1＋n lg q)＝lg a1[1－C n1＋C n2－…＋(－1)n C n n]－lg q[C n1－2C n2＋3C n3－…＋(－1)n－1C n n·n]＝lg a1·(1－1)n－lg q[n C n－10－n C n－11＋n C n－12－…＋(－1)n－1·n C n－1n－1]＝0－n lg q[C n－10－C n－11＋C n－12－…＋(－1)n－1·C n－1n－1]＝－n lg q(1－1)n－1＝0.21．(本小题满分12分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项系数的比是10∶1.(1)求展开式各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项； (3)求展开式中系数最大的项和系数最小的项．解析：(1)∵⎝⎛⎭⎫x －2x 2n 展开式中的通项为，由题意得24C n 422C n 2＝101，∴n 2－5n －24＝0， 解得n ＝8或n ＝－3(舍)．令x ＝1，则⎝⎛⎭⎫x －2x 28的各项系数和为1. (2)展开式通项为，令8－5r 2＝32，得r ＝1， ∴展开式中含x 32的项为(3)展开式的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C 8r －1·2r －1，C 8r 2r ，C 8r ＋1·2r ＋1. 若第r ＋1项的系数绝对值最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C 8r －1·2r －1≤C 8r ·2r C 8r ·2r ≥C 8r ＋1·2r ＋1 解得5≤r ≤6.即系数绝对值最大的项为第六项或第七项．∴T 6＝－1792x x 9，T 7＝1792·1x11. 故展开式中系数最大的项为1792·1x 11，系数最小的项为－1792x x9.22．(本小题满分12分)设f (x )是定义在R 上的函数，且g (x )＝C n 0·f ⎝⎛⎭⎫0n ·x 0(1－x )n ＋C n 1·f ⎝⎛⎭⎫1n x ·(1－x )n －1＋C n 2·f ⎝⎛⎭⎫2n ·x 2·(1－x )n －2＋…＋C n n ·f ⎝⎛⎭⎫n n ·x n (1－x )0. (1)若f (x )＝1，求g (x )；(2)若f (x )＝x ，求g (x )．解析：(1)f (x )＝1，则g (x )＝C n 0(1－x )n ＋C n 1·x ·(1－x )n －1＋…＋C n n x n ·(1－x )0＝(1－x ＋x )n ＝1， ∵式子有意义，则x ≠0且x ≠1，∴g (x )＝1(x ≠0且x ≠1)．(2)f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫k n ＝k n ，∴g (x )＝C n 0·0＋C n 1·1n x ·(1－x )n －1＋C n 2·2n ·x 2·(1－x )n －2＋…＋C n k ·k n·x k ·(1－x )n －k ＋…＋C n n ·1·x n (1－x )0，又 ∵C n k ·k n ＝k n ·n ！(n －k )！·k ！＝(n －1)！(n －k )！·(k －1)！＝C n －1k －1， ∴g (x )＝C n －10·x ·(1－x )n －1＋C n －11x 2·(1－x )n －2＋C n －12x 3·(1－x )n －3＋…＋C n －1k －1·x k ·(1－x )n－k ＋…＋C n －1n －2·x n －1·(1－x )＋x n ＝x ·[C n －10·(1－x )n －1＋C n －11·x ·(1－x )n －2＋…＋C n －1n －2x n －2·(1－x )＋C n －1n －1·x n －1] ＝x (1－x ＋x )n －1＝x ， 故g (x )＝x ，且x ≠0，x ≠1.。

名师一号高考总复习数学(精选5篇)名师一号高考总复习数学【篇1】(一)向量代数1.知识范围(1)向量的概念向量的定义向量的模单位向量向量在坐标轴上的投影向量的坐标表示法向量的方向余弦(2)向量的线性运算向量的加法向量的减法向量的数乘(3)向量的数量积二向量的夹角二向量垂直的充分必要条件(4)二向量的向量积二向量平行的充分必要条件2.要求(1)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。

(2)熟练掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。

(3)熟练掌握二向量平行、垂直的充分必要条件。

(1)幂级数的概念收敛半径收敛区间(2)幂级数的基本性质(3)将简单的初等函数展开为幂级数2.要求(1)了解幂级数的概念。

(2)了解幂级数在其收敛区间内的基本性质(和、差、逐项求导与逐项积分)。

(3)掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间(不要求讨论端点)的方法。

名师一号高考总复习数学【篇2】1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性：1)元素的确定性如：世界上最高的山2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。

u 注意：常用数集及其记法：非负整数集(即自然数集) 记作：N正整数集 N或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1) 列举法：{a,b,c……}2) 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x?R| x-32} ,{x| x-32}3) 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4) Venn图:4、集合的分类：(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合名师一号高考总复习数学【篇3】(一)一阶微分方程1.知识范围(1)微分方程的概念微分方程的定义阶解通解初始条件特解(2)可分离变量的方程(3)一阶线性方程2.要求(1)理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解。

单元检测题（十一）一、本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项正确，有的小题有多个选项正确。

全部选对的得5分，选不全的得3分，有选错或不答的得0分。

1、闭合铜环与闭合金属框相接触放在匀强磁场中，如图所示，当铜环向右移动时（金属框不动）。

下列说法中正确的是（ ）A ．铜环内没有感应电流产生，因为磁通量没有变化B ．金属框内没有感应电流产生，因为磁通量没有变化C ．金属框ad 边中有感应电流，因为回路adfgea 中磁通量增加了D ．铜环的半圆egf 中有感应电流，因为回路egfcbe 中的磁通量减少了 答案：CD2、某实验小组用如图所示的实验装置来验证愣次定律。

当条形磁铁自上而下穿过固定的线圈时，通过电流计的感应电流方向是：（ ）A. a→G→bB. 先a→G→b，后b→G→aC. b→G→aD. 先b→G→a，后a→G→b 答案： D3、在水平放置的光滑导轨上，沿导轨固定一条形磁铁（如图所示）；现在铁、铝和有机玻璃制成滑块甲、乙、丙，使它们从导轨上的同一点以某一初速向磁铁滑去，各物块在磁铁前的情况将是（ ）A ．都做匀速运动B ．乙、丙做加速运动C ．乙做减速运动D ．丙做匀速运动解析：由于磁铁吸引铁块，故甲做加速运动；由于磁铁不会吸引铝块，同时铝块靠近磁铁时会产生感应电流阻碍其相对运动，故乙做减速运动；由于丙不产生电磁感应现象，同时磁铁不吸有机玻璃，故做匀速运动。

答案： CDG ab4、粗细均匀的电阻丝围成如图所示的线框abcd e（ab=bc）置于正方形有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面.现使线框以同样大小的速度匀速地沿四个不同方向平动进入磁场，并且速度方向始终与线框先进入磁场的那条边垂直，则在通过图示位置时，线框ab边两端点间的电势差绝对值最大的是（）bcA BC D解析：线框通过图示各位置时，电动势均为E=Blv，图A中ab相当于电源，U ab最大答案：A5、如图所示，平行于y轴的导体棒以速度v向右匀速直线运动，经过半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场区域，导体棒中的感应电动势ε与导体棒位置x关系的图像是（）解析：在x=R左侧，设导体棒与圆的交点和圆心的连线与x轴正方向成θ角，则导体棒切割有效长度L=2R sinθ，电动势与有效长度成正比，故在x=R左侧，电动势与x的关系为正弦图像关系，由对称性可知在x=R右侧与左侧的图像对称。

第十二章 概率与统计名师检测题时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．某大型超市销售的乳类商品有四种：液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且液态奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有40种、10种、30种、20种不同的品牌，现从中抽取一个容量为20的样本进行三聚氰胺安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的酸奶与成人奶粉品牌数之和是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：∵乳类商品品牌总数为40＋10＋30＋20＝100(种)，∴用分层抽样方法抽取一个容量为20的样本，则应抽取酸奶和成人奶粉：20×⎝⎛⎭⎫10100＋20100＝6(种)，故选C.答案：C2．为了了解某地区高三学生的身体情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁—18岁的男生体重(kg)，得到频率分布直方图如下图，则这100名学生中体重在[56.5,64.5]内的学生人数是( )A ．20B ．30C ．40D ．50解析：依题意，体重在[56.5,64.5]范围内的频率为(0.03×2＋0.05×2＋0.05×2＋0.07×2)＝0.4，所以这100名学生中体重在[56.5,64.5]内的学生人数是100×0.4＝40，选择C.答案：C3．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为( )A ．0.1B ．0.2C ．0.8D ．0.9解析：依题意P (0<ξ<2)＝0.4，P (0<ξ<2)＝Φ⎝⎛⎭⎫2－2σ－Φ⎝⎛⎭⎫0－2σ＝0.5－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫2σ－0.5＝0.4，所以Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝0.9，所以P (ξ<4)＝Φ⎝⎛⎭⎫4－2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝0.9，选D. 答案：D4．在某学校组织的一次数学模拟考试成绩统计中，工作人员采用简单随机抽样的方法，抽取一个容量为50的样本进行统计．若每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1，则可知这个学校参加这次数学考试的人数是( )A ．100B ．500C ．225D ．600解析：设这个学校参加这次数学考试的人数为x ，由每个学生的成绩被抽到的概率均为0.1得P ＝50x＝0.1，∴x ＝500，故选B.答案：B5．某校数学教研组为了了解学生学习数学的情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中，抽取50人进行问卷调查，则高一、高二、高三抽取的人数分别是( )A ．15,16,19B ．15,17,18C ．14,17,19D ．15,16,20解析：依题意，高一、高二、高三抽取的人数分别是50600＋680＋720×600＝15，50600＋680＋720×680＝17，50600＋680＋720×720＝18，选B.答案：B6．设随机变量ξ服从正态分布N (2,22)，则P (2<ξ<3)可以被表示为( ) A ．1－P (ξ<1) B.1－2P (ξ<1)2C ．P (0<ξ<1)D.12＋P (ξ<1) 解析：由题意得该正态曲线关于直线x ＝2对称，因此结合图形可知，P (2<ξ<3)＝12P (1<ξ<3)＝12[1－2P (ξ<1)]，选B. 答案：B7．为了解一片大约10000株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如下图所示，那么在这片树木中，底部周长小于110 cm 的树大约是( )A ．3000株B ．6000株C ．7000株D ．8000株解析：底部周长小于110 cm 的频率为：(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，所以底部周长小于110 cm 的树大约是：10000×0.7＝7000，故选C.答案：C8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的期望为2，则2a ＋13b的最小值为( )A.323B.283C.143D.163解析：由已知得3a ＋2b ＋0×c ＝2，即3a ＋2b ＝2，其中0＜a ＜23，0＜b ＜1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝⎛⎭⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋2 2b a ·a 2b ＝163，且当a ＝2b 时取等号，即2a ＋13b的最小值为163，选D.答案：D9．甲、乙两名射手在同一条件下进行射击，分布列如下 射手甲射手乙A ．甲比乙优秀B ．乙比甲优秀C ．甲、乙水平相当D ．不能比较解析：Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，Dξ1＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4， Dξ2＝(8－9)2×0.4＋(9－9)2×0.2＋(10－9)2×0.4＝0.8， 由Eξ1＝Eξ2＝9，Dξ1＝0.4＜Dξ2＝0.8可知甲更出色． 答案：A10．ξ的概率密度函数f (x )＝12π e －(x －1)22，下列错误的是( )A ．P (ξ＜1)＝P (ξ＞1)B ．P (－1≤ξ≤1)＝P (－1＜ξ＜1)C ．f (x )的渐近线是x ＝0D ．η＝ξ－1～N (0,1)解析：由题知：ξ～N (1,1)，函数图象对称轴是x ＝1，所以A 正确．又因为随机变量落在某个区间上的概率是该区间上概率密度曲线下方的面积，而在一点上的概率为0，即P (ξ＝－1)＝P (ξ＝1)＝0，故P (－1≤ξ≤1)＝P (ξ＝－1)＋P (－1＜ξ＜1)＋P (ξ＝1)＝P (－1＜ξ＜1)，所以，B 正确； η＝ξ－11～N (0,1)，即η＝ξ－1～N (0,1)．所以，D 正确．f (x )的渐近线是x 轴，即y ＝0，所以，只有C 错误． 答案：C11．ξ～N (－1，σ2)，且P (－3≤ξ≤－1)＝0.4，则P (ξ≥1)等于( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4解析：因为ξ～N (－1，σ2)，η＝ξ＋1σ～N (0,1)，所以，P (－3≤ξ≤－1) ＝P (ξ≤－1)－P (ξ≤－3) ＝Φ⎝⎛⎭⎫－1＋1σ－Φ⎝⎛⎭⎫－3＋1σ＝Φ(0)－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.5－Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.4即Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.1，而P (ξ≥1)＝1－P (ξ＜1)＝1－Φ⎝⎛⎭⎫1＋1σ＝1－Φ⎝⎛⎭⎫2σ＝Φ⎝⎛⎭⎫－2σ＝0.1. 答案：A12．节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元价格处理．根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布，若进这种鲜花500束，则期望利润是( )A.706元 C ．754元D ．720元解析：本题考查期望的概念．节日期间预售的量Eξ＝200×0.2＋300×0.35＋400×0.3＋500×0.15＝40＋105＋120＋75＝340(束)，则期望的利润η＝5ξ＋1.6(500－ξ)－500×2.5＝3.4ξ－450⇒Eη＝3.4Eξ－450＝3.4×340－450＝706元．故期望利润为706元．故选A.答案：A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．(2010·北京)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图)，由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为________．解析：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1，所以有10×(0.005＋0.035＋a ＋0.020＋0.010)＝1，解得a ＝0.030.由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.030＋0.020＋0.010)＝60人．其中身高在[140,150]内的学生人数为10人，所以从身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为1860×10＝3人．答案：0.030 314．已知Φ(1)＝0.8413，正态总体N (2,9)在区间(－1,5)内的取值概率是______．解析：依题意知P (－1<ξ<5)＝Φ⎝⎛⎭⎫5－23－Φ⎝⎛⎭⎫－1－23＝Φ(1)－Φ(－1)＝Φ(1)－[1－Φ(1)]＝2Φ(1)－1＝0.6826.答案：0.682615．设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)，记Φ(x )＝P (ξ<x )，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x )＝1－Φ(－x )；③P (|ξ|<2)＝2Φ(2)－1.则正确的结论的序号是________．解析：依题意，Φ(0)＝1－Φ(－0)，∴Φ(0)＝12，①正确；Φ(x )＝P (ξ<x )＝P (ξ>－x )＝1－Φ(－x )，②正确；P (|ξ|<2)＝P (－2<ξ<2)＝Φ(2)－Φ(－2)＝Φ(2)－1＋Φ(2)＝2Φ(2)－1，③正确．答案：①②③16．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．解析：∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图，可以看出，图象关于直线x ＝100对称；显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)，又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≥120)＝12×13＝16； ∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100人．答案：100三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(2010·全国Ⅱ)如图，由M 到N 的电路中有4个元件，分别标为T 1，T 2，T 3，T 4，电流能通过T 1，T 2，T 3的概率都是p ，电流能通过T 4的概率是0.9.电流能否通过各元件相互独立．已知T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流的概率为0.999.(1)求p ；(2)求电流能在M 与N 之间通过的概率；(3)ξ表示T 1，T 2，T 3，T 4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望． 解析：记A i 表示事件：电流能通过T i ，i ＝1,2,3,4，A 表示事件：T 1，T 2，T 3中至少有一个能通过电流，B 表示事件：电流能在M 与N 之间通过． (1)A ＝A 1·A 2·A 3，A 1，A 2，A 3相互独立，P (A )＝P (A 1·A 2·A 3)＝P (A 1)P (A 2)P (A 3)＝(1－p )3， 又P (A )＝1－P (A )＝1－0.999＝0.001， 故(1－p )3＝0.001，p ＝0.9.(2)B ＝A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3， P (B )＝P (A 4＋A 4·A 1·A 3＋A 4·A 1·A 2·A 3) ＝P (A 4)＋P (A 4·A 1·A 3)＋P (A 4·A 1·A 2·A 3)＝P (A 4)＋P (A 4)P (A 1)P (A 3)＋P (A 4)P (A 1)P (A 2)P (A 3) ＝0.9＋0.1×0.9×0.9＋0.1×0.1×0.9×0.9 ＝0.9891.(3)由于电流能通过各元件的概率都是0.9，且电流能否通过各元件相互独立，故ξ～B (4,0.9)，Eξ＝4×0.9＝3.6.18．(本小题满分12分)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1(2)求p ，q 的值； (3)求数学期望Eξ.解析：事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3.由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P (ξ＝0)＝P (A1A2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125.整理得pq ＝625，p ＋q ＝1.由p >q ，可得p ＝35，q ＝25.(3)由题意知a ＝P (ξ＝1)＝P (A 1A 2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125. b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.Eξ＝0×P (ξ＝0)＋1×P (ξ＝1)＋2×P (ξ＝2)＋3×P (ξ＝3)＝95.19．(本小题满分12分)一个正四面体的四个面上分别标有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为x 1、x 2，记ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率； (2)求ξ的分布列及数学期望．解析：(1)掷出的点数x 的可能取值为：1,2,3,4.则x －3的可能取值分别为：－2，－1,0,1.于是(x －3)2的所有可能取值分别为：0,1,4. 因此ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8.当x 1＝1且x 2＝1时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最大值8，此时，P (ξ＝8)＝14×14＝116；当x 1＝3且x 2＝3时，ξ＝(x 1－3)2＋(x 2－3)2可取得最小值0，此时，P (ξ＝0)＝14×14＝116.(2)由(1)知ξ的所有可能取值为：0,1,2,4,5,8. P (ξ＝0)＝P (ξ＝8)＝116；当ξ＝1时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,3)、(4,3)、(3,2)、(3,4)，即P (ξ＝1)＝416；当ξ＝2时，(x 1，x 2)的所有取值为(2,2)、(4,4)、(4,2)、(2,4)，即P (ξ＝2)＝416；当ξ＝4时，(x 1，x 2)的所有取值有(1,3)、(3,1)，即P (ξ＝4)＝216；当ξ＝5时，(x 1，x 2)的所有取值为(1,2)、(2,1)、(1,4)、(4,1)，即P (ξ＝5)＝416.所以ξ的分布列为：即ξ的期望Eξ＝0×116＋1×14＋2×14＋4×18＋5×14＋8×116＝3.20．(本小题满分12分)设b 、c ∈{1,2,3,4,5,6}，用随机变量ξ表示方程2x 2＋cx ＋b ＝0的实根的个数(重根按一个计)．(1)求方程2x 2＋cx ＋b ＝0有实根的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．解析：(1)记“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有且仅有一个实根”为事件B ，“方程2x 2＋cx ＋b ＝0有两个相异实根”为事件A .c ，b 分别取1到6，基本事件总数为6×6＝36种．事件B 需要满足c 2－8b ＝0，按序穷举可得，c ＝4时b ＝2符合，其概率为P (B )＝136. 事件A 需要满足c 2－8b >0，按序穷举可得，c ＝3时b ＝1；c ＝4时b ＝1；c ＝5时b ＝1,2,3；c ＝6时b ＝1,2,3,4.共计9种．其概率为P (A )＝936＝14.又因为B ，A 是互斥事件，故所求概率P ＝P (B )＋P (A )＝136＋936＝1036＝518.(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2. P (ξ＝1)＝136，P (ξ＝2)＝936，P (ξ＝0)＝1－P (ξ＝1)－P (ξ＝2)＝1－136－936＝2636.故ξ的分布列为：所以ξ的数学期望Eξ＝0×2636＋1×136＋2×936＝1936.21．(本小题满分12分)冬季运往四川灾区的一批棉衣成箱包装，每箱5件，当地安全质检部门在运出这批棉衣前任取3箱，然后再从每箱中任取2件棉衣进行检验，假设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品．(1)求被抽检的6件棉衣中恰有一件二等品的概率；(2)用ξ表示被抽检的6件棉衣中二等品的件数，求ξ的分布列及ξ的数学期望． 解析：(1)设被抽检的6件棉衣中恰有一件二等品的概率为P ， 则P ＝C 41C 52·C 32C 52＋C 42C 52·C 21·C 31C 52＝1225.(2)ξ表示被抽检的6件棉衣中的二等品的件数，则 P (ξ＝0)＝C 42C 52·C 32C 52＝950；P (ξ＝1)＝C 41C 52·C 32C 52＋C 42C 52·C 31·C 21C 52＝1225；P (ξ＝2)＝C 41C 52·C 31·C 21C 52＋C 42C 52·C 22C 52＝310；P (ξ＝3)＝C 41C 52·C 22C 52＝125.∴ξ的分布列为：Eξ＝0×950＋1×1225＋2×310＋3×125＝1.2.22．(本小题满分12分)一种赌博游戏，一个布袋内装有6个红球与6个白球，除颜色外十二个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6个全白，赢得100元．只有你摸出了3红3白才会输100元，而对于其他六种情况，你均能赢得相应的钱数，而且这个游戏是免费的(注：这个游戏有时称为“袋子”模型)．(1)请解释下面说法是否正确：用概率的语言说，这7种情况是等可能的，赢的机会为67，输的机会仅为17，摸7次有6次都应该赢．(2)很多人认为这种游戏非常令人心动．现在，请求出游戏者赢钱的数学期望，解释我们是否该“心动”．解析：(1)游戏中，任意摸6个球，不论红或白，共有C 126＝924种可能，而摸5红1白的概率为C 65·C 61C 126＝36924，摸3红3白的概率为C 63·C 63C 126＝400924.故输钱的可能性约占12，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗．现列出7种情况出现概率如下表所示.1000次中只有1次赢100元，这是一个小概率事件，根据实际推断原理，在一次摸球中，其基本上是不会发生的，而摸到3红3白的可能性为400924，即几乎每两次就有一次可能出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因．(2)为了进一步分析，我们设随机变量X 表示赢得的钱数，则X 的分布列应为：EX＝100×0.002＋50×0.078＋20×0.488－100×0.432＝－29.34.由期望的实际意义，我们每摸一次，就平均输掉29.34元，所以我们不该“心动”．。

2011届高三数学复习领先卷—名校试题重组参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p p k n -=-=L 台体的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()1213V h S S =球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示台体的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示台体的高一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．若集合2{1,3,},{1,},{1,3,},A x B x A B x ==⋃=则满足条件的实数x 的个数有（ ★ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ． 4个2．已知函数[]2,1,log 2)(2∈+=x x x f ，则函数)()(2x f x f y +=的值域为（ ★ ）A.[]5,4B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡211,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡213,4 D.[]7,43．已知氢元素有三种同位素分别为1H 、2H 、3H ，氧元素也有三种同位素分别为16O 、17O 、18O ，则由这些原子构成的不同的水分子共有（ ★ ）A.18B.24C.9D.364．已知复数)23sin(απ+=i z 为实数，则α=（ ★ ） )(22.Z k k A ∈+ππ )(22.Z k k B ∈-ππ )(2.Z k k C ∈+ππ )(.Z k k D ∈π5.在平行四边形ABCD 中,042,022=-+=•→→→→BD AB BD AB 且,沿BD 折成直二面角A-BD-C,则三棱锥A-BCD 的外接球的表面积是（ ★ ） A.16πB. 8 πC. 4πD. 2π6．已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确．．．的是（ ★ ）A.若m ∥α⊥m n ,，则α⊥nB.若⊥m βα⊥m ,，则α∥βC.若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβD.若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n7．设f (x )=|2－x 2|，若0＜a ＜b 且f (a )=f (b )，则a +b 的取值范围是（ ★ ）A ．(0，2)B ．(0,2)C ．(0,4)D ．(0，22)8． 设P ：()()5:012ln 2-≥∞+++++=m q mx x x e x f x 上为单调增函数，，在， 则P 是q 的（ ★ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．在ABC ∆中，||2||,120BC AB ABC =∠=︒，则以A ，B 为焦点且示点C 的双曲线的离心率为（ ★ ） A 72+B 62+C 72- D 32+10．定义在（-1,1）上的函数f (x )满足：)1()()(xyy x f y f x f --=-；当)0,1(,-∈y x 时，有0)(>x f ；若),21(),1200920091()11()111()51(22f Q f r r f f f P =-+++-++++=ΛΛ, ),21(),1200920091()11()111()51(22f Q f r r f f f P =-+++-++++=ΛΛ R ＝f (0)；则P ，Q ，R 的大小关系为（ ★ ）A ．R >Q >PB ．P >R >QC ． R >P >QD ．不能确定二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11．设函数()()()2321220111,,logx x f x x f x f x ===，则()()()2011312f f f = 。