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2012届高考数学一轮复习《名师一号》单元检测（人教A ）：第十四章 导数（数学理）时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝ln x 上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线，则点P 的横坐标为( )A ．e B. e C ．e 2D ．2解析：设点P 的坐标是(a ，ln a )，则有1a ＝ln aa ，ln a ＝1，a ＝e ，因此点P 的横坐标是e ，选A.答案：A2．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，则不可能正确的是( )解析：函数f (x )的单调性与f ′(x )的正负相关，对于选项D ，若x 轴上方的图象为函数f (x )的图象，如图象知，f (x )有增有减，而f ′(x )恒小于等于0，不合题意，后之亦矛盾，故选D.答案：D3．已知f (x )为定义在(－∞，＋∞)上的可导函数，且f (x )<f ′(x )对于x ∈R 恒成立，则( ) A ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0) B ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0) C ．f (2)>e 2·f (0)，f (2010)<e 2010·f (0) D ．f (2)<e 2·f (0)，f (2010)<e 2010·f (0)解析：设g (x )＝f (x )e x ，则有g ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x >0，所以g (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，因此有g (2)>g (0)，g (2010)>g (0)，即f (2)e 2>f (0)，f (2010)e 2010>f (0)，整理得f (2)>e 2·f (0)，f (2010)>e 2010·f (0)，选A.答案：A4．若函数y ＝f (x )满足f ′(x )>f (x )，则当a >0时，f (a )与e a f (0)之间的大小关系为( ) A. f (a )<e a f (0) B. f (a )>e a f (0) C. f (a )＝e a f (0)D ．与f (x )或a 有关，不能确定解析：设g (x )＝f (x )e x ，则有g ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x >0，因此g (x )在R 上是增函数，当a >0时，有g (a )>g (0)，即f (a )e a >f (0)e0＝f (0)，f (a )>e a f (0)，选B.答案：B5．已知m <0，f (x )＝mx 3＋12m x ，且f ′(1)≥－12，则实数m 的值为( )A ．2B ．－2C ．4D ．－4解析：依题意，f ′(x )＝3mx 2＋12m ，则f ′(1)＝3m ＋12m≥－12，所以m 2＋4m ＋4≤0，故m ＝－2，选择B.答案：B6．已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是函数f (x )的导函数，且y ＝f (x ＋1)是奇函数，则下列结论中错误的是( ) A ．f (1－x )＋f (1＋x )＝0 B ．f ′(x )(x －1)≥0 C ．f (x )(x －1)≥0 D.lim x →f (x )＝f (0) 解析：对于A ，由y ＝f (x ＋1)是奇函数得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即f (1－x )＋f (1＋x )＝0，因此选项A 正确；对于B ，结合图形可知，当x 大于某个正数时，f (x )是减函数，f ′(x )<0，此时(x －1)f ′(x )<0，因此选项B 错误；对于选项C ，(x －1)f (x )≥0，C 正确；对于选项D ，由于函数f (x )在x ＝0处连续，因此D 正确．综上所述，选B.答案：B 7.定义在R 上的函数f (x )满足f (4)＝1，f ′(x )为函数f (x )的导函数．已知函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，两个正数a 、b 满足f (2a ＋b )<1，则b ＋2a ＋2的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，12B.⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(3，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫12，3D ．(－∞，－3)解析：由题中图可知，当x >0时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数．由2a ＋b >0，f (2a ＋b )<1＝f (4)得2a ＋b <4，即2a ＋b －4<0.在直角坐标平面aOb 内画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a >0b >02a ＋b －4<0表示的平面区域，将b ＋2a ＋2视为该平面区域内的点(a ，b )与点(－2，－2)的连线的斜率，结合图形不难得知b ＋2a ＋2的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，3，选C. 答案：C8．已知函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(2)，则f (－1)与f (1)的大小关系为( ) A ．f (－1)＝f (1) B ．f (－1)>f (1) C ．f (－1)<f (1)D ．不确定解析：f (x )＝x 2＋2xf ′(2)⇒f ′(x )＝2x ＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝4＋2f ′(2)⇒f ′(2)＝－4，所以f (x )＝x 2－8x ＝(x －4)2－16，且在(－∞，4]上为减函数，∵－1<1<4，∴f (－1)>f (1)，所以选B.答案：B9．若对可导函数f (x )，g (x )，当x ∈[0,1]时恒有f ′(x )·g (x )<f (x )·g ′(x )，若已知α，β是一个锐角三角形的两个内角，且α≠β，记F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)，则下列不等式正确的是( )A ．F (sin α)<F (cos β)B ．F (sin α)>F (sin β)C ．F (cos α)>F (cos β)D ．F (cos α)<F (cos β)解析：F ′(x )＝f ′(x )·g (x )－f (x )·g ′(x )g 2(x )，∵f ′(x )·g (x )<f (x )·g ′(x )，∴F ′(x )<0，∴F (x )在[0,1]上单调递减，又∵α、β是一锐角三角形的两内角，∴π2<α＋β<π，∴0<π2－β<α<π2，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2－β<sin α，即cos β<sin α， ∴F (sin α)<F (cos β)，故选A. 答案：A10．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，数列{1f (n )}的前n项和为S n ，则S 2009的值为( )A.20072008B.20082009C.20092010D.20102011解析：∵函数f (x )＝x 2＋bx 的图象的切线的斜率为f ′(x )＝2x ＋b ；∴函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 的斜率为k ＝2＋b ；∴2＋b ＝3，即b ＝1；∴f (x )＝x 2＋x ⇒1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； ∴S 2009＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫12009－12010＝1－12010＝20092010. 答案：C11．方程x 3－6x 2＋9x －10＝0的实根个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：应用导数的几何意义易判断函数的增减性，然后根据极值判断实根的个数．设f (x )＝x 3－6x 2＋9x －10⇒f ′(x )＝3x 2－12x ＋9⇒f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝3.①x ≤1时，f (x )单调递增，最大值为－6.②当1＜x ≤3时，f (x )单调递减，最小值为－10.③当x ≥3时，f (x )单调递增，最小值为－10.由上分析知y ＝f (x )的图象如图，与x 轴只有一个公共点，所以只有一个实根，故选C. 答案：C12．下列关于函数f (x )＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是( ) ①f (x )>0的解集是{x |0<x <2}； ②f (－2)是极小值，f (2)是极大值； ③f (x )没有最小值，也没有最大值． A ．①③ B ．①②③ C ．②D ．①②解析：f (x )>0⇒(2x －x 2)e x >0⇒2x －x 2>0⇒0<x <2，故①正确； f ′(x )＝e x (2－x 2)，由f ′(x )＝0得x ＝±2， 由f ′(x )<0得x >2或x <－2， 由f ′(x )>0得－2<x <2，∴f (x )的单调减区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)． 单调增区间为(－2，2)．∴f (x )的极大值为f (2)，极小值为f (－2)，故②正确； 因为当x <－2时，f (x )<0恒成立，所以f (x )无最小值，但有最大值f (2)，故③不正确． 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上．) 13．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)，则f ′(5)＝________. 解析：对f (x )＝3x 2＋2xf ′(2)求导，得f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－12，则f ′(x )＝6x －24.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5－24＝6.答案：614．设函数f (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx (c <0)，其图象在点A (1,0)处的切线的斜率为0，则f (x )的单调递增区间是________．解析：f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c ，则由题意，得f (1)＝13a ＋12b ＋c ＝0且f ′(1)＝a ＋b ＋c ＝0，解得b ＝－43a ，c ＝13a ，∵c <0，∴a <0，所以f ′(x )＝13a (3x 2－4x ＋1)＝13a (3x －1)(x －1)≥0，即(3x －1)(x －1)≤0，解得13≤x ≤1，因此函数f (x )的单调递增区间为[13，1]．答案：[13，1]15．定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 b 1a 2 b 2＝a 1b 2－a 2b 1.如果函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪12 ln x －1 x 2，则f (x )在x ＝1处的切线的倾斜角为________．解析：根据所给定义可得f (x )＝12x 2＋ln x ，则f ′(x )＝x ＋1x .设切线的倾斜角为θ，则tan θ＝f ′(1)＝2，故θ＝arctan2.答案：arctan 216．已知函数f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2bx ＋c ，当x ∈(0,1)时函数f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时函数f (x )取得极小值，则u ＝b －2a －1的取值范围为________．解析：f ′(x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵当x ∈(0,1)时函数f (x )取得极大值，当x ∈(1,2)时函数f (x )取得极小值，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)>0f ′(1)<0f ′(2)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧2b >01＋a ＋2b <04＋2a ＋2b >0，u ＝b －2a －1的几何意义是点A (a ，b )与B (1,2)连线的斜率，如图，结合图形可得14<u <1.答案：⎝⎛⎭⎫14，1三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设x >0，证明：cos x ＋x 22>1.证明：令f (x )＝cos x ＋x 22，则f ′(x )＝x －sin x ，[f ′(x )]′＝1－cos x ， ∵当x ∈[0，＋∞)时，[f ′(x )]′＝1－cos x ≥0， ∴f ′(x )在[0，＋∞)上为增函数． 又f ′(x )在[0，＋∞)上连续，∴当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>f ′(0)＝0， 则f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (x )在[0，＋∞)上连续， ∴x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝1，故当x >0时，cos x ＋x 22>1.18．(本小题满分12分)(2010·江西)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．解析：函数f (x )的定义域为(0,2)， f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x (2－x )，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)．(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx (2－x )＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.19．(本小题满分12分)设f (x )＝ax 3＋bx ＋c (a ≠0)为奇函数，其图象在点(1，f (1))处的切线与直线x －6y －7＝0垂直，导函数f ′(x )的最小值为－12.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调增区间，并求函数f (x )在[－1,3]上的最大值和最小值． 解析：(1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， 即－ax 3－bx ＋c ＝－ax 3－bx －c ，∴c ＝0. 又f ′(x )＝3ax 2＋b 的最小值为－12，∴b ＝－12. 由题设知f ′(1)＝3a ＋b ＝－6，∴a ＝2， 故f (x )＝2x 3－12x .(2)f ′(x )＝6x 2－12＝6(x ＋2)(x －2)，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况表如下：∵f (－1)＝10，f (3)＝18，f (2)＝－82，f (－2)＝82， 当x ＝2时，f (x )min ＝－82；当x ＝3时，f (x )max ＝18.20．(本小题满分12分)(2010·北京)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x ＋k2x 2(k ≥0)．(1)当k ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)求f (x )的单调区间．解析：(1)当k ＝2时，f (x )＝ln(1＋x )－x ＋x 2，f ′(x )＝11＋x－1＋2x . 由于f (1)＝ln2，f ′(1)＝32，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －ln2＝32(x－1)，即3x －2y ＋2ln2－3＝0.(2)f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ，x ∈(－1，＋∞)．当k ＝0时，f ′(x )＝－x1＋x.所以，在区间(－1,0)上，f ′(x )>0；在区间(0，＋∞)上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)，单调递减区间是(0，＋∞)． 当0<k <1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x ＝0，得x 1＝0，x 2＝1－kk >0.所以，在区间(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1－k k ，＋∞上，f ′(x )>0；在区间⎝⎛⎭⎫0，1－k k 上，f ′(x )<0； 故f (x )的单调递增区间是(－1,0)和⎝⎛⎭⎫1－k k ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1－k k . 当k ＝1时，f ′(x )＝x 21＋x >0，故f (x )的单调递增区间是(－1，＋∞)．当k >1时，由f ′(x )＝x (kx ＋k －1)1＋x＝0，得x 1＝1－kk ∈(－1,0)，x 2＝0.所以，在区间⎝⎛⎭⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)上，f ′(x )>0；在区间⎝⎛⎭⎫1－k k ，0上，f ′(x )<0. 故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫－1，1－k k 和(0，＋∞)，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫1－k k ，0. 21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2.(1)设{a n }是正数组成的数列，前n 项和为S n ，其中a 1＝3.若点(a n ，a n ＋12－2a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝f ′(x )的图象上，求证：点(n ，S n )也在y ＝f ′(x )的图象上；(2)求函数f (x )在区间(a －1，a )内的极值． 解析：(1)证明：因为f (x )＝13x 3＋x 2－2，所以f ′(x )＝x 2＋2x ，由点(a n ，a n ＋12－2a n ＋1)(n ∈N *)在函数y ＝f ′(x )的图象上，得a n ＋12－2a n ＋1＝a n 2＋2a n ，即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.又a n >0(n ∈N *)，所以a n ＋1－a n ＝2. 又因为a 1＝3，所以数列{a n }是以3为首项，以2为公差的等差数列， 所以S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .又因为f ′(n )＝n 2＋2n ，所以S n ＝f ′(n )， 故点(n ，S n )也在函数y ＝f ′(x )的图象上． (2)f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)， 由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：①当a －1<－2<a ，即－2<a <－1时，f (x )的极大值为f (－2)＝－23，此时f (x )无极小值；②当a －1<0<a ，即0<a <1时，f (x )的极小值为f (0)＝－2，此时f (x )无极大值； ③当a ≤－2或－1≤a ≤0或a ≥1时，f (x )既无极大值又无极小值． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1＋ln (x ＋1)x(x >0)．(1)函数f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数还是减函数？证明你的结论； (2)若当x >0时，f (x )>kx ＋1 恒成立，求正整数k 的最大值．解析：(1)f ′(x )＝1x 2 [xx ＋1 －1－ln(x ＋1)]＝－1x 2 [1x ＋1＋ln(x ＋1)]．∵x >0，∴x 2>0，1x ＋1 >0，ln(x ＋1)>0，∴f ′(x )<0.因此函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数． (2)解法一：当x >0时，f (x )>kx ＋1 恒成立，令x ＝1，有k <2(1＋ln2)，又k 为正整数，∴k 的最大值不大于3. 下面证明当k ＝3时，f (x )>kx ＋1 (x >0)恒成立，即证当x >0时，(x ＋1)ln(x ＋1)＋1－2x >0恒成立．第 10 页 共 10 页 金太阳新课标资源网令g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)＋1－2x ，则g ′(x )＝ln(x ＋1)－1，当x >e －1时，g ′(x )>0； 当0<x <e －1时，g ′(x )<0，∴当x ＝e －1时， g (x )取得极小值g (e －1)＝3－e>0.∴当x >0时，(x ＋1)ln(x ＋1)＋1－2x >0恒成立． 因此正整数k 的最大值为3.解法二：当x >0时，f (x )>kx ＋1恒成立，即h (x )＝(x ＋1)[1＋ln (x ＋1)]x >k 对x >0恒成立．即h (x )(x >0)的最小值大于k .h ′(x )＝x －1－ln (x ＋1)x 2记φ(x )＝x －1－ln(x ＋1)(x >0)，则φ′(x )＝xx ＋1 >0，∴φ(x )在(0，＋∞)上连续递增，又φ(2)＝1－ln3<0，φ(3)＝2－2ln2>0， ∴φ(x )＝0存在唯一实根a ，且满足： a ∈(2,3)，a ＝1＋ln(a ＋1)． 由x >a 时，φ(x )>0，h ′(x )>0； 0<x <a 时，φ(x )>0，h ′(x )<0知： h (x )(x >0)的最小值为h (a )＝(a ＋1)[1＋ln (a ＋1)]a ＝a ＋1∈(3,4)．因此正整数k 的最大值为3.。
