【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练32 数列的通项 理 北师大版

第一模块集合与常用逻辑用语第1页共61页考纲要求1 •了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题.3•理解集合之间的包含与相等关系，给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.4■理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5•理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6■了解逻辑连结词“或”、"且”、"非”的含义，理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.命题走向纵观近几年各省、市的高考试题知:本模块是必考内容之一, 多以选择题、填空题出现■主要考查集合的简单运算，命题的充分条件、必要条件、充要条件■因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合，还可以出解答题.第_讲集合的概念及简单运算走进高考第一关考点关回归教材1 •集合的概念(1) 集合是数学中的一个不定义的原始概念，像平面几何中的点、线、面一样只可描述•一般地，某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素，它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.(2) 根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.⑶符号“e”和 y 表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.2 ■集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法, 它们各有优点，用什么方法表示集合，要具体问题具体分析.3•子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集，记作A^B或B2A.⑵如果A是B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A,那么, 集合A叫集合B的真子集，记作A B或B A.4.空集(1)空集0是指不含任何元素的集合，它是任何一个集合的子集，是任何一个非空集合的真子集.⑵集合｛0｝不是空集;0曰0｝、0曰0｝、0 ｛0｝三种表示法都是对的.5•有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素, 则A的子集有2"个;非空子集有2^1个;真子集有2九1个.6•集合的运算⑴交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集，记作API B.⑵并集一般地，对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合，叫做A与B的并集，记作A U B.⑶全集在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个给定的集合为全集, 通常用U表示、⑷补集如果A是全集U的一个子集，由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合，叫做A在全集U中的补集，记作CyA.7 ■集合中的常用运算性质(1) A C B,B C A,J!!)A=B;A C B5B C C,贝！|A U C;(2) 0 匚A,若AM0,则0 A;(3) AClA=A,An0=0;(4) A U A=A5A U B=B U A5A U 0=A;(5) AAC U A=0,AUC U A=U;(6) ACIB 匸AvAUB;⑺ C u(AnB)=(C u A)U(C u B);C u(AUB)=(C u A)n(C u B);(8)若A C B5则AnBuAUB,AClB二A，AUB=B.考点训练1 .（2009 •全国卷I）设集合A={4555759}5B={354575859}5全«U=AUB3则集合Cu(AClB)中的元素共有()A. 3个B.4个C.5个D.6个答案:A 解析:依题意得U=A UB={3,4,5,7,8,9},AAB={4,7,9}. .•.Cu（AnB）={3,5,8},故选A.2.(2009 •四川卷)设集合S={x||x|<5},T={x|x2+4x-21 <0},则sm=()A.{x|-7<x<-5}B.{x|3<x<5}C.{x 卜5vxv3}D.{x 卜7vxv5}答案:C解析:S=(-555)5T=(-753)5/.SnT=(-553).3.(2009 •江西卷)已知全集U=AUB中有m个元素,( CuA)U(CuB)中有n个元素•若APIB非空，则ACIB 的元素个数为()A.mn .m+n C.n-m D.m-n答案:D解析:••(CuA)U(CuB)=Cu(AnB),.•.Cu(AnB)有n个元素，故ACIB有个元素.5.(2009•盖甘#)cu wp i a -a H U o +m (p」)-m m 30JL b -b"」二+n s > )3m 3徊39 可**?>a p n Q U ()Ad(二二 Bi:?」)}cduo)}cup-二®竽a"」m.b"」+nh^pnQUCPb&a H b ^n H +=®« n H pmH」••••p n Q H 5解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合，既可以表示为{a, 2 ,1},也可表示为{a25a+b50}5J!!ja2009+b2009= _______ ■°答案"解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又繁琐.这时A若能发现0这个特殊元素，和？中的a不为0的隐含信息，就能得到如下解法. "=-1.b由已知得—=0,及aMO,所以b=0,于是a2=*|,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=l应舍去，因而a=i,故a2009+b2009=(_1)2009点评：1 •利用集合中元素的特点，列出方程组求解,但仍然要检验，看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征. 2•此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等，列出方程组求解，但仍然要检验.=-1.变式1：已知X?曰1,0,X｝,求实数X的值.解:由集合中元素的确定性可知X2=1,0或X,由集合中元素的互异性可知x卅,0.若X2=OJI)X=O,此时集合为｛1,0,0｝,不符合集合中元素的互异性，舍去.若x2=1，则x= 土 1 .当X=1时,集合为｛1,0,1 ｝，不符合集合中元素的互异性，舍去；Sx=-1时,集合为｛1,0,-1｝，符合.若x2=x，则X=0或X=1，由上可知,X=0和X=1都不合题意，舍去.综上所述，x=・1.点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题，又要利用它们检验解的正确性，特别是互异性，最易被忽视，在学习中必须加以重视.题型二元素与集合的关系例2已知集合A={x|ax2・3x+2=0}，若A中元素至多有一个，求a 的取值范围.2解:(l)a = OHt原方程为-3x + 2 = 0，x =「符合题意; ' 73 (2)a丰0时，方程ax2 -3x + 2 = 0为关于x的一元二次方程,当A = 9 - 8a 5 0时,即a n細关于x的方程Oax2-3x + 2 = 0无实数根或有两个相等的实数根，9都符合题意.综上所述,a的取值范围为a = 0或a >变式2:设A是数集，满足性质：若a G A,则宀1-a⑴若2 G A,求A;8(2)若a G A,求证:1- —e A.解：(1)由2 e A,则= -1 e A,---- --- = — u A，—-~— = 2 u A，1(1) 2 !_12故A = {2,_1,*}.(2)证明：由a G A知，'G A，1 —a・•・亘一=1- — e A,得证.题型三集合的基本运算例3 设全集为实数集R,M={x||x|<2},N={x|y=lg(1-x)<0},H!)(C R M)AN等于()A.{x|x<-2}B.{x|-2<x<1}C.{x|x<1}D.{x|-2<x<1}答案:A解析:\M={x|-2<x<2},.•，C R M={X|X<-2或X>2},N={X|1-X>0}={X|XV1}. /.(C R M)AN={X|X<-2}.点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时，可利用数轴来表示各不等式的解集，以便于能直观地分析出各集合之间的关系.2变式3: （2009薮徽卷）若集合A 如礬＜。

计时双基练三十 等比数列及其前n 项和A 组 基础必做1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析 根据等比数列的性质，若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N ＋)，则a m ，a k ，a n 成等比数列。

答案 D2．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D.18解析 ∵a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2。

又a 4＝a 1q 3，且a 1＝14，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝12。

答案 C3．已知数列－1，x ，y ，z ，－2成等比数列，则xyz ＝( ) A ．－4 B ．±4 C ．－2 2D ．±2 2解析 根据等比数列的性质，xz ＝(－1)×(－2)＝2，y 2＝2，又y－1＝q 2(q 为公比)，故y <0，所以y ＝－2，所以xyz ＝－22。

答案 C4．(2015·山西四校联考)等比数列{a n }满足a n >0，n ∈N *，且a 3·a 2n －3＝22n(n ≥2)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2解析 由等比数列的性质，得a 3·a 2n －3＝a 2n ＝22n，从而得a n ＝2n。

解法一：log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝log 2[(a 1a 2n －1)·(a 2a 2n －2)·…·(a n －1a n ＋1)a n ]＝log 22n (2n －1)＝n (2n －1)。

【10份】2017高考数学理（北师大版）一轮复习计时双基练1-10目录计时双基练一集合 (1)计时双基练二命题及其关系、充分条件与必要条件 (6)计时双基练三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 (12)计时双基练四函数及其表示 (18)计时双基练五函数的单调性与最值 (23)计时双基练六函数的奇偶性与周期性 (30)计时双基练七二次函数与幂函数 (36)计时双基练八指数与指数函数 (42)计时双基练九对数与对数函数 (48)计时双基练十函数的图像 (55)计时双基练一集合A组基础必做1．下列集合中表示同一集合的是()A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}B．M＝{2,3}，N＝{3,2}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}【详细分析】选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合，选项C中的集合M表示由直线x＋y＝1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线x＋y＝1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合，选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合，对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合。

答案 B2．(2015·重庆卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A【详细分析】因为A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B A。

答案 D3．(2015·陕西卷)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1]【详细分析】解x2＝x，得x＝0或x＝1，故M＝{0,1}。

解lg x≤0，得0<x≤1，故N＝(0,1]，故M∪N＝[0,1]，选A。

第1课时 数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．` 2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．数列一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为数列{a n }，其中数列的第1项a 1也称首项；a n 是数列的第n 项，也叫数列的通项．2．数列的分类3.数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为N ＋或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式． [基础自测]1．(教材改编题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝29－9n ，则在下列各数中，不是{a n }的项的是( ) A ．20 B ．11 C ．－2D ．－7解析：由29－9n ＝－2得n ＝319∉N ＋，故选C.答案：C2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1a n ＝2a n －1＋1得a 2＝2a 1＋1＝3，a 3＝2a 2＋1＝7，a 4＝2a 3＋1＝15，a 5＝2a 4＋1＝31，故选B.答案：B3．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．不确定解析：∵a n ＋1－a n ＝3>0，∴a n ＋1>a n ，故数列{a n }为递增数列． 答案：A4．已知数列{a n }的前n 项的和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________. 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1 ＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，不满足a n ＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝12n －1，n ≥25．下列有四种对数列的理解：①数列可以看成一个定义在N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数； ②数列的项数是有限的；③数列若用图像表示，从图像上看都是一群孤立的点； ④数列的通项公式是惟一的． 其中说法正确的所有序号是________．解析：由数列与函数的关系可知①③正确，由数列的分类可知②错误，显然④错．答案：①③考点一 由数列的前几项求数列的通项公式第五章 数 列[例1] 写出下面各数列的一个通项公式： (1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；23456(4)3,33,333,3333，….审题视点 先观察各项的特点，然后归纳出其通项公式，要注意项与项之间的关系，项与前后项之间的关系． 解 (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3 ，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋－nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(4)将数列各项改写为：93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n－1)．根据数列的前几项求通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征：把数列的项分成变化的部分和不变的部分；(4)各项符号特征．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )A.n2n ＋1 B.n 2n －1 C.n 2n －3D.n 2n ＋3解析：由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n －1.答案：B2．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；248163264(4)32，1，710，917，…； (5)0,1,0,1，…； (6)9,99,999,999 9，….解析：(1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n－32n .(4)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{}n 2，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，因此可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.(5)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－n2或a n ＝1＋cos n π2.(6)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n－1.考点二 由递推公式求数列的通项公式[例2] 根据下列条件，求数列的通项公式a n . (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n； (2)在数列{a n }中，a 1＝4，a n ＋1＝n ＋2na n ； (3)在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1； (4)在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3； (5)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ＋1.审题视点 (1)由a n ＋1＝a n ＋2n 得a n ＋1－a n ＝2n，可采用累加求和的方法； (2)由a n ＋1＝n ＋2n a n 得a n ＋1a n ＝n ＋2n，可采用累乘的方法； (3)可构造等比数列求解；(4)由条件可知a n >0，可采用两边取对数的方法求解； (5)利用a n ＝S n －S n －1求解．解 (1)由a n ＋1－a n ＝2n，把n ＝1,2,3，…，n －1(n ≥2)代入，得(n －1)个式子， 累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝2＋22＋23＋…＋2n －1，所以a n －a 1＝－2n －11－2，即a n －a 1＝2n－2，所以a n ＝2n －2＋a 1＝2n－1.当n ＝1时，a 1＝1也符合，所以a n ＝2n－1(n ∈N ＋)． (2)由递推关系a n ＋1＝n ＋2n a n ，a 1＝4，有a n ＋1a n ＝n ＋2n， 于是有a 2a 1＝3，a 3a 2＝42，a 4a 3＝53，…，a n －1a n －2＝nn －2，a n a n －1＝n ＋1n －1，将这(n －1)个式子累乘，得a n a 1＝n n ＋2.所以当n ≥2时，a n ＝n n ＋2a 1＝2n (n ＋1)．当n ＝1时，a 1＝4符合上式， 所以a n ＝2n (n ＋1)(n ∈N ＋)．(3)由a n ＋1＝2a n ＋1得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，令b n ＝a n ＋1，所以{b n }是以2为公比的等比数列． 所以b n ＝b 1·2n －1＝(a 1＋1)·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝b n －1＝2n ＋1－1(n ∈N ＋)．(4)由已知，a n >0，在递推关系式两边取对数，有lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3.令b n ＝lg a n ，则b n ＋1＝2b n ＋lg 3. 所以b n ＋1＋lg3＝2(b n ＋lg 3)，所以{b n ＋lg 3}是等比数列． 所以b n ＋lg 3＝2n －1·2lg 3＝2nlg 3.所以b n ＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg a n . 所以a n ＝32n－1.(5)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－3×1＋1＝0；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n ＋1)－2(n －1)2＋3(n －1)－1＝4n －5；又n ＝1时，a n ＝4×1－5＝－1≠a 1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2.(1)数列递推关系形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，其中{f (n )}的前有限项可求和．此种类型的数列求通项公式时，常常是相邻两项作差，然后对差式求和，这是求通项公式的一种重要方法．(2)数列递推关系形如a n ＋1＝g (n )a n ，其中{g (n )}的前n 项的乘积容易化简．此数列求通项公式一般采用累乘法． (3)数列递推关系形如a n ＋1＝c ·a n ＋d (c 、d 为常数)求通项公式常用构造新数列法．(4)数列的递推关系形如a n ＋1＝pa rn (p 、r 为常数，且p >0，a n >0)，求a n 时一般采用递推关系式两边取对数的方法．(5)数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．1．(2016·菏泽高三检测)已知数列{}a n 中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则数列{}a n 的通项公式a n ＝__________. 解析：由(n ＋1)a n ＝na n ＋1，可得a n ＋1a n ＝n ＋1n. ∴当n ≥2时，a n a n －1＝n n －1，a n －1a n －2＝n －1n －2，…，a 3a 2＝32，a 2a 1＝2. 将以上各式累乘求得a na 1＝n ， ∴a n ＝n ，而n ＝1也适合． ∴数列的通项公式为a n ＝n . 答案：n2．(2016·山东临沂模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________． 解析：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1，∴a n ＝2·3n －1－1.答案：a n ＝2·3n －1－1考点三 数列的函数特性[例3] 已知函数f (x )＝x 2x 2＋1，设f (n )＝a n (n ∈N ＋)．(1)求证：a n <1；(2){a n }是递增数列还是递减数列？为什么？审题视点 (1)分式分解；(2)作差：a n ＋1－a n 后判断． 解析 (1)证明：a n ＝f (n )＝n 2n 2＋1＝n 2＋1－1n 2＋1＝1－1n 2＋1.∵n 2＋1>0，∴1n 2＋1>0，∴1－1n 2＋1<1. 即a n <1.(2)法一：a n ＋1－a n ＝n ＋2n ＋2＋1－n 2n 2＋1＝n ＋2n 2＋－n2n ＋2＋1]n 2＋n ＋2＋1]＝2n ＋1n 2＋n ＋2＋1]. ∵n ∈N ＋，∴上式>0， 即a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . 故数列{a n }是递增数列． 法二：由(1)知a n ＝1－1n 2＋1，易判断该函数是增函数， ∴{a n }是递增数列．(1)数列是一类特殊的函数，解题时注意函数与方程思想的应用，以及转化思想也是解题的常用方法．(2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用①作差法，②作商法，③结合函数图像等方法．(3)若求最大项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1a n ≥a n －1；若求最小项a n ，则a n 满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1.1．(2016·福州八中质检)已知数列{a 2n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a 2n －2a n ＋1(n ∈N ＋)，则a 2016＝________. 解析：∵a 1＝1， ∴a 2＝(a 1－1)2＝0，a 3＝(a 2－1)2＝1， a 4＝(a 3－1)2＝0，…，可知数列{a n }是以2为周期的周期数列，∴a 2016＝a 2＝0. 答案：02．(2016·大连市高三检测)已知数列{}a n 是首项为a ，公差为1的等差数列，b n ＝1＋a na n，若对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8成立，则实数a的取值范围为__________．解析：依题意得b n ＝1＋1a n ，对任意的n ∈N ＋，都有b n ≥b 8，即数列{}b n 的最小项是第8项，于是有1a n ≥1a 8.又数列{}a n 是公差为1的等差数列，因此有⎩⎪⎨⎪⎧a 8<0a 9>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7<0a ＋8>0，由此解得－8<a <－7，即实数a 的取值范围是(－8，－7)．答案：(－8，－7)由递推关系求通项公式[典例] 已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．解题指南 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1S n ＝n ＋23a n 赋值求解．(2)利用累乘法求解．【解】 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.2分由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.4分(2)由题设知a 1＝1. 当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.8分于是a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.10分将以上n －1个等式中等号两端分别相乘，整理得a n ＝n n ＋2.综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n n ＋2.12分【思维流程】逐步赋值，求a 2，a 3.作差、整理．累乘求a n .阅卷点评 本题主要考查了利用赋值法求数列中的项，以及利用a n 与S n 的关系及累乘法求a n 等，要求考生有一定的分析问题和解决问题的能力，难度适中．失分警示 (1)做题不得法，没有掌握正确的推理方法，惊慌失措，欲速则不达． (2)思路不明，想不到用累乘法，致使无从下手．备考建议 (1)在复习备考中，应该掌握求通项公式最基本、最常用的规律和方法，如观察法、累加法、累乘法、构造新数列的方法等，并能在解题时熟练应用；(2)对有些求通项公式的题目，可能无法直接看出选择哪种方法求解，此时一方面要看题目中的提示信息(解答题中)，另一方面，也可以采用归纳—猜想—证明的方法．◆一个联系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．◆三种思路已知递推关系求通项：对这类问题的要求不高，但试题难度较难把握．一般有三种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想；(2)“a n ＋1＝pa n ＋q ”这种形式通常转化为a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，由待定系数法求出λ，再化为等比数列； (3)逐项累加或累乘法．课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2016·三亚模拟)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的第________项．( ) A ．16 B ．24 C ．26D ．28解析：因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，得n ＝26.故选C. 答案：C2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A ．1，12，13，14，…B ．－1，－2，－3，－4，…C ．－1，－12，－14，－18，…D ．1，2，3，…，n解析：根据定义，属于无穷数列的是选项A 、B 、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C 、D ，故同时满足要求的是选项C ，故选C. 答案：C3．(2016·保定高三调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n ＝( ) A ．2n－1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2n －2解析：由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n，∴a n ＝2n－1. 答案：A4．(2016·江南十校联考)已知数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n－3，则数列{}a n 的通项公式为__________．解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥25．(2016·云南文山检测)设S n 是数列{a n }的前n 项和，如果S n ＝3a n －2，那么数列{a n }的通项公式为________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3a 1－2，解得a 1＝1.当n ≥2时，S n ＝3a n －2，S n －1＝3a n －1－2，两式相减得a n ＝3a n －3a n －1，故a n a n －1＝32，数列{a n }为首项为1，公比为32的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案：a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －16．(2016·山东日照模拟)设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________. 解析：因为(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， 所以(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0. 又a n ＋1＋a n >0，所以(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0， 即a n ＋1a n ＝n n ＋1， 所以a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a na n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ， 所以a n ＝1n.答案：1n7．(2016·汉中调研)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围． 解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋n －(n ∈N ＋，a ∈R ，且a ≠0)，a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性． 可知1>a 1>a 2>a 3>a 4；a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N ＋)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋n －＝1＋12n －2－a 2.∵对任意的n ∈N ＋，都有a n ≤a 6成立， 并结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性，∴5<2－a 2<6，∴－10<a <－8.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n . (1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解：(1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)， ∴b n＝⎩⎪⎨⎪⎧1n n ，23n ＝(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1<0，即c n ＋1<c n ，∴{c n }是递减数列．[B 级 能力突破]1．(2016·长春质量检测)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，{S n ＋na n }为常数列，则a n ＝( ) A.13n －1B.2n n ＋C.6n ＋n ＋D.5－2n 3解析：由题意知，S n ＋na n ＝2，当n ≥2时，S n －1＋(n －1)a n －1＝2，∴(n ＋1)a n ＝(n －1)a n －1从而a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13·24·…·n －1n ＋1，则a n ＝2n n ＋，当n ＝1时上式成立，所以a n ＝2n n ＋，故选B.答案：B2．(2016·东北三校联考)已知数列{a n }满足：a n ＝13n 3－54n 2＋3＋m ，若数列的最小项为1，则m 的值为( )A.14 B.13 C ．－14D ．－13解析：令f (x )＝13x 3－54x 2＋3＋m ，x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝x 2－52x ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52时，f ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞时，f ′(x )>0，故x ＝52为函数f (x )的极小值点，也是最小值点．由于n ∈N ＋，且a 2＝23＋m ，a 3＝34＋m ，故a 2<a 3，即a 2为数列{a n }的最小项，故23＋m ＝1，解得m＝13，故选B.答案：B3．(2016·南昌一模)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n －a n －1|＝13n (n ∈N ，n ≥2)，且{a 2n －1}是递减数列，{a 2n }是递增数列，则12a 10＝( )A ．6－1310 B ．6－139C ．11－1310D ．11－139解析：由于{a 2n －1}是递减数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1<0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)<0 ①.因为132n ＋1<132n ，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1| ②.由①②知a 2n －a 2n －1<0.因为{a 2n }是递增数列，所以a 2n ＋2－a 2n >0，a 2n ＋2－a 2n ＋1＋a 2n ＋1－a 2n >0，|a 2n ＋2－a 2n ＋1|<|a 2n ＋1－a 2n |，所以a 2n ＋1－a 2n >0，所以a 10＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 10－a 9)＝1－132＋133－…－1310＝1＋－132⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1391＋13＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－139，故12a 10＝11－139，∴选D.答案：D4．函数y ＝x 2(x >0)的图像在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N ＋.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________ 解析：函数y ＝x 2(x >0)在点(a 1，a 21)处(a 1＝16)即点(16,256)处的切线方程为y －256＝32(x －16)．令y ＝0，得a 2＝8；同理函数y ＝x 2(x >0)在点(a 2，a 22)处(a 2＝8)即点(8,64)处的切线方程为y －64＝16(x －8)．令y ＝0，得a 3＝4，依次同理求得a 4＝2，a 5＝1.所以a 1＋a 3＋a 5＝21.答案：215．(2016·大连模拟)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33，∴a n n＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0， 当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增． 又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋336－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：2126．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝__________. 解析：∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1， ∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.答案：－1n7．已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a >0，x ∈R )，有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N ＋)，定义所有满足c m ·c m ＋1<0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，∴a ＝0或a ＝4. 又由a >0得a ＝4， ∴f (x )＝x 2－4x ＋4. ∴S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝，2n －n(2)由题设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3 n ＝，1－42n －5 n由1－42n －5＝2n －92n －5可知，当n ≥5时，恒有a n >0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，即c 1·c 2<0，c 2·c 3<0，c 4·c 5<0， ∴数列{c n }的变号数为3.第2课时 等差数列及其前n 项和1．理解等差数列的概念．2．掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 4．了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N ＋)．2．等差数列的有关公式数列{a n }是等差数列，公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n n －2d ＝n a 1＋a n2.3.(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)已知等差数列中任意两项a m 、a n ，则d ＝a m －a nm －n. (3)等差数列的单调性设d 为等差数列{a n }的公差，则当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列． (4)①若数列{a n }成等差数列，则{pa n ＋q }(p ，q 为常数)也成等差数列； ②若数列{a n }成等差数列，则{a pn ＋q }(p ，q ∈N ＋)也成等差数列； ③若数列{a n }和{b n }成等差数列，则{a n ±b n }也成等差数列；④等差数列中依次k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…，成等差数列． [基础自测]1．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：∵d ＝a 3－a 2＝2，∴a 10＝a 2＋(10－2)d ＝2＋8×2＝18. 答案：D2．(教材改编题)已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝12，则a 5等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：∵2a 5＝a 2＋a 8＝12，∴a 5＝6. 答案：C3．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33D ．34解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a 6＝a 1＋5d ＝2S 5＝5a 1＋5×42d ＝30解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263d ＝－43∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.答案：B4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.解析：由题意知6⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －5⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d )＝15a 4＝5，故a 4＝13. 答案：135．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项的和S 10＝________.解析：根据⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故a 10＝a 1＋9d ＝1＋9×2＝19. ∴S 10＝a 1＋a 102＝＋2＝100.答案：100考点一 等差数列的判定或证明[例1] 若数列{a n }满足：a 1＝23，a 2＝2,3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2.(1)证明：数列{a n ＋1－a n }是等差数列；(2)求使1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n ＞52成立的最小的正整数n .审题视点 由题设条件构造(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)的值，并累加求和．解 (1)证明：由3(a n ＋1－2a n ＋a n －1)＝2可得a n ＋1－2a n ＋a n －1＝23，即(a n ＋1－a n )－(a n －a n －1)＝23，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝43为首项，23为公差的等差数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝43＋23(n －1)＝23(n ＋1)，于是累加求和得：a n ＝a 1＋23(2＋3＋…＋n )＝13n (n ＋1)，∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝3⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＞52， ∴n ＞5，n 的最小值为6.等差数列的判断方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数； (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N ＋)都成立； (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q ； (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列．1．(2016·河南内黄月考)已知函数y ＝f (x )对任意的实数x 都有1fx ＋＝1f x ＋＋1，且f (1)＝1，则f (2 016)＝( )A.12 015 B.12 016C ．2 014D ．2 015解析：由已知可得1fx ＋－1fx ＋＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1fx为等差数列，又1f ＝1，d ＝1，则1f x＝x ，即1f＝2 016，故f (2 016)＝12 016. 答案：B2．设数列a 1，a 2，…，a n ，…中的每一项都不为0.证明：{a n }为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ＋，都有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 证明：先证必要性．设数列{a n }的公差为d ，若d ＝0， 则所述等式显然成立． 若d ≠0，则1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 1a 1a 2＋a 3－a 2a 2a 3＋…＋a n ＋1－a n a n a n ＋1 ＝1d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－1a n ＋1＝1d·a n ＋1－a 1a 1a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 再证充分性． 依题意有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝na 1a n ＋1，① 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＋1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2.② ②－①得1a n ＋1a n ＋2＝n ＋1a 1a n ＋2－na 1a n ＋1. 在上式两端同乘以a 1a n ＋1a n ＋2，得a 1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ＋2.③ 同理可得a 1＝na n －(n －1)a n ＋1④ ③－④得2na n ＋1＝n (a n ＋2＋a n )．即a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n }是等差数列．考点二 等差数列基本量的计算[例2] (1)等差数列{a n }的前7项和等于前2项和，若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________. (2)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11审题视点 在等差数列{a n }的a n ，S n ，a 1，d ，n 的五个量中，知其三，求其二．解析 (1)设数列{a n }的公差为d ，依题意得7×1＋7×62d ＝2＋d ，解得d ＝－14，则a k ＋a 4＝2＋(k ＋2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝0，由此解得k ＝6. (2)由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51，所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10，选择C. 答案 (1)6 (2)C①此类问题的通法是把条件转化为a 1与d 的方程(组)，进而可求其它问题． ②结合性质求解，可简化计算．1．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10＝( ) A.172 B.192 C ．10D ．12解析：∵等差数列的公差为1， ∴S 8＝8a 1＋－2×1＝8a 1＋28，S 4＝4a 1＋6.∵S 8＝4S 4，∴8a 1＋28＝4(4a 1＋6)，解得a 1＝12，∴a 10＝a 1＋9d ＝12＋9＝192.故选B.答案：B2．(2015·高考陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.答案：5考点三 等差数列的性质及应用[例3] (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 4－1)3＋2 015(a 4－1)＝1，(a 2 012－1)3＋2 015(a 2 012－1)＝－1，则下列结论中正确的是( )A ．S 2 015＝2 015，a 2 012＜a 4B ．S 2 015＝2 015，a 2 012＞a 4C ．S 2 015＝2 014，a 2 012≤a 4D ．S 2 015＝2 014，a 2 012≥a 4(2)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，{a n }的前n 项和为S n ，则使得S n 达到最大的n 是( ) A ．18 B ．19 C ．20 D.21审题视点 (1)S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝a 4＋a 2 0122.(2)求S n 为n 的二次函数，求最值．解析 (1)设f (x )＝x 3＋2 015x ，显然f (x )为奇函数和增函数，由已知得f (a 4－1)＝－f (a 2 012－1)，所以f (a 4－1)＝f (－a 2 012＋1)，a 4－1＝－a 2 012＋1，a 4＋a 2 012＝2，S 2 015＝a 1＋a 2 0152＝2 015，显然1＞－1，即f (a 4－1)＞f (a 2 012－1)，又f (x )为增函数，故a 4－1＞a 2 012－1，即a 4＞a 2 012.(2)a 1＋a 3＋a 5＝105⇒a 3＝35，a 2＋a 4＋a 6＝99⇒a 4＝33，则{a n }的公差d ＝33－35＝－2，a 1＝a 3－2d ＝39，S n ＝－n 2＋40n ，因此当S n 取得最大值时，n ＝20.答案 (1)A (2)C(1)本题的解题关键是将性质m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q 与前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n2结合在一起，采用整体思想，简化解题过程．(2)等差数列的最值的处理方法：①利用S n ＝an 2＋bn 转化为二次函数最值时要注意n 的取值． ②若{a n }是等差数列，求其前n 项和的最值时，(ⅰ)若a 1＞0，d ＜0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1＜0，前n 项和S n 最大．(ⅱ)若a 1＜0，d ＞0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0a n ＋1＞0，前n 项和S n 最小．1．(2015·高考课标卷Ⅱ)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11解析：法一：因为{a n }是等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，即a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3，∴a 3＝1， ∴S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝5，故选A.法二：设等差数列的公差为d ，则a 3＝a 1＋2d ，a 5＝a 1＋4d ， ∵a 1＋a 3＋a 5＝a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋4d )＝3a 1＋6d ＝3， ∴a 1＋2d ＝1，∴S 5＝5a 1＋5×42d ＝5(a 1＋2d )＝5，故选A.答案：A2．(2015·高考广东卷)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10整体思想在数列解题中的应用[典例] 在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝( ) A ．58 B ．88 C ．143D ．176解题指南 在等差数列中若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n 进而得到a 1＋a 11＝a 4＋a 8，再用等差数列的前n 项和公式计算即可． 解析 由于{a n }为等差数列，所以a 1＋a 11＝a 4＋a 8＝16，∴S 11＝a 1＋a 112＝a 4＋a 82＝16×112＝88.故选B.答案 B阅卷点评 本题应用了等差数列的性质，实质是把a 4＋a 8看作了一个整体进行应用，避免了复杂的求a 1和d 的过程，解起来很方便，整体思想是一种重要的解题方法和技巧，这要求学生要熟练掌握公式，理解其结构特征．失分警示 本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误． 备考建议 (1)熟练掌握等差数列各项性质，悉心研究每条性质的使用条件及其应用方法； (2)要认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．◆两种方法等差数列的证明方法：(1)定义法：a n －a n －1＝d (n ≥2)；(2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2. ◆两个整体设S 奇、S 偶分别是等差数列{a n }中所有奇数项的和与所有偶数项的和．则 (1)当数列项数为偶数2n 时，有S 偶－S 奇＝nd ； (2)当数列项数为奇数2n ＋1时，有S 偶＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，S 奇＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 奇－S 偶＝a n ＋1，S 奇S 偶＝n ＋1n.课时规范训练 [A 级 基础演练]1．(2014·高考福建卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12D ．14解析：由题意知a 1＝2，由S 3＝3a 1＋3×22×d ＝12，解得d ＝2，所以a 6＝a 1＋5d ＝2＋5×2＝12，故选C.答案：C2．(2016·石家庄质检)已知等差数列{}a n 满足a 2＝3，S n －S n －3＝51(n ＞3)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11解析：由S n －S n －3＝51得，a n －2＋a n －1＋a n ＝51， 所以a n －1＝17，又a 2＝3，S n ＝n a 2＋a n －12＝100，解得n ＝10. 答案：C3．(2014·高考辽宁卷)设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0B ．d >0C ．a 1d <0D ．a 1d >0解析：把2a 1a n 看成一个整体b n ，利用递减数列的关系式b n >b n ＋1求解．设b n ＝2a 1a n ，即b n ＋1＝2a 1a n ＋1，由于{2a 1a n }是递减数列，则b n >b n ＋1，即2a 1a n >2a 1a n ＋1.∵y ＝2x是单调增函数，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1a n －a 1(a n ＋d )>0，∴a 1(a n －a n －d )>0，即a 1(－d )>0，∴a 1d <0.答案：C4．(2016·保定调研)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝13，S 7＝35，则a 7＝__________. 解析：设数列{}a n 的公差为d ，则由已知得(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝13 ①，S 7＝a 1＋a 1＋6d2＝35 ②.联立①②，解方程组得a 1＝2，d ＝1， ∴a 7＝a 1＋6d ＝8. 答案：85．(2016·日照模拟)等差数列{a n }的前m 项和为30，前3m 项和为90，则它的前2m 项和为________．解析：法一：由S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，可得2(S 2m －S m )＝S m ＋S 3m －S 2m ，即S 2m ＝3S m ＋S 3m 3＝3×30＋903＝60.法二：由S n ＝na 1＋n n －2d ，得S n n ＝a 1＋(n －1)×d2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以a 1为首项，d2为公差的等差数列，从而S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m成等差数列， 所以S m m ＋S 3m 3m ＝2×S 2m 2m ，所以S 2m ＝S 3m3＋S m ＝30＋30＝60. 答案：606．(2014·高考北京卷)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 解析：∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 9<－a 8<0. ∴数列的前8项和最大，即n ＝8. 答案：87．设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 解：(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4， 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2. (2)证明：法一：对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k ) ＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2)＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 法二：对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 1－q k1－q ， S k ＋2＋S k ＋1＝a 1－q k ＋21－q＋a 1－q k ＋11－q＝a 1－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 1－q k1－q－a 1－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．8．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1,2a 2＋2,5a 3成等比数列． (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解：(1)由题意得，a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2，由a 1＝10，{a n }为公差为d 的等差数列得，d 2－3d －4＝0， 解得d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11(n ∈N *)或a n ＝4n ＋6(n ∈N *)． (2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，所以当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝ －12n 2＋212n ； 当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.[B 级 能力突破]1．(2016·济南一模)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 016，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 016的值等于( )A ．－2 014B ．－2 015C ．－2 013D ．－2 016解析：∵S 1212－S 1010＝2，∴a 1＋a 12212－a 1＋a 10210＝2，故a 12－a 10＝4，∴2d ＝4，d ＝2.∴S 2 016＝2 016a 1＋－2＝－2 016.答案：D2．(2016·山西四校联考)已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 8>0且S 9<0，则当S n 最大时n 的值是( ) A ．8 B ．4 C ．5 D ．3解析：a 1＋a 82＝a 4＋a 52>0，a 1＋a 92＝2a 52<0，所以a 4>0，a 5<0，即数列的前4项都是正数，所以选B.答案：B3．(2016·佳木斯模拟)若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1<0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24D ．23解析：因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，由a n ＝－23n ＋473>0得n <23.5，所以使a k ·a k ＋1<0的k 值为23.答案：D4．(2016·广州模拟)已知数列{a n }是等差数列，若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________. 解析：∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7，∴a 7＝173，∵a 4＋…＋a 14＝11a 9，∴a 9＝7，d ＝23，a k －a 9＝(k －9)d,13－7＝(k －9)×23，k ＝18.答案：185．(2016·河南郑州模拟)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意正整数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．解析：因为{a n }，{b n }为等差数列， 所以a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝a 6b 6.因为S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， 所以a 6b 6＝1941.答案：19416．(2016·江苏无锡一模)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，当整数n >1时，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)都成立，则S 15＝________.解析：由S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋S 1)得(S n ＋1－S n )－(S n －S n －1)＝2S 1＝2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)，所以数列{a n }从第二项起构成等差数列，则S 15＝1＋2＋4＋6＋8＋…＋28＝211.答案：2117．(2014·高考大纲全国卷)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数，知等差数列{a n }的公差d 为整数． 又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0， 于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0. 解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1－3n－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n－3n.第3课时 等比数列及其前n 项和1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式．3．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．4．了解等比数列与指数函数的关系．1．等比数列的相关概念及公式(1)等比数列{a n }满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<00<q <1时，{a n }是递增数列；满足⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1时，{a n }是递减数列．(2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方． (3)对任意正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .特别地，若m ＋n ＝2p ，则a 2p ＝a m ·a n . [基础自测]1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：∵q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.答案：D2．在等比数列{a n }中，a 5＝3，则a 3·a 7等于( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．18解析：a 3·a 7＝a 25＝9. 答案：C3．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11解析：由8a 2＋a 5＝0得a 1q (8＋q 3)＝0即q 3＝－8，∴q ＝－2，∴S 5S 2＝1－q 51－q 2＝－11.答案：A4．(教材改编题)设{a n }是等比数列，a 1＝2，a 8＝256，则a 2＋a 3等于________． 解析：∵a 8＝a 1q 7，∴q 7＝128，∴q ＝2，∴a 2＋a 3＝a 1q ＋a 1q 2＝4＋8＝12. 答案：125．若数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，则S n 等于________．解析：∵a n ＋1＝2a n 即a n ＋1a n ＝2(n ∈N ＋)，∴{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列．∴S n ＝1－2n1－2＝2n－1.答案：2n－1考点一 等比数列的判定及证明[例1] 已知数列{a n }中，a 1＝23，a 2＝89.当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)．(1)证明：{a n ＋1－a n }为等比数列； (2)求数列{a n }的通项．审题视点 构造a n ＋1－a n 与a n －a n －1的关系用累加法求a n . 解 (1)证明：数列{a n }中a 1＝23，a 2＝89，当n ≥2时，3a n ＋1＝4a n －a n －1(n ∈N ＋)． ∴当n ≥2时，3a n ＋1－3a n ＝a n －a n －1， 即a n ＋1－a n ＝13(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝29为首项，以13为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋1－a n ＝29⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，。

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习 第五章 数列5.2等差数列及其前n 项和课时规范训练理北师大版[A 级基础演练]1.（2014 •高考福建卷）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，若a i = 2,S 3= 12,则a 6等于（）A. 8B . 10C. 12D. 14=12，故选C.答案：C2. (2016 •石家庄质检)已知等差数列｛a n ｝满足a 2= 3, $—3= 51( n >3) , S= 100,则n 的值为()A. 8 B . 9 C. 10D. 11解析：由 S — Si -3= 51 得，a n - 2+ a n - 1 + a n = 51 ,n a 2 + a n -1所以 a n -1= 17,又 a 2 = 3, Si = = 100,解得n = 10. 答案：C3.（2014 •高考辽宁卷）设等差数列｛a n ｝的公差为d .若数列｛2 a 1a n ｝为递减数列，则（）A. d <0B . d >0 C. a 1d <0D. a 1d >0解析：把2a 1a n 看成一个整体b n ，利用递减数列的关系式 b n >b n +1求解.设 b n = 2aa n ,即卩 b n +1= 2aa n +1,由于｛2 a 1a n ｝是递减数列，则 b n >b n + 1,即卩 2aa n >2a 1a n +1. y = 2 是单调增函数，二 a 1a n >a 1a n +1,「• a 1 a n — a 1 (a n + d )>0 , .°. a* a n — a n — d )>0 ,即 a 1 ( — d )>0 , ••• a 1d<0.答案：C4. (2016 •保定调研)已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为 S,且a 3 + a s = 13, S= 35,则解析：设数列｛ an ｝的公差为 d ，则由已知得 佝+ 2d ） + （a 1 + 7d ） = 13 ①，S ?= a 1+ a 1+ 6d_-2= 35 ②.联立①②，解方程组得 a 1 = 2, d = 1,解析：由题意知a 1= 2,由S= 3a 1 +3X2""2 X d = 12,解得 d = 2,所以 a 6 = a 1+ 5d = 2+ 5X2•- a7 = a1 + 6d= 8.答案：85. (2016 •日照模拟)等差数列｛刘的前m 项和为30,前3m 项和为90,则它的前2m 项和为 __________ .解析：法一：由 Sn , S am - S m , S m — S 2m 成等差数列，可得 2( S am - S ) = S m + S m — S 2m ,即卩 Smd得n = a i + (n — 1) X -,所以睿暹以a i 为首项，2为公差的等差数列,S° Sm S ^m从而m 2m 乔成等差数列，Sn Sm S 2mS 3m所以 + = 2X ，所以 Sm = + S m = 30 + 30= 60.m 3m 2m 3答案：606. _________________________________________________________________________ (2014 •咼考北京卷)若等差数列｛ a n ｝满足a 7 + a s + a 9>0, a 7 + a io <0,则当n = ______________________时，｛a n ｝的前n 项和最大.解析：T a ?+ a s + a 9= 3a s >0,- a s >0.a 7 + a i0 = a s + a 9<0,.°. a 9<— a s <0.•••数列的前8项和最大，即n = 8. 答案：87. 设｛a n ｝是公比不为i 的等比数列，其前 n 项和为S,且a 5, a s , a 4成等差数列.(1) 求数列｛a n ｝的公比；(2) 证明：对任意k € N+, S+ 2, S k , S k +1成等差数列.解：(1)设数列｛a n ｝的公比为q (q ^0, 1),由a 5, a a , a 4成等差数列，得 2a a = a 5+ a 4,243即 2a i q = aq + a i q ,2由 a i 工 0, q 工0 得 q + q — 2=0, 解得q i = — 2, q 2= 1(舍去)，所以q =— 2.(2)证明：法一：对任意k € N +,S k + 2 + S k + 1 — 2S k3X30+ 90 3=60.nS n = n a i + -n-12d ,3S m + S 3m=(S k+ 2—S k) + ( S k+ 1 —S) =a k+i + a k+2+ a k+1=2a k+1+ a k+1 • ( —2) = 0,所以，对任意k € N+, S +2, S , S +i 成等差数列.k + 2k + ia i 「q — qi -qa 1kk +2k +1==2(1 - q ) - (2 - q + - q + )]1―qka 1q 2=口(q + q -2)= 0,因此，对任意k € N+, S +2, s , S +1成等差数列.&在公差为d 的等差数列｛a n ｝中，已知a 1= 10,且a 1,2a 2+ 2,5 a 3成等比数列. (1) 求 d , a n ；(2) 若 d <0，求 | a 11 + | a 2| + | &| +…+ | a n |.解：(1)由题意得，a 「5a 3= (2a 2+ 2)2，由a 1= 10, ｛a n ｝为公差为d 的等差数列得，d 2 —3d — 4= 0, 解得d =- 1或d = 4.所以 a n =- n + 11( n € N)或 a n =4n + 6( n € N).(2)设数列｛a n ｝的前n 项和为S n .因为 d <0，由(1)得 d = — 1, a n = — n + 11, 所以当 n W 11 时，| a* + | a 2| + | a 3| +…+ | a n | = S =1 2 21-2n +7n；1 2 21| a 11 + | a 2| + | a 3| +…+ | a n | = — S+ 2Sn = q n — ? n + 110.综上所述，I af + | a 2| + | a 3| +…+ | a n |1 2 21-刃 + yn , n W 11, ! 1 2 21尹-刁+ 110, n 》12.法二：对任意 k € N+, 2S k =2a i1-q ka i S+ 2 + S k + 1 =—Tk + 21-q1-qa i 卜一□k +11-q2S k - ( S< +2+ S + i )2ai 1- q k1 - qk + 2 k + 1a - q - q1 - q当n > 12时,[B级能力突破]1. （2016 •济南一模）在等差数列｛a n｝中，a1=- 2 016，其前n项和为S,若詈—誥答案：D所以选B.答案:值为（解析：因为3a n +1= 3a n — 2,所以a n +1 — a n = — 3所以数列｛a n ｝是首项为15,公差为—2 、2 2 47 2 47的等差数列，所以a n = 15 — 3 •（ n — 1）=—尹+三，由a n = — -n + —>0得n <23.5，所以使a k • a k +1<0 的 k 值为 23.答案：D4. (2016 •广州模拟)已知数列｛ai ｝是等差数列，右a 4 + a ? + ai o = 17, a 4 + a 5 + a 6+…+a 12 + ai 3 + a 14= 77,且 a k = 13,贝V k = ____________ .解析： 17 .. . 2a 4 + a 7 + a 10= 3a 7，…a 7= 3 , * a 4+…+ an = 11 a 9，…a 9= 7, d = 3, & — a 9= (k 3 32—9) d, 13 — 7 = (k — 9) x 3, k = 18.3答案：185. （2016 •河南郑州模拟）设等差数列｛a n ｝, ｛b n ｝的前n 项和分别为S, T n ,若对任意正2,则S 2 016的值等于（）A.— 2 014B .—2 015 C.— 2 013D .—2 016 12 a 1 + a 12a 1 + ai 0$2 S02 2 解析：-12 10= 2,…1210= 2，故 a 12 — a 10= 4,. 2d = 4, d=2.S 2 016 = 2 016 a i +2 016.2. （2016 •山西四校联考 ）已知等差数列 ｛a n ｝的前n 项和为S,若S 8>0且S 9<0,则当S 最大时n 的值是（A. 8B.C. 5D.解析:a 1 + a 8 a 4 + a 5~2~ =>0,a 1+ a o 2a 52 = T<0,所以a 4>0, a s <0,即数列的前4项都是正数,3.（2016 •佳木斯模拟）若数列｛a n ｝满足 a 1= 15,且 3a n +1 = 3a n — 2，则使 a — a k +1<0 的 kA. 22 B.21C. 24D. 236. ________________________ (20i6 •江苏无锡一模)已知数列｛a n ｝中，a i = i , G = 2,当整数 n >i时，S+1 + S-1 =2( S+ S )都成立，则 S 5= _ .解析：由 S +i + S n — i = 2( S n + S i )得(S +1 — S n ) — (S — S — i ) = 2S i = 2,即 a n +1 — E n = 2( n 》2), 所以数列｛a n ｝从第二项起构成等差数列，则S e = i + 2 + 4+ 6+ 8 +…+ 28 = 2ii.答案：2ii7. (20i4 •高考大纲全国卷)等差数列｛a n ｝的前n 项和为$,已知a i = i0,a 2为整数，且 S < S.(1) 求｛a n ｝的通项公式；i(2) 设b n =，求数列｛b n ｝的前n 项和T n .a “a n +1解：⑴ 由a i = 10, a 2为整数，知等差数列｛a n ｝的公差d 为整数. 又 Sw S,故 a 4>0, a 5< 0, 于是 10+ 3d 》0,10 + 4d < 0.105解得一—w d w —-.因此 d = — 3.3 2数列｛a n ｝的通项公式为a n = 13— 3n .1 ________ 1( 1 1 \⑵ bn =IU — 3n = 3 10— 3n — 13— 3n .13 — 3n整数n 都有S n = T n2n — 3 4n — 3a 9b 5+ b 7 a 3 8 + 4 的值为解析：因为｛a n ｝ , ｛b n ｝为等差数列,所以 a 9 a 3 a 9 a 3+ = ------------- 1 ---b e + b 7 b 8+ b 4 2b 6 2b 6 a 9 + a 3 a 6 2b 6 b 6S li a i + a ii T i b i + b ii2a 6 2X ii — 3 i9 2b^= 4X ii — 3 = 4i ，所以E 6=i94i答案:i94i。

课时作业(三十一) 等差数列及其前n 项和一、选择题1．(2015·宁德模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5等于( ) A ．7 B ．15 C ．30 D ．31答案B解析：解法一：由等差数列通项公式，得5＝1＋2d ，d ＝2，a 1＝－1，S 5＝15. 解法二：S 5＝a 1＋a 52＝a 2＋a 42＝5×62＝15.2．已知{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n ＝( )A ．11B ．20C ．19D ．21答案：C 解析：由a 11a 10<－1，得a 11＋a 10a 10<0，又它的前n 项和S n 有最大值，则a 10>0，a 11<0，a 11＋a 10<0，则S 19>0，S 20<0，那么当S n 取得最小正值时，n ＝19，故应选C.3．(2015·威海模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，则a 5＋a 6＝( )A.125B ．12C ．6D ．65答案：A解析：S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)3＝3＋32－(0＋02)＝12， 而S 10＝a 1＋a 102＝5(a 1＋a 10)＝5(a 5＋a 6)＝12， ∴ a 5＋a 6＝125.故应选A.4．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A ．7B ．23C ．278D ．214答案：D解析：a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92a 1＋a992b 1＋b9＝S 9T 9＝214. 故应选D.5．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2,10人的“不满意度”之和记为S .则S 最小时，电梯所停的楼层是( )A ．7层B ．8层C ．9层D ．10层答案：C解析：设电梯停靠在第x 层时，其余10人的“不满意度”之和为S ，向上步行的有(12－x )人，这(12－x )人“不满意度”之和为S 1＝2＋4＋6＋…＋2(12－x )＝－x2＋－x2＝x 2－25x ＋156；向下步行的有10－(12－x )＝(x －2)(人)，这(x －2)人“不满意度”之和为S 2＝1＋2＋…＋(x －2)＝x －＋x －2＝12x 2－32x ＋1；所以S ＝S 1＋S 2＝(x 2－25x ＋156)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－32x ＋1＝32x 2－532x ＋157＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －5362＋95924，由于x ∈N,2≤x ≤12，所以当x ＝9时，S 取最小值，即S 最小时，电梯所停的楼层是9层．二、填空题6．(2015·山东泰安一模)正项数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，则a 7＝________.答案：19解析：因为2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N ，n ≥2)，所以数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以d ＝a 22－a 21＝3为公差的等差数列，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，所以a n ＝3n －2，n ≥1，所以a 7＝3×7－2＝19.7．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________.答案：13解析：∵6S 5－5S 3＝5，∴6(5a 1＋10d )－5(3a 1＋3d )＝5，∴a 1＋3d ＝13，即a 4＝13.8．(2015·安庆模拟)已知等差数列{a n }中，a 1，a 99是函数f (x )＝x 2－10x ＋16的两个零点，则12a 50＋a 20＋a 80＝________.答案：252解析：依题意，a 1＋a 99＝10，∴a 50＝5， 故12a 50＋a 20＋a 80＝12a 50＋2a 50＝252. 9．(2015·福建龙岩质检)已知数列{a n }的首项为2，数列{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 2＝－2，b 7＝8，则a 8＝________.答案：16解析：∵{b n }为等差数列，且b 2＝－2，b 7＝8，设其公差为d ，∴b 7－b 2＝5d ，即8＋2＝5d ，∴d ＝2.∴b n ＝－2＋(n －2)×2＝2n －6.∴a n ＋1－a n ＝2n －6.由a 2－a 1＝2×1－6，a 3－a 2＝2×2－6，…，a n －a n －1＝2×(n －1)－6，累加，得a n －a 1＝2×(1＋2＋…＋n －1)－6(n－1)＝n 2－7n ＋6，∴a n ＝n 2－7n ＋8.∴a 8＝16.10．设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意自然数n 都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4的值为________．答案：1941解：∵ {a n }，{b n }为等差数列， ∴ a 9b 5＋b 7＋a 3b 8＋b 4＝a 92b 6＋a 32b 6＝a 9＋a 32b 6＝2a 62b 6＝a 6b 6. ∵S 11T 11＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝2a 62b 6＝2×11－34×11－3＝1941， ∴ a 6b 6＝1941. 三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)(c 为常数)． (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列；(2)若{a n }是正数组成的数列，试给出不依赖于n 的一个充要条件，使得数列{a n }是等差数列，并说明理由．解：(1)证明：由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋cn (n ＋1)，可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋c ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列． (2)由(1)可知，a nn＝1＋(n －1)c ， 则a n ＝n ＋n (n －1)c .{a n }是等差数列的充要条件是a n ＝an ＋b ， 即a 2n 2＋2abn ＋b 2＝cn 2＋(1－c )n ，则c ＝1. 12．(2015·济南模拟)设同时满足条件：①b n ＋b n ＋22≤b n ＋1(n ∈N *)；②b n ≤M (n ∈N *，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{b n }叫“特界”数列．(1)若数列{a n }为等差数列，S n 是其前n 项和，a 3＝4，S 3＝18，求S n ； (2)判断(1)中的数列{S n }是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝18，解得a 1＝8，d ＝－2，∴S n ＝na 1＋n n －2d ＝－n 2＋9n .(2)由S n ＋S n ＋22－S n ＋1＝S n ＋2－S n ＋1－S n ＋1－S n2＝a n ＋2－a n ＋12＝d2＝－1＜0，得S n ＋S n ＋22＜S n ＋1，故数列{S n }适合条件①.而S n ＝－n 2＋9n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922＋814(n ∈N *)，则当n ＝4或5时，S n 有最大值20，即S n ≤20，故数列{S n }适合条件②.综上，数列{S n }是“特界”数列．13．(2015·广东中山一模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1<0，S 2 009＝0. (1)求S n 的最小值及此时n 的值； (2)求使a n ≥S n 的n 的取值集合． 解：(1)设公差为d ，则由S 2 009＝0，得 2 009a 1＋2 009×2 0082d ＝0，则a 1＋1 004d ＝0，d ＝－11 004a 1，a 1＋a n ＝2 009－n 1 004a 1， ∴S n ＝n 2(a 1＋a n )＝n 2·2 009－n1 004a 1＝a 12 008(2 009n －n 2)． ∵a 1<0，n ∈N *，∴当n ＝1 004或1 005时，S n 取最小值1 0052a 1.(2)由(1)得a n ＝1 005－n1 004a 1，由S n ≤a n ，得a 12 008(2 009n －n 2)≤1 005－n 1 004a 1.∵a 1<0，∴n 2－2 011n ＋2 010≤0， 即(n －1)(n －2 010)≤0， 解得1≤n ≤2 010.故所求n 的取值集合为{n |1≤n ≤2 010，n ∈N *}．。