上海市华东师大二附中2007届高三数学周练试卷四 上教版

华东师范大学第二附属中学 2023学年第一学期高三年级质量调研数学试卷考生注意：1.本场考试时间120分钟.试卷共4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名.将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.已知全集()[),12,U =-∞+∞，集合()[)1,13,A =-+∞，则A =________.2.已知复数z 满足i 1i z ⋅=-（i 为虚数单位），则Im z =________.3.设常数0a >且1a ≠，若函数()log 1a y x =+在区间[]0,1上的最大值为1，最小值为0，则实数a =________.4.已知圆锥的底面半径为3，沿该圆锥的母线把侧面展开后可得到圆心角为23π的扇形，则该圆锥的高为________.5.若()42340123412x a a x a x a x a x -=++++，则1234a a a a +++=________.6.方程1x y +=所表示的图形围成的区域的面积是________.7.在等比数列{}n a 中，3a ，11a 分别是函数32432y x x x =+++的两个驻点，则7a =________.8.若“12x a x a >⎧⎨>⎩”是“122122x x ax x a +>⎧⎪⎨>⎪⎩”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________. 9.若直线e 4eln 40x y -+=是指数函数xy a =（0a >且1a ≠）图像的一条切线，则底数a =________.10.在某道选词填空题中，共有4个空格、5个备选单词，其中每个空格只有备选单词中的一个正确答案（备选单词中有一个是多余的），则4个空格全部选错的概率是________. 11.点O 是正四面体1234A A A A 的中心，()11,2,3,4i OA i ==.若11223344OP OA OA OA OA λλλλ=+++，其中()011,2,3,4i i λ≤≤=，则动点P 扫过的区域的体积为________.12.已知正整数m ，n 满足24m n <≤，若关于x 的方程()()1122sin 2sin mx nx +=--有实数解，则符合条件的(),m n 共有________对.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13.两个变量x 与y 之间的回归方程（ ） A.表示x 与y 之间的函数关系 B.表示x 与y 之间的不确定关系 C.反映x 与y 之间的真实关系D.是反映x 与y 之间真实关系的一种最佳拟合14.已知事件A ，B 满足()01P A <<，()01P B <<，则不能说明事件A ，B 相互独立的是（ ）A.()()P A B P A B = B.()()P A B P A = C.()()P B A P B =D.()()P B A P B A =15.在ABC △中，已知sin A a =，3cos 5B =，若cosC 有唯一值，则实数a 的取值范围为（ ） A.{}30,15⎛⎤ ⎥⎝⎦B.40,5⎛⎤ ⎥⎝⎦C.4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}40,15⎛⎤ ⎥⎝⎦16.已知圆锥曲线Γ：(),1f x y =关于坐标原点O 对称，定点P 的坐标为()00,x y .给出两个命题：①若()000,1f x y <<，则曲线Γ上必存在两点A ，B ，使得P 为线段AB 的中点；②若()00,0f x y =，则对曲线Γ上任一点A ，Γ上必定存在另外一点B ，使得PA PB =.其中（ ）A.①是假命题，②是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①②都是假命题D.①②都是真命题三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，正三梭柱111ABC A B C -中，2AB =，14AA =.点M 是11AC 的中点.（1）求四面体11MBB C 的体积；（2）求直线MA 与平面11BCC B 所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知数列{}n a 的前n 项和为n S .（1）若数列{}n a 为等差数列，()2392n S tn t n t =+-+-（t 为常数），求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 为等比数列，11a =，418a =，求满足100n n S a >时n 的最小值.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c .假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值.20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小满分8分）已知F 为抛物线Γ：24y x =的焦点，O 为坐标原点.过点(),4P p 且斜率为1的直线l 与抛物线Γ交于A ，B 两点，与x 轴交于点M . （1）若点P 在抛物线Γ上，求PF ；（2）若AOB △的面积为p 的值；（3）是否存在以M 为圆心、2为半径的圆，使得过曲线Γ上任意一点Q 作圆M 的两条切线，与曲线Γ交于另外两点C ，D 时，总有直线CD 也与圆M 相切？若存在，求出此时p 的值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小满分6分第3小题满分8分）设函数()y f x =的定义域为开区间I ，若存在0x I ∈，使得()y f x =在0x x =处的切线l 与()y f x =的图像只有唯一的公共点，则称切线l 是()y f x =的一条“L 切线”.（1）判断函数ln y x =是否存在“L 切线”，若存在，请写出一条“L 切线”的方程，若不存在，请说明理由.（2）设()()()3210,f x x ax x c =++∈，若对任意正实数c ，函数()y f x =都存在“L 切线”，求实数a 的取值范围.（3）已知实数0b >，函数()()2ee 6xx g x b x x =-+∈R ，求证：函数()y g x =存在无穷多条“L 切线”，且至少一条“L 切线”的切点的横坐标不超过ln2b .。

1华二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.09一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．已知i 为虚数单位，复数12iz i+=，则z 的实部为________． 2．若函数()133x xf x a =⋅+为偶函数，则实a =________． 3．若事件A 、B 发生的概率分别为1()2P A =，2()3P B =，且相互独立，则()P A B =________．4．已知集合(){}2|log 1A y y x ==−，{}3|27B x x =≤，则A B =________．5．设{}n a 是等比数列，且13a =，2318a a +=，则n a =________．6．现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V 与直径d 的关系式为36d V π=，当2d =时，气球体积的瞬时变化率为________． 7．已知随机变量X 的分布为123111236⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，且3Y aX =+，若[]2E Y =−，则实数a =________． 8．记函数()()()cos 0,0f x x =ω+ϕω><ϕ<π的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为________．9．若6(0)b ⎛> ⎝的展开式中含x 项的系数为60，则2a b +的最小值为________．10．顶点为S 的圆锥的母线长为60cm ，底面半径为25cm ，A ，B 是底面圆周上的两点，O 为底面中心，且35AOB π∠=，则在圆锥侧面上由点A 到点B 的最短路线长为____cm ．（精确到0.1cm ）11．已知△ABC 中，22AB BC ==，AB 边上的高与AC 边上的中线相等，则tan B =2________．12．给定公差为d 的无穷等差数列{}n a ，若存在无穷数列{}n b 满足： ①对任意正整数n ，都有1n n b a −≤②在21b b −，32b b −，…，20252024b b −中至少有1012个为正数，则d 的取值范围是________． 二、单选题（本大题共4小题，共18.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 13．“1a b +>”是“33a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．如果两种证券在一段时间内收益数据的相关系数为正数，那么表明（ ） A ．两种证券的收益之间存在完全同向的联动关系，即同时涨或同时跌 B ．两种证券的收益之间存在完全反向的联动关系，即涨或跌是相反的 C ．两种证券的收益有同向变动的倾向 D ．两种证券的收益有反向变动的倾向15．设0k >，若向量a 、b 、c 满足::1::3a b c k =，且2()b a c b −=−，则满足条件的k 的取值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．416．设1A ，1B ，1C ，1D 分别是四棱锥P ABCD −侧棱PA ，PB ，PC ，PD 上的点．给出以下两个命题，①若ABCD 是平行四边形，但不是菱形，则1111A B C D 可能是菱形；②若ABCD 不是平行四边形，则1111A B C D 可能是平行四边形．（ ） A ．①真②真 B ．①真②假 C ．①假②真 D ．①假②假三、解答题（本大题共5小题，共78.0分．）17．（本小题14.0分）如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线AD，点E在底面的圆周⊥，F是垂足．（1）求证：AF DB⊥；（2）若圆柱与三棱锥D ABE−的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABD所成角的大小．3418．（本小题14.0分）李先生是一名上班旋，为了比较上下班的通勤时间，记录了20天个工作日内，家里到单位的上班时间以及同路线返程的下班时间（单位：分钟），如下茎叶图显示两类时间的共40个记录：（1）求出这40个通勤记录的中们数M ，并完成下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，请问上下班的通勤时间是否有显著差异？并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d −χ=++++，()2 3.8410.05P χ≥≈．519．（本小题14.0分）如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB =米，广场的一角是半径为16米的扇形BCE 绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN （宽度不计），点M 在线段AD 上，并且与曲线CE 相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN （宽度不计）摆放，已知双人靠背直排椅的造价每米为2a 元，单人弧形椅的造价每米为a 元，记锐角NBE ∠=θ，总造价为W 元。

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题（含解析）一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- ．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 ．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ． 6．（3分）已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 7．（3分）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim n n a →∞= ．8．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 ．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是 ．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 15．（3分）（2008•天津）设函数()1)1f x x x=<-的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325r r C x-，令10322r-=，解可得2r =， 则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40， 故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 既不充分也不必要 条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．【解答】解：6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77， 从小到大排列为：1.69，1.72，1.75，1.77，1.78，1.80， 位于中间的两个数值为1.75，1.77，∴这组数据的中位数是：1.75 1.771.762+=（米)． 故答案为：1.76．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 24 ．【解答】解：设球的半径为R ，由343R π=得R = 所以2a =，表面积为2624a =． 故答案为：246．（3分）（2010秋•承德期末）已知函数1()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 (1] ．【解答】解：由题意22,1(1)(1)2,1x x x x f x x x x ⎧-<-+++=⎨+-⎩当0x <时，有21x -恒成立，故得0x <当0x 时，221x x +，解得121x -，故得021x -综上得不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是(1]-∞-故答案为(-∞1]．7．（3分）（2008•天津）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim nn a →∞= 76 ．【解答】解：因为11221112111()()()1333n n n n n n n a a a a a a a a ----=-++++-+=++⋯++ 所以n a 是一个等比数列的前n 项和，所以11n n q a q -=-，且13q =．代入，所以2173lim 11613n n a →∞=+=-．所以答案为768．（3分）（2016•上海）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于． 【解答】解：可设ABC ∆的三边分别为3a =，5b =，7c =，由余弦定理可得，222925491cos 22352a b c C ab +-+-===-⨯⨯，可得sin C ==可得该三角形的外接圆半径为2sin cC==．9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 {2} ．【解答】解：log log a a x y c +=，log a xy c ∴=c xy a ∴=得c a y x =，单调递减，所以当[x a ∈，2]a 时，11[,]2c c a y a --∈所以1122c c a a a a --⎧⎪⎨⎪⎩⇒223a c log c +⎧⎨⎩，因为有且只有一个常数c 符合题意，所以2log 23a +=，解得2a =，所以a 的取值的集合为{2}． 故答案为：{2}10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 1248【解答】解：根据题意，分2步进行分析：①，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则中间行的数字只能为1，4或2，3，共有12224C A =种排法， ②，然后确定其余4个数字，其排法总数为46360A =，其中不合题意的有：中间行数字和为5，还有一行数字和为5，有4种排法， 余下两个数字有2412A =种排法，所以此时余下的这4个数字共有360412312-⨯=种方法； 则有43121248⨯=种不同的排法， 故答案为：1248．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是528．【解答】解：从正八边形128A A A ⋯的八个顶点中任取两个，基本事件总数为2828C =．满足0i j OP OA OA ++=，且点P 落在第一象限，对应的i A ，j A ，为：4(A ，7)A ，5(A ，8)A ，5(A ，6)A ，6(A ，7)A ，5(A ，7)A 共5种取法．∴点P 落在第一象限的概率是528P =， 故答案为：528． 12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ②③ 【解答】解：①，可举反例：2,1()3,1x x f x x x ⎧=⎨->⎩．23,0()3,012,1x x g x x x x x +⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，,0()2,0x x h x x x -⎧=⎨>⎩．均不是增函数，但43,0()()3,0x x f x g x x x +⎧+=⎨+>⎩、,0()()4,013,1x x f x h x x x x x ⎧⎪+=<<⎨⎪+⎩、3,1()()4,1x x g x h x x x +<⎧+=⎨⎩均为增函数，故①错误；②()()()()f x g x f x T g x T +=+++，()()()()f x h x f x T h x T +=+++，()()()()h x g x h x T g x T +=+++，前两式作差可得：()()()()g x h x g x T h x T -=+-+， 结合第三式可得：()()g x g x T =+，()()h x h x T =+， 同理可得：()()f x f x T =+，因此②正确．③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是奇函数， ()()()()[()f x g x f x h x g x +++-、()]2()h x f x =是奇函数，即()f x 是奇函数，同理()g x 、()h x 均是奇函数，故③正确；④，由①可得()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ， 但()f x 、()g x 、()h x 值域均不为R 的函数，故④错误． 故答案为：②③． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥【解答】解：A 、B 、D 的反例如图．故选：C ．14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【解答】解：22()cos ()sin ()44f x x x ππ=+-+1cos(2)1cos(2)2222x x ππ++-+=-sin 2x =-所以T π=，且为奇函数． 故选：A ．15．（3分）（2008•天津）设函数()1)f x x =<的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为0【解答】解：1y =为减函数，由复合函数单调性知()f x 为增函数，1()f x -∴单调递增，排除B 、C ；又1()f x -的值域为()f x 的定义域，1()f x -∴最小值为0 故选：D ．16．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：若1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列，则1423a a a a +=+，但11a =，22a =，34a =，45a =时，1423a a a a +=+，但1a ，2a ，3a ，4a 依次不构成等差数列，故1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件，即（1）正确；若{}n a 是等比数列，公比为1-，则若21{}k a -和2{}k a 是也是等比数列，公比均为1，但对应项相反.则2120k k k b a a -=+=，可得{}k b 不是等比数列，即（2）不正确.若a ，b ，c 依次成等差数列，2b a c =+，则22()()()b a c a c a b b c ++=+=+++，即a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．故（3）正确.（4）若{}n a 为等比数列，则数列{}n b 显然也是等比数列，但若{}n a 是所有奇数项均相等，所有偶数项也均相等的摆动数列，则{}n b 显然也是等比数列，故数列，*)n N ∈构成等比数列的充分为必要条件是{}n a 构成等比数列．故（4）正确. 三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结DF ，OF ，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，FD FB ∴=，FA FC =，AC 与BD 交于O 点，O ∴是AC 中点，且O 是BD 中点， FO AC ∴⊥，FO BD ⊥， ACBD O =，FO ∴⊥平面ABCD ．（2）解：以O 为的点，OA ，OB ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB =，则平面AFC 的法向量(0n =，1，0)，(0F ，03)，(0B ，1，0)，(3C -，0，0)，(0FB =，1，3)-，(3FC =-，0，3)-，设平面FBC 的法向量(m x =，y ，)z ，则30330m FB y z m FC x z ⎧=-=⎪⎨=--=⎪⎩，取1x =，得(1m =，3-，1)-， 设二面角A FC B --的平面角为θ，则||315cos ||||5m n m n θ===．∴二面角A FC B --的余弦值为15．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．【解答】解：（1）在1Rt COA ∆中，12cos CA θ=，2tan CO θ=，⋯（2分）122(3sin )3322tan 2(0)cos cos 4y CA CB θπθθθθ-=+=+-=+<<⋯（7分） （2）222cos (3sin )(sin )3sin 1/22cos cos y θθθθθθ-----==， 令0y '=，则1sin 3θ=⋯（12分）当1sin 3θ>时，0y '>；1sin 3θ<时，0y '<，sin y θ=在[0,]4π上是增函数∴当角θ满足1sin 3θ=时，y 最小，最小为422+；此时22BC m =- ⋯（16分）19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．【解答】解：（Ⅰ）抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-．可得42p =，即2p =，可得抛物线C 的方程为24x y =-，准线方程为1y =；（Ⅱ）证明：抛物线24x y =-的焦点为(0,1)F -，设直线方程为1y kx =-，联立抛物线方程，可得2440x kx +-=，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，可得124x x k +=-，124x x =-，直线OM 的方程为11y y x x =，即14xy x =-， 直线ON 的方程为22y y x x =，即24xy x =-， 可得14(A x ，1)-，24(B x ，1)-，可得AB 的中点的横坐标为121142()224kk x x -+==-， 即有AB 为直径的圆心为(2,1)k -，半径为212||1441616||222AB k x x +=-==， 可得圆的方程为222(2)(1)4(1)x k y k -++=+，化为224(1)4x kx y -++=， 由0x =，可得1y =或3-．则以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点(0,1)，(0,3)-．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．【解答】解：（1）()0)n f x x a n =⇒=为正整数），21()(0)4x f x x -=所以数列{}n a 的反数列为{}n b 的通项2(4n n b n =为正整数）（2分）（2）对于（1）中{}n b ，不等式化为2221log (12)..1222a a n n n ++⋯+>-++（3分） 222122n T n n n=++⋯+++，1222220212(1)12122n n T T n n n n n +-=+-=->+++++， ∴数列{}n T 单调递增，（5分）所以，要是不等式恒成立，只要11log (12)2a a >-．（6分）120a ->，∴102a <<，又212,01a a a -><< 所以，使不等式对于任意正整数n 恒成立的a的取值范围是1)..（8分）（3）设公共项k p n t c d ==，k 、p 、q 为正整数， 当λ为奇数时，121,(1)2n n c n d n =-=+（9分）121(1),432p p q p -=+=-，则（表示{}n 是{}n b 的子数列），21n t n =-所以{}n t 的前n 项和2..n S n =（11分）当λ为偶数时，3n n=，3log n d n =（12分）33log q q =，则33pq =，同样有，3n n t =所以{}n t 的前n 项和3(31)2n n S =-（14分）21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．【解答】解：（1）[,]22k A k k ππππ=-+，k Z ∈；（2）1()(1)arcsin k kg x x k π-=-+，k Z ∈； （3）1((2019))(1)(6432019)k kg g k ππ-=--+，1((2019))k g g -没意义，因为2019[1∉-，1]．。

上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[9]一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程018379=-⋅-xx 的解是 。

2、已知集合{})2lg(-==x y x A ,{}x y y B 2==,则=B A 。

3、若数列{}n a 的前n 项和210(123)n S n n n =-=，，，，则=5a 。

4、从5名候选同学中选出3名，分别保送北大小语种（每个语种各一名同学）：俄罗斯语、阿拉伯语与希伯莱语，其中甲、乙二人不愿学希伯莱语，则不同的选法共有 种。

5、复数ii -++111（i 是虚数单位）是方程022=+-c x x 的一个根，则实数=c 。

6、在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = 。

7、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角为 。

8、（理）若322sin )cos(cos )sin(=---αβααβα，β在第三象限， 则=+)4tan(πβ 。

（文）已知α∈(2π,π)，sin α=53,则tan =+)4(πα 。

9、（理）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n = 。

（文）若y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤≤≤≤231010y x y x 下，则目标函数y x u +=2的最大值为__________。

10、已知函数xx f 2)(=的反函数为)(1x f-,若4)()(11=+--b fa f,则ba 11+的最小值为 。

11、若不等式na n n1)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是 。

12、为了了解学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况，调查部门在某学校进行了如下的随机调查：向被调查者提出两个问题：（1）你的学号是奇数吗？（2）在过路口的时候你是否闯过红灯？要求被调查者背对调查人抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第（1）个问题；否则就回答第（2）个问题。

2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= ．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= ．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= ．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为= ．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”18．设直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．619．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．2015-2016学年上海市华东师大二附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．已知全集U=R，集合，则∁U M= {x|x＜1} ．【考点】函数的定义域及其求法；补集及其运算．【专题】计算题．【分析】由题意全集U=R，再根据函数的定义域写出集合M，然后根据交集的定义和运算法则进行计算即可．【解答】解：因为集合M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，全集U=R，∴C U M={x|x＜1}．故答案为：{x|x＜1}．【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域，属容易题．2．设z1=1﹣i，z2=a+2ai（a∈R），其中i 是虚数单位，若复数z1+z2是纯虚数，则a= ﹣1 ．【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】首先把两个复数相加，实部和虚部分别相加，得到复数的标准形式，根据所给的复数是一个纯虚数，得到实部等于0，虚部不等于0，解出结果．【解答】解：∵z1=1﹣i，z2=a+2ai，∴z1+z2=a+1+（2a﹣1）i，∵复数z1+z2是纯虚数，∴a+1=0，2a﹣1≠0，∴a=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算，是一个基础题，解题的关键是看清题目中的要求，注意一定要上虚部不等于0．3．经过圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M，且与直线x﹣y=0垂直的直线方程是x+y﹣1=0 ．【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】易得圆心坐标，由垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：圆（x﹣1）2+y2=1的圆心M为（1，0），又直线x﹣y=0的斜率为1，由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1，∴直线方程为y﹣0=﹣（x﹣1），即x+y﹣1=0．故答案为：x+y﹣1=0．【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及圆的标准方程，属基础题．4．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，，则A= 45°．【考点】正弦定理．【专题】计算题．【分析】由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，再由a小于b，利用三角形中大边对大角得到A小于B，确定出A的范围，进而由sinA的值，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=，b=，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA==，又＜，即a＜b，∴A＜B，则A=45°．故答案为：45°【点评】此题考查了正弦定理，三角形的边角关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．5．已知数列{a n}是等差数列，且a1+a7+a13=2π，则tan（a2+a12）═．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质易得a7=，进而可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值计算可得．【解答】解：由等差数列的性质可得a1+a7+a13=3a7=2π，∴a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：【点评】本题考查等差数列的性质，涉及正切的运算，属基础题．6．若命题“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解：∵“∃x∈R，使得x2+（a﹣1）x+1＜0∴x2+（a﹣1）x+1=0有两个不等实根∴△=（a﹣1）2﹣4＞0∴a＜﹣1或a＞3故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．7．对任意非零实数a、b，定义一种运算：a⊗b，其结果y=a⊗b的值由如图确定，则= 1 ．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；分类讨论；算法和程序框图．【分析】通过程序框图判断出新运算S=a⊗b的解析式，化简，再利用新运算法则求出值．【解答】解：由程序框图知 S=a⊗b=，∴=3⊗4==1故答案为：1．【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则．利用运算法则求值，属于基础题．8．（理科）极坐标系中两点，，则线段AB的长等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】数形结合；定义法；坐标系和参数方程．【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB的长即可．【解答】解：极坐标系中，，∴线段AB的长为|AB|==．故答案为：．【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是基础题目．9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题．【分析】由三视图知，原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，再根据三视图得到球的半径和正方体的棱长，即可求体积【解答】解：由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体，球的直径为2，半径为1，正方体的棱长为2∴原几何体的体积为：故答案为：【点评】本题考查三视图，要求能把三视图还原成原几何体，能根据三视图找到原几何体的长度关系，要求有较好的空间想象力．属简单题10．若关于x，y的二元一次方程组至多有一组解，则实数m的取值范围是（﹣∞，1）∪（1，+∞）．【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组；二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题．【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组，然后消去y得（m2﹣1）x=m（m﹣1），当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解，从而求出m的范围．【解答】解：关于x，y的二元一次方程组即二元一次方程组①×m﹣②得（m2﹣1）x=m（m﹣1）当m﹣1≠0时（m2﹣1）x=m（m﹣1）至多有一组解∴m≠1故答案为：（﹣∞，1）∪（1，+∞）【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数，以及矩阵的乘法运算，属于中档题．11．从集合A={﹣1，1，2}中随机选取一个数记为k，从集合B={﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线y=kx+b不经过第三象限的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；概率与统计．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件（k，b）的取值所有可能的结果可以列举出，满足条件的事件直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件k∈A={﹣1，1，2}，b∈B={﹣2，1，2}，得到（k，b）的取值所有可能的结果有：（﹣1，﹣2）；（﹣1，1）；（﹣1，2）；（1，﹣2）；（1，1）；（1，2）；（2，﹣2）；（2，1）；（2，2）共9种结果．而当时，直线不经过第三象限，符合条件的（k，b）有2种结果，∴直线不过第四象限的概率P=，故答案为．【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到，属于基础题．12．不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R成立，则实数a的取值范围为a≥1或a≤﹣2 ．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．【分析】不等式进行等价转化为关于cosx的一元二次不等式，利用二次函数的性质和图象列不等式组求得答案．【解答】解；不等式等价于1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0，恒成立，整理得﹣cos2x+（a﹣1）cosx+a2≥0，设cosx=t，则﹣1≤t≤1，g（t）=﹣t2+（a﹣1）t+a2，要使不等式恒成立需，求得a≥1或a≤﹣2，故答案为：a≥1或a≤﹣2．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，二次函数的性质．注重了对数形结合思想的运用和问题的分析．13．如图已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动，则MN中点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征．【专题】计算题．【分析】先推导点P的轨迹，从而确定点P与平行六面体所围成的几何体的形状，然后求几何体的体积【解答】解：取AB的中点E连接DE，由题意知DE⊥AB，DE⊥CD以DE所在直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以DD1所在直线为z轴建立如图空间直角坐标系设M（0，0，z），N（x，y，0），则P（）MN=∴x2+y2+z2=4∴∴OP2=1即OP=1∴点P的轨迹是以原点D为球心，以1为半径的球的一部分又∵∠BAD=60°∴∠ADC=120°∴点P的轨迹是球的∴几何体的体积为故答案为：【点评】本题考查几何体的体积，须先用代数法确定点的轨迹，然后熟练应用体积公式即可．属中档题14．在平面直角坐标系中，定义（n∈N*为点P n（x n，y n）到点P n+1（x n+1，y n+1）的一个变换，我们把它称为点变换．已知P1（0，1），P2（x2，y2），…，P n（x n，y n），P n+1（x n+1，y n+1）是经过点变换得到的一列点．设a n=|P n P n+1|，数列{a n}的前n项和为S n，那么的值为=2+．【考点】数列的极限．【专题】新定义；转化思想；分析法；等差数列与等比数列．【分析】由题设知a1=|（0，1）•（1，1）|=1，a2=|（1，1）•（0，2）|=，a3=|（0，2）•（2，2）|=2，a4=|（2，2）•（0，4）|=2，…，a n=（）n﹣1，S n=a1+a2+a3+…+a n=．由此可求出的值．【解答】解：由题设知P1（0，1），P2（1，1），a1=|P1P2|=1，且当n≥2时，a n2=|P n P n+1|2=（x n+1﹣x n）2﹣（y n+1﹣y n）2=[（y n﹣x n）﹣x n]2+[（y n+x n）﹣y n]2=5x n2﹣4x n y n+y n2a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（x n﹣x n﹣1）2﹣（y n﹣y n﹣1）2①由定义（n∈N），得，∴，代入①计算化简得a n﹣12=|P n﹣1P n|2=（）2+（）2=（5x n2﹣4x n y n+y n2）=a n2．∴=（n≥2），∴数列{a n}是以为公比的等比数列，且首项a1=1，∴a n=（）n﹣1，∴S n=a1+a2+a3+…+a n=．∴=•=，则===2+．故答案为：．【点评】本题考查集合的性质和运算，解题时要注意等比数列前n项和公式的合理运用，属于中档题．15．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是②④．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】压轴题；新定义．【分析】根据集合X上的拓扑的集合τ的定义，逐个验证即可：①{a}∪{c}={a，c}∉τ，③{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，因此①③都不是；②④满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，因此②④是，从而得到答案．【解答】解：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；而{a}∪{c}={a，c}∉τ，故①不是集合X上的拓扑的集合τ；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}，满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此②是集合X上的拓扑的集合τ；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；而{a，b}∪{a，c}={a，b，c}∉τ，故③不是集合X上的拓扑的集合τ；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ因此④是集合X上的拓扑的集合τ；故答案为②④．【点评】此题是基础题．这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题，重在理解题意．本题是开放型的问题，要认真分析条件，探求结论，对分析问题解决问题的能力要求较高．二、选择题（本题满分16分）本大题共有5题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的选对得4分，否则一律得零分.16．A，B两点在半径为2的球面上，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，则A，B两点间的球面距离为（）A．πB．2πC．D．【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】求出球的半径，利用等边三角形求出∠AOB的大小，再求球面距离弧AB．【解答】解：根据题意画出示意图，如图所示：∵球的半径为R=2，且以线段AB为直径的小圆周长为2π，∴小圆直径为AB=2；∴在三角形AOB中，AO=AB=BO=2，∴∠AOB=，∴A，B两点间的球面距离为：l=R=．故选：D．【点评】本题考查了球面距离的应用问题，也考查了圆的周长与弧长的计算问题，是基础题目．17．已知函数，则“f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的什么条件．（）A．“充要” B．“充分不必要”C．“必要不充分”D．“既不充分也不必要”【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】先求出函数f（x）的导数，求出“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，从而得到答案．【解答】解：f′（x）==，如f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增，则2a﹣1＞0，解得：a＞，由f（2）＜f（3），得：＜，解得：a＞，故f（2）＜f（3）”是“f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递增”的充要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查函数的单调性问题，是一道基础题．18．设直线系M：xco sθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④M中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点P不在M中的任一条直线上；⑥对于任意整数n（n≥3），存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；⑦M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．6【考点】直线的斜截式方程．【分析】根据已知可知直线系M都为以（0，2）为圆心，以1为半径的圆的切线，取半径为2即可得到所以①对；存在圆心为（0，2），半径为的圆与直线都不相交，所以②对；③显然对；④错；⑤错，存在可取一点（0，2）即可验证；⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在M中的直线上且面积相等，所以⑥都正确．⑦可以举反例．【解答】解：根据直线系M：xcosθ+（y﹣2）sinθ=1（0≤θ≤2π）得到所有直线都为圆心为（0，2），半径为1的圆的切线；可取圆心为（0，2），半径分别为2，，1得到①②③正确；所有的直线与一个圆相切，没有过定点，④错；存在（0，2）不在M中的任一条直线上，所以⑤错；存在等边三角形的三边都在M中的直线上，⑥对，可取圆的外接正三角形其所有边均在M中的直线上且面积相等；⑦可以做在圆的三等分点做圆的切线，把其中一条平移到另外两个点中点时，可知⑦错误；故①②③⑥正确，④⑤⑦错，所以真命题的个数为4个故选：B【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系M为平面内除过一个圆的区域．19．（2015秋•上海校级期中）在约束条件下，若3≤S≤5，则目标函数z=3x+2y的最大值变化范围是（）A．[6，8] B．[6，15] C．[7，8] D．[7，15]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=3x+2y 过可行域内的点时，从而得到z=3x+2y的最大值即可．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，设z=3x+2y，将z的值转化为直线z=3x+2y在y轴上的截距，当S=3时，对应的平面区域为四边形OCAD，当直线z=3x+2y经过点A（1，2）时，z最大，最大值为7．当S=5时，对应的平面区域为三角形OBD，当直线z=3x+2y经过点B（0，4）时，z最大，最大值为8，故当3≤S≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是[7，8]．故选：C【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，利用数形结合是解决本题的关键．20．长度分别为2、x、x、x、x、x的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（）A．x B．C．D．x＞1【考点】棱锥的结构特征．【专题】压轴题；探究型．【分析】用极限的角度考虑，可求x接近最小的数值，得不到最大值，求出结果．【解答】解：用极限的角度考虑，四面体趋近于在一个平面内的菱形时x最小，不能低于，最大可以无穷大（就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于0），【点评】本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，极限思想的应用，是中档题．三、解答题21．关于x的不等式＜0的解集为（﹣1，b）．（1）求实数a、b的值；（2）若z1=a+bi，z2=cosα+isinα，且z1z2为纯虚数，求的值．【考点】二阶矩阵；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题．【分析】（1）将原不等式转化为（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0，根据解集为（﹣1，b）得到﹣1，b是方程x2+ax﹣2=0的两个根，结合根与系数的关系即可列出关于a，b的方程组，并利用解二元一次方程组的方法即可求解（2）根据z1z2为纯虚数，得知实部为0，虚部不为0，即可得到关于α的条件式并解得：tanα=﹣，再利用两角差的余弦，倍角公式和同角的三角关系将化为关于tanα的代数式即可求解【解答】解：（1）原不等式等价于（x+a）x﹣2＜0，即x2+ax﹣2＜0由题意得，解得a=﹣1，b=2．（2）z1=﹣1+2i，z1z2=（﹣cosα﹣2sinα）+i（2cosα﹣sinα）若z1z2为纯虚数，则，解得==．【点评】本题考查了二阶矩阵，两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力，属于基础题．22．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k，（k＞0）（1）求证：CD⊥平面ADD1A1（2）若直线AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值（3）现将与四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f（k），写出f（k）的解析式．（直接写出答案，不必说明理由）【考点】用空间向量求直线与平面的夹角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【专题】压轴题；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）取DC得中点E，连接BE，可证明四边形ABED是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE⊥CD，即CD⊥AD，又侧棱AA1⊥底面ABCD，可得AA1⊥DC，利用线面垂直的判定定理即可证明．（2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）．【解答】（1）证明：取DC的中点E，连接BE，∵AB∥ED，AB=ED=3k，∴四边形ABED是平行四边形，∴BE∥AD，且BE=AD=4k，∴BE2+EC2=（4k）2+（3k）2=（5k）2=BC2，∴∠BEC=90°，∴BE⊥CD，又∵BE∥AD，∴CD⊥AD．∵侧棱AA1⊥底面ABCD，∴AA1⊥CD，∵AA1∩AD=A，∴CD⊥平面ADD1A1．（2）解：以D为坐标原点，、、的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（4k，0，0），C（0，6k，0），B1（4k，3k，1），A1（4k，0，1）．∴，，．设平面AB1C的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=2，则z=﹣6k，x=3．∴．设AA1与平面AB1C所成角为θ，则===，解得k=1，故所求k=1．（3）由题意可与左右平面ADD1A1，BCC1B1，上或下面ABCD，A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案．写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f（k）=【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力．23．如图，△ABC的内切圆与三边AB、BC、CA的切点分别为D、E、F，已知B（﹣，C，内切圆圆心I（1，t）．设A点的轨迹为L（1）求L的方程；（2）过点C作直线m交曲线L于不同的两点M、N，问在x轴上是否存在一个异于点C的定点Q．使对任意的直线m都成立？若存在，求出Q的坐标，若不存在，说明理由．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题．【分析】（1）由切线长定理得，从一点出发的切线长相等，得到A点到两个点B，C的距离之差是常数，根据双曲线的定义得A点的轨迹是双曲线，从而即可求出L的方程；（2）对于存在性问题，可先假设存在，设点Q（x0，0），再设M（x1，y1），N（x2，y2），由条件得∠MQC=∠NQC，下面分类讨论：①当MN⊥x，②当MN不垂直x时，第一种情况比较简单，对于第二种情况，将直线的方程代入双曲线方程，消去y得到关于x的二次方程，结合根与系数的关系，利用斜率相等求得，从而说明存在点Q．【解答】解：（1）由题意|AD|=|AF|．|BD|=|BE|，|CE|=|CF|．∴|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CF|=|BE|﹣|CE|=|BO|+|OE|﹣（|OC|﹣|OE|）=2|OE|I（1，t），E（1，0），|OE|=1，|AB|﹣|AC|=2x2﹣y2=1（x＞1）（2）设点Q（x0，0），设M（x1，y1），N（x2，y2）∵⇔⇔⇔∠MQC=∠NQC于是：①当MN⊥x，点Q（x0，0）在x上任何一点处，都能够使得：∠MQC=∠NQC成立，②当MN不垂直x时，设直线．由得：则：∴∵，要使∠MQC=∠NQC成立，只要t an∠MQC=tan∠NQC：⇒x2y1﹣x0y1+x1y2﹣x0y2=0即=∴⇒∴当时，能够使：对任意的直线m成立．【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识，属于中档题．24．设S n是各项均为非零实数的数列{a n}的前n项和，给出如下两个命题上：命题p：{a n}是等差数列；命题q：等式对任意n（n∈N*）恒成立，其中k，b是常数．（1）若p是q的充分条件，求k，b的值；（2）对于（1）中的k与b，问p是否为q的必要条件，请说明理由；（3）若p为真命题，对于给定的正整数n（n＞1）和正数M，数列{a n}满足条件，试求S n的最大值．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（1）设{a n}的公差为d，利用裂项法原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，整理可得（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，从而可求得k，b的值；（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，分当n=1时，当n≥2时，当n≥3时讨论即可判断结论是否正确；（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，代入求和公式S n=，利用三角函数的有界性即可求得其最大值．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，则原等式可化为（﹣+﹣+…+﹣）=，所以•=，即（k﹣1）n+b=0对于n∈N*恒成立，所以k=1，b=0．…（2）当k=1，b=0时，假设p是q的必要条件，即“若++…+=①对于任意的n（n∈N*）恒成立，则{a n}为等差数列”．当n=1时， =显然成立．…当n≥2时，若++…+=②，由①﹣②得， =（﹣），即na n﹣（n﹣1）a n+1=a1③．当n=2时，a1+a3=2a2，即a1、a2、a3成等差数列，当n≥3时，（n﹣1）a n﹣1﹣（n﹣2）a n=a1④，即2a n=a n﹣1+a n+1．所以{a n}为等差数列，即p是q的必要条件．…（3）由+≤M，可设a1=rcosθ，a n+1=rsinθ，所以r≤．设{a n}的公差为d，则a n+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ，所以d=，所以a n=rsinθ﹣，S n==r≤•=，所以S n的最大值为…【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合，突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用，判断（2）中“p是否为q的必要条件”是难点，考查参数方程及三角函数的有界性，属于难题．25．已知f（x）=．（1）求f（f（x））；（2）对参数a的哪些值，方程|x|+||=a正好有3个实数解；（3）设b为任意实数，证明：x+﹣=b共有3个不同的实数解x1，x2，x3，并且x1+x2+x3=b．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值．【专题】计算题；作图题；证明题；数形结合；函数的性质及应用．【分析】（1）化简可得f（f（x））=f（）=x，（2）作函数y=||与函数y=a﹣|x|的图象，从而化为x+=a有一个解，从而利用判别式解得．。

2016-2017学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1．计算：=（i是虚数单位）2．双曲线的渐近线的夹角为．3．在二项式的展开式中，常数项等于．4．设全集U=R，已知，则A∩B=．5．函数的定义域是．6．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为．7．已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=．8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为．9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是．10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是．11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是．12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n ∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出S n=．二、选择题（每小题5分，共20分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．14．已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A．B．y=log2|x|C．D．y=cos（2x）15．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．216．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．①∀a≥1，S△AOB其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）19．已知命题P：函数且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若∁R T⊆S，求m的取值范围．20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k ∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．21．已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）；（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）．2016-2017学年上海市华东师大二附中高三（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（前6题每小题6分，后6题每小题6分，共54分）1．计算：= i （i 是虚数单位）【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】i 2017=（i 4）504•i=i ，可得原式=，再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：i 2017=（i 4）504•i=i ，原式====i ，故答案为：i ．2．双曲线的渐近线的夹角为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得渐近线方程，求出渐近线的倾斜角，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=±x ，直线y=x 的倾斜角为，直线y=﹣x 的倾斜角为，则其渐近线的夹角为，故答案为：．3．在二项式的展开式中，常数项等于 160 ．【考点】二项式定理．【分析】展开式的通项为=，要求常数项，只要令6﹣2r=0可得r，代入即可求【解答】解：展开式的通项为=令6﹣2r=0可得r=3常数项为=160故答案为：1604．设全集U=R，已知，则A∩B={x|2＜x＜3} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵，∴A={x|x＜﹣或x＞2}，B={x|﹣1＜x＜3}，A∩B={x|2＜x＜3}．故答案为：{x|2＜x＜3}．5．函数的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜0且x≠﹣3．∴函数的定义域是：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣3，0）．6．幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为2．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义和单调性即可求出．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，∴m必满足，解得m=2，即y=x﹣2．故答案为：2．7．已知等比数列{a n}满足a2=2，a3=1，则=．【考点】数列的极限．【分析】利用a2=2，a3=1，两式相除可求得q，根据a2=2进而可求得a1再根据数列{a n a n+1}为以q2为公比，8为首项等比数列，根据等比数列的求和公式可得a1a2+a2a3+…+a n a n，进而答案可得．+1【解答】解：a2=2，a3=1，解得q=，得a1=4，a1a2，a2a3，…，a n a n+1，是公比为的等比数列，首项为：8．∴a1a2+a2a3+…+a n a n+1=．则==．故答案为：．8．若x，y满足，则z=x+2y的最大值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最大，此时z最大．由，得，即A（，），此时z的最大值为z=1+2×=1+1=2，故答案为：2．9．点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面A1B1C1D1上一点，则的取值范围是[﹣，0] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立空间直角坐标系，设出点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1，计算•=x2﹣x，利用二次函数的性质求得它的值域即可．【解答】解：以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y 轴，以DD1所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示；则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1；∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），∴•=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，由二次函数的性质可得，当x=y=时，•取得最小值为﹣；当x=0或1，且y=0或1时，•取得最大值为0，则•的取值范围是[﹣，0]．故答案为：[﹣，0]．10．已知关于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，对于不等式的解集A，记B=A∩Z（其中Z为整数集），若集合B是有限集，则使得集合B中元素个数最少时的实数k的取值范围是{2，3，4，5} ．【考点】交集及其运算．【分析】对k分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集确定出A，根据B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，即可得出．【解答】解：分情况考虑：①当k＜0，A={x|++3＜x＜}；②当k=0，A={x|x＜}；③当0＜k＜1或k＞9，A={x|x＜，或x＞++3}；④当1≤k≤9，A={x|x＜++3，或x＞}；∵B=A∩Z（其中Z为整数集），集合B为有限集，只有k＜0，B={2，3，4，5}．故答案为：{2，3，4，5}11．设三角形ABC的内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，且，若△ABC不是钝角三角形，则的取值范围是（1，4] ．【考点】余弦定理．【分析】先求得C的范围，由正弦定理及两角和的正弦函数公式化简为1+，由角C越大，越小，求得的取值范围．【解答】解：三角形ABC中，∵，若△ABC不是钝角三角形，由A+C=，可得＜C≤．利用正弦定理可得====1+，显然，角C越大，越小．当C=时，cosC=0，则=1；当＜C＜时，=1+∈（1，4）．综上可得，∈（1，4]，故答案为：（1，4]．12．数列{2n﹣1}的前n项1，3，7，…，2n﹣1组成集合（n ∈N*），从集合A n中任取k（k=1，2，3，…，n）个数，其所有可能的k个数的乘积的和为T k（若只取一个数，规定乘积为此数本身），记S n=T1+T2+…+T n，例如当n=1时，A1={1}，T1=1，S1=1；当n=2时，A2={1，3}，T1=1+3，T2=1×3，S2=1+3+1×3=7，试写出S n=﹣1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】通过计算出S3，并找出S1、S2、S3的共同表示形式，进而利用归纳推理即可猜想结论．【解答】解：当n=3时，A3={1，3，7}，则T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，∴S3=T1+T2+T3=11+31+21=63，由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，…猜想：S n=﹣1，故答案为：﹣1．二、选择题（每小题5分，共20分）13．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A．a2＜ab B．﹣ab＜﹣b2C．D．【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：对于A：由a＜b＜0，得：a2＞ab，故A错误；对于B：若a＜b＜0，则﹣a＞﹣b＞0，b＜0，∴﹣ab＜﹣b2，故B正确；对于C：由a＜b＜0，两边同除以ab得：＜，即＞，故C错误；对于D：0＜＜1，＞1，故D错误；故选：B．14．已知函数y=f（x），x∈R是奇函数，其部分图象如图所示，则在（﹣1，0）上与函数f（x）的单调性相同的是（）A．B．y=log2|x|C．D．y=cos（2x）【考点】函数奇偶性的性质；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据题意，由函数奇偶性的性质分析可得y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，据此依次分析选项中函数在区间（﹣1，0）上的单调性，即可得答案．【解答】解：根据图象可以判断出（0，1）单调递增，又由函数y=f（x）（x∈R）是奇函数，则函数y=f（x）在（﹣1，0）上单调递增，依次分析选项：对于A、对于y=x+，y′=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，y′＜0，则f（x）在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于B、当﹣1＜x＜0时，y=log2|x|=log2（﹣x），令t=﹣x，则y=log2t，t=﹣x在（﹣1，0）为减函数，而y=log2t为增函数，则y=log2|x|在（﹣1，0）是减函数，不符合题意，对于C、当﹣1＜x＜0时，y=e﹣x=（）x，而0＜＜1，则y=e﹣x在（﹣1，0）为减函数，不符合题意，对于D、y=cos（2x），当﹣1＜x＜0，则有﹣2＜2x＜0，y=cos（2x）为增函数，符合题意；故选：D．15．将一个圆的八个等分点分成相间的两组，连接每组的四个点得到两个正方形．去掉两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星，如图所示．设正八角星的中心为O，并且=，=，若将点O到正八角星16个顶点的向量，都写成为λ+μ，λ，μ∈R的形式，则λ+μ的最大值为（）A．B．2 C．1+D．2【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据题意找出使得λ+μ最大的顶点C，根据向量加法的平行四边形法则可作出平行四边形OBCD，这样结合图形及向量数乘的几何意义便可得出，这样由平面向量基本定理即可求出λ+μ的最大值．【解答】解：如图，根据图形及向量加法的平行四边形法则可看出O到顶点C的向量，此时λ+μ最大；作平行四边形OBCD，设BC=a，根据题意得，OA=；∴；∴；∴=；又；∴；即λ+μ的最大值为．故选C．16．直线l：ax+y﹣1=0与x，y轴的交点分别为A，B，直线l与圆O：x2+y2=1的交点为C，D，给出下面三个结论：①∀a≥1，S△AOB=；②∃a≥1，|AB|＜|CD|；③∃a≥1，S△COD＜．其中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【考点】直线与圆的位置关系．【分析】①当a≥1时，分别可得直线的截距，由三角形的面积公式易得结论①正确；②当a≥1时，反证法可得结论②错误；③由三角形的面积公式可得S△COD=sin∠AOC≤，可得结论③正确．【解答】解：①当a≥1时，把x=0代入直线方程可得y=a，把y=0代入直线方程可得x=，∴S△AOB=×a×=，故结论①正确；②当a≥1时，|AB|=，故|AB|2=a2+，直线l可化为a2x+y﹣a=0，圆心O到l的距离d===，故|CD|2=4（1﹣d2）=4[1﹣（a2+）]，假设|AB|＜|CD|，则|AB|2＜|CD|2，即a2+＜4（1﹣），整理可得（a2+）2﹣4（a2+）+4＜0，即（a2+﹣2）2＜0，显然矛盾，故结论②错误；S△COD=|OA||OC|sin∠AOC=sin∠AOC≤，故∃a≥1，使得S＜，结论③正确．△COD故选：C．三、解答题（14分+14分+14分+16分+18分，共76分）17．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的解析式及x0的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．【分析】（I）由函数图象可知A，T=π，利用周期公式可求ω，又函数过点（，2），结合范围|φ|＜，解得φ，可求函数解析式，由函数图象可得2sin（2x0+）=，可解得x0=kπ﹣，k∈Z，又结合范围﹣＜x0＜，从而可求x0的值．（II）由x∈[﹣，]，可求范围2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求其最值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）∵A＞0，ω＞0，由函数图象可知，A=2，T==2[x0﹣（x0﹣）]=π，解得ω=2，又∵函数过点（，2），可得：2=2sin（2×+φ），解得：2×+φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|＜，∴可得：φ=，∴f（x）=2sin（2x+），∵由函数图象可得：2sin（2x0+）=，解得：2x0+=2kπ+，k∈Z，可得：x0=kπ﹣，k∈Z，又∵﹣＜x0＜，∴x0=，…（II）由x∈[﹣，]，可得：2x+∈[﹣，]，…当2x+=﹣时，即x=﹣，f（x）min=f（﹣）=﹣1，当2x+=时，即x=，f（x）max=f（）=2．…18．如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4，D是AB的中点．现将Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且∠BOC=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】（1）求出圆锥底面半径，圆锥的侧面积S，然后求解圆锥的全面积．侧（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM，说明∠CDM为异面直线AO与CD所成角，在Rt△CDM中，求解异面直线AO与CD所成角的大小．【解答】解：（1）Rt△AOB中，OB=2即圆锥底面半径为2圆锥的侧面积S侧=πrl=8π….4’故圆锥的全面积S全=S侧+S底=8π+4π=12π….6’（2）过D作DM∥AO交BO于M，连CM则∠CDM为异面直线AO与CD所成角….8’∵AO⊥平面OBC∴DM⊥平面OBC∴DM⊥MC在Rt△AOB中，∴，∵D是AB的中点∴M是OB的中点，∴OM=1∴．在Rt△CDM中，，….10’∴，即异面直线AO与CD所成角的大小为….12’19．已知命题P：函数且|f（a）|＜2，命题Q：集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，（1）分别求命题P、Q为真命题时的实数a的取值范围；（2）当实数a取何范围时，命题P、Q中有且仅有一个为真命题；（3）设P、Q皆为真时a的取值范围为集合S，，若∁R T⊆S，求m的取值范围．【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）由题意可得，由|f（a）|=||＜2解不等式可得P：a∈（﹣5，7）；由A∩B=∅，可得A有两种情况①若A=∅，则△=（a+2）（a+2）﹣4＜0，②若A≠φ，则，解可得Q（2）当P为真，则；当Q为真，则可求（3）当P，Q都为真时，可求S=（﹣4，7），利用基本不等式可求T，进而可求∁R T，然后根据∁R T⊆S，可求【解答】解：（1）由题意可得，由|f（a）|=||＜2可得﹣6＜a﹣1＜6解可得，﹣5＜a＜7∴P：a∈（﹣5，7）∵集合A={x|x2+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}且A∩B=∅，①若A=∅，则△=（a+2）（a+2）﹣4＜0，即﹣4＜a＜0②若A≠φ，则，解可得，a≥0综上可得，a＞﹣4∴Q：a∈（﹣4，+∞）（2）当P为真，则，a∈（﹣5，﹣4]；当Q为真，则，a∈[7，+∞）所以a∈（﹣5，﹣4]∪[7，+∞）（3）当P，Q都为真时，即S=（﹣4，7）∵∴综上m∈（0，4]20．定义max{x1，x2，x3，…，x n}表示x1，x2，x3，…，x n中的最大值．已知数列a n=，b n=，c n=，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k ∈N*．记d n=max{a n，b n，c n}（Ⅰ）求max{a n，b n}（Ⅱ）当k=2时，求d n的最小值；（Ⅲ）∀k∈N*，求d n的最小值．【考点】数列的应用．【分析】（Ⅰ）由题意，max{a n，b n}=max{， }，﹣=，分别求得k=1、k=2及k≥3时，分别求得max{a n，b n}；（Ⅱ）当k=2时，由（Ⅰ）可得d n=max{a n，c n}=max{， }，根据数列的单调性求得n=，d n取得最小值，44＜＜45，分别求得d44和d45，比较即可求得d n取得最小值；（Ⅲ）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为，当k=1及k≥3时，根据函数单调性，分别求得可能取最小值时，n的取值，比较即可求得d n取得最小值；【解答】解：（I）由题意，max{a n，b n}=max{， }，因为﹣=，所以，当k=1时，＜，则max{a n，b n}=b n=，当k=2时，=，则max{a n，b n}=a n=，当k≥3时，＞，则max{a n，b n}=a n=．…（II）当k=2时，d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为44＜＜45，而d44=max{a44，c44}=a44=，d45=c45=，有d44＜d45．所以d n的最小值为．…（III）由（II）可知，当k=2时，d n的最小值为．当k=1时，d n=max{a n，b n，c n}=max{b n，c n}=max{， }．因为数列{b n}为单调递减数列，数列{c n}为单调递增数列，所以当=时，d n取得最小值，此时n=．又因为72＜＜73，而d72=b72=，d72=c72=，．此时d n的最小值为，＞．（2）k≥3时，≥=，a n＞b n，所以d n=max{a n，b n，c n}=max{a n，c n}≥max{， }．设h n=max{， }，因为数列{a n}为单调递减数列，数列{}为单调递增数列，所以当=时，h n取得最小值，此时n=．又因为36＜＜37，而h36=a36=，h37=，＜．此时d n的最小值为，＞．．综上，d n的最小值为d44=．…21．已知点P到圆（x+2）2+y2=1的切线长与到y轴的距离之比为t（t＞0，t≠1）；（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）当时，将轨迹C的图形沿着x轴向左移动1个单位，得到曲线G，过曲线G上一点Q作两条渐近线的垂线，垂足分别是P1和P2，求的值；（3）设曲线C的两焦点为F1，F2，求t的取值范围，使得曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）．【考点】轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），则P到圆的切线长为，利用勾股定理列方程化简即可得出动点P的轨迹C的方程；（2）当t=时，轨迹C的方程化为：．可得曲线G的方程为．可得曲线G的渐近线方程为y=x，y=﹣x．设Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，﹣n），，=．可得m，n．又y02=2x02﹣5，利用数量积运算性质即可得出；（3）对曲线C得类型进行讨论，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等变换列不等式解出t的范围．【解答】解：（1）圆（x+2）2+y2=1的圆心为M（﹣2，0），半径r=1，设P（x，y），则P到圆的切线长为，∴=t|x|，∴（x+2）2+y2﹣1=t2x2，整理得（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0．则动点P的轨迹C的方程为：（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0．（2）当t=时，轨迹C的方程为﹣2x2+4x+3+y2=0，即．∴曲线G的方程为．∴曲线G的渐近线方程为y=x，y=﹣x．设Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，﹣n），∴，=．∴m=，n=，∵，∴y02=2x02﹣5，∴=（m﹣x0）（n﹣x0）+（m﹣y0）（﹣n﹣y0）=（m﹣x0）（n﹣x0）﹣（x0﹣m）•（x0﹣n）=（m﹣x0）（n﹣x0），=••==．（3）曲线C的方程可化为（1﹣t2）（x+）2+y2=﹣3，当0＜t＜1时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆，椭圆标准方程为+=1∴当Q为短轴端点时，∠F1QF2取得最大值，设∠F1QF2的最大值为α，则tan2===，∴cosα==1﹣2t2，若曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ，则θ＞α，∴cosθ＜1﹣2t2，解得0＜t＜．当t＞1时，曲线C为焦点在x轴的双曲线，∴0＜∠F1QF2≤π，∴当0＜θ＜π时，曲线C上始终存在的Q使得∠F1QF2=θ．综上，当0＜t＜时，曲线C上不存在点Q，使∠F1QF2=θ．2017年5月16日。

华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．3.设252i1i i z +=++，则z =________．4.钝角ABC中，3,60a b A ===，则ABC 的面积是__________.5.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.10.已知抛物线2(0)y ax a =>，在y 轴正半轴上存在一点P ，使过P 的任意直线交抛物线于M N 、，都有2211||||MP NP +为定值，则点P 的坐标为________．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则222a b M+∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<< B.4231r r r r <<< C.4213r r r r <<< D.2413r r r r <<<15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.2122⎡-⎢⎣ D.22,122+⎣⎦16.已知曲线:1(0,)nnx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C .①不成立②成立D.①不成立②不成立三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜华二附中高三期中数学试卷2023.11一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1.不等式221x x -≥-的解集为___________.【答案】[)0,1【分析】根据移项，通分，将分式不等式化为()10x x -≤且1x ≠，即可求解.【详解】有已知得2201x x --≥-，()212011x x x x ---≥--，01x x -≥-，01x x ≤-,即()10x x -≤且1x ≠，则不等式的解集为[)0,1，故答案为：[)0,1.2.已知3,0,cos 225ππαα⎛⎫⎛⎫∈--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin2α=________．【答案】2425-##0.96-【分析】先求得3sin 5α=-，4cos 5α=，再利用二倍角正弦公式即可求得sin 2α的值.【详解】因为π,02α⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且5os 3si 2n παα⎛⎫-= ⎪=-⎝⎭，则4cos 5α=，则3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯-⨯=-⎪⎝⎭故答案为：2425-.3.设252i1i iz +=++，则z =________．【答案】12i +##2i 1+【分析】由题意首先计算复数z 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.【详解】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故答案为：12i +.4.钝角ABC中，3,60a b A === ，则ABC 的面积是__________.【答案】334【分析】利用余弦定理与面积公式即可得【详解】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，代入数据2793c c =+-，解得1c =或2c =，因为ABC 是钝角三角形，22222cos 022a c b c B ac ac+--==<，所以1c =，所以ABC 的面积是1sin 24bc A =.故答案为：45.圆2222210x y ax ay a a +++++-=的半径的最大值为______.【答案】3【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a 的范围利用抛物线的单调性可得答案.【详解】由2222210x y ax ay a a +++++-=可得()2223124a x y a a a ⎛⎫+++-⎝=-+ ⎪⎭，当23104a a --+>表示圆，即解得a 的取值范围是22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，=，2324433y a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭是开口向下对称轴为23a =-的抛物线，在22,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递增，在22,33⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，所以23a =-时最大值为233.故答案为：233．6.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =_______．【答案】85-【分析】由题意知公比1q ≠，设首项为1a ，由6221S S =求出2q ，再代入4S 求出11a q-，由此求得8S ．【详解】等比数列{}n a 中，45S =，6221S S =，显然公比1q ≠，设首项为1a ，则41(1)51a q q-=--①，6211(1)21(1)11a q a q q q --=--②，化简②得42200q q +-=，解得24q =或25q =-（不合题意，舍去），代入①得1113=-a q ，所以844118(1)1(1)(1)(15)(116)85113a q a S q q q q -==-+=⨯-⨯+=---．故答案为：85-7.已知a b 、满足21a b += ，且()1,1a =- ，则b 在a 上数量投影的最小值为________．【答案】12+-【分析】据题意设(,)b x y =，代入条件可推得点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上运动，再根据数量投影概念得出数量投影与x y -有关，利用直线和圆的位置关系求得x y -的范围，进而求出数量投影最小值．【详解】设(,)b x y = ，则2(21,21)a b x y +=+-，由|2|1a b += ，可得22(21)(21)1x y ++-=，即22111()()224x y ++-=，所以点(,)x y 在以11(,)22-为圆心，半径为12的圆上，又b 在a上数量投影为a b a b b a a b⋅⋅⋅==，令x y t -=，则由直线0x y t --=与圆22111()()224x y ++-=有公共点，12≤，即12t +≤，解得222112112222t +---≤≤-+⇒-≤，故b 在a上数量投影的最小值为12+-．故答案为：122+-．8.正四面体ABCD 的棱长为2，则所有与A ，B ，C ，D 距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为______．3【分析】根据题意知，到正四面体ABCD 四个顶点距离相等的截面分为两类：一类是由同一顶点出发的三条棱的中点构成的三角形截面，这样的截面有4个；另一类是与一组相对的棱平行，且经过其它棱的中点的四边形截面，这样的截面有3个；求出所有满足条件的截面面积之和即可．【详解】设E 、F 、G 分别为AB 、AC 、AD 的中点，连结EF 、FG 、GE ，则EFG 是三棱锥A BCD -的中截面，可得平面//EFG 平面BCD ，点A 到平面EFG 的距离等于平面EFG 与平面BCD 之间的距离，A ∴、B 、C 、D 到平面EFG 的距离相等，即平面EFG 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面；正四面体ABCD 中，象EFG 这样的三角形截面共有4个．正四面体ABCD 的棱长为2，可得1EF FG GE ===，EFG ∴ 是边长为1的正三角形，可得13sin6024EFG S EF FG =⋅⋅=；取CD 、BC 的中点H 、I ，连结GH 、HI 、IE ，EI 、GH 分别是ABC 、ADC 的中位线，∴1//2EI AC ,1//2GH AC 得//EI GH ∴四边形EGHI 为平行四边形；又AC BD = 且AC BD ⊥，1//2EI AC ，1//2HI BD EI HI ∴=且EI HI ⊥，∴四边形EGHI 为正方形，其边长为112AB =，由此可得正方形EGHI 的面积1EGHI S =；BC 的中点I 在平面EGHI 内，B ∴、C 两点到平面EGHI 的距离相等；同理可得D 、C 两点到平面EGHI 的距离相等，且A 、B 两点到平面EGHI 的距离相等；A ∴、B 、C 、D 到平面EGHI 的距离相等，∴平面EGHI 是到四面体ABCD 四个顶点距离相等的一个平面，且正四面体ABCD 中，象四边形EGHI 这样的正方形截面共有3个，因此，所有满足条件的正四面体的截面面积之和等于34343134EFG EGHI S S +=⨯+⨯= ．3．【点睛】本题主要考查了正四面体的性质、点到平面距离的定义、三角形面积与四边形形面积的求法等知识，属于难题．9.设n ∈N *，a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，1222...555n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()()222n n t b t -+-+(t ∈R )的最小值为____.【答案】12【分析】根据展开式求出系数和得52nnn a =-，求出22n n n b -=，将()()222n n t b t -+-+转化为点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】a n 为(x ＋4)n －(x ＋1)n 的展开式的各项系数之和，即52n n n a =-，522155n n n n-⎛⎫=- ⎪⎝⎭，考虑()20,,2255nf n n n N n n *⎛⎫=>∈+< ⎪⎝⎭，()()()()12112151525n nn f n n f n nn +⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==<⎛⎫⎪⎝⎭，所以()20,5nf n n n N *⎛⎫=>∈ ⎪⎝⎭递减，所以()220,55nf n n ⎛⎫⎛⎤=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以2155n n n na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，212...12n n n b n -=+++-=，()()()22222222n n n n t b t n t t ⎛⎫--+-+=-+-+ ⎪⎝⎭，可以看成点2,2n n n ⎛⎫- ⎪⎝⎭到(),2t t -的距离的平方，即求点2,2n nn⎛⎫-⎪⎝⎭到直线2y x=-的距离最小值的平方，由图可得即求点()1,0或()2,1到直线20x y+-=的距离的平方，即212=故答案为：12【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.10.已知抛物线2(0)y ax a=>，在y轴正半轴上存在一点P，使过P的任意直线交抛物线于M N、，都有2211||||MP NP+为定值，则点P的坐标为________．【答案】10,2a⎛⎫⎪⎝⎭【分析】设直线MN的解析式为y kx m=+，联立方程组，利用一元二次方程根与系数的关系和两点间的距离公式，化简整理，即可得到点P的坐标．【详解】设(0,)P m．设直线MN的解析式为y kx m=+，联立2(0)y ax a=>得到：22ax kx m ax m kx=+-=，，整理，得20ax kx m--=，则1212,k mx x x xa a+==-设221122(,),(,),M x ax N x ax则()()222222222222111222()1,()1PM x m ax k x PN x m ax k x=+-=+=+-=+∴22122222212111||||1,x xMP NP k x x++=⨯+()2121222212211,x x x xk x x+-=⨯+222211k m a a k m a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⨯+⎛⎫- ⎪⎝⎭222121k am k m +=⨯+即存在12m a=时，222114||||a MP NP +=，即存在10,2P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得2211||||MP NP +为定值24a故答案为：10,2a ⎛⎫⎪⎝⎭．11.某学校有如图所示的一块荒地，其中60m AB =，40m AD =，45m BC =，π2DAB ∠=，2π3ABC ∠=，经规划以AB 为直径做一个半圆，在半圆外进行绿化，半圆内作为活动中心，在以AB 为直径的半圆弧上取,E F 两点，现规划在OEF 区域安装健身器材，在OBE △区域设置乒乓球场，若BOE EOF ∠=∠，且使四边形AOEF 的面积最大，则cos EOF ∠=______．【答案】3318-【分析】设O BOE E F θ∠∠==，先求得四边形OEFA面积的表达式，然后利用导数求得当1cos 8θ-=时，四边形AOEF 的面积最大.【详解】设O BOE E F θ∠∠==，根据题意易知π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∵OF OA =，OAF △为等腰三角形，且OFA OAF ∠=∠，又∵BOF OFA OAF ∠=∠+∠，∴EOF OFA OAF θ∠=∠=∠=，∴//OE FA ，∴四边形OEFA 为梯形，则四边形OEFA 面积：()()13030sin π2sin 450sin sin 22S θθθθ⎡⎤=⨯⨯⨯-+=+⎣⎦，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()2450cos 2cos 24504cos cos 2S θθθθ=+=+-'，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，令0S '=，则24cos cos 20θθ+-=，解得331cos 8θ=（舍）或331cos 8θ-=，设为φ为1cos 8θ-=所对应的角，∵cos y θ=在π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，∴()0,θϕ∈时，331cos ,18θ⎛⎫-∈ ⎪⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+->，S 单调递增，∴π,2θϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，331cos 0,8θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()24504cos cos 20S θθ'=+-<，S 单调递减．∴当331cos 8θ-=时，面积最大，即331cos 8EOF -∠=．故答案为：3318．【点睛】方法点睛：求解面积最大值或最小值有关问题，可先将面积的表达式求出，然后根据表达式选取合适的方法来求最值.可以考虑的方向有函数的单调性、二次函数的性质、基本不等式、三角函数值域、导数等知识.12.M 是正整数集的子集，满足：1,2022,2023M M M ∈∈∉，并有如下性质：若a 、b M ∈，则M ∈，其中[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则M 的非空子集个数为________．【答案】202221-【分析】根据题意，先判断M 中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，⋯，2021M ∈，从而求出M ，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【详解】由题意可知：若x ，()y M x y ∈<，则1x +，2x +，⋯，1y -均属于M ，而事实上，若2y x -≥，中12x yx y ++≤<<，所以11x y +≤≤-，故[x ，]y 中有正整数，从而M 中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，⋯，2021M ∈，若2024p ≥，p M ∈，则有2023M ∈，与2023M ∉矛盾，当2022a b ==2022=，当1a b ==时，则1=，所以[1∈，2022]，所以{1M =，2，⋯，2022}，所以非空子集有202221-个．故答案为：202221-．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A =--=∈-∉∣，则B =（）A.{0,1,7}B.{1,7}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A =--，{,}B xx A x A =∈-∉∣，所以{1,7}B =.故选：B.14.对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（）A.2431r r r r <<<B.4231r r r r <<<C.4213r r r r <<<D.2413r r r r <<<【答案】A【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以1r 接近于1，2r 接近于1-，由此可得24310r r r r <<<<．故选:A.15.已知函数()sin 2f x x π=，任取t ∈R ，记函数()f x 在[,1]t t +上的最大值为t M ，最小值为t m ，设()t t h t M m =-，则函数()h t 的值域为（）A.212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.221,122⎡-+⎢⎣⎦C.12⎡-⎢⎣⎦D.,122+⎣⎦【答案】C【分析】考虑一个周期内()h t 的情况，根据t 的取值，求得()h t 的解析式，结合三角函数的值域，求该函数值域即可.【详解】因为()444t t h t M m +++=-，其中44,t t M m ++分别是指()f x 在区间[]4,5t t ++上的最大值和最小值，因为()f x 的周期242T ππ==，故()f x 在区间[]4,5t t ++的图象与在区间[],1t t +上的图象完全相同，故44,t t t t M M m m ++==，故()()4h t h t +=，即()h t 是周期为4的函数，故(),R h t t ∈的值域与()[],2,2h t t ∈-时的值域相同；又()f x 在[]2,1--单调递减，[]1,1-单调递增，在[]1,2单调递减，故当32,2t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin 2f t t π=，最小值为1-，此时()sin 12h t t π=+；当3,12t ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1sin cos 222f t t t πππ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，最小值为1-，此时()cos12h t t π=+；当[)1,0t ∈-时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()1cos2f t t π+=，最小值为()sin 2f t t π=，此时()cossin 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()sin 2f t t π=，此时()1sin 2h t t π=-；当1,12t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为1，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()1cos 2h t t π=-；当[]1,2t ∈时，()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()sin2f t t π=，最小值为()1cos 2f t t π+=，此时()sincos 22h t t t ππ=-24t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；故()h t 在[]22-,的函数图象如下所示：数形结合可知，()h t 的值域为212⎡-⎢⎣.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查函数值域的求解，涉及三角函数值域的求解；处理问题的关键是能够根据题意，找到()h t 的周期，同时要对t 进行分类讨论求()h t 的解析式，属综合困难题.16.已知曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．当4,2,1n a b ===时，①曲线C 所围成的封闭图形的面积小于8；②曲线C 上的点到原点O 的距离的最大值为1417．则（）A.①成立②成立B.①成立②不成立C.①不成立②成立D.①不成立②不成立【答案】A【分析】根据曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部判断①正确，利用三角换元计算得到②正确，【详解】因为曲线:1(0,)n nx yC n n a b+=>∈R ．所以，当4,2,1n a b ===时，曲线44:116xC y +=，对①：因为44121162x y x ≤⇒-≤-≤=，当且仅当0y =时取等号，44611111x y y -⇒-=≤≤≤，当且仅当0x =时取等号，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故曲线C 所围成的封闭图形的面积小于248⨯=，正确；对②：设曲线上一点为(,)M x y ，则44116x y +=，设224cos sin x y θθ⎧=⎨=⎩，M 到原点的距离的平方为224cos sin )x y θθθϕ+=+=+，[0,2πθ∈，tan 4ϕ=，当sin()1θϕ+=时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为1417，正确．故选：A ．三、解答题（本大题共有5题满分78分）解下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为13，乙获胜的概率为23．（1）求甲赢得比赛的概率；（2）记比赛结束时的总局数为X ，写出X 的分布列，并求出X 的期望值．【答案】（1）1781（2）分布列见详解，()10727E X =.【分析】（1）根据题意，求出甲胜共进行3局，4局，5局的概率，再利用互斥事件的概率公式求解；（2）X 的可能值为3，4，5，分别求出每种情况的概率，按照步骤求分布列即可.【小问1详解】比赛采用5局3胜，甲赢得比赛有以下3种情况：①甲连赢3局：3111327P ⎛⎫== ⎪⎝⎭；②前3局2胜1负，第4局甲赢：22231212C 33327P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫;③前4局甲2胜2负，第5局甲赢：222341218C 33381P 骣骣骣琪琪琪==琪琪琪桫桫桫，所以甲赢得比赛的概率为1231781P P P ++=.【小问2详解】X 可以取3，4，5所以()331213333P X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()22241285C 3327P X 骣骣琪琪===琪琪桫桫,()18104132727P X ==--=,由此可得X 的分布列为：X345P131027827所以()11081073453272727E X =⨯+⨯+⨯=.18.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面PAB ；（2）求二面角A PC B --的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥，所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥，又因为BCPA ⊥，PA PB P = ，所以BC ⊥平面PAB .【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z = ，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =，则11y =-，所以(1,1,0)m =-，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z = ，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =，所以1cos ,2m n m n m n⋅===，又因为二面角A PC B --为锐二面角，所以二面角A PC B --的大小为π3.19.已知函数()()cos2,sin f x x g x x ==．（1）判断函数()ππ42H x f x g x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的奇偶性，并说明理由；（2）设函数()()πsin 0,02h x x ωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭，若函数π2h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，将满足条件的ω按从小到大的顺序组成一个数列{}n a ，求{}n a 的通项公式．【答案】19.非奇非偶函数，理由见解析20.*2N 3n a n n =∈，【分析】（1）函数()sin 2cos H x x x =-+，为非奇非偶函数．运用奇偶性的定义即可得到；（2）由奇函数和诱导公式可得ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，即可得到所求通项公式【小问1详解】函数()ππππcos 2sin 4222H x f x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 2cos x x =-+，为非奇非偶函数．理由：定义域为R ，()sin 2()cos()sin 2cos ()H x x x x x H x -=--+-=+≠，且()()H x H x -≠-，即有()H x 为非奇非偶函数；【小问2详解】函数π2h x ⎛⎫+⎪⎝⎭和()πh x -都是奇函数，即有πsin 2x ωωϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭和()sin πx ωϕω+-均为奇函数，则ππ2k ωϕ+=，()ππ,Z l k l ϕω-=∈，解得2()3k l ω=-，由于0ω>，k ，Z l ∈，则*2N 3n n ω=∈，．故数列{}n a 的通项公式为*2N 3n a n n =∈，20.过坐标原点O 作圆22:(2)3C x y ++=的两条切线，设切点为,P Q ，直线PQ 恰为抛物2:2,(0)E y px p =>的准线.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点T 是圆C 上的动点，抛物线E 上四点,,,A B M N 满足：2,2TA TM TB TN ==，设AB 中点为D .（i ）求直线TD 的斜率；（ii ）设TAB △面积为S ，求S 的最大值.【答案】（1）22y x =（2）（i ）0；（ii ）48【分析】（1）设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭，由几何性质易得：20CP CP CO =⋅，即可解决；（2）设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y ，（i ）中，由于TA 中点M 在抛物线E 上，得20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，将()()1122,,,A x y B x y ，代入联立得D 点纵坐标为1202y y y +=，即可解决；（ⅱ）由（i ）得点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1213222S TD y y =⋅-=，又点T 在圆C 上，得2200041y x x =---，可得：322S =即可解决.【小问1详解】设直线PQ 与x 轴交于0,02p P ⎛⎫-⎪⎝⎭.由几何性质易得：0CPP 与OCP △相似，所以CP CO CP CP=，20CP CP CO =⋅，即：3222p ⎛⎫-⎝+⎪⎭=⋅，解得：1p =.所以抛物线E 的标准方程为：22y x =.【小问2详解】设()()()001122,,,,,T x y A x y B x y （i ）由题意，TA 中点M 在抛物线E 上，即20101222y y x x ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，又2112y x =，将2112y x =代入，得：2210100240y y y x y -+-=，同理：2220200240y y y x y -+-=，有1202120024y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，此时D 点纵坐标为1202y y y +=，所以直线TD 的斜率为0.（ⅱ）因为()222212120012122342442y y y y y x x x y y +--++===，所以点200034,2y x D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，此时1212S TD y y =⋅-，2200000343222y x TD x y x -=-=-，12y y -=所以322S =又因为点T 在圆C 上，有()220023x y ++=，即2200041y x x =---，代入上式可得：323222S ==由022x -≤-≤+，所以03x =-时，S取到最大价32482=.所以S 的最大值为48.21.已知函数()()ln 1f x x =+，2()1(g x x bx b =++为常数)，()()().h x f x g x =-（1）若函数()f x 在原点的切线与函数()g x 的图象也相切，求b ；（2）当2b =-时，[]12,0,1x x ∃∈，使12()()h x h x M -≥成立，求M 的最大值；（3）若函数()h x 的图象与x 轴有两个不同的交点12(,0),(,0)A x B x ，且120x x <<，证明：1202x x h +⎛⎫'⎪⎝⎭＜【答案】（1）3b =或1-；（2）ln 21+；（3）证明过程见解析.【分析】（1）计算()f x 在原点的切线方程，然后与()g x 联立，利用Δ0=，计算即可.（2）求得()h x '，判断函数()h x 单调性，根据条件等价于()()max min h x h x M -≥，简单计算即可.（3）利用()()1200h x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求得()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后计算122x x h +⎛⎫' ⎪⎝⎭，并利用等价条件可得()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，构建新函数并采取换元2111x t x +=+，求导计算即可.【小问1详解】由()11f x x '=+，所以()()01,00f f ='=，所以函数()f x 在原点的切线方程为：y x =，将该切线方程代入()g x 可得：()2110x b x +-+=，依据题意可得()21403b b ∆=--=⇒=或1-，所以3b =或1-；【小问2详解】当2b =-时，()2()ln 121h x x x x =+-+-，()21322211x h x x x x -=-+='++，当[]0,1x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在[]0,1单调递增，则()()()()max min 1ln 2,01h x h h x h ====-，由题可知：[]12,0,1x x ∃∈使得()()12h x h x M -≥成立等价于()()max min h x h x M -≥，所以ln 21M ≤+，所以M 的最大值为ln 21+；【小问3详解】由题可知：()()()()2111122222ln 110ln 110h x x x bx h x x x bx ⎧=+---=⎪⎨=+---=⎪⎩，所以两式相减可得：()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，由1()21h x x b x '=--+，所以()121212222x x h x x b x x +⎛⎫'=-++ ⎪++⎝⎭，所以()()21121221ln 1ln 1222x x x x h x x x x +-++⎛⎫'=- ⎪++-⎝⎭，由120x x <<，要证1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h ，即证()21221121ln 021x x x x x x -+-<+++，即()()()()2122112111ln 0111x x x x x x +-+⎡⎤+⎣⎦-<++++，令()21111x t t x +=>+，所以即证明：22ln 01t t t --<+，令()()22ln 11t m t t t t -=->+，所以()()()2211t m t t t '--=+，当1t >时，()0m t '<，所以()m t 在()1,+∞单调递减，所以()()10m t m <=，所以1202+⎛⎫'< ⎪⎝⎭x x h .【点睛】关键点睛：第（1）问关键在于求得切线方程；第（2）问在于使用等价转化()()max min h x h x M -≥；第（3）问在于化简得到()()211221ln 1ln 1x x x x b x x +-+++=-，然后进行换元计算.。

上海市华师大二附中2010届高三上学期综合练习[4]高三年级数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1. 复数=⎪⎭⎫⎝⎛-+=10011i i Z ___________.2. 函数x x y 2cos 2sin 3-=的最小正周期是____________.3. 函数1)1(log 2++=x y (x>0)的反函数是_____________.4. 某学校的某一专业从8名优秀毕业生中选派5名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概率是____________.5. 已知ax x f +=1)(的反函数)(1x f -图像的对称中心坐标是(0, 2), 则a 的值为__________.6. 不等式0>-b ax 解集为(1, +∞), 则不等式02>+-bax x 的解集为___________.7. 已知等差数列{a n }前n 项和为Sn. 若m>1, m ∈N 且0211=-++-m m m a a a 3812=-m S , 则m 等于____________.8. 将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排2名学生, 那么互不相同的分配方案共有________种.9. 函数)(x f 是定义在R 上以3为周期的奇函数, 若1)1(>f , 132)2(+-=a a f . 则实数a 的取值范围是________________.10. 已知等差数列{a n }公差不为0, 其前n 项和为S n , 等比数列{b n }前n 项和为B n , 公比为q, 且|q|>1, 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→n n nn n b B na S lim =___________________. 11. 函数)1(-=x f y 的图象如图所示，它在R 上单调递减，现有如下结论： ⑴1)0(>f ；⑵1)21(<f ；⑶0)1(1=-f；⑷0)21(1>-f 。

上海市华师大二附中高三综合练习试卷（共十套）上海市华师大二附中高三年级综合练习[1]数学一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数))((R x x f y ∈=图象恒过定点)1,0(，若)(x f y =存在反函数)(1x f y -=，则1)(1+=-x fy 的图象必过定点 。

2．已知集合{}R x y y A x∈-==,12，集合{}R x x x y y B ∈++-==,322，则集合{}B x A x x ∉∈且=。

3．若角α终边落在射线)0(043≤=-x y x 上，则=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+)22arccos(tan α 。

4．关于x 的方程)(01)2(2R m mi x i x ∈=+++-有一实根为n ，则=+nim 1。

5．数列{}n a 的首项为21=a ，且))((21211N n a a a a n n ∈+++=+ ，记n S 为数列{}n a 前n 项和，则n S = 。

6．（文）若y x ,满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥-≤-≥+≤+1315y x y x y x y x ，则目标函数y x s 23-=取最大值时=x 。

（理）若)(13N n x x n∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-的展开式中第3项为常数项，则展开式中二项式系数最大的是第 项。

7．已知函数)20,0)(2sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f ，若对任意R x ∈有)125()(πf x f ≥成立，则方程0)(=x f 在[]π,0上的解为 。

8．某足球队共有11名主力队员和3名替补队员参加一场足球比赛，其中有2名主力和1名替补队员不慎误服违禁药物，依照比赛规定，比赛后必须随机抽取2名队员的尿样化验，则能查到服用违禁药物的主力队员的概率为 。

（结果用分数表示） 9．将最小正周期为2π的函数)2,0)(sin()cos()(πϕωϕωϕω<>+++=x x x g 的图象向左平移4π个单位，得到偶函数图象，则满足题意的ϕ的一个可能值为 。

上海市华东师大二附中2007届高三上学期期末数学综合练习（3）一、填空题 (本大题满分48分) 本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知集合{|||2,M x x x =≤∈R },{|N x x =∈N ﹡}，那么M N= ． 2．在ABC ∆中，“3A π=”是“sin A =”的 条件． 3．若函数xy a =在[1,0]-上的的最大值与最小值的和为3，则a = ． 4．设函数2211()()log 221x x xf x x x--=++++的反函数为1()f x -，则函数1()y f x -=的图象与x 轴的交点坐标是 ．5. 设数列{}n a 是等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，且32n nS t =-⋅，那么t = ．6．若sin()24x ππ+=(2,2)x ∈-，则x = ．7．若函数1,0()1,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩，则不等式()2x f x x ⋅+≤的解集是 ．8．现用若干张扑克牌进行扑克牌游戏．小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步：从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步：从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿出几张牌放入左边一堆．这时，小明准确地说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是 ． 9．若无穷等比数列{}n a 的所有项的和是2，则数列{}n a 的一个通项公式是n a = ．10．已知函数()y f x =是偶函数，当0x >时，4()f x x x=+；当[3,1]x ∈--时，记()f x 的最大值为m ，最小值为n ，则m n -= ．11．已知函数()sin f x x =，()sin()2g x x π=-，直线x m =与()f x 、()g x 的图象分别交于M 、N 点，则||MN 的最大值是 ． 12．已知函数131()log (31)2xf x abx =++为偶函数，()22x x a b g x +=+为奇函数，其中a 、b 为常数，则2233100100()()()()a b a b a b a b ++++++++= ．二、选择题 (本大题满分16分) 本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号，选对 得4分，不选、错选或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内)，一律得零分。

1华东师大二附中2024学年第一学期高三年级数学月考2024.10一、填空题1、若集合()(){}{|23},|420A x x B x x x =<<=+−>,则A B ⋂= .2、已知复数1z i =+,则2z i −= .3、在6a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中,2x 的系数为60,则实数a = .4、已知{}n a 是单调递增的等比数列,453624,128a a a a ==,则公比q 的值是 . 5.已知335sin π⎛⎫α+= ⎪⎝⎭,则26sin π⎛⎫α+= ⎪⎝⎭ .6、已知函数()2pf x px lnx x=−−,若()f x 在定义域内为增函数,则实数p 的最小值为 .7、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b −=>>左,右焦点分别为122,,F F F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12PF =,则12PF F ∆的面积为 .8、已知0,0,23x y x y >>+=,则23x yxy+的最小值为 .9、已知函数()()()12tan tan x f x tan x θ−+θ=−+θ是20242024,ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦上的奇函数,则tan θ= .10、对平面直角坐标系中两个点()111P x ,y 和()222P x ,y ,记121212121211tx x y y P P max ,x x y y ⎧⎫−−⎪⎪=⎨⎬+−+−⎪⎪⎩⎭,称121P P 为点1P 与点2P 之间的"t -距离"，其中{}max p,q 表示,p q 中较大者.设()000P x ,y 是平面中一定点,0r >.我们把平面上到点0P 的"t -距离"为r 的所有点构成的集合叫做以点0P 为圆心,以r 为半径的"t -圆".以原点O 为圆心，以12为半径的"t -圆"的面积为 .211、长江流域水库群的修建和联合调度,极大地降低了洪涝灾害风险,发挥了重要的防洪减灾效益，每年洪水来临之际,为保证防洪需要、降低防洪风险,水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度,统一蓄水,用蓄满指数（蓄满指数100=⨯水库实际蓄水里水库总蓄水里)来衡量每座水库的水位情况,假设某次联合调度要求如下:（i ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[]0100,;（ii ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低; （iii ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.记x 为调度前某水库的蓄满指数，y 为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y 关于x的函数解析式：(1)21620y x x =−+；(2)y =; (3)10xx y =; (4)100200y sin x π=.则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是 . 12、将棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −的上底面1111A B C D 绕着其中心旋转45得到一个十面体ABCD EFGH −(如图),则该十面体的体积为 . 二、选择题13、"1a ="是"对任意的正整数x ,均有2ax x+≥"的（ ）. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件14、已知随机变量ξ服从正态分布()22N ,σ,且()00.2P ξ≤=,则(24)P <ξ≤等于（ ）.A.0.8B.0.6C.0.4D.0.3 15、函数()f x 不是常数函数,且满足对于任意的()()()(),,2a b R f a b f a b f a f b ∈++−=,则（ ）.3A.()00f =B.()f x 一定为周期函数C.()f x 不可能为奇函数D.存在()00,2x R f x ∈=−16、如图,将线段,AB CD 用一条连续不间断的曲线()y f x =连接在一起,需满足要求:曲线()y f x =经过点,B C ,并且在点,B C 处的切线分别为直线,AB CD ,那么下列结论正确的 是（ ）. 命题甲：存在曲线()2sinax cosbxy c a,b,c R +=+∈满足要求命题乙:若曲线()1y f x =和()2y f x =满足要求,则对任意实数,λμ,当1λ+μ=时,曲线()()12y f x f x =λ+μ满足要求 A.命题甲正确,命题乙正确, B.命题甲错误，命题乙正确， C.命题甲正确，命题乙错误， D.命题甲错误，命题乙错误， 三、解答题17、如图,在正三棱柱111ABC A B C −中,1,,D D F 分别是1111,,BC B C A B 的中点,4,BC BE ABC =的边长为2。

上海市华东师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中数学试卷一、填空题1．数据1，4，4，67，8的第60百分位数是.2．已知数列{}n a 为无穷等比数列，若23a =-，公比12q =-，则无穷等比数列{}n a 的各项和为.3．在研究线性回归模型时，样本数据(),i i x y （1i =，2，3，L ，n ）所对应的点均在直线132y x =-+上，用r 表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则r =.4．已知椭圆2222135x y m n+=和双曲线2222123x y m n -=有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为．5．i 是虚数单位，若3i 34i z a z =+=+₁，₂，且12z z 为纯虚数，则实数a =.6．在6312x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数为．7．第41届全国中学生物理竞赛决赛于10月24日至10月30日由华东师范大学第二附属中学承办.根据赛事安排，组委会欲安排589名选手和各省领队参观5个不同场馆，分别为李政道研究所、中国商飞、上海交通大学张江高等研究院、上海科技大学和上海博物馆东馆.现欲将6位志愿者老师分配到5个不同场馆做带队服务.若每个场馆至少1人，则不同的分配方案的种数为.8．设随机变量X 服从正态分布()22,N σ.若()00.9P X >=，则()24P X <<=.9．已知随机事件A B 、.若()()()112|343P A P B P B A ===，，则()|P A B =.10．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）.已知10PA PB ==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP θ∠=∠=，若θ为变量，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则四边形OAPB 面积的最大值为(平方米).11．设双曲线2214x y -=的右焦点为F ，点12,,,n P P P 是其右上方一段()20x y ≤≤≥上的点，线段k P F 的长度为k a (k =1，2，3，……，n ).若数列{}123k a k = ，，，，，n 成等差数列且公差15d ⎛∈ ⎝⎭，则n 最大取值为.12．已知ABC V 是边长为4的正三角形，平面上两动点O ，P 满足123OP OA OB OC λλλ=++ ，（1231λλλ++=且1λ，2λ，30λ≥.若1OP = ，则OA OB ⋅的最大值为.二、单选题13．设α，β为两个平面，则//αβ的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面14．以下说法错误的个数为（）①直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是[)0π，；②平面内两个非零向量的夹角的取值范围是[)0π，；③空间两条异面直线所成角的取值范围是π02⎛⎤ ⎥⎝⎦，A ．0B ．1C ．2D ．315．已知函数()y f x =，x ∈R 的导数是()y f x '=.对于如下两个命题:①“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '≥的充分非必要条件；②“函数()y f x =在R 上是严格增函数”是()0f x '>的必要非充分条件.下列判断正确的为（）A ．①与②均为真命题B ．①与②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题16．已知n 个大于2的实数12,,,n x x x ⋅⋅⋅，对任意()1,2,,i x i n =⋅⋅⋅，存在2i y ≥满足i i y x <，且i i y x i i x y =，则使得12115n n x x x x -++⋅⋅⋅+≤成立的最大正整数n 为（）A ．14B ．16C ．21D ．23三、解答题17．设函数()()22sin 1R f x x x x =-+∈的最大值为M ，最小正周期为T .(1)若函数()f x 的图象向左平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递减区间：(2)设集合(){},010A x f x M x T ==<<，求集合A 中的元素个数.18．已知一个正四面体QPTR 和一个正八面体AEFBHC 的棱长都是a (如图)，把它们拼接起来.使它们一个表面完全重合，得到一个新多面体.(1)求新多面体的表面积和体积；(2)求正八面体AEFBHC 中二面角A -BF -C 的大小.19．研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒患病.某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如2×2列联表.性别健康状况感冒不感冒男814女424(1)在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为X ，求X 的分布和期望[]E X ；(2)依据表中数据，能否认为有95%的把握认为20-30岁年轻人的体质健康与性别有关?若把表中所有数据都扩大到原来的10倍，此时结论还一样吗?请解释其中原因，并简要说明应如何调整调查可使此研究更具有严谨性.参考数据：()2P K k >0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.20．已知椭圆C 的方程为22221x y a b+=，1F 、2F 为左右焦点.(1)已知a =1b =.若P 为椭圆上的动点且12PF F 为直角三角形，求12PF F 的面积；(2)若过2F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，且1AF AB ⊥，21BF =，求椭圆长轴长的最小值；(3)已知2a =，3b =，若P 、Q 、R 为椭圆上不同的点，直线PQ 、PR 均与圆()22201x y r r +=<<相切，记直线PQ 、PR 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在点P 使得121k k =若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.21．已知坐标平面xOy 上的曲线Γ：()y f x =和异于原点的点P ，若存在Γ的两条过P 的切线，使得它们互相垂直，且所成直角被直线OP 平分，则称P 为Γ的一个“H 点”.(1)判断曲线cos y x =和214y x =+是否有“H 点”(无需说明理由)；(2)是否存在0r >，使()1,2P 为曲线()y x r =<的一个“H 点”?说明理由；(3)设,0a b >，且曲线()³f x ax bx =-有“H 点”.证明：b 的最小值与a 无关，并求出该最小值.。

2024年上海市华师大二附中数学高三第一学期期末监测试题注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且2AF FB =，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，ACF ∆的面积为AB =（ ）A ．6B ．9C ．D ．2．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且SA AB ==P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A 1B 2C 1D 23．古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28恰好在同一组的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．110 4．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A B ．1) C ．D ．45．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 6．若关于x 的不等式1127k x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭有正整数解，则实数k 的最小值为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．67．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．240B ．264C ．274D ．2828．已知3sin 2cos 1,(,)2παααπ-=∈，则1tan 21tan 2αα-=+（ ） A ．12- B ．2- C ．12 D ．2 9．设i 为数单位，z 为z 的共轭复数，若13z i =+，则z z ⋅=（ ） A ．110B ．110iC ．1100D ．1100i 10．已知，都是偶函数，且在上单调递增，设函数，若，则（ ） A ．且 B ．且 C ．且D ．且11．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种. A ．360 B ．240 C ．150 D ．12012．函数1()1xx e f x e+=-（其中e 是自然对数的底数）的大致图像为（ ） A ． B ． C ． D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市华东师范大学二附中高三数学上学期暑假测试试题（含解析）一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- ．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 ．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 条件4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 （米）．5．（3分）（2008•天津）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为 ． 6．（3分）已知函数10()1x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩，则不等式(1)(1)1x x f x +++的解集是 ． 7．（3分）已知数列{}n a 中，11111,(*)3n n n a a a n N ++=-=∈，则lim n n a →∞= ．8．（3分）已知ABC ∆的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于 ． 9．（3分）（2008•天津）设1a >，若仅有一个常数c 使得对于任意的[x a ∈，2]a ，都有[y a ∈，2]a 满足方程log log a a x y c +=，这时a 的取值的集合为 ．10．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有 ．11．（3分）（2016•上海）如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形128A A A ⋯的中心，1(1,0)A 任取不同的两点i A ，j A ，点P 满足0i j OP OA OA ++=，则点P 落在第一象限的概率是 ．12．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T 为周期的函数；③若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为奇函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是奇函数；④若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +的值域均是R ，则()f x 、()g x 、()h x 均是值域为R 的函数，其中所有正确的命题是 ． 二.选择题13．（3分）（2008•天津）设a ，b 是两条直线，α，β是两个平面，则a b ⊥的一个充分条件是( )A ．a α⊥，//b β，αβ⊥B ．a α⊥，b β⊥，//αβC ．a α⊂，b β⊥，//αβD ．a α⊂，//b β，αβ⊥14．（3分）（2008•天津）设函数22()cos ()sin (),44f x x x x R ππ=+-+∈，则函数()f x 是()A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 15．（3分）（2008•天津）设函数()1)1f x x x=<-的反函数为1()f x -，则( )A ．1()f x -在其定义域上是增函数且最大值为1B ．1()f x -在其定义域上是减函数且最小值为0C ．1()f x -在其定义域上是减函数且最大值为1D ．1()f x -在其定义域上是增函数且最小值为016．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）下列命题中正确的命题有几个( )（1）1423a a a a +=+是1a ，2a ，3a ，4a 依次构成等差数列的必要非充分条件．（2）若{}n a 是等比数列，212k k k b a a -=+，*k N ∈，则{}k b 也是等比数列． （3）若a ，b ，c 依次成等差数列，则a b +，a c +，b c +也依次成等差数列．（4）数列{}n a 所有项均为正数，则数列，*)n N ∈构成等比数列的充要条件是{}n a 构成等比数列． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个三.解答题17．（2019秋•浦东新区校级月考）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，60DAB DBF ∠=∠=︒，且FA FC =，AC 与BD 交于O 点．（1）求证：FO ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A FC B --的余弦值．18．（2011•无锡模拟）如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m ，圆心为O ，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离（即)OB 为2m ，在圆环上设置三个等分点1A ，2A ，3A ．点C 为OB 上一点（不包含端点O 、)B ，同时点C 与点1A ，2A ，3A ，B 均用细绳相连接，且细绳1CA ，2CA ，3CA 的长度相等．设细绳的总长为ym ．（1）设1()CAO rad θ∠=，将y 表示成θ的函数关系式； （2）请你设计θ，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y 最小，并指明此时BC 应为多长．19．（2019•北京）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2,1)-． （Ⅰ）求抛物线C 的方程及其准线方程；（Ⅱ）设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线1y =-分别交直线OM ，ON 于点A 和点B ．求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．20．（2008•浦东新区一模）由函数()y f x =确定数列{}n a ，()n a f n =，若函数()y f x =的反函数1()y f x -=能确定数列{}n b ，1()n b f n -=，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“反数列”．（1）若函数()f x ={}n a 的反数列为{}n b ，求{}n b 的通项公式；（2）对（1）中{}n b1log (12)2a a ⋯+>-对任意的正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设()()()()111132122n n c n λλλ+---=⋅+⋅-为正整数，若数列}{n c 的反数列为{}n d ，{}n 与{}n d 的公共项组成的数列为{}n t ，求数列{}n t 前n 项和n S ．21．（2019秋•浦东新区校级月考）若函数()f x 定义在区间A 上时存在反函数，那么就称区间A 为函数()f x 的“单射区间”，如果不存在单射区间B ，使得A B ⊂，那么就称A 为函数()f x 的“极大单射区间”，例如[1，2]是函数2()f x x =的“单射区间”， [0，)+∞是函数2()f x x =的“极大单射区间”．（1）求()sin g x x =的所有极大单射区间(k k A A 表示包含k π的区间，)k Z ∈；（2）求()sin g x x =的所有极大单射区间k A 上的反函数1()k g x -，用arcsin x 表示；（3）判断1((2019))kg g -，1((2019))k g g -是否有意义，若有意义，求出它的值，若没有意义，请说明理由．2019-2020学年上海市浦东新区华师大二附中高三（上）8月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）（2014秋•崇川区校级期中）i 是虚数单位，3(1)1i i i +=- 1- ．【解答】解：3(1)(1)(1)(1)211(1)(1)(1)2i i i i i i i i i i +-+----====----+--．故答案为：1-．2．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）5(x-的展开式中，2x 的系数是 40【解答】解：根据题意，5(x的展开式的通项为515((2)rrr rr T C x-+=⨯⨯=-10325r r C x-，令10322r-=，解可得2r =， 则有21(2)r T +=-222540C x x =，即2x 的系数是40， 故答案为：40．3．（3分）（2019秋•浦东新区校级月考）“a b >”是“22a b >”的 既不充分也不必要 条件【解答】解：当0a =，1b =-时，满足a b >，但22a b <；当2a =-，1b =-时，满足22a b >，但a b <，所以a b >是22a b >的充分也不必要条件． 故答案为：既不充分也不必要．4．（3分）（2016•上海）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是 1.76 （米)．。

一、选择题1．已知直线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数）与圆228x y +=相交于B 、C 两点，则||BC 的值为（ ）A ．27B ．30C ．72D ．3022．已知点是曲线：（为参数，）上一点，点，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．3．参数方程（为参数）所表示的图象是A ．B ．C ．D ．4．在参数方程cos sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩，(0θπ<，t 为参数)所表示的曲线上有,B C 两点，它们对应的参数值分别为1t ，2t ，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） A ．122t t - B ．122t t + C ．122t t - D ．122t t + 5．已知点A ，B 是曲线2241x y +=上两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则2211OAOB+=（ ）A ．34 B ．1C ．54D ．56．已知椭圆4cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）与x 轴正半轴，y 轴正半轴的交点分别为,A B ，动点P 是椭圆上任一点，则PAB ∆面积的最大值为（ ）A ．)621B ．()621C ．125D ．2457．直线l ：30x y ++=被圆C ：1424x cos y sin θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为（ ）A ．22B ．42C ．43D ．88．直线21{(1x t t y t =-=+为参数) 被圆229x y +=截得的弦长等于（ ）A ．125B ．1255C ．925D ．91059．极坐标系中，由三条曲线围成的图形的面积是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知曲线2cos :2sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）和直线:x tl y t b =⎧⎨=+⎩（t 为参数，b 为实数），若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b 等于（ ） A 2B ．2-C ．0D ．2±11．已知点A 是曲线2213x y +=上任意一点，则点A 到直线sin()66πρθ+=的距离的最大值是（ ）A ．62B 6C 362D ．2612．在极坐标系中，已知A （3，3π），B(4，23π), O 为极点，则AOB ∆的面积为（ ） A ．3B ．3C ．33D ．2二、填空题13．若曲线22sin sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),与直线y a =有两个公共点则实数a 的取值范围是__________.14．已知椭圆22:1,3x C y +=过C 上一点(P 第一象限)的直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,.A B 若1PA =，则PB 的值为___________.15．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为22212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，l与C 交于,A B 两点，则AB =_______.16．已知(3,0)A -，(3,0)B ，点P 在圆22(3)(4)4x y -+-=上运动，则22PA PB +的最小值是________.17．直线:30l x y ++=被圆14cos :24sin x C y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）截得的弦长为______.18．已知曲线C ：2x cos y sin θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)，与直线l ：1324x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数)，交于A B ，两点，则AB =___________．19．已知(,)P x y 是椭圆22143x y +=上的一个动点，则x y +的最大值是__________．20．已知直线12:(22x l t y t⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）与曲线:(x cos C y θθθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）交于,A B 两点，则点()1,2M -与,A B 两点的距离之积MA MB ⋅=______.三、解答题21．[选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l 被圆C 截得的弦长．22．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l的参数方程为242x t t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以直角坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为413cos 4k k k k ρπθ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.（1）当1k =时，求直线l 和C 的普通方程；（2）当2k =时，试判断直线l 和C 有无交点若有，求出交点的坐标；若无，说明理由.23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程：12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴（取相同单位长度）建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为：2cos 0ρθ+=．（1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求圆C 上的点到直线l 的距离的最小值，并求出此时点的坐标．24．已知曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）设点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值.25．极坐标系中椭圆C 的方程为2222cos 2sin ρθθ=+，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴，建立平面直角坐标系，且两坐标系取相同的单位长度．（Ⅰ）求该椭圆的直角标方程，若椭圆上任一点坐标为(),P x y，求x +的取值范围；（Ⅱ）若椭圆的两条弦AB ，CD 交于点Q ，且直线AB 与CD 的倾斜角互补，求证：QA QB QC QD ⋅=⋅．26．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为162x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上的一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据参数方程与普通方程的互化方法，然后联立方程组，通过弦长公式，即可得出结论． 【详解】曲线2sin 301sin 30x t y t ︒︒⎧=-⎨=-+⎩（t 为参数），化为普通方程1y x =-， 将1y x =-代入228x y +=，可得22270x x --=，∴()27111430BC=+-⋅+⨯=，故选B．2【点睛】本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，考查直线与圆的位置关系，属于中档题．2．D解析：D【解析】【分析】将曲线的参数方程化为普通方程，可知曲线是圆的上半圆，再利用数形结合思想求出的最大值和最小值。

上海市华东师大二附中2020届高三数学周练试卷四一、填空题（48分）1.某校有教职工200人，男学生1000人，女学生1200人，现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知从教职工中抽取的人数为10，则n =2.已知⎩⎨⎧<-≥=1,11,1)(x x x f ，则不等式3)1()1(≤+++x x f x 的解集是 3.设复数i y x z 111+=和),,,(2121222R y y x x i y x z ∈+=分别对应复平面内的点P 1、P 2，O 为原点，定义运算：212121y y x x z z +=⊕。

若021=⊕z z ，则△OP 1P 2一定是____ _三角形.4. 已知ο14cot 等于a ，那么ο152tan 等于 （结果用a 表示）。

5. 若方程03422=+-x x 的一个根为α，则=||α__________。

6.已知抛物线ｙ２＝ａ(ｘ＋１)的准线方程是x ＝－３，那么抛物线的焦点坐标是 .7.已知f (x )=a x (a ＞１)，ｇ(x )＝ｂx(ｂ＞１)，当f (x １)＝ｇ(x ２)＝２时，有x １＞x ２，则a 、b 的大小关系是 .8．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________. 9．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。

10，把参数方程⎩⎨⎧+==ααcos 1sin y x （α是参数）化为普通方程，结果是_____________。

11，n n n )2(421)2(lim2-+-+--+∞→Λ=_____________。

12.定义“等积数列”在一个数列中，如果每一项与它的后一项积都为同一个常数，那么该数列叫作等积数列，这个常数为该数列的公积。

已知数列{}n x 为等积数列，且22=x ，公积为6，那么这个数列的前2020项的和为 。

华东师大二附中2015届暑期练习（四）数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1、θ是第二象限角，则2θ是第 象限角．2、复数z 满足1z z i-=-，则此复数z 所对应的点的轨迹方程是 .3、已知全集U R =，集合{}2230,A x x x x R=-->∈,{}22B x m x m =-≤≤+,若(){}03U C A B x x ⋂=≤≤，则实数m 的值为 .一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与 某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球 的体积之比为 .已知1tan 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 则2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 . 定义在R 上的奇函数()f x ，()12f -=，且当0x ≥时， ()()22x f x a x b =+++（,a b 为常数），则()10f -的值为 .7、公差不为零的等差数列}{n a 中，237110a a a -+=，数列}{n b 是等比数列，且77a b =，则1213b b b ⋅等于 .已知等差数列{}n a 的通项公式为35n a n =-，则5671)1)1)x x x +++++（（（的展开式中4x 项的系数是数列{}n a 中的第 项．9、已知极坐标系的极点为直角坐标系的原点O ，极轴与x 轴的非负半轴重合.若直线l 的极坐标方程为3πθ=)R ρ∈（，曲线C 的参数方程为2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数，且)R θ∈，则直线l 与曲线C 的交点的直角坐标为.x 10、一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种.11、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-及其内部一动点P，集合{}1Q P PA=≤,则集合Q构成的几何体表面积为.12、P是双曲线221916x y－＝的右支上一点，M、N分别是圆22(5)4x y++=和22(5)1x y-+=上的点，则PM PN-的最大值等于.13、设,x y为实数，且满足：()()32014201320142013x x-+-=-，()()32014201320142013y y-+-=，则x y+=.14、在区间[]0,π上，关于α的方程5sin45cos2αα+=+解的个数为．二、选择题（每小题5分，满分20分）15、已知θ为实数，若复数)sin211z iθθ=-+-是纯虚数，则z的虚部为（）A、2B、0C、2-D、2i-16、“1=a”是“函数()||f x x a b=-+（,a b R∈）在区间[)1,+∞上为增函数”的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件如果函数()f x在[,]a b上的最大值和最小值分别为M、m，那么()()()bam b a f x M b a-≤∆≤-.根据这一结论求出2212x--∆的取值范围（）.A、[0,3]B、3[,3]16C、33[,]162D、3[,3]218、如图，已知点(2,0)P，正方形ABCD内接于⊙22:2O x y+=，M、N分别为边AB、BC的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，PM ON⋅A、[1,1]-B、[C、[2,2]-D、[解答题（满分74分）19、（本题满分12分）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -,底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，90BAD ∠=︒，P 是棱CD 上一点，2AB =，AD =13AA =，3CP =，1PD =.（1）求异面直线1A P 与1BC 所成的角；求证：PB ⊥平面11BCC B .20、（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足：()()112,4,13213nn n n n a a a n b a n λ+==+-=--+，其中λ为实数，n 为正整数.（1）对任意实数λ，求证：123,,a a a 不成等比数列；（2）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论.21、（本题满分14分）如图，C 、D 是两个小区所在地，C 、D 到一条公路AB 的垂直距离分别为1CA =km ，2DB =km ，AB 两端之间的距离为6km .（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对A 、C 的张PDCBAD 1C 1B 1A 1角与P 对B 、D 的张角相等，试确定点P 的位置.（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对C 、D 所张角最大，试确定点Q 的位置.ABC DQPDC B A22、（本题满分16分）阅读： 已知a 、()0,b ∈+∞，1a b +=，求12y a b =+的最小值.解法如下：()1212233b a y a b a b a b a b ⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当2b a a b =，即1,2a b ==则12y a b =+的最小值为3+. 应用上述解法，求解下列问题：（1）已知(),,0,a b c ∈+∞，1a b c ++=，求111y a b c =++的最小值；（2）已知10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求函数1812y x x =+-的最小值； （3）已知正数1a 、2a 、3,,n a a ，1231n a a a a ++++=，求证：2222312122334112nna aa aSa a a a a a a a=++++≥++++.23、（本题满分18分）已知函数2()5bf x axx=++(常数,a b R∈）满足(1)(1)14f f+-=.（1）求出a的值，并就常数b的不同取值讨论函数()f x奇偶性；（2）若()f x在区间-∞（，上单调递减，求b的最小值；（3）在（2）的条件下，当b取最小值时，证明：()f x恰有一个零点q且存在递增的正整数数列{}na，使得31225na aa aq q q q=+++++成立.虹口区2013学年度第二学期高三年级数学学科第二次月考试卷（答案） 2014.051、 一或三;2、0x y -=．3、2m =4、 123::3:1:2V V V =. 554-6、993)10()10(-=-=-f f .7、 13131213728192b b b b ⋅===. 8、 20 9、0,0)（；设取红球x 个，白球y 个，则5(04)27(06)x y x x y y +=≤≤⎧⎨+≥≤≤⎩234,,321x x x y y y ===⎧⎧⎧∴⎨⎨⎨===⎩⎩⎩， 取法为233241464646186C C C C C C ++=. 11、221151341484S πππ=⋅⋅+⋅⋅= . 12、9. 13、4028x y +=. 14、1个解.15、sin 21sin 210410cos 2,244k k k πθθπθππθθθππ⎧=⎧=+⎪-=⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨-≠≠⎪⎪≠+-⎩⎪⎩ 则()524k k Z πθπ=+∈12θ-=-，选C .16、1=a 时，()|1|f x x b =-+在[)1,+∞上为增函数；反之，()||f x x a b =-+在区间[)1,+∞上为增函数，则1a ≤，故选A .17、求22x -在[]2,1-上的最值，选B .18、OM ON ⊥ 且长度为1，可设)sin ,cos (ααM ，)cos ,sin (αα-N ，然后用坐标求解.也可以OP OM PM -=，答案选C . 19、解：（1）以D 原点，DA 、DC 、1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.则10,3)A ，(0,1,0)P，20B ，），1(0,4,3)C . 于是1(2,1,3)PA =-,1(2,3)BC =-,1111cos 12PA BC PA BC θ⋅===⋅,∴异面直线1A P 与1BC所成的角的大小等于arccos6.过B 作BM CD ⊥交CD 于M，在Rt BMC ∆中，BM =，2MC =，则BC =，1PC ==，1BC ==PB ==22211PC PB BC=+，1PB BC ∴⊥1B B ABCD ⊥平面，1B B PB ∴⊥.又1B B BC B ⋂=，∴PB ⊥平面11BCC B .20、解（1）证明：假设存在一个实数λ，使123,,a a a 是等比数列，则有2213a a a =, 即,094949494)494()332(222=⇔-=+-⇔-=-λλλλλλλ矛盾.所以123,,a a a 不成等比数列.（2）因为()()()111121312112143n n n n n b a n a n ++++⎛⎫=--++=--+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭22(1)(321)33n n n a n b =--+=-,又1(18)b λ=-+,所以当18λ=-，10n b b ==，(n 为正整数)，此时{}n b 不是等比数列：当18λ≠-时，10b ≠，由上式可知0n b ≠，∴123n nb b +=-(n 为正整数) ，故当18λ≠-时，数列{}n b 是以()18λ-+为首项，－32为公比的等比数列.21、解：（1）设PA x =，CPA α∠=，DPB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-. y由tan tan αβ=，得126x x =-，解得2x =，故点P 应选在距A 点2km 处.（2）设PA x =，CQA α∠=，DQB β∠=.依题意有1tan x α=，2tan 6x β=-， 21266tan tan[()]tan()126216x x x CQD x x x x παβαβ++-∠=-+=-+=-=-+-⋅-令6t x =+，由06x <<，得612t <<，2261tan 7462187418x t CQD x x t t t t +∠===-+-++-，747455274663tt ≤+<+=，74118183t t ∴-≤+-<，当7418180t t ≤+-<，所张的角为钝角，最大角当6x =时取得，故点Q 应选在距A 6km 处.22、解（1）()1111113b a c a c b y a b c a b c a b c a b a c b c ⎛⎫⎛⎫=++=++++=++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而6b a c a c ba b a c b c +++++≥，当且仅当13a b c ===时取到等号，则9y ≥，即111y a b c =++的最小值为9.（2）()28281222121028212212212x x y x x x x x x x x -⎛⎫=+=+⋅+-=+⋅+⋅ ⎪---⎝⎭，而10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，122288212x x x x -⋅+⋅≥=-，当且仅当12228212x x x x -⋅=⋅-，即110,62x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭时取到等号，则18y ≥，所以函数1812y x x =+-的最小值为18.（3）()()()2221212231122312nn n a a a S a a a a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭()()()()()22222221211223121211223112n nn n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤=++++⋅++⋅+++⋅++⋅+⎢⎥++++⎣⎦()()()22221212231122221n n n a a a a a a a a a a a a ≥+++++++=+++=当且仅当121n a a a n ====时取到等号，则12S ≥. 23、解：（1）由(1)(1)14f f +-=得5)(5)14a b a b +++-+=（，解得2a =. 从而2()25bf x x x =++，定义域为00-∞⋃+∞（，）（，）当0b =时，对于定义域内的任意x ，有2()()25f x f x x -==+，()f x 为偶函数 当0b ≠时，(1)(1)140f f +-=≠从而(1)(1)f f -≠，()f x 不是奇函数；(1)(1)20f f b --=-≠，()f x 不是偶函数，()f x ∴非奇非偶.对于任意的12x x <<12()()0f x f x ->恒成立， 即2212122525b bx x x x ++-++（）（）>0，得1212122()0x x x x b x x -++>.12x x <<，2312(x x >，122x x +<-，从而12122()2x x x x -+>.又12122()b x x x x >+，2b ∴≤-，b 的最小值等于2-.（3）在（2）的条件下，22()25f x x x =-+.当0x <时，()0f x >恒成立，函数()f x 在0-∞（，）无零点当0x >时，对于任意的210x x >>，恒有212121121()()2()()0f x f x x x x x x x -=-++>，即21()()f x f x >，所以函数()f x 在0∞（，+）上递增，又123()048f =-<，(1)50f =>，∴()f x 在114（，）是有一个零点q .综上()f x 恰有一个零点q ，且1(,1)4q ∈…15分22()250f q q q =-+=，得3251q q =-，又473231n qq q q q q -=+++++-，故473225n q q q q -=+++++，取32n a n =-。