2018届高三下学期周考(三)数学(理)试卷

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数(三)本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第I 卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合(){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ⋂=A. ()2,+∞B. []2,4C. (]1,3D. (]2,42.设i 为虚数单位，给出下面四个命题：1:342p i i +>+；()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =；()()23:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点；41:2i p z i +=+的虚部为15i . 其中真命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．43.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概率为0.75，两个红绿灯路口都遇到红灯的概率为0.60，则在第一个路口遇到红灯的前提下，第二个路口也遇到红灯的概率为A ．0.85B ．0.80C ．0.60D ．0.564．已知函数()fx x =的值域为A ，且,a b A∈，直线()()2212x y x a y b +=-+-=与圆有交点的概率为A ．18B ．38 C. 78 D. 145．一条渐近线的方程为43y x =的双曲线与抛物线2:8C y x =的一个交点为A ，已知AF =(F为抛物线C 的焦点)，则双曲线的标准方程为A ．2211832x y -=B ．2213218y x -= C ．221916x y -=D ．2291805y x -= 6．如图，弧田由圆弧和其所对弦围成，《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”，即弧田面积12=(弦×矢+矢2)．公式中“弦”指圆弧所对的线段，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述的经验公式计算弧田面积与实际面积存在误差，则圆心角为3π，弦长为1的弧田的实际面积与经验公式算得的面积的差为A ．18- B ．1168πC ．1623π+- D ．525-7．已知()()322101210223nn x d x x x a ax a x a=+-=+++⋅⋅⋅+⎰，且，则12310012102310a a a a a a a a +++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+的值为 A ．823B ．845C ．965-D ．8778．已知函数()()s i n 2c o s 2,0,66f x x x x f x k ππ⎛⎫⎡⎤=++∈= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦当时，有两个不同的根12,x x ，则()12f x x k ++的取值范围为A．⎡⎣ B． C．⎭ D．)9.运行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．2018201722⨯- B ．2018201822⨯+ C. 2019201822⨯-D ．2019201722⨯+10．已知直线()()21350m x m y m +++--=过定点A ，该点也在抛物线()220x py p =>上，若抛物线与圆()()()222:120C x y rr -+-=>有公共点P ，且抛物线在P 点处的切线与圆C 也相切，则圆C 上的点到抛物线的准线的距离的最小值为 A．3B. 3C ．3D．311．已知几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为A ．2143π B ．1273π C.1153π D ．1243π12．已知函数()f x 的导函数为()'f x ，且满足()32123f x x ax bx =+++，()()''24f x f x +=-，若函数()6ln 2f x x x ≥+恒成立，则实数b 的取值范围为A ．[)64ln3,++∞B ．[)5ln5,++∞ C.[)66ln6,++∞ D ．[)4ln 2,++∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018届广东省六校第三次联考理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合(){}22,|,,2M x y x y xy =+=为实数且，(){},|,,2N x y x y x y =+=为实数且，则M N ⋂的元素个数为（ ） A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】：集合M 与集合N 表示的集合都是点集，所以可以把两个方程联立，通过求方程的判别式来判定交点的个数． 【详解】：联立方程组2222x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 所以2210x x -+=判别式0∆= ，所以M N ⋂ 的解集只有一个． 故选B【点睛】：本题考查了两个集合的交点个数问题，主要注意两个集合都为点集，所以交集的个数也就是两个方程的解的个数，因此可以通过方程思想来解，属于简单题．2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++= A. 63 B. 45C. 36D. 27【答案】A 【解析】由题意3239S a ==，23a =，53530S a ==，36a =，∴32633d a a =-=-=，12330a a d =-=-=，7898133(7)3(073)63a a a a a d ++==+=⨯+⨯=，故选A ．3.若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A. [)3,+∞ B. []8,3-C. (],9-∞D. []8,9-【答案】D 【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示）．由35z x y =+得355z y x =-+，平移直线355zy x =-+，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 取得最大值，由题意得点A 的坐标为（3,0），∴max 339z =⨯=．当直线经过可行域内的点B 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 取得最小值，由210430x y x y --=⎧⎨--=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩，故点B 的坐标为(1,1)--，∴min 3(1)5(1)8z =⨯-+⨯-=-．综上可得89z -≤≤，故35z x y =+的取值范围是[8,9]-．选D ． 4.函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的图象大致为( )A. B. C. D.【答案】A 【解析】 设1ln ()sin 1ln xf x x x -=⋅+，由1ln 0x +≠得1x e ≠±，则函数的定义域为1111(,)(,)(,)e e e e-∞-⋃-⋃+∞．∵1ln 1ln ()sin()sin ()1ln 1ln x x f x x x f x xx----=⋅-=-⋅=-+-+，∴函数()f x 为奇函数，排除D ． 又11e>，且(1)sin1>0f =，故可排除B ． 211e e<，且2222211ln11(2)11()sin sin 3sin 01121ln e f x e e e e---=⋅=⋅=-⋅<-+，故可排除C ．选A ． 5.设函数())f x ϕ=+，其中常数ϕ满足0πϕ-<<．若函数()()()g x f x f x '=+（其中()f x '是函数()f x 的导数）是偶函数，则ϕ等于A. 3π-B. 56π-C. 6π-D. 23π-【答案】A 【解析】由题意得()()()))g x f x f x ϕϕ=+'=++)3πϕ=++，∵函数()g x 为偶函数， ∴,3k k Z πϕπ+=∈．又0πϕ-<<， ∴3πϕ=-．选A ．6.执行如图的程序框图，如果输入的,,a b k 分别为1,2,3，输出的158M =，那么判断框中应填入的条件为（ ）A. n k <B. n k ≥C. 1n k <+D. 1n k ≥+【答案】C 【解析】分析：直接按照程序运行即可找到答案. 详解：依次执行程序框图中的程序，可得：①1331,2,,2222M a b n =+====，满足条件，继续运行； ②28382,,,33323M a b n =+====，满足条件，继续运行；③3315815,,,428838M a b n =+====，不满足条件，停止运行，输出158．故判断框内应填n ＜4，即n ＜k+1． 故选C ．点睛：本题主要考查程序框图和判断框条件，属于基础题,直接按照程序运行，一般都可以找到答案.7.已知02012(1)(2)(2)(2)(2)n n n i b i b i b i b i -+=-++-++-+++-+ （2n ≥，i 为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1n =时， 12a =-；当2n ≥，n a 为22(2)b i -+的虚部．若数列2n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S =A.20172018B.20182017C.40352018D.40332017【答案】C 【解析】由题意得1(1)[1(2)](2),0,1,,n n r rr n i i T C i r n +-+=+-+=-+=，∴当2n ≥时，22(1)2n n n b C -==， 又 ()222222(34)34b i b i b b i -+=-=-， 故当2n ≥时，242(1)n a b n n =-=--， ∴当2n ≥时，221112(1)(1)1n a n n n n n n--===-----． ∴201811111140351(1)()()1(1)2232017201820182018S =+-+-++-=+-=．选C ． 8.如图，在同一个平面内，三个单位向量,,OA OB OC 满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且t a n 7α=，OB与OC 与的夹角为45°.若(),OCmOA nOB m n R =+∈，则m n +的值为( )A. 3 C. D.2【答案】B 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，由tan 7α=知α为锐角，且sin 1010αα==，故3cos(45)5α+︒=-， 4sin(45)5α+︒=．∴点B,C的坐标为34(,),(551010-，∴342(,),(,551010OB OC =-=． 又OC mOA nOB =+， ∴27234(,)(,)(1,0)101055m n=-+， ∴354510mn n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得8m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴882m n +=+=．选B ． 9.四面体S ABC -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x的取值范围是 A. B. (3,9)C.D. (2,9)【答案】C 【解析】【详解】由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥P ABC -(如图所示)，其中5,4,PA BC PC AB PB AC x ======．设长方体的三条棱长分别为,,a b c ，则有22222222516a b x a c c b ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩①②③．（1）由②-③得22a b 9-=，又222a b x +=， ∴22290b x =->，解得3x >．（2）由②+③得222241a b c ++=，又222a b x +=，∴222410c x =->，解得x <综上可得3x <<x 的取值范围是．选C ．点睛：由于长方体的特殊性，因此解题时构造长方体中的四面体是解答本题的关键，借助几何模型使得解题过程顺利完成，这也是解答立体几何问题的常用方法．10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A. 42种 B. 36种 C. 72种 D. 46种【答案】A 【解析】 分以下几种情况：①取出的两球同色，有3种可能，取出球后则只能将两球放在不同色的袋子中，则共有22A 种不同的方法，故不同的放法有2236A =种．②取出的两球不同色时，有一红一黄、一红一蓝、一黄一蓝3种取法，由于球不同，所以取球的方法数为1122312C C =种；取球后将两球放在袋子中的方法数有2213A +=种，所以不同的放法有12336⨯=种．综上可得不同的放法有42种．选A ．11.已知点F 为双曲线()2222:1,0x y E a b a b -=>的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于,M N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且126ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A.B. 1⎤⎦C. ⎡⎣D. 1⎡⎤⎣⎦【答案】D 【解析】如图，设双曲线的左焦点为F '，连,MF NF ''．由于MF NF⊥，所以四边形F NFM '为矩形，故2MN FF c '==．在Rt NFM ∆中，2cos ,2sin FN c FM c ββ==，由双曲线的定义可得22cos 2sin a NF NF NF FM c c ββ=-='-=-cos()4πβ=+，∴1cos()4c e a πβ==+． ∵126ππβ≤≤，∴53412πππβ≤+≤，cos()42πβ≤+≤，1e ≤．即双曲线的离心率的取值范围是1]．选D ． 点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222b c a ＝－和e=ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围． 12.已知()()1122,,A x y B x y 、是函数()ln x f x x =与()2kg x x =图象的两个不同的交点，则()12f x x +的取值范围是( ) A. 2ln ,2e e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 21ln ,2e e e ⎛⎫⎪⎝⎭ C. 10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D. 2ln ,02e e ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D 【解析】 由2ln x kx x=得ln x x k =，设()ln (0)h x x x x =>，则()1ln h x x =+'，∴当10x e <<时函数单调递减，当1x e >时函数单调递增，故min 1()h x e=-．由题意得12,x x （令12x x <）是函数()y h x =图象与直线y k =的两个交点的横坐标，即12()()h x h x =，结合图象可得12101x x e <<<<． 设21()()()()x h x h x x e e ϕ=-->，则22()()()(1ln )[1ln()]0x h x h x x x e eϕ=+-=+++-''>'，∴()x ϕ在1(,)e+∞上单调递增，∴1121()()()()0x h h e e e e ϕϕ>=--=， ∴21()()()h x h x x e e >->．∴222()()h x h x e >-，∴122()()h x h x e >-∵21x e >，故221x e e -<，且()h x 在1(0,)e 上单调递减，∴122x x e >-，即122x x e +>．由ln ()(0)x f x x x =>，得21ln ()x f x x-'=，故()f x 在(0,)e 上单调递增． ∴122e 2()()ln 2f x x f e e+>=．设ln ()(01)1xt x x x =<<-，可得函数()t x 在(0,1)上单调递减， ∴12()()t x t x >，即1212ln ln 11x x x x >--， 又1122ln ln x x x x =，∴121212ln 1ln 1x x x x x x -=>-， ∴222211x x x x -<-，即2121()(1)0x x x x -+-<，∴211x x +<， ∴12()0f x x +<． 综上可得12e 2ln ()02f x x e <+<，即所求范围为e 2(ln ,0)2e．选D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，则311[(2)]f x dx x-+=⎰_____；【答案】ln3 , 【解析】33311111311[(2)](2)()ln 1f x dx f x dx dx f t dt x x x --+=-+=+⎰⎰⎰⎰ln3=． 14.已知函数()sin cos f x a x b x =-，若ππ44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数13ax b y ++=的图象恒过定点_____． 【答案】(1,3) 【解析】 由题意4x π=是()f x图象的一条对称轴，∴())4f a b π=-=0a b +=，因此在13ax b y ++=中令1a =，则133a b y ++==，即过定点(1,3)．15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为__________．【答案】2 【解析】由三四图可得，该几何体为如图所示的三棱锥1D ABC -．∵正方体的棱长为2，∴11AC CD D A ===∴111221122,222ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=⨯===⨯⨯=== ∴该几何体的表面积为2+． 答案：2+16.若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得1212x x y y +的最大值为0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数： ①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>； ③()f x =④()f x =其中是“柯西函数”的为 ___．（填上所有正确答案的序号） 【答案】① ④ 【解析】设()()1122,,,OA x y OB x y ==，由向量的数量积的可得||||||OA OB OA OB ⋅≤⋅，当且仅当向量OA OB ，共线（,,O A B 三点共线）时等号成立．故1212122x x y y y x y +⋅+的最大值为0时，当且仅当,,O A B 三点共线时成立．所以函数()f x 是“柯西函数”等价于函数()f x 的图象上存在不同的两点,A B ，使得,,O A B 三点共线． 对于①，函数()ln (03)f x x x =<<图象上不存在满足题意的点； 对于②，函数()1(0)f x x x x=+>图象上存在满足题意的点；对于③，函数()f x =图象上存在满足题意的点；对于④，函数()f x =故函数① ④是“柯西函数”． 答案：① ④点睛：（1）本题属于新定义问题，读懂题意是解题的关键，因此在解题时得到“柯西函数”即为图象上存在两点A,B ，使得O,A,B 三点共线是至关重要的，也是解题的突破口． （2）数形结合是解答本题的工具，借助于图形可使得解答过程变得直观形象．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足22,n n T S n n N *=-∈.(Ⅰ)求123,,a a a 的值； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.【答案】(Ⅰ)11a =，24a =，310a =；(Ⅱ)1322n n a -=⨯-.【解析】 试题分析：(Ⅰ)在22n n T S n =-中，分别令1,2,3n =可得到123,,S S S ，然后可得到123,,a a a 的值．(Ⅱ)先由1n n T T --得到221(*)n n S a n n N =-+∈，再由1n n S S --可得122(2)n n a a n -=+≥，故可得122(2)(2)n n a a n -+=+≥，因此得到数列{2}n a +为等比数列，由此可求得数列{}n a 的通项公式．试题解析： （Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵… ①，∴…②，∴①-②得，，又也满足上式，∴…③，∴…④，③-④得，∴．又，∴数列是首项为3，公比为的等比数列．∴，∴．点睛：数列的通项a n与前n项和S n的关系是11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩．在应用此结论解题时要注意：若当n＝1时，a1若适合1n nS S--，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a1若不适合1n nS S--，则用分段函数的形式表示．18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：份，n N ∈）的函数解析式；(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？ 【答案】(Ⅰ)()964,1680,16n n y n N n -<⎧=∈⎨≥⎩；(Ⅱ)(i)答案见解析；(ii)17份.【解析】 试题分析：(Ⅰ) 分16n ≥和16n <两种情况分别求得利润，写成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i) 由题意知X 的所有可能的取值为62，71，80，分别求出相应的概率可得分布列和期望； (ii)由题意得小店一天购进17份食品时，利润Y 的所有可能取值为58，67,76,85，分别求得概率后可得Y 的分布列和期望，比较()()E X E Y 和的大小可得选择的结论．试题解析： （Ⅰ）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以关于的函数解析式为．（Ⅱ）（i ）由题意知的所有可能的取值为62，71，80， 并且，，．∴的分布列为：∴元．（ii ）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为∴的数学期望为元．由以上的计算结果可以看出，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润． ∴所以小店应选择一天购进17份．19.如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，1AB BC ==，120BAD ∠=，PB PC ==2PA =，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值．【答案】（1）见解析（2） 【解析】 试题分析：（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．试题解析：解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角., ，，在中，根据余弦定理得，∴二面角的余弦值为．解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则，，，，，设，由，，可得，，，∴，∵是的中点，∴，∵0⋅=，CB CF∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．设是平面的法向量，由031022n CB y nCP x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得0y zx =⎧⎪⎨=⎪⎩， 令2x =，则(2,0,3)n =． 又是平面的法向量，∴3cos ,77m n m n m n ⋅===-⋅，由图形知二面角A BC P --钝角，∴二面角的余弦值为. 20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>1A 、2A分别为椭圆C 的左、右顶点，点(2,1)P -满足121PA PA ⋅=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2214x y += （2）(2,0)Q ，定值为1.【解析】 试题分析：（Ⅰ）由121PA PA ⋅=可得2a =，再根据离心率求得c =21b =，故可得椭圆的方程．（Ⅱ）由题意可得直线l 的斜率存在，设出直线方程后与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，求出直线 QM 与直线QN 的斜率，结合根与系数的关系可得QM QN k k +222(48)24(2)8(2)t k tt k t k t -+=-+-+，根据此式的特点可得当2t =时，QM QN k k +为定值．试题解析： （Ⅰ）依题意得、，，∴1=，解得．∵，∴，∴，故椭圆的方程为．（Ⅱ）假设存在满足条件的点.当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. 因此直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设、，则，，∵222(48)24(2)8(2)t k tt k t k t -+=-+-+，∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．点睛：解决解析几何中定值问题的常用方法（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接对所给要证明为定值的解析式进行推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量得到常数，从而证明得到定值，这是解答类似问题的常用方法．21.已知函数2()(1)e 2xa f x x x =--，其中R a ∈． （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；（Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12R,(0,)x x ∈∈+∞，不等式12122()()2f x x f x x x +-->- 恒成立．【答案】（1）不能（2）3 【解析】 试题分析：（Ⅰ）假设函数()f x 的图象能与x 轴相切．设切点为(,0)t ，根据导数的几何意义得到关于t 的方程，然后判断此方程是否有解即可得到结论．（Ⅱ）将不等式变形为()()()()12121212f x x x x f x x x x +++>-+-,设()()g x f x x =+，则问题等价于()()1212g x x g x x +>-对任意()12,0,x R x ∈∈+∞恒成立，故只需函数()()212xa g x x e x x =--+在R 上单调递增，因此()10x g x xe ax =-+≥'在R 上恒成立即可，由(1)10g e a -+'=≥可得1a e ≤+，即为()0g x '≥成立的必要条件，然后再证3a =时，310x xe x -+≥即可得到结论．试题解析：（Ⅰ）∵()()21e 2xa f x x x =--，∴．假设函数的图象与轴相切于点，则有， 即．显然，将代入方程中可得． ∵，∴方程无解．故无论a 取何值，函数的图象都不能与轴相切． （Ⅱ）由题意可得原不等式可化为， 故不等式在R 上恒成立．设，则上式等价于， 要使对任意恒成立， 只需函数在上单调递增，∴在上恒成立．则，解得，∴在上恒成立的必要条件是：． 下面证明：当时，恒成立．设，则，当时，，()h x 单调递减；当时，，()h x 单调递增．∴，即．则当时，，；当时，，． ∴恒成立．所以实数的最大整数值为3．点睛： （1）解决探索性问题时，可先假设结论成立，然后在此基础上进行推理，若得到矛盾，则假设不成立；若得不到矛盾，则假设成立．（2）解答本题的关键是构造函数()g x ，将问题转化为函数()g x 单调递增的问题处理，然后转化为()0g x '≥恒成立，可求得实数a 的值．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线,444πππθφφθφ⎛⎫=-<<=+ ⎪⎝⎭，4πθφ=-分别与曲线C 交于、、A B C 三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OB OC OA +=； (Ⅱ)当12πφ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)22,3m πα==. 【解析】试题分析： (Ⅰ)由曲线C 的极坐标方程可得点A B C 、、的极径，即得到,,OA OB OC ，计算后即可证得结论正确．(Ⅱ)根据12πφ=可求得点B,C 的极坐标，转化为直角坐标后可得直线BC 的直角坐标方程，结合方程可得m 与α的值．试题解析： （Ⅰ）证明：依题意，，，，则．（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，， 故两点的直角坐标为，. 所以经过点的直线方程为，又直线经过点，倾斜角为， 故，．23.已知函数()222f x x a x a =+-+-.(Ⅰ)若()13f <，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)若不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)2433⎛⎫- ⎪⎝⎭，；(Ⅱ)26,,55⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由()13f <可得123a a +-<，根据分类讨论法解不等式组即可．（Ⅱ）根据绝对值的几何意义求得()f x 的最小值为(1)2a f -，由(1)22a f -≥可得实数a 的取值范围．试题解析： （Ⅰ）由可得，， ①当时，不等式化为，解得，∴； ② 当时，不等式化为，解得，∴； ③ 当时，不等式化为，解得，∴. 综上实数的取值范围是． （Ⅱ）由及绝对值的几何意义可得，当时，取得最小值．f x≥恒成立，∵不等式()2∴，即，解得或．∴实数的取值范围是.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则 A ． B ．C ．D ． 2． A ．B ．C ．D ．3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是{}|10A x x =-≥{}012B =，，A B =I {}0{}1{}12，{}012，，()()1i 2i +-=3i --3i -+3i -3i+4．若，则 A ．B ．C ．D ． 5．的展开式中的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A ．B ．C ．D ．7．函数的图像大致为1sin 3α=cos2α=897979-89-522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭4x 20x y ++=x y A B P ()2222x y -+=ABP △[]26，[]48，⎡⎣422y x x =-++8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ．10．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A ．B ．C ．D ．11．设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点．过p X 2.4DX =()()46P X P X =<=p =ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6A B C D ，，，ABC△D ABC-12F F ，22221x y C a b-=：00a b >>，O 2F作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为AB．2C D12．设，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前试题类型：新课标Ⅲ2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学参考答案注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}0,1,2B =，则A B = ( ) A ．{}0 B ．{}1 C ．{}1,2 D ．{}0,1,2 【答案】C【解析】:1A x ≥，{}1,2A B ∴= 【考点】交集2．()()12i i +-=( )A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i + 【答案】D【解析】()()21223i i i i i +-=+-=+【考点】复数的运算3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫做榫头，凹进部分叫做卯眼，图中的木构件右边的小长方体是榫头. 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )【答案】A【解析】注意咬合，通俗点说就是小长方体要完全嵌入大长方体中，嵌入后最多只能看到小长方体的一个面，而B 答案能看见小长方体的上面和左面，C 答案至少能看见小长方体的左面和前面，D 答案本身就不对，外围轮廓不可能有缺失 【考点】三视图 4.若1sin 3α=，则cos 2α=( ) A ．89 B ．79 C ．79- D ．89- 【答案】B【解析】27cos 212sin 9αα=-= 【考点】余弦的二倍角公式5.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为( )A ．10B ．20C ．40D ．80 【答案】C【解析】522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的第1r +项为：()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭，故令2r =，则10345240r r r C x x -=【考点】二项式定理俯视方向D.C. B.A.6．直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于点,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP ∆面积的取值范围是( )A ．[]2,6B ．[]4,8 C． D．⎡⎣【答案】A【解析】()()2,0,0,2A B --，AB ∴=，可设()2,P θθ+，则4P ABd πθ-⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭[]12,62ABP P AB P AB S AB d ∆--∴=⋅=∈ 注：P AB d -的范围也可以这样求：设圆心为O ，则()2,0O，故P AB O AB O AB d d d ---⎡∈+⎣，而O AB d -==，P AB d -∴∈ 【考点】点到直线距离、圆上的点到直线距离最值模型(圆的参数方程、三角函数) 7．422y x x =-++的图像大致为( )【答案】DxxxxyyyyD.C.B.A.OO11OO111111【解析】()12f =，排除A 、B ；()32'42212y x x x x =-+=-，故函数在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭单增，排除C【考点】函数图像辨识(按照奇偶性、特殊点函数值正负、趋势、单调性(导数)的顺序来考虑)8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10为成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3 【答案】B【解析】由题意得X 服从二项分布，即()~10,X p ，由二项分布性质可得()101 2.4DX p p =-=，故0.4p =或0.6，而()()()()64446610104161P x C p p P x C p p ==-<==-即()221p p -<，故0.5p >0.6p ∴=【考点】二项分布及其方差公式9.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ∆的面积为2224a b c+-，则C =( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】2221sin 24ABCa b c S ab C ∆+-==，而222cos 2a b c C ab+-= 故12cos 1sin cos 242ab C ab C ab C ==，4C π∴= 【考点】三角形面积公式、余弦定理10.设,,,A B C D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -的体积最大值为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】如图，O为球心，F为等边ABC∆的重心，易知OF⊥底面ABC，当,,D O F三点共线，即DF⊥底面ABC时，三棱锥D ABC-的高最大，体积也最大. 此时：6ABCABCABS∆∆⎫⎪⇒==等边，在等边ABC∆中，233BF BE AB===，在Rt OFB∆中，易知2OF=，6DF∴=，故()max163D ABCV-=⨯=【考点】外接球、椎体体积最值11.设12,F F是双曲线()2222:10,0x yC a ba b-=>>的左，右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若1PF=，则C的离心率为( )AB．2CD【答案】C【解析】渐近线OP的方程为：by xa=，利用点到直线的距离公式可求得2PF b=，(此结论可作为二级结论来记忆)，在Rt ABC∆中，易得OP a=，1PF∴=，在1POF∆中，由余弦定理可得：22216cos2a c aPOFac+-∠=，又2cosaPOFc∠= 22262a c a aac c+-∴+=，故cea==【考点】双曲线几何性质、余弦定理解三角形OF ECBAD12. 设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则( )A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+ 【答案】B【解析】首先由0.2log y x =单调递减可知0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21a =<=<=，同理可知21b -<<-，0,0a b ab ∴+<<，排除C 、D 其次：利用作商法：0.30.30.311log 0.2log 2log 0.41a b ab a b+=+=+=<(注意到0ab <) a b ab ∴+>【考点】利用对数函数单调性确定对数范围、作商法比较大小 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知向量()1,2a = ，()2,2b =- ，()1,c λ=. 若()//2c a b + ，则_______.λ= 【答案】12【解析】()24,2a b +=，故24λ=【考点】向量平行的坐标运算14. 曲线()1xy ax e =+在点()0,1处的切线斜率为2-，则______.a =【答案】3-【解析】()'1x xy ae ax e =++，12k a ∴=+=-【考点】切线斜率的计算方法15.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为_________.【答案】3【解析】[]0,x π∈，3,3666t x ππππ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦，由cos y t =图像可知，当35,,222t πππ=时cos 0t =，即()f x 有三个零点 或者：令362x k πππ+=+，则93k x ππ=+，当0,1,2k =时，[]0,x π∈，故3个零点【考点】换元法(整体法)、余弦函数的图像与性质16. 已知点()1,1M -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点且斜率为k 的直线与抛物线交于,A B 两点，若90AMB ∠= ，则_______.k =【答案】2 【解析】(1) 常规解法：设直线方程为1x my =+，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩可求121244y y m y y +=⎧⎨=-⎩，由()()12121212110MB MA y y y y x x x x ⋅=-++++++= ，可得12m =，故2k =(2) 二级结论：以焦点弦为直径的圆与准线相切设AB 中点为N ，则由二级结论可知NM ⊥准线，1N M y y ∴==，故22A B N y y y +==，由点差法可得，42A B k y y ==+ 进一步可得二级结论：AB M k y p ⋅=【考点】直线与抛物线联立(二级结论、点差法)三.解答题：共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.. 第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分. 17. (12分)等比数列{}n a 中，1531,4a a a ==. (1)求{}n a 的通项公式；(2)记n S 为{}n a 的前n 项和. 若63m S =，求m . 【答案】(1)12n n a -=或()12n n a -=-；(2)6m =【解析】(1)25334a a a q ==，2q ∴=±，∴12n n a -=或()12n n a -=-(2) 当2q =时，()()112631mmS -==-，解得6m =当2q =-时，()()112633mm S --==，得()2188m-=-无解综上：6m =【考点】等比数列通项公式与前n 项和公式 18. (12分)某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式. 为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人. 第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式，根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：第一种生产方式第二种生产方式8655689 9 7 627012234 5 6 6 89 8 7 7 6 5 4 3 3281445 2 11 009(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式 第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.0500.010 0.001k3.8416.63510.828【答案】(1)第二组生产方式效率更高；(2)见解析；(3)有；【解析】(1)第二组生产方式效率更高；从茎叶图观察可知，第二组数据集中在70min~80min 之间，而第一组数据集中在80min~90min 之间，故可估计第二组的数据平均值要小于第一组数据平均值，事实上168727677798283838485868787888990909191928420E +++++++++++++++++++==同理274.7E =，21E E < ，故第二组生产方式效率更高 (2)由茎叶图可知，中位数7981802m +==，且列联表为：超过m 不超过m第一种生产方式15 5 第二种生产方式515(3)由(2)可知()22224015510 6.63520202020K -==>⨯⨯⨯，故有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 【考点】茎叶图、均值及其意义、中位数、独立性检验 19．(12分)如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧 CD所在的平面垂直，M 是CD 上异于,C D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面BMC ；(2)当三棱锥M ABC -体积的最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.【答案】(1)见解析； 【解析】(1)ABCD CDM BC DCM BC DM DM BMC ADN BMC BC CD MC DM ⎫⊥⎫⇒⊥⇒⊥⎬⎪⇒⊥⇒⊥⊥⎬⎭⎪⊥⎭(这边只给出了证明的逻辑结构，方便大家阅读，考试还需要写一些具体的内容)(2)ABC S ∆ 恒定，故要使M ABC V -最大，则M ABC d -最大，结合图象可知M 为弧 CD中点时，M ABC V -最大. 此时取CD 的中点O ，则MO DC ⊥，故MO ⊥面ABCD ，故可建立如图所示空间直角坐标系 则：()0,0,1M ，()2,1,0A -，()2,1,0B ，()0,1,0C ，()0,1,0D -MBCDA()()0,2,0,2,1,1AB MA ==--，∴平面MAB 的法向量为()11,0,2n = ，易知平面MCD 的法向量为()21,0,0n =，故12cos ,5n n <>== ， ∴面MAB 与面MCD【考点】面面垂直的判定、三棱锥体积最值、二面角的求法 20. (12分)已知斜率为k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为()()1,0M m m >.(1)证明：12k <-； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=. 证明,,FA FP FB 成等差数列，并求该数列的公差. 【答案】(1)见解析；(2)28d =±【解析】(1) 点差法：设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减化简可得： 1212121234y y y y x x x x -+⋅=--+，34OM AB k k ⋅=-(此公式可以作为点差法的二级结论在选填题中直接用)，34m k ∴=-，易知中点M 在椭圆内，21143m +<，代入可得12k <-或12k >，又0m >，0k ∴<，综上12k <-联立法：设直线方程为y kx n =+，且()()1122,,,A x y B x y ，联立22143x y y kx n⎧⎪+=⎨⎪=+⎩可得，()2224384120k x knx n +++-=，则122212284341243kn x x k n x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，()121226243ny y k x x n k +=++=+224143343M M kn x k n y m k -⎧==⎪⎪+∴⎨⎪==⎪+⎩，两式相除可得34m k =-，后续过程和点差法一样(如果用∆算的话比较麻烦)(2) 0FP FA FB ++= ，20FP FM ∴+= ，即()1,2P m -，214143m ∴+=，()304m m ∴=>∴71,4k n m k =-=-=，由(1)得联立后方程为2171404x x -+=，1,2114x ∴=±， ()22121223c a c a cFA FB x x a x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫∴+=-+-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(此处用了椭圆的第二定义，否则需要硬算，计算量太大)而32FP =2FA FB FP ∴+=故,,FA FP FB成等差数列.221212214c a c a c d FA FB x x x x a c a c a ⎛⎫⎛⎫=±-=±---=±-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭28d ∴=±【考点】点差法、直线与椭圆联立求解、等差数列、椭圆的第二定义21. (12分)已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-.(1)若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >； (2)若0x =是()f x 的极大值点，求a . 【答案】(1)见解析；(2)16a =-【解析】(1)常规方法：当0a =时，()()()()2ln 121f x x x x x =++->-，()()1'ln 111f x x x∴=++-+ ()()2''1xf x x ∴=+，当10x -<<时，()''0f x <；当0x >时，()''0f x >()'f x ∴在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，而()'00f =， ∴()'0f x ≥恒成立，()f x ∴单调递增，又()00f = ∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >，()0f x >改进方法：若0a =，则()()()()()22ln 122ln 12x f x x x x x x x ⎡⎤=++-=++-⎢⎥+⎣⎦令()()2ln 12x g x x x =+-+，则()()()()22214'01212x g x x x x x =-=>++++ 所以()g x 在()0,+∞单增，又因为()00g = 故当10x -<<时，()()00g x g <=，即()0f x <； 当0x >时，()()00g x g >=，即()0f x >；方法对比：若直接求导，那么完全处理掉对数经常需要二次求导，而方法二提出()2x +之后对数单独存在，一次求导就可消掉对数(2) 方法一：极大值点的第二充要条件：已知函数y =()f x 在0x x =处各阶导数都存在且连续，0x x =是函数的极大值点的一个充要条件为前21n -阶导数等于0，第2n 阶导数小于0()()()22ln 12f x x ax x x =+++-()()()21'21ln 111ax f x ax x x +∴=+++-+，()'00f ∴=()()()2234''2ln 11ax ax xf x a x x ++∴=+++，()''00f ∴=()()232661'''1ax ax x a f x x +-++∴=+0x =是()f x 的极大值点，()'''0610f a ∴=+=，16a ∴=-，下证：当16a =-时，0x =是()f x 的极大值点，()()()3163'''1x x f x x -+=+，所以()''f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减 进而有()()''''00f x f ≤=，从而()'f x 在()1,-+∞单减，当()1,0x ∈-时，()()''00f x f >=，当()0,x ∈+∞时，()()''00f x f <= 从而()f x 在()1,0-单增，在()0,+∞单减，所以0x =是()f x 的极大值点.方法二： 0x =是()f x 的极大值点，所以存在0δ>，使得在()(),00,δδ- ，()()00f x f <=，即()()22ln 120x ax x x +++-<当()0,x δ∈时，()ln 10x +>，故()()()()2222ln 122ln 1ln 1xx x x x x a x x x +--+-++<=+，当(),0x δ∈-时，()ln 10x +<，故()()()222ln 1ln 1x x x a x x -++>+即()()()()()()()()()()()22000022ln 11ln 1limlimln 121ln 11ln 111lim lim 42642ln 144ln 141x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x x x x x →→→→-++-++==++++--++===-++++++++(洛必达法则，极限思想)【考点】导数的应用(二)选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22. 选修44-：坐标系与参数方程(10分)在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)，过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于,A B 两点.(1) 求α的取值范围；(2) 求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【答案】(1)3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；(2)23,,44222x y αππαα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-⎪⎩【解析】(1)当2πα=时，直线:0l x =，符合题意；当2πα≠时，设直线:l y kx =-1d =<，即()(),11,k ∈-∞-+∞ ，又tan k α=，3,,4224ππππα⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭(2)可设直线参数方程为cos 3,44sin x t y t αππαα=⎧⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎪⎝⎭⎩，代入圆的方程可得：2sin 10t α-+=122P t t t α+∴==cos 3,44sin x y ααππααα⎧=⎛⎫⎪⎛⎫∈⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎪⎩即点P的轨迹的参数方程为23sin 2,,244x y ππααα⎧⎛⎫=⎪⎛⎫∈⎨⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪=⎩(也可以设直线的普通方程联立去做，但是要注意讨论斜率不存在的情况) 【考点】参数方程、直线的斜率，轨迹方程23. 选修45-：不等式选讲(10分)已知函数()211f x x x =++-. (1)画出()y f x =的图像；(2)当[)0,x ∈+∞时，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值. 【答案】(1)见解析；(2)5【解析】(1)()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪>⎪⎪⎩，图象如下(2)由题意得，当0x ≥时，ax b +的图象始终在()f x 图象的上方，结合(1)中图象可知，3,2a b ≥≥，当3,2a b ==时，a b +最小，最小值为5， 【考点】零点分段求解析式、用函数图象解决恒成立问题xy21.531-0.5O。

2018年普通高等学校招生全国统一考试文科理学3卷答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，【解析】∵}1|{≥=x x A ，}2,1{=B A .【答案】C 2．()()1i 2i +-=A ．3i--B ．3i-+C ．3i-D ．3i+【解析】i i i +=-+3)2)(1(.【答案】D3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是【解析】看不见的线应该用虚线表示.【答案】A 4．若1sin 3α=，则cos 2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-【解析】227cos 212sin 199αα=-=-=.【答案】B5．252()x x+的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．80【解析】由二项式定理得252()x x +的展开式的通项为251031552()2rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，由1034r -=，得2r =，∴252()x x+的展开式中4x 的系数为225240C =.【答案】C6．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣【解析】如图所示，由题意可知)0,2(-A 、)0,2(-B ，∴22||=AB .过点P 作△ABP 的高PH ，由图可以看出，当高PH 所在的直线过圆心)0,2(时，高PH 取最小值或最大值.此时高PH 所在的直线的方程为02=-+y x .将02=-+y x 代入22(2)2x y -+=，得到与圆的两个交点：)1,1(-N 、)1,3(M ，因此22|211|min =+-=|PM|，232|213|max =++=|PM|.所以222221min =⨯⨯=S ，6232221max =⨯⨯=S .图A67．函数422y x x =-++的图像大致为【解析】设2)(24++-==x x y x f ，∵02)0(>=f ，因此排除A 、B ；)12(224)(23--=+-='x x x x x f ，由0)(>'x f 得22-<x 或220<<x ，由此可知函数)(x f 在），（220内为增函数，因此排除C.【答案】D8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ，)6()4(=<=x P x P ，则p=A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做独立重复事件，满足),10(~p B X .∵4.2=DX ，∴4.2)1(10=-p p ，解得6.0=p 或4.0=p .∵)6()4(=<=x P x P ，∴4661064410)1()1(p p C p p C -<-，解得021<-p ，即21>p .∴6.0=p .9．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若△ABC 的面积为4222c b a -+，则C =A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【解析】由已知和△ABC 的面积公式有，4sin 21222c b a C ab -+=，解得C ab c b a sin 2222=-+.∴C abCab ab c b a C sin 2sin 22cos 222==-+=，又∵1cos sin 22=+C C ，∴22sin cos ==C C ，4π=C .【答案】C10．设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为39，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为A ．312B ．318C ．324D ．354【解析】如图A12所示，球心为O ，△ABC 的外心为O ′，显然三棱锥D-ABC 体积最大时D 在O′O 的延长线与球的交点.△ABC 为为等边三角形且其面积为39，因此有39432=⨯AB ，解得AB =6.∴3260sin 32=⋅⨯=' AB C O ，2)32(42222=-='-='O O OC O O ，∴642=+='D O .∴三棱锥D-ABC 体积的最大值为31863931=⨯⨯=V .图A1011．设F 1、F 2是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1PF =，则C 的离心率为AB ．2CD【解析】双曲线C 的渐近线方程为by x a=±，即0bx ay ±=.∴点F 2到渐近线的距离为b ba bc d =+=22，即b ||PF =2，∴a b c ||PF ||OF |OP|=-=-=222222，∴a |OP|||PF 661==，在Rt △OPF 2中，cbOF ||PF OPF ==∠||cos 222，在Rt △F 1PF 2中，bca cb |F |F ||PF ||PF |F |F ||PF O PF 4642cos 22221221221222-+=⋅-+=∠，∴bc a c b c b 464222-+=，化简得222364b a c =-，将222a c b -=代入其中得223a c =，∴3222==ac e ，3=e.图A11【答案】C12．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab+<<D ．0ab a b<<+【解析】∵0.20.20.2log 1log 0.3log 0.2<<，∴01a <<.∵221log 0.3log 2<，∴1b <-.∴0ab <，0a b +<.∵0.30.30.30.311=log 2log 0.2log 0.4log 0.31a b ab a b++=+=<=，0ab <，∴ab a b <+.综上所述0ab a b <+<.【答案】B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{|3}A x x =<，{|B y y ==，则A B =I（A ）(,3)-∞（B ）(3,)+∞（C ）（D ）(-∞（2）已知复数()23z i =+，则z =（A ）4（B ）6（C ）8（D ）10（3）已知向量(),1a x = ，()1,2b =- ，若a b ⊥ ，则a b +=（A ）(2,0)（B ）(3,1)-（C ）(3,1)（D ）(1,3)-（4）一个圆柱形水桶，底面圆半径与高都为2（桶底和桶壁厚度不计），装满水后，发现桶中有一个随处悬浮的颗粒，用一个半径为1的半球形水瓢（瓢壁厚度不计）从水桶中舀满水，则该颗粒被捞出的概率为（A ）112（B ）16（C ）14（D ）13（5）已知()sin cos f x x x =-，实数α满足()()3f f αα'=，则tan 2α=（A ）43-（B ）34-（C ）34（D ）43（6）与中国古代数学著作《算法统宗》中的问题类似，有这样一个问题：“四百四十一里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，-11xy-11xy-11xy-11xy正视图侧视图俯视图22图12121走了6天后到达目的地”.则该人最后一天行走的路程为（A ）3.5里（B ）7里（C ）14里（D ）28里（7）函数||ln x x y =的部分图象大致为（A ）（）（）（D ）（8）已知两条直线1:20l x +=与2:60l x -=被圆C 截得的线段长均为2，则圆C的面积为（A ）5π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（9）某几何体三视图如图1示，则此几何体的表面积为（A ）164+π（B ）16)22(2++π（C ）84+π（D ）8)22(2++π（10）已知F 1、F 2是双曲线C 的两个焦点，P 是C 上一点，线段1PF 的垂直平分线经过点F 2，且621π=∠F PF ，则此双曲线C 的离心率为（A ）13+（B ）213+（C ）3（D ）13+（11）某地铁站有A 、B 、C 、D 、E 五个自动检票口，有4人一同进站，恰好2人通过同一检票口检票进站，另2人各自选择不同的检票口检票进站，则不同的检票进站方式的种数为（A ）60（B ）180（C ）360（D ）720（12）已知0x 是函数()sin2xf x π=的极值点，且满足()0020182018f x x -<-，则符合要求的0x 的个数为（A ）2015（B ）2016（C ）2017（D ）2018第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）图2是一个算法流程图，若输入x 的值为2log 3，则输出的y 的值是.（14）已知实数,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则3x y +的取值范围为是．（15）已知数列}{n a 满足1212+=+++n n a a a ，设数列}{n a 的前n 项和为n S ，则n S 163=___________.（16）已知抛物线24y x =的焦点为F ，抛物线上的动点P （不在原点）在y 轴上的投影为E ，点E 关于直线PF 的对称点为E '，点F 关于直线PE 的对称点为F '，当E F ''最小时，三角形PEF 的面积为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1)cos(sin 3=+-C B A ，8sin sin sin 7B C A +=，7=a .（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）求△ABC 的面积．（18）（本小题满分12分）如图3，在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 和△PAC 都是正三角形，2=AC ，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，且PD ⊥AB 于D .（Ⅰ）证明：平面PEF ⊥平面PED ；（Ⅱ）求二面角D P A E --的正弦值．（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个100元，在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个250元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得图4的条形图：记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y 表示1台机器在图4购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若n =19，求y 与x 的函数解析式；（II ）以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件发生的概率．（ⅰ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的概率不小于0.5，求n 的最小值；（ⅱ）假设n 取19或20，分别计算1台机器在购买易损零件上所需费用的数学期望，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？（20）（本小题满分12分）已知A 是椭圆22:+14x T y =上的动点，点1(0,2P ，点C 与点A 关于原点对称.（I ）求△PAC 面积的最大值；（II ）若射线AP 、CP 分别与椭圆T 交于点B 、D ，且AP mPB = ，CP nPD =，证明：m n +为定值．（21）（本小题满分12分）已知0a ≠，函数()xxf x e e e ax =-++.（I ）讨论()f x 的单调性；（II ）已知当a e <-时，函数()f x 有两个零点1x 和2x （12x x <），求证：e a x x f +>)(21．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分．（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎨⎧=+-=kt y t x 24（t 为参数），直线l 2的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=-=k m y m x 2（m 为参数），当k 变化时，设l 1与l 2的交点的轨迹为曲线C ．（I ）以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程；（II ）设曲线C 上的点A 的极角为6π，射线OA 与直线022)sin(:3=-+ϕθρl )20(πϕ<<的交点为B ，且||7||OA OB =，求ϕ的值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|1||1|)(xa x a x f -++=，a 为实数．（I ）当1=a 时，求不等式3)(>x f 的解集；（II ）求)(a f 的最小值．揭阳市2018年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．合体，其表面积222=522122S ππ⨯++⋅-表2)16π=++.（10）不妨设点P 在第一象限，依题意有112||2||cos30PF F F == ，122||||F F PF =，又由12||||2PF PF a -=得22c a -=312c e a +⇒==.（11）212454360C C A =；（12）法1：由0x 是函数()sin 2xf x π=的极值点可得0'()0f x =，即0cos 02x π=，故01,3,5,x =±±± 因()[]020181,1f x -∈-，当01,3,,2015x =±±± 时，020182x -≥，()0020182018f x x -<-成立；当02017,2019x =±±时，()0020182018f x x -=-；当02021,2023,x =±± 时，020183x -≤-，()0020182018f x x ->-；综上知，满足题意的01,3,,2015x =±±± 时，共2016个．【法:2：由题意知πππk x +=220，得120+=k x (k Z ∈)；由)(x f 图象得x x f <)(的解为01<<-x 或1>x ，即0||201810<-<-x 或1||20180>-x ，即02018||2019x <<或0||2017x <，因120+=k x (k Z ∈)故02018||2019x <<无解，由0||2017x <得01,3,,2015x =±±± 时，共2016个．】二、填空题解析（16）显然1E F PF PE PF PE ''''≥-=-=，即E F ''的最小值为1，仅当P 、E '、F '共线且点E '在P 、F '之间时取等号，此时120E PF FPE EPF ''∠=∠=∠=，即直线PF的斜率为（取也可），联立)214y x y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩，可得1(,33P ，故112339PEF S ∆=⨯⨯=．三、解答题（17）解：（Ⅰ）由已知及A C B cos )cos(-=+，得1cos sin 3=+A A ，-------------------------------------------------------------------------------2分即1)6sin(2=+πA ，得21)6sin(=+πA -----------------------------------------------------------4分又6766πππ<+<A ，∴656ππ=+A ，即2π=A ；-----------------------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由已知及正弦定理得878==+a c b ，--------------------------------------------------------------7分由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得bc bc bc c b -=+-+=642)(492，-----------------------------------------------------------9分解得15=bc ，-------------------------------------------------------------------------------------------10分∴△ABC 的面积为4315sin 21=A bc ．-----------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）∵E 、F 分别是AC 、BC 的中点，∴EF //AB ，----------------------------------------------------------------------------------------------------1分在正三角形PAC 中，PE ⊥AC ，又平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，∴PE ⊥平面ABC ，----------------------------------------------------------------------------------------3分∴PE ⊥AB ，又PD ⊥AB ，PE ∩PD =P ，∴AB ⊥平面PED ，--------------------------------------------------------------------------------------5分又EF //AB ，∴EF ⊥平面PED ，又⊂EF 平面PEF ，∴平面PEF ⊥平面PED .------------------------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面PAC ，----------------------------------------------------------------------------------------7分以点E 为坐标原点，EA 所在的直线为x 轴，EB 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，则(000)E ，，,(100),(030),A B ，，，(003)P ，,--------8分(03EB = ，，,(103),(13PA AB ==- ，，，，,设(,,),m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由,m AB m AP ⊥⊥ 得3030a c ab ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，令1c =，得3,1a b ==，即(3,1,1),m = ------------------------------10分设二面角E PA D --的大小为θ，则35cos 5||||53m EB m EB θ⋅==⋅⨯ ,25sin 1cos 5θθ=-=，即二面角E PA D --的正弦值为255.---------------------------------------------------------12分】【解法2：由（Ⅰ）知EF ⊥平面PED ，∴EF ⊥ED ，以点E 为坐标原点，ED 所在的直线为x 轴，EF 所在的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图示，∵AE=1，∠EAD=60°，∴AD=12,32DE =,32DB =,又3PE =,∴33133(00),0),(,0)22222D A B -，，，,(003)P ，,则31(3)22AP =- ，，,1(0,0),2AD = ，330)22EB = ，,-------------------------------------8分∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面PAE ，故330)22EB = ，为平面PAE 的法向量，----------------------------------9分设(,,),m a b c = 为平面PAD 的一个法向量，则由,m AD m AP ⊥⊥ 得313022102a b c b ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，令1c =得2a =，故(2,0,1),m = ---------------------------------10分设二面角E PA D --的大小为θ，则35cos 5||||53m EB m EB θ⋅==⋅⨯ ,25sin 1cos 5θθ=-=，即二面角E PA D --的正弦值为255.---------------------------------------------------------12分】【解法3：二面角E PA D --即二面角C -PA -B ，在平面PAB 内过点B 作BG PA ⊥于G ，连结GE,∵平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ∩平面ABC =AC ，BE ⊥AC ，∴BE ⊥平面PAC ，∴BE PA ⊥,又BG PA ⊥，BE BG B = ,∴PA ⊥平面BEG ，∴PA ⊥GE ，∴∠EGB 为二面角C -PA -B 的平面角，----------------------------8分∵3=BE ,3sin 602GE AE ==，21522=+=GE BE BG ，552sin ==∠BG BE EGB ，--------------------------------11分即二面角E PA D --的正弦值为5.--------------------------------------------------------12分（19）解：（I ）依题意得1900,19,()2502850,19,x y x N x x *≤⎧=∈⎨->⎩------------------------------------------3分（Ⅱ）（ⅰ）由条形图知,(16)0.06P n ==，(17)0.16P n ==，(18)0.24P n ==，(19)0.24P n ==，故(18)(16)(17)(18)0.46P n P n P n P n ≤==+=+==，------------------------------------5分(19)(18)(19)0.460.240.70P n P n P n ≤=≤+==+=，--------------------------------------6分由上可知，需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n 的最小值为19.-----------------------------------------------------------7分（ⅱ）n 取19或20，即每台机器在购机同时都购买19个或20个易损零件，设1台机器在购买易损零件上所需的费用分别为1y 元和2y 元,则1y 的可能取值为：1900,2150,2400.且1(1900)0.7P y ==,1(2150)0.2P y ==,1(2400)0.1P y ==，故119000.721500.224000.12000Ey =⨯+⨯+⨯=(元)-----------------------------------9分2y 的可能取值为：2000,2250.且2(2000)0.9P y ==，2(2250)0.1P y ==，故220000.922500.12025Ey =⨯+⨯=（元）------------------------------------------------11分12Ey Ey <，所以购买1台机器的同时应购买19个易损零件.--------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设()11,A x y ，依题意得点()11,C x y --,------------------------------------------------1分则1111||2||||22PAC S OP x x ∆=⋅=----------------------------------------------------------------------2分∵点A 在椭圆22:+14x T y =上，∴1||2x ≤，------------------------------------------------------3分∴11||12PAC S x ∆=≤（当且仅当12x =±时等号成立）∴△PAC 面积的最大值为1.-----------------------------------------------------------------------------4分（Ⅱ）证法1：当直线AP 的斜率存在时，设其方程为12y kx =+，由221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y ，得()221+4430k x kx +-=，----------------------------------------5分设()22,B x y ，由韦达定理，得122122414314k x x kx x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩①②，而由AP mPB = ，得112211,,22x y m x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x mx -=，12x x m =-，代入①、②，得122121411+431+4kx m k x m k ⎧-⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨-⎪-=⎪⎩③④两式相除，得()1314m k x -=，代入④，整理得2219304+90m m x -+=；-----------------7分对于射线CP ，同样的方法可得2219304+90n n x -+=，故,m n 是方程2219304+90x x x -+=的两个根，------------------------------------------------9分由韦达定理，103m n +=；--------------------------------------------------------------------------10分当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合，由AP mPB = ，CP nPD = ，得1,3,3m n ==这时103m n +=；--------------------------11分若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得103m n +=；综上可知m n +为定值，该值为103.-------------------------------------------------------------------12分【证法2：当直线AP 的斜率存在时，这时点A 不在y 轴上，即x 1≠0，设其方程为12y kx =+由221412x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y ，得()221+4430k x kx +-=，------------5分设()22,B x y ，由韦达定理，得221413k x x +-=，----------------------------------------------------6分又1121x y k -=，代入上式得21211221(43-+-=y x x x ，----------------------------------------------7分由AP mPB = ，得112211,,22x y m x y ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x mx -=，得)21(4212121-+=-=y x x m ，-----------------------------------------------------------------------8分对于射线CP ，同样的方法可得321(43)21(4)(21212121++=--+-=y x y x n ，----------9分∴31032)4(22121=++=+y x n m ．-------------------------------------------------------------------10分当直线AP 的斜率不存在时，点A 为椭圆T 的上顶点或下顶点，当点A 为（0,1）时，则B 、C 重合于点（0.-1），D 、A 重合，由AP mPB = ，CP nPD = ，得1,3,3m n ==这时103m n +=；---------------------------11分若点A 为椭圆T 的下顶点（0,-1），同理可得103m n +=；综上可知m n +为定值，该值为103.--------------------------------------------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）(),12,1x x x ax e x f x e e e ax e ax e x +<⎧=-++=⎨+-≥⎩，(),12,1x a x f x e a x <⎧'=⎨+≥⎩，①若0a >，显然()0f x '>恒成立，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；-----------------------2分②若20e a -≤<，当1x <时，()0f x a '=<，当1x ≥时，()20x f x e a '=+≥，故()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增；----------------------------------------4分③若2a e <-，当1x <时，()0f x a '=<，当1x ≥时，由20x e a +<，得1ln 2a x ⎛⎫≤<- ⎪⎝⎭，由20x e a +>，得ln 2a x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故()f x 在,ln 2a ⎛⎫⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递减，在ln ,2a ⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上单调递增；-----------------6分（Ⅱ）证法1：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知，()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分∴222x e e a x -=，2212x ex e x a e e=-=-，于是222122x ex x x e e =-，-------------------------8分令()22x ex g x e e=-，（1x >）则()()()()()2222222222x xx x x x ex e e ex e ex e e xe g x e e e e --⋅--'==--，----------------------------9分记()2x x h x e e xe =--，1x >，则()'0x x h x e xe =-<，∴()h x 在(1,)+∞上单调递减，()()10h x h <=，故()0g x '<，即函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，∴()()11g x g <=，∴121x x <，----------------------------------------------------------------------------------------11分又()f x 在∞（-,1)上单调递减，∴()12f x x a e >+---------------------------------------------------------------------------------12分【证法2：∵a e <-，故()10f a e =+<，结合()f x 的单调性知，()f x 的两个零点1x 和2x 满足10ax e +=以及2220x e ax e +-=，且121x x <<，----7分要证明()12f x x a e >+，只需证121x x <，即证121x x <，--------------------------8分注意到1x 、()21,1x ∈-∞，且()f x 在∞（-,1)上单调递减，故只需证()121f x f x ⎛⎫>⎪⎝⎭，即证210f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，--------------------------------------9分而222222222221121x x e e ex e e f a e e x x x x x ⎛⎫-+-=⋅+=⋅+= ⎪⎝⎭，记()22x g x e e ex =-+，()1,x ∈+∞，()22x g x e ex '=-+，记()()22x h x g x e ex '==-+，()1,x ∈+∞，则()220xh x e e '=-+<，故()h x 即()g x '单调递减，()()10g x g ''<=，-------------------------------------11分故()g x 单调递减，()()10g x g <=，于是210f x ⎛⎫<⎪⎝⎭成立，原题得证．----------------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 1的普通方程为)2(4-=-x k y ，----------------------------------------------1分直线l 2的普通方程为kx y 2+=，-----------------------------------------------------------------------2分联立两方程消去k ，得4422-=-x y ，即曲线C 的普通方程为4422=+y x ，--------3分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x 得曲线C 的极坐标方程为4)sin 4(cos 222=+θθρ；---------------------4分化简得22(13sin )4ρθ+=-------------------------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）把6πθ=代入22(13sin )4ρθ+=，得441443(2=⨯+ρ，∴162=ρ，得74=A ρ，--------------------------------------------------------------------------7分由已知得47==A B ρρ，------------------------------------------------------------------------------8分把6πθ=，4=ρ代入方程l 3得22)6sin(=+ϕπ，又20πϕ<<，∴2663πππϕ<+<---------------------------------------------------------------------9分∴64ππϕ+=，12πϕ=．--------------------------------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）当1=a 时，不等式3)(>x f 即3|||1||1|)(>-++=x x x x f ，-------------------1分①当1-<x 时，得32)(>=x f ，无解；------------------------------------------------------------2分②当11≤≤-x 时，得3||2)(>=x x f ，解得2||3x <，得3232<<-x ；-------------------------------------------------------------------------3分③当1>x 时，得32)(>=x f ，无解；---------------------------------------------------------------4分综上知，不等式3)(>x f 的解集为32,32(-.-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1||1|)(22a a a a f -++=|||1|122a a a -++=，--------------------------------------------------6分①当1-<a 或1>a 时，2||2||2)(2>==a a a a f ，-----------------------------------------------8分②当11≤≤-a 时，2||2)(≥=a a f ，-------------------------------------------------9分综上知，)(a f 的最小值为2．-----------------------------------------------------------10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试5月调研测试卷理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合，若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由已知，结合子集的概念，可以确定参数的取值范围.详解：因为，所以，故选D.点睛：该题考查的是有关子集的概念，以及根据包含关系，确定有关参数的取值范围的问题，可以借助数轴来完成.2. 已知为虚数单位，复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，从而求得复数的值.详解：由，得，解得，即，故选A.点睛：该题考查的是有关复数的运算问题，在求解的过程中，需要先用加减法合并，之后用除法运算法则求得结果.3. 设命题，则为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据特称命题的否定是全称命题，结合其形式，求得结果.详解：因为为：，故选C.点睛：该题考查的是有关含有一个量词的命题的否定形式，在解题的过程中，需要明确特称命题的否定是全称命题，即可得结果.4. 已知随机变量，若，则实数（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【答案】C【解析】分析：根据正太分布对称性确定，进而解得.详解：因为，所以,因为，所以选C.点睛：正态分布下两类常见的概率计算(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x ＝μ对称，及曲线与x 轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.5. 山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为 （ ）A. 12 B. 24 C. 36 D. 48【答案】B【解析】分析：先确定两型号的种子种法，再对剩下3型号全排列，即得结果.详解：因为两型号的种子试种方法数为种，所以一共有,选B.点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.6. 已知抛物线的焦点为，以为圆心的圆与抛物线交于两点，与抛物线的准线交于两点，若四边形为矩形，则矩形的面积是（ ）A.B.C.D. 3【答案】A【解析】分析：首先根据题的条件，四边形为矩形，可以得到对边是平行且相等的，所以得到两条边是关于圆心对称的，从而可以求得圆心到直线的距离，从而求得其横坐标，代入抛物线的方程，可以求得点M 和点N 的坐标，从而求得矩形的边长，之后应用矩形的面积公式求得结果.详解：根据题意，四边形为矩形，可得，从而得到圆心到准线的距离与到的距离是相等的，所以有M 点的横坐标为3，代入抛物线方程，从而求得，所以，从而求得四边形的面积为.点睛：该题考查的是有关抛物线及圆的有关性质以及矩形的面积公式，在解题的过程中，MN 和PQ 关于圆心对称是最关键的一步，此时可以求得点M 的横坐标，借助于抛物线的方程，求得其纵坐标，从而求得对应的边长，利用面积公式，求得结果.7. 已知实数满足不等式组，且的最大值是最小值的2倍，则（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，结合目标函数的形式，结合其几何意义，能够判断出最优解的位置，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得到z 的最值，再由最大值是最小值的2倍列式求得结果.详解：根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：作出直线，平移直线，由图可知，当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，此时取得最大值，由，可得，所以的最大值是1，当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，此时取得最小值，由，可得，所以的最小值是，因为的最大值是最小值的2倍，所以，解得，故选B.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要先画出约束条件对应的可行域，之后结合目标函数的形式得到其对应的几何意义，从而判断出其最优解，联立方程组求得最值，根据2倍关系找出其满足的等量关系式，最后求得结果.8. 《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.根据该问题设计程序框图如下，若输入，则输出的值是（）A. 8B. 9C. 12D. 16【答案】B【解析】分析：首先需要分清该框图所要解决的问题是关于对应量的求和问题，在求和时需要分析项之间的关系，从而可以发现其为等差数列求和问题，理清等差数列的首项与公差，利用求和公式求得结果，得到关于n的不等式，求解即可得结果.详解：输入，运行过程中，，此时向右走，，接着向右走，，依次运行，可以发现，其为以204为首项，以12.5为公差的等差数列的求和问题，，令，结合n的取值情况，解得，故选B.点睛：该题表面上是解决的程序框图运行之后的输出结果的问题，实际上是解决的等差数列的求和问题，在解题的过程中，需要明确对应的等差数列的首项与公差，以及等差数列的求和公式，解对应的不等式即可得结果.9. 一个正三棱柱的三视图如图所示，若该三棱柱的外接球的表面积为，则侧视图中的的值为（）A. 6B. 4C. 3D. 2【答案】C【解析】分析：首先通过观察几何体的三视图，还原几何体，得知其为一个正三棱柱，结合直三棱柱的外接球的球心在上下底面外心连线的中点处，利用外接球的表面积，得到底面边长所满足的关系式，求得其边长，再根据侧视图中对应的边长与底面边长的关系，求得结果.详解：根据题中所给的几何体的三视图，可以得到该几何体是一个正三棱柱，设其底面边长为，则底面正三角形的外接圆的半径为，设该三棱锥的外接球的半径为R，结合正三棱锥的外接球的球心在上下底面的外心连线的中点处，则有，因为该三棱柱的外接球的表面积为，则有，从而解得，因为侧视图中对应的边为底面三角形的边的中线，求得，故选C.点睛：该题考查的是有关利用三视图还原几何体，以及与外接球相关的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的表面积公式、直棱柱的外接球的球心的位置、外接球的半径与棱柱的高以及底面三角形的外接圆的半径的关系，将其整合，得到x所满足的等量关系式，求得结果.10. 已知圆的方程为，过第一象限内的点作圆的两条切线，切点分别为，若，则的最大值为（）A. 3B.C.D. 6【答案】B【解析】分析：首先应用向量的数量积的定义式，得到，利用圆的切线的性质，结合勾股定理，得到，从而得到，之后利用基本不等式的变形求得结果，注意等号成立的条件.详解：根据题意，结合向量数量积的定义式，可求得，所以可求得，即，结合基本不等式，可得，当且仅当时取等号，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的数量积的定义式、勾股定理、基本不等式，在求解的过程中，利用向量的数量积的定义式求得是解决该题的突破口，之后求得，下一步就是应用基本不等式的变形求得结果，对于小题，也可以直接凭经验当两者相等的时候取得最值.11. 已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线相交于两点，其中为坐标原点，若与圆相切，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先根据题中的条件，确定出圆的半径的大小，根据数轴上的点的坐标，求得，根据直线与圆相切，求得相关的线段长，在直角三角形中，求得，利用诱导公式，结合余弦定理，求得，最后利用离心率的公式求得结果.详解：根据题意，有，因为若与圆相切，所以，所以由勾股定理可得，所以，所以，由余弦定理可求得，所以，，故选C.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要借助于双曲线的定义，结合题中所涉及的焦点三角形，利用直线与圆的有关性质，利用余弦定理求得相关的量，求得结果.12. 已知函数，等差数列满足：，则下列可以作为的通项公式的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先根据导数研究三次函数对称点，再结合等差数列等距性性质判断与验证满足条件的数列.详解：因为，所以，因此函数关于对称，而时，，因此，满足题意，选A.点睛：三次函数的一阶导数得函数极值点，三次函数的二阶导数得函数拐点，即对称中心.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13. 函数的最大值是__________．【答案】【解析】分析：先根据二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数，再根据三角函数有界性求最值.详解：因为，所以即最大值是.点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．14. 已知，且的展开式中常数项为5，则__________．【答案】【解析】分析：先根据二项展开式的通项公式求常数项是哪一项，再根据常数项为5解a.详解：因为，所以因此.点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.15. 在如图所示的矩形中，点分别在边上，以为折痕将翻折为，点恰好落在边上，若，则折痕__________．【答案】【解析】分析：首先设出，根据题中的条件，得到，结合诱导公式得到，根据翻折的时候三角形全等以及诱导公式及倍角公式，可得，从而求得其值，最后在中，利用相关量找到等量关系式，求得结果.详解：根据题意，设，根据，得到，同时可得，从而得到，根据翻折的问题，可得在直角三角形中，有，解得，所以折痕.点睛：该题考查的是有关三角形翻折所对应的结果，在解题的过程中，注意对图像特征的挖掘，注意找寻相等的量，结合诱导公式、倍角公式以及直角三角形中锐角三角函数值的表示，得到边之间的等量关系式，最后求得结果.16. 已知点为的内心，，若，则__________．【答案】【解析】分析：先根据三角形内心向量性质得，再根据向量表示唯一性确定x,y值，即得结果.详解：因为点为的内心，所以,其中O为任一点，a,b,c为三角形三边.因此,所以点睛:三角形中有关“心”的向量表示：内心I ：；重心G ：，外心P ：.三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在中，为锐角，且.（1）求；（2）若的面积为，求边上的高.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）先根据诱导公式、二倍角公式化简得，再根据为锐角得；（2）先根据面积公式得，再根据余弦定理得，最后根据等面积法求高.详解：解：（1）；（2），由余弦定理有：，由面积公式有：.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.18. 从某校高三年级中随机抽取100名学生，对其高校招生体检表中的视图情况进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为.（1）求的值；（2）若某大学专业的报考要求之一是视力在0.9以上，则对这100人中能报考专业的学生采用按视力分层抽样的方法抽取8人，调查他们对专业的了解程度，现从这8人中随机抽取3人进行是否有意向报考该大学专业的调查，记抽到的学生中视力在的人数为，求的分布列及数学期望.【答案】（1）,（2）见解析【解析】分析：(1)先根据小长方形的面积等于对应区间概率得b，再根据所有小长方形面积和为1求区间[0.9,1.1]概率，除以组距即得a,(2)先根据分层抽样得确定视力在的人数为3，再确定随机变量的取法，分别利用组合数求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.详解：解：（1）；（2）的可能取值为0，1，2，3，概率为：，，所以其分布列如下：0123则.点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“写分布列”，第四步是“求期望值”.19. 如图，三棱柱中，.（1）求证：为等腰三角形；（2）若平面平面，且，求二面角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】分析：(1) 设中点为，根据计算得，再根据由线面垂直判定定理得面，即得，最后改好等腰三角形性质得结果，（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求解两平面法向量，由向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定结果.详解：解：（1）设中点为，连接，又设，则，又因为，所以，又因为，所以面，所以，又因为为中线，所以为等腰三角形；（2）设以中点为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，则，故，设面的法向量，则有，同理得：面的法向量，设所求二面角为，则，故.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.20. 已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合.（1）求椭圆的的方程；（2）设点为圆上任意一点，过作圆的切线与椭圆交于两点，证明：以为直径的圆经过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：(1)根据条件列方程组，解得a,b，（2）先设切线方程，再根据圆心到切线距离等于半径得，联立直线方程与椭圆方程，由韦达定理计算为零，进而确定以为直径的圆经过原点.详解：解：（1）由题意有：；（2）由对称性，猜测该定点为，设该切线方程为，则有，联立方程有：，，所以，即原点以在为直径的圆上.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数.（1）若直线与曲线相切，求的值；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：(1)根据导数几何意义得，再根据切点既在曲线上，也在切线上得，最后利用导数确定函数单调性进而得，解得，（2）不等式恒成立问题一般转化为对应函数最值问题，即求最小值非负，根据隐零点化简得最小值，再根据导数研究最小值函数单调性，根据单调性确定最小值函数非负时的条件，即得的取值范围......................详解：解：（1），则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；（2）令，则原命题等价于恒成立，又，设，则在上单减，在上单增，故只需，令，所以在上单调递增，在上单调递减，又，∴，即.点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.（1）求直线与曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】分析：第一问应用极坐标与平面直角坐标之间的转换关系，求得直线与曲线的直角坐标方程；第二问结合题中所给的直线方程，发现其过点，且倾斜角为，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入曲线方程，得到关于t的一元二次方程，利用韦达定理，结合直线方程中参数的几何意义，求得结果.详解：（1）；（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数），代入曲线方程有：，则有.点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标与平面直角坐标的转换关系，再者就是需要正确理解直线的参数方程中参数t 的几何意义，并能应用其几何意义来解决有关问题，再者就是对韦达定理要熟练掌握.23. 选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集为，求实数的值.【答案】（1）（2）或.【解析】分析：第一问首先利用绝对值的意义，先将绝对值符号去掉，将函数化为分段函数的形式，之后结合图像找出不等式的解集；第二问结合不等式解集的形式，端点值往往都是不等式对应方程的根，求出之后验证即可.详解：（1）结合函数图像有：；（2）由题意知或，经检验，两种情况均符合题意，所以或.点睛：该题考查的是有关含绝对值的不等式的解法问题，再者就是已知不等式的解集求有关参数值的问题，在求解的过程中，注意应用绝对值的意义去掉绝对值符号，再者就是注意不等式的解集的端点值是对应方程的根的应用.。

广东省六校2018届高三数学下学期第三次联考试题 理满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{(,)|,M x y x y =为实数，且222}x y +=，{(,)|,N x y x y =为实数，且2}x y +=，则MN 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．32．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，530S =，则789a a a ++=A ．63B ．45C ．36D ．273．若变量,x y 满足约束条件0210430y x y x y ≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，则35z x y =+的取值范围是A ．[)3,+∞B ．[]8,3-C ．(],9-∞D ．[]8,9-4．函数1ln sin 1ln xy x x-=⋅+的部分图象大致为A ．B ．C ．D ．5． 设函数 ()cos(3)f x x ϕ=+，其中常数ϕ满足0πϕ-<<．若函数()()()g x f x f x '=+（其中()f x ' 是函数()f x 的导数）是偶函数，则ϕ等于 A ．3π- B ．56π- C ．6π-D ．23π- 6．执行右面的程序框图，如果输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，输出的158M =，那么，判断框中应填入的条件为 A ．n k <B ．n k ≥C ．1n k <+D ．1n k ≤+7．已知02012(1i)(2i)(2i)(2i)n n b b b -+=-++-++-++（，为虚数单位），又数列{}n a 满足：当1n =时，12a =-；当2n ≥，n a 为22(2i)b -+的虚部．若数列2{}na - 的前n 项和为n S ，则2018S =A ．20172018 B ．20182017 C ．40352018 D ．403320178．如图，在同一个平面内，三个单位向量OA ，OB ，OC 满足条件：OA 与OC 的夹角为α，且tan α=7，OB 与OC 与的夹角为45°．若OC mOA nOB =+（,m n R ∈），则m n +的值为否1n =输入,,a b k输出M 开始 是1M a b =+ a b =结束1n n =+b M =AO CBαA ．3 B．．2 9．四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x ，则x 的取值范围是A ．)41,2(B ．)9,3(C ．)41,3(D ．)9,2( 10．从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的蓝球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有 A ．42种 B ．36种 C ．72种 D ．46种11．已知点F 为双曲线2222:1(,0)x y E a b a b-=>的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是A． B．1] C． D．1]12．已知()()2211,,y x B y x A 、是函数x x x f ln )(=与2)(xkx g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是 A ．2ln ,2e e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0 D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2ln 2e e二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则311[(2)]f x dx x-+=⎰__ ________． 14．已知函数()sin cos f x a x b x =-，若()()44f x f x ππ-=+，则函数13ax b y ++=恒过定点___ __．15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．16．若函数()f x 的图象上存在不同的两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，其中1122,,,x y x y 使得1212x x y y +0，则称函数()f x 是“柯西函数”．给出下列函数：①()ln (03)f x x x =<<； ②1()(0)f x x x x=+>；③()f x = ④()f x =.其中是“柯西函数”的为 （填上所有．．正确答案的序号）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分. 17.（12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（Ⅰ）求123,,a a a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．18.（12分）某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理．（Ⅰ）若小店一天购进16份，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，N n ∈)的函数解析式；（Ⅱ）小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i ）小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望；（ii ）以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 是平行四边形，1AB BC ==，120BAD ∠=，2PB PC ==2PA =，E ，F 分别是AD ，PD 的中点．（Ⅰ）证明：平面EFC ⊥平面PBC ； （Ⅱ）求二面角A BC P --的余弦值．20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为3，1A 、2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，点(2,1)P -满足121PA PA ⋅=． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点M 、N ，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得直线 QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.（12分）已知函数2()(1)e 2xa f x x x =--，其中a ∈R ． （Ⅰ）函数()f x 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由； （Ⅱ）求最大的整数a ，使得对任意12,(0,)x x ∈∈+∞R ，不等式12122()()2f x x f x x x +-->-恒成立．（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为cos sin x m t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数，0)απ≤<，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，射线()44ππθϕϕ=-<<，4πθϕ=+，4πθϕ=-分别与曲线C 交于A B C 、、三点(不包括极点O )．（Ⅰ）求证：OB OC OA +=； （Ⅱ）当12πϕ=时，若B C 、两点在直线l 上，求m 与α的值．23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()222f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若()13<f ，求实数a 的取值范围；f x恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若不等式()2≥参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D A A C C B C A D D 二填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．； 14．； 15．； 16．①④说明：本参考答案给出一种解法的评分标准，其它解法可参照本评分标准相应评分.三、解答题：共70分．17.（12分）解：（Ⅰ）∵，，∴. ……………1分∵，∴. …………………………………………………2分∵，∴. ……………………………………………4分（Ⅱ）∵…①，…②，∴①-②得，，∵，……………………6分∴…③，……………………………………………………8分…④，③-④得，，. ……………………………………………………………………10分∵，∴是首项3公比的等比数列，，故. ……………………………………………………………………12分18.（12分）解：（Ⅰ）当日需求量时，利润，…………………………1分当日需求量时，利润，…………………………2分所以关于的函数解析式为．……………………3分（Ⅱ）（i）可能的取值为62，71，80，………………………………………………4分并且，，．的分布列为：X 627180P 0．10．20．7……………………………………………………7分的数学期望为元．……………………8分（ii）若小店一天购进17份食品，表示当天的利润(单位：元)，那么的分布列为Y 58677685P 0．10．20．160．54的数学期望为元．………11分由以上的计算结果可以看出，，即购进17份食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进17份．………………………………12分19.（12分）解法一：（Ⅰ）取中点，连，∵，∴，∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴平面，∴. ………………………3分∵分别是的中点，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，…………………5分∵平面，∴平面平面. …………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角. …………………………………………………7分, ，，……………………………………………9分在中，根据余弦定理得，, ………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，，∴，∴是等边三角形，∵是的中点，∴，∵∥，∴. ………………………………………………………………………………1分分别以，的方向为轴、轴的正方向，为坐标原点，如图建立空间直角坐标系. ……………………………………………………………2分则，，，，，设，∵，，解得，，，∴可得，………………………………………………………………4分∵是的中点，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.…………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，设是平面的法向量，则，∴，…………………………8分令，则，………………………………………………………9分又是平面的法向量，…………………………………………………10分∴，………………………………………………………11分∴二面角的余弦值为.…………………………………………………12分注：直接设点，或者说平面，，酌情扣分.20.（12分）解：（Ⅰ）依题意，、，，∴，………………………………………………2分由，，得，∵，∴，，………………………………………………………………4分故椭圆的方程为．……………………………………………………5分（Ⅱ）假设存在满足条件的点. 当直线与轴垂直时，它与椭圆只有一个交点，不满足题意. …………………………………………………6分因此直线的斜率存在，设：，由，消得，…………………………………………7分设、，则，，∵，………10分∴要使对任意实数，为定值，则只有，此时，．故在轴上存在点，使得直线与直线的斜率的和为定值．…………12分21.（12分）解：（Ⅰ）由于．…………………………………………1分假设函数的图象与轴相切于点，则有，即．………………………………………………3分显然，代入方程中得，．…………5分∵，∴无解．故无论a取何值，函数的图象都不能与轴相切．……6分（Ⅱ）依题意，恒成立．……………………………7分设，则上式等价于，要使对任意恒成立，即使在上单调递增，∴在上恒成立．…………………………………………8分则，，∴在上恒成立的必要条件是：．下面证明：当时，恒成立．…………10分设，则，当时，，当时，，∴，即．那么，当时，，；当时，，．∴恒成立．因此，的最大整数值为3．……………………………………………………12分22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）解：（Ⅰ）证明：依题意，，………………………………………………1分，，…………………………………………3分则．…………5分（Ⅱ）当时，两点的极坐标分别为，，…………6分化直角坐标为，. ………………………………………………7分经过点的直线方程为，…………………………………………8分又直线经过点，倾斜角为，故，. ………………………10分23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）解：（Ⅰ）∵，∴，……………………………………………1分①当时，得，，∴；…………2分②当时，得，，∴；…………3分③当时，得，，∴. …………4分综上所述，实数的取值范围是．……………………………………5分（Ⅱ）∵，根据绝对值的几何意义知，当时，的值最小，……………………………………………………………………7分∴，即，……………………………………………………8分解得或．∴实数的取值范围是. …………10分。

南康三中2018届高三第三次大考数学（理）试卷一、选择题1、已知集合2{|10}A x x =-=， {}1,2,5B =-，则A B ⋂=（ ）A. {}1,2-B. {}1-C. {}1,5-D. ∅2、已知复数2z m i =+，且()2i z +是纯虚数，则实数m =（ ）A. 1B. 2C. -1D. -23. 为了得到函数sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数cos 2y x =的图像（ ） A. 向左平移512π个单位 B. 向右平移512π个单位 C. 向右平移6π个单位 D. 向左平移6π个单位 4、 阅读下列程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为（ ）A. 4B. 5C.6D.75、某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.163π B. 3π C. 29π D. 169π6、我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是定值，它可以通过方程11x x+=求得x =．类似上述过程，则=（ ）A ． 3 B．12C ． 6 D．7、过双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，与双曲线的渐近线交于C ，D 两点，若35AB CD ≥，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．5,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．51,4⎛⎤ ⎥⎝⎦8．已知函数()1211xf x e x+=-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是 （ ） A ．1,13⎛⎫⎪⎝⎭ B ．()+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-,131,C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，3131, 9．函数2ln x xy x=的图象大致是（ ）AB C D10．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“演讲团”、“吉他协会”等五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中没有人参加“演讲团”的不同参加方法数为（ ）A ．3600B ．1080C ． 1440D ．252011．设点),(y x P 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥03020y x y x x 表示的平面区域上，则1222+-+=x y x z 的最小值为（ ） A. 1 B.51 C. 4 D. 54 12．已知可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对任意的x R ∈，都有()()2f x f x >'+，且()2019f x -为奇函数，则不等式()20172x f x e -<的解集为（ ）A. (),0-∞B. ()0,+∞C. 21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 21,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭二、填空题：13．平面向量a 与b 的夹角为23π，且(1,0)a =，||1b =，则|2|a b += ． 14．设5498728998710(2)(3)x y x y a x a x y a x y a xy a y -+=+++++，则8a = ．15．已知点1(1,)A y ，2(9,)B y 是抛物线22(0)y px p =>上的两点，210y y >>，点F 是它的焦点，若||5||BF AF =，则212y y +的值是 ．16．某沿海四个城市,,,A B C D 的位置如图所示，其中60ABC ∠=，135BCD ∠=，80AB n mile =，40BC mile =+，AD mile =，D 位于A 的北偏东75方向．现在有一艘轮船从A 出发向直线航行，一段时间到达D 后，轮船收到指令改向城市C 直线航行，收到指令时城市C 对于轮船的方位角是南偏西θ度，则sin θ= ．三、解答题17、（本小题满分12分）已知x f ⋅=)(，其中)1,cos 2(x =，)2sin 3,cos (x x =)(R x ∈．（1）求)(x f 的最小正周期及单调递增区间；（2）在A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若2)(=A f ，2a =，求A B C ∆ 的周长的取值范围．18．已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的负实根，命题q ：,R x ∈∀01)2(442>+-+x m x 恒成立；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．19．设函数()y f x =的定义域为R ，并且满足()()()f x y f x f y -=-，且(2)1f =，当0x >时，()0f x >（1）．求(0)f 的值；（3分）（2）．判断函数()f x 的奇偶性；（3分）（3）．如果()(2)2f x f x ++<，求x 的取值范围．20. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知27a =，3a 为整数，且n S 的最大值为5S .（Ⅰ）求}{n a 的通项公式； （Ⅱ）设2nn n a b =，求数列}{n b 的前n 项和n T .21. 已知函数2()2ln 311f x x x x =--.（1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若关于x 的不等式2()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+恒成立，证明：0a >且12ln 3a a+≥22. 在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标.23.已知函数()|3||2|f x x x =+--. （1）求不等式()3f x ≥的解集；（2）若()|4|f x a ≥-有解，求a 的取值范围.17.解：（1）1)62sin(22sin 3cos 2)(2++=+=πx x x x f ……3，分π=T …4分单调递增区间]6,3[ππππ+-k k )(Z k ∈……………6分（2）21)62sin(2)(=++=πA A f ，由21)62sin(=+πA ，得3π=A …………8分设ABC ∆ 的周长为l ，则22sin sin 33l B B π⎡⎤⎛⎫=++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=24cos 3B π⎛⎫+- ⎪⎝⎭… 11分 ,333B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭(]4,6l ∴∈…………12分 18．{|312}m m m ≥<≤或.试题解析：当p 真时，可得240m m ⎧∆=->⎨>⎩，解之得2m >当q 真时，得到：2[4(2)]160m ∆=--<，解之得13m << ∵p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p 真q 假或p 假q 真 若p 真q 假时，由2313m m m m >⎧⇒≤⎨≤≥⎩或若p 假q 真时，由21213m m m ≤⎧⇒<≤⎨<<⎩所以m 的取值范围为{|312}m m m ≥<≤或. 19．（1）0；（2）函数()f x 是奇函数；（3）{|1}x x <.试题解析：（1）令0x y ==，则(00)(0)(0)f f f -=-,(0)0f ∴=; (2)()()()f x y f x f y -=-(0)(0)()f x f f x ∴-=-由（1）值(0)0f =，()()f x f x ∴=--(0)0f =∴函数()f x 是奇函数（3）设12,x x R ∀∈，且12x x >，则120x x ->，1212()()()f x x f x f x -=-当0x >时，()0f x >12()0f x x ∴->，即12()()0f x f x ->12()()f x f x ∴>∴函数()f x 是定义在R 上的增函数()()()f x y f x f y -=- ()()()f x f y f x y ∴=+-211(2)(2)(2)(42)(4)f f f f f ∴=+=+=--= ()(2)2f x f x ++< ()(2)(4)f x f x f ∴++<(2)(4)()(4)f x f f x f x ∴+<-=-函数()f x 是定义在R 上的增函数24x x ∴+<- 1x ∴< ∴不等式()(2)2f x f x ++<的解集为{|1}x x <20.解：（1）由27a =，3a 为整数知等差数列{}n a 的公差d 为整数. 又5n S S ≤，故50a ≥，60a ≤， 解得132134d -≤≤-，因此2d =数列{}n a 的通项公式为112n a n =-.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为11222n n n na nb -==， 所以239751122222n nnT -=++++…，① 2341197511222222n n nT +-=++++…，② ②式减①式得，21119111112222222n n n nT -+-⎛⎫-=-+++++ ⎪⎝⎭…，整理得11772222n n nT +--=-+，因此2772n nn T -=+.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21.（1）解：因为2(61)(2)'()611x x f x x x x-+=--=-， 由于0x >，令'()0f x >得106x <<；令'()0f x <得16x >，所以()f x 在1(0,)6上单调递增，在1(,)6+∞上单调递减.（2）证明：令22()()(3)(213)12ln (22)1g x f x a x a x x ax a x =-----=-+--，所以222(22)2'()2(22)ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=.当0a ≤时，因为0x >，所以'()0g x >.所以()g x 是(0,)+∞上的递增函数， 又因为(1)221310g a a a =-+--=-+>，所以关于x 的不等式2()(3)(213)1f x a x a x ≤-+-+不能恒成立， 因此，0a >.当0a >时，212()(1)2(22)2'()a x x ax a x a g x x x--+-+-+==， 令'()0g x =，得1x a =，所以当1(0,)x a ∈时，'()0g x >；当1(,)x a ∈+∞时，'()0g x <，因此函数()g x 在1(0,)a 上是增函数，在1(,)a+∞上是递减函数.故函数()g x 的最大值为1111()2ln 32ln 30g a a a a a=+-=--≤，即12ln 3a a-≥.22.解：（1）由ρθ=，得2sin ρθ=，从而有22x y +=，所以22(3x y +=.（2）设1(3)2P t +，又C，则|PC == 故当0t =时，PC 取得最小值，此时，P 点的直角坐标为(3,0). 23.解：（1）()|3||2|3f x x x =+--≥， 当2x ≥时，有3(2)3x x +--≥，解得2x ≥； 当3x ≤-时，3(2)3x x --+-≥，解得x ∈∅； 当32x -<<时，有213x +≥，解得12x ≤<. 综上，()3f x ≥的解集为{|1}x x ≥. （2）由绝对值不等式的性质可得，|3||2||(3)(2)|5x x x x +--≤+--=，则有5|3||2|5x x -≤+--≤，若()|4|f x a ≥-有解，则|4|5a -≤，解得19a -≤≤，所以a 的取值范围是[1,9]-.018届高三第三次大考文科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}| 26,A x x x Z =<<∈，集合{}3,5,8B =，则集合A B ⋂的子集个数为（ C ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．162．已知i 是虚数单位，复数1iz i =+，则z 的虚部为（ A ） A. 12 B. 12- C.12i D.12i -3．命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是( C )A ．x R ∃∈，2210x x -+≥B ．x R ∃∈，2210x x -+>C ．x R ∀∈，2210x x -+≥ D ．x R ∀∈，2210x x -+<4．若点()ααsin ,cos P 在直线x y 2-=上，则)22cos(πα+的值等于（ B ）A ．54-B ．54C ．53-D ．53 5．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且16,10451==+S a a ，则数列}{n a 的公差为（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则=⋅（ D ） A. 23-B.1-C. 23-或3- D.3- 7．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，下面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”.执行该程序框图（图中错误！未找到引用源。