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中，直线y＝x＋b与双曲线y＝－只有一个x A．1B．±1C．±2D．2（【3．直线y＝kx(k＞0)与双曲线y＝交于B B（考点综合专题：反比例函数与一次函数、几何图形的综合——函数及代几结合，掌握中考风向标◆类型一同一坐标系中判断图象11．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y xa公共点，则b的值是【方法21①】）＝在同一坐标系中的图象可能是（）6．★(2016·陕西中考)已知一次函数y＝2x＋4的图象分别交x轴、y轴于A，B两点，若这个一次函数的图象与一个反比例◆类型二利用反比例函数的中心对函数的图象在第一象限交于点C，且AB＝称性求点的坐标或代数式的值2BC，则这个反比例函数的表达式为2．已知一个正比例函数的图象与一个________．反比例函数的图象的一个交点坐标为(1，3)，7．如图，已知一次函数y1＝k1x＋b的则另一个交点坐标是________．方法21④】图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，与2xA，两点．若A，两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1y2＋x2y1的值为_____.【方法21④】◆类型三利用反比例函数图象和一次函数图象的交点求解4．如图，在平面直角坐标系中，反比2例函数y1＝x的图象与一次函数y2＝kx＋b的图象交于A，B两点，若y1＜y2，则x的取值范围是【方法21③】）k反比例函数y2＝x2的图象分别交于C，D两点，点D的坐标为(2，－3)，点B是线段AD的中点．(1)求一次函数y1＝k1x＋b与反比例函k数y2＝x2的解析式；(2)求△COD的面积；(3)直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．A．1＜x＜3B．x＜0或1＜x＜3C．0＜x＜1D．x＞3或0＜x＜15．(2016·梧州中考)在平面直角坐标系4)，∴OA ＝2，OB ＝4.∵AB ＝2BC ，∴ ＝轴于点 N ，反比例函数 y ＝ 的图象交 PM 于. 如图，过点 C 作 CD ⊥x 轴于点 D ，∠ADC ，∴△ABO ∽△ACD ，∴ OB CD AD ＝ ，∴CD ＝6，AD ＝3，∴OD ＝1，∴ 式为 y ＝ ，∴k ＝6，∴反比例函数的解析式为 y ＝ .数 y ＝ (x>0)图象上一点，连接 OA ，交函数y ＝ (x>0)的图象于点 B ，点 C 是 x 轴上一⎧⎪－2k 1＋b ＝0，⎧k ＝－3，⎨ 33∴y ＝－ x － ；⎩b ＝－32.3．－4 解析：由双曲线 y ＝ 及 y ＝kx(2)联立 ⎨⎪⎩y ＝－3，⎩y ＝－x ，⎪ ⎛－4，3⎫ .∴ ＝ △S AOC ＋ S △AOD ＝ 1 ×2× ＋ ×2×3＝ ；6．y ＝ 解析：∵一次函数 y ＝2x ＋42⎭ △S COD◆类型四 反比例函数与几何图形的综合8．(2016· 齐齐哈尔中考 )如图，已知点 P(6，3)，过点 P 作 PM ⊥x 轴于点 M ，PN ⊥ykx点 A ，交 PN 于点 B ，若四边形 OAPB 的面 积为 12，则 k ＝_______.第 8 题图 第 9 题图9．★(2016· 宁波中考)如图，点 A 为函9x1 x点，且 AO ＝△AC ，则ABC 的面积为_____.考点综合专题：反比例函数与一次函数、几何图形的综合1．A 2.(－1，－3)2x 的图象分别交 x 轴、y 轴于 A 、B 两点，∴ 点 A 的坐标为(－2，0)，点 B 的坐标为(0，ABAC23∴OB ∥CD ， ∠ABO ＝ ∠ACD ， ∠AOB ＝AO＝ ＝AB 2AC 3点 C 的坐标为(1，6)．设反比例函数的解析kx6xk 7．解：(1)∵点 D(2，－3)在 y 2＝ x 2上，6∴k 2＝2×(－3)＝－6，∴y 2＝－x .∵点 D 的坐标为(2，－3)，点 B 是 AD 的中点，且点B 的横坐标为 0，∴点 A 的坐标为(－2， 0)．∵A(－2，0)，D(2，－3)在 y 1＝k 1x ＋b的 图 象 上 ， ∴ ⎨ 解 得⎪⎩2k 1＋b ＝－3，1 41 4 2⎧y ＝－3x －3，4 2 ⎧x 1＝2，解得⎨61的中心对称性知 x 1＝－x 2，y 1＝－y 2，所以x 1y 2＋x 2y 1＝－ x 2y 2－x 2y 2＝－ 2x 2y 2＝－ 2×2＝－4.⎧⎪x 2＝－4，⎨ 3⎪⎩y 2＝2.∴ 点C 的 坐 标 为4．B 5.C6x⎝ 23 1 92 2 2(3)当 x ＜－4 或 0＜x ＜2 时，y 1＞y 2.8．6 解析：∵点 P 的坐标为(6，3)，代入反比例函数 y ＝ ，得点 A 的纵坐标为 ，∴6×3－ k － k ＝12，解得 k ＝6.9．6 解析：设点 A 的坐标为⎝a ，a ⎭， 点 B 的坐标为⎝b ，b ⎭.∵点 C 是 x 轴上一点，点 O(0，0)，A ⎝a ，a ⎭的直线的解析式为 y ＝kx ，∴ ＝k · a ，解得 k ＝ 2.又∵点 B ⎝b ，b ⎭在＝3 或 b 18 6 ＝ － ＝9－3＝6.∴点 A 的横坐标为 6，点 B 的纵坐标为 3，k kx 6k k k点 B 的横坐标为3，∴AM ＝6，NB ＝3.∵S 四边形 OAPB＝S矩形 OMPN－△S O AM －△S NBO ＝12，1 12 2⎛ 9⎫⎛ 1⎫且 AO ＝AC ，∴点 C 的坐标是(2a ，0)．设过 ⎛ 9⎫ 9 9 ⎛ 1⎫ a a9 1 9 a a直线 y ＝a 2x 上，∴b ＝a 2· b ，解得bb ＝2a · －3(舍去)，∴△S ABC ＝S △AOC －△S OBC ＝212a ·2 2 29 a－。
专训3 反比例函数与几何的综合应用名师点金：解反比例函数与几何图形的综合题，一般先设出几何图形中的未知量，然后结合函数的图象用含未知数的代数式表示出几何图形与图象的交点坐标，再由函数表达式及几何图形的性质写出含未知数及待求字母系数的方程(组)，解方程(组)即可得所求几何图形中的未知量或函数表达式中待定字母的值．反比例函数与三角形的综合1．【2015·枣庄】如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝6x (x>0)的图象交于A(m ，6)，B(3，n)两点．(1)求一次函数的表达式；(2)根据图象直接写出使kx ＋b<6x 成立的x 的取值范围；(3)求△AOB 的面积．(第1题)2．如图，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上，点D 在第一象限内，DC⊥x 轴于点C ，AO ＝CD ＝2，AB ＝DA ＝5，反比例函数y ＝kx(k ＞0)的图象过CD 的中点E.(1)求证：△AOB ≌△DCA； (2)求k 的值；(3)△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，其中点F 在y 轴上，试判断点G 是否在反比例函数的图象上，并说明理由．(第2题)反比例函数与四边形的综合类型1 反比例函数与平行四边形的综合3．如图，过反比例函数y ＝6x (x ＞0)的图象上一点A 作x 轴的平行线，交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点B ，过B 作BC∥OA 交双曲线y ＝－3x (x ＜0)于点D ，交x 轴于点C ，连接AD 交y轴于点E ，若OC ＝3，求OE 的长．(第3题)类型2 反比例函数与矩形的综合4．【2015·烟台】如图，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y ＝kx(x>0)的(第4题)图象过对角线的交点P 并且与AB ，BC 分别交于D ，E 两点，连接OD ，OE ，DE ，则△ODE 的面积为________．5．【2015·德州】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的对角线OB ，AC 相交于点D ，且BE∥AC，AE∥OB.(1)求证：四边形AEBD 是菱形；(2)如果OA ＝3，OC ＝2，求出经过点E 的双曲线对应的函数表达式．(第5题)类型3 反比例函数与菱形的综合6．【2015·武威】如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点C 与原点O 重合，点B 在y 轴的正半轴上，点A 在反比例函数y ＝kx(k>0，x>0)的图象上，点D 的坐标为(4，3)．(1)求k 的值；(2)若将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，当菱形的顶点D 落在反比例函数y ＝kx (k>0，x>0)的图象上时，求菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离．(第6题)类型4 反比例函数与正方形的综合7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，反比例函数y ＝kx (x ＞0，k≠0)的图象经过线段BC 的中点D.(1)求k 的值；(2)若点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动(不与点D 重合)，过点P 作PR⊥y 轴于点R ，作PQ⊥BC 所在直线于点Q ，记四边形CQPR 的面积为S ，求S 关于x 的函数表达式并写出x 的取值范围．(第7题)反比例函数与圆的综合(第8题)8．如图，双曲线y ＝kx (k>0)与圆O 在第一象限内交于P ，Q 两点，分别过P ，Q 两点向x轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为________．9．如图，反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象与圆O 相交．某同学在圆O 内做随机扎针试验，求针头落在阴影区域内的概率．(第9题)答案1．解：(1)∵A(m，6)，B(3，n)两点在反比例函数y ＝6x (x>0)的图象上，∴m＝1，n ＝2，即 A(1，6)，B(3，2)．又∵A(1，6)，B(3，2)在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k ＋b ，2＝3k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝8， 即一次函数表达式为y ＝－2x ＋8.(第1题)(2)根据图象可知使kx ＋b<6x成立的x 的取值范围是0<x<1或x>3.(3)如图，分别过点A ，B 作AE⊥x 轴，BC⊥x 轴，垂足分别为E ，C ，设直线AB 交x 轴于D 点．令－2x ＋8＝0，得x ＝4，即D(4，0)．∴OD＝4. ∵A(1，6)，B(3，2)，∴AE＝6，BC ＝2. ∴S △AOB ＝S △AOD －S △ODB ＝12×4×6－12×4×2＝8.2．(1)证明：∵点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点D 在第一象限内，DC⊥x 轴于点C ，∴∠AOB ＝∠DCA＝90°.在Rt△AOB 和Rt△DCA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝DC ，AB ＝DA ， ∴Rt△AOB ≌Rt△DCA.(2)解：在Rt△ACD 中，∵CD＝2，DA ＝5，∴AC＝DA 2－CD 2＝1. ∴OC＝OA ＋AC ＝2＋1＝3. ∴D 点坐标为(3，2)． ∵点E 为CD 的中点， ∴点E 的坐标为(3，1)． ∴k＝3×1＝3.(3)解：点G 在反比例函数的图象上．理由如下：∵△BFG 和△DCA 关于某点成中心对称，∴△BFG ≌△DCA. ∴FG＝CA ＝1，BF ＝DC ＝2，∠BFG＝∠DCA＝90°.易知OB ＝AC ＝1，∴OF＝OB ＋BF ＝1＋2＝3.∴G 点坐标为(1，3)．∵1×3＝3，∴点G(1，3)在反比例函数的图象上．3．解：设点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，6a ，由题易知四边形ABCO 是平行四边形，∴AB＝OC ＝3.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫a －3，6a . ∴(a－3)·6a ＝－3.∴a＝2.∴A 点的坐标为(2，3)，B 点的坐标为(－1，3)． ∵C 点的坐标为(－3，0)，∴直线BC 对应的函数表达式为y ＝32x ＋92.∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋92，y ＝－3x ，整理得x 2＋3x ＋2＝0，解得x 1＝－1，x 2＝－2. ∴D ⎝⎛⎭⎪⎫－2，32.∴直线AD 对应的函数表达式为y ＝38x ＋94.∴OE＝94.4.154点拨：因为C(0，2)，A(4，0)，由矩形的性质可得P(2，1)，把P 点坐标代入反比例函数表达式可得k ＝2，所以反比例函数表达式为y ＝2x 易知D 点的横坐标为4，所以AD＝24＝12.又易知点E 的纵坐标为2，所以2＝2CE .所以CE ＝1.所以BE ＝3.所以S △ODE ＝S 矩形OABC－S △OCE －S △BED －S △OAD ＝8－1－94－1＝154.5．(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB， ∴四边形AEBD 是平行四边形． ∵四边形OABC 是矩形， ∴DA＝12AC ，DB ＝12OB ，AC ＝BO.∴DA＝DB.∴四边形AEBD 是菱形． (2)解：连接DE ，交AB 于F ，易知DE ＝OA ＝3. ∵四边形AEBD 是菱形，∴EF＝DF ＝12DE ＝32，AF ＝12AB ＝12OC ＝1.∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，1. 设所求反比例函数表达式为y ＝kx，把点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，1的坐标代入得1＝k 92，解得k ＝92.∴所求反比例函数表达式为y ＝92x.6．解：(1)如图，过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ，(第6题)∵点D 的坐标为(4，3)， ∴OF＝4，DF ＝3. ∴OD＝5. ∴AD＝OD ＝5.∴点A 的坐标为(4，8)． ∴k＝xy ＝4×8＝32. ∴k＝32.(2)如图，将菱形ABCD 沿x 轴正方向平移，使得点D 落在反比例函数y ＝32x (x>0)的图象上D′点处，过点D′作x 轴的垂线，垂足为F′.∵DF＝3，∴D′F′＝3. ∴点D′的纵坐标为3. ∵点D′在y ＝32x 的图象上，∴3＝32x ，解得x ＝323，即OF′＝323.∴FF′＝323－4＝203.∴菱形ABCD 沿x 轴正方向平移的距离为203.7．解：(1)∵正方形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴，y 轴上，点B 的坐标为(2，2)，∴C(0，2)．∵D 是BC 的中点， ∴D(1，2)．∵反比例函数y ＝kx (x ＞0，k≠0)的图象经过点D ，∴k＝2.(2)当P 在直线BC 的上方，即0＜x ＜1时， ∵点P(x ，y)在该反比例函数的图象上运动， ∴y＝2x.∴S 四边形CQPR ＝CQ·PQ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2＝2－2x.当P 在直线BC 的下方，即x ＞1时，同理求出S 四边形CQPR＝CQ·PQ＝x·⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2x ＝2x －2. 综上，S ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2（x ＞1），2－2x （0＜x ＜1）.8．4 点拨：∵圆O 在第一象限关于直线y ＝x 对称，y ＝kx (k ＞0)也关于直线y ＝x 对称，P 点坐标是(1，3)，∴Q 点的坐标是(3，1)．∴S 阴影＝1×3＋1×3－2×1×1＝4.故答案是4. 9．解：∵反比例函数的图象关于原点对称， ∴阴影部分的面积占圆O 面积的14.∴针头落在阴影区域内的概率为14.。
