高中数学 选修2-1 北师大版 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题 作业(含答案)

§3全称量词与存在量词知识点一全称量词与全称命题的定义[填一填](1)在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，像这样含有全称量词的命题叫作全称命题．(2)在某些全称命题中，有时全称量词可以省略．[答一答]将下列不含全称量词的全称命题改写成含有全称量词的命题．(1)不共线的三点确定一个平面；(2)平行线不相交；(3)对顶角相等．提示：(1)任意不共线的三点都可以确定一个平面．(2)任意两条平行线都不相交．(3)每一组对顶角都相等．知识点二存在量词与特称命题的定义[填一填]在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．[答一答]下列各命题中含有的量词分别是什么？(1)任意实数的平方都是正数；(2)0 乘以任何数都等于0；(3)任何一个实数都有相反数；(4)△ABC的内角中有小于60°的角．提示：(1)任意(2)任何(3)任何(4)有知识点三全称命题、特称命题的否定形式[填一填](1)要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．(2)要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质．实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．[答一答]1．命题的否定和否命题的区别与联系．提示：命题的否定是只否定命题的结论，而否命题是条件和结论同时否定，原命题和命题的否定必须一真一假，原命题和否命题没有固定的真假关系．2．如何写出含有量词的命题的否定，原先的命题与它的否定在形式上有何变化？提示：写含有量词的否定，不只是否定命题的结论，还要把全称量词改为存在量词或把存在量词改为全称量词．1．关于全称量词和全称命题的几个注意点：(1)全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，全称命题成立，则全称命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．(2)有的命题省去全称量词，仍是全称命题．如“有理数都是实数”就省去了全称量词“所有”．因此，要判定一个命题是否是全称命题，除看它是否含有全称量词外，还要结合具体意义．(3)在全称命题中，可以包括多个变量．如：对任意a，b∈R，(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3.全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．当然，当a＝3，b＝5 时，上式自然是正确的．2．特称命题的真假判定：要判定一个特称命题为真，只要在限定集合M中，能找到一个元素，使特称命题成立即可；否则，这一特称命题为假．3．常见量词的否定形式：类型一全称命题、特称命题的判断【例1】判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．(1)对任意x∈R，x2>0；(2)有些无理数的平方也是无理数；(3)正四面体的各面都是正三角形；(4)存在x＝1，使方程x2＋x－2＝0；(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0 成立；(6)存在a＝1 且b＝2，使a＋b＝3 成立．【思路探究】先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．【解】(1)(5)含全称量词“任意”，(3)虽不含有量词，但其本义是所有正四面体的各面都是正三角形．故(1)(3)(5)为全称命题；(2)(4)(6)为特称命题，分别含有存在量词“有些”“存在”“存在”．规律方法判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：(1)若命题中含有量词，则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．判断下列语句是否是全称命题或特称命题．(1)有一个实数a，a不能取对数．(2)所有不等式的解集A，都有A⊆R.(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定．(5)自然数的平方是正数．解：因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题．又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均为全称命题．(3)是疑问句，不是命题．综上所述，(1)(4) 为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．类型二全称命题、特称命题的否定形式【例2】判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图像都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．【思路探究】全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．【解】(1)是全称命题且为真命题．命题的否定是：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形且它的内角和不等于180°.(2)是全称命题且为假命题．命题的否定是：存在一个二次函数的图像开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定是：所有的四边形都是平行四边形．规律方法解题时要注意存在量词、全称量词的不同表示形式．特称命题p：存在x∈A，p(x)，其否定为：任意x∈A，非p(x)；全称命题q：任意x∈A，q(x)，其否定为：存在x∈A，非q(x)．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．(1)有理数都能写成分数的形式；(2)方程x2＋2x＋8＝0 有实数解；(3)有一个素数是偶数；(4)对任意m∈Z，都有m2－3>0 成立．解：(1)是全称命题，省略了全称量词“任意一个”，即“任意一个有理数都能写成分数的形式”，命题的否定为：存在一个有理数不能写成分数的形式，为假命题．(2)是特称命题，即“存在实数x，使方程x2＋2x＋8＝0 成立”，命题的否定为：对任意实数x，方程x2＋2x＋8＝0 不成立，为真命题．(3)是特称命题，即“存在一个素数是偶数”，命题的否定为：所有的素数都不是偶数，为假命题(2 是素数，也是偶数)．(4)命题中含有全称量词“任意”，所以是全称命题；否定形式：存在m∈Z，使m2－3≤0 成立．类型三利用全称命题、特称命题求参数的取值范围【例3】对于满足0≤p≤4 的一切实数，不等式x2＋px>4x＋p－3 恒成立，试求x的取值范围．【思路探究】本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围．【解】不等式x2＋px>4x＋p－3 恒成立，即(x－1)p＋x2－4x＋3>0恒成立，构造函数f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3.当x＝1 时，f(p)＝0，不满足f(p)>0，∴f(p)表示p的一次函数．∵p∈[0,4]，∴函数f(p)的图像是一条线段，要使f(p)>0 在[0,4]上恒成立，需满足Error!即Error!解得x<－1 或x>3.所以x的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．规律方法全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型．其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围．而特称命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围．解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性．”已知二次函数f(x)＝ax2＋x.对于任意x∈[0,1]，|f(x)|≤1 成立，试求实数a的取值范围．解：|f(x)|≤1⇔－1≤f(x)≤1⇔－1≤ax2＋x≤1，x∈[0,1]．①当x＝0 时，a≠0，①式显然成立；1 1 1 1当x∈(0,1]时，①式化为－－≤a≤－在x∈(0,1]上恒成立．x2 x x2 x1设t＝，则t∈[1，＋∞)，x则有－t2－t≤a≤t2－t，所以只需Error!故－2≤a<0.综上，所求实数a的取值范围是[－2,0)．——规范解答——根据全称命题、特称命题的真假确定参数范围【例4】若命题“存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a<0 成立”是真命题，求实数a的取值范围．【思路分析】解决本题的关键是将已知的特称命题是真命题转化为相应的函数在x轴下方一定有图象，这是函数思想的应用．【解】设函数f(x)＝ax2＋2x＋a，原命题为真等价于函数f(x)在x轴下方有图象．当a＝0 时，f(x)＝2x，满足题意；当a<0 时，二次函数f(x)的图象是开口向下的抛物线，在x轴下方一定有图象，满足题意；当a>0 时，只需4－4a2>0，所以0<a<1.综上，实数a的取值范围是(－∞，1)．(1)若命题“对于任意实数x，不等式sin x＋cos x>m恒成立”是真命题，求实数m的取值范围；(2)若命题“存在实数x，使不等式sin x＋cos x>m有解”是真命题，求实数m的取值范围．解：(1)令y＝sin x＋cos x，x∈R，π∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋≥－，) 24又∵任意x∈R，sin x＋cos x>m恒成立，∴所求m的取值范围是(－∞，－2)．(2)令y＝sin x＋cos x，x∈R，π∵y＝sin x＋cos x＝2sin(x＋4)∈[－2，2]．又∵存在x∈R，使sin x＋cos x>m有解，∴只要m< 2即可，∴所求m的取值范围是(－∞，2)．1．下列特称命题是真命题的是(B)A．存在x∈R，使x2<0B．有的三角形是等边三角形C．有的偶数不能被2 整除D．平面内存在一个四边形的内角和小于360°解析：A，C，D 均为假命题，B 是真命题．2．给出下列四个命题：①对任意的x∈R，x2>0；②存在x∈R，使得x2≤x成立；③对于集合M，N，若x∈M∩N，则x∈M且x∈N；④存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ.其中真命题的个数是(D)A．0 B．1C．2 D．3解析：存在x＝0，使x2＝0，故①是假命题；显然②③④都是真命题．3．命题“某些平行四边形是矩形”的否定是(C)A．某些平行四边形不是矩形B．每一个平行四边形都是矩形C．每一个平行四边形都不是矩形D．以上都不对解析：先否定结论，再把量词“某些”变成“每一个”．4．命题“所有偶函数的图像关于y轴对称”是真命题(填“真”或“假”)．其命题的否定为存在一个偶函数的图像不关于y轴对称，是假命题(填“真”或“假”)．5．写出下列命题的否定，并判断其真假：(1)所有能被5 整除的整数的末位数字都是0；(2)有的等腰三角形是直角三角形；(3)任意两个等边三角形都是相似的．解：(1)存在一个能被5 整除的整数的末位数字不是0，真命题；(2)所有的等腰三角形都不是直角三角形，假命题；(3)存在两个等边三角形不相似，假命题．。

全称量词与存在量词（填空题：一般）1、若命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围为．2、已知“∀x∈R，ax2＋2ax＋1>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．3、命题“对任何，”的否定是__________．4、已知命题“，”，则__________．5、下列命题中，假命题的序号有____．（1）是“函数为偶函数”的充要条件；（2）“直线垂直平面内无数条直线”是“直线垂直平面”的充分条件；（3）若，则；（4）若则￢6、命题“”的否定是_____7、命题“”的否定是________.8、已知，，若，或，则的取值范围是__________．9、设命题，则为__________．10、已知命题，，则命题的否定为__________.11、已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．12、已知命题“x∈R，sinx－2a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．13、以下说法正确的是__________。

(填写所有正确命题的序号)①不等式与不等式解集相同；②已知命题“若，则”的否命题是“若，则” ，命题“若，则”与命题“若，则”等价，则为真命题，为假命题；③命题“”的否定是“”；④已知幂函数的图像经过点，则。

14、命题“”的否定是____________．15、下列命题中真命题为__________．（1）命题“”的否定是“”（2）在中，,则．（3）已知数列{}，则“成等比数列”是“”的充要条件（4）已知函数，则函数的最小值为216、命题“ ，”的否定是________________．17、命题：，，则该命题的否定是________．18、命题“"x∈R，sin x≥－1”的否定是______．19、若“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围为_______.20、命题“∃x R，x＋1≥0”的否定为______．21、若命题“”是假命题，则的取值范围是__________．22、若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是___________．23、已知下列命题：①的否定是：；②若，则；③若，；④在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B．其中真命题是_______________．(将所有真命题序号都填上)24、若下列两个方程中至少有一个方程有实数根，则实数的取值范围是__________.25、命题“，”的否定是__________．26、给出如下四个命题：①已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，并且，则“”是“∥”的必要不充分条件；②对于，成立；③“若，则”的逆命题为真命题；④把函数的图象向右平移个单位，可得到的图象.其中所有正确命题的序号是__________．27、命题：“”的否定为__________．28、已知命题对任意的，命题存在，若命题“且”是真命题，则实数的取值范围是_________．29、已知函数.若命题：“，使”是真命题，则实数的取值范围是__________．30、命题，，命题，其中真命题是；命题的否定是．31、下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中所有真命题的序号是．32、已知命题，命题，若命题是真命题，则实数的取值范围是__________．33、若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．34、命题“，”的否定是．35、设命题P：，则P为．36、命题“∀x∈R＋，2x＋＞a成立”是真命题，则a的取值范围是________．37、【原创】已知命题，．若命题是真命题，则实数的取值范围是．38、已知命题，．若命题是假命题，则实数的取值范围是．39、命题“”的否定形式是．40、已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是．41、已知：对∀x＞0，a≤x+恒成立，则a的取值范围为．42、下列命题的否定为假命题的是．①∀x∈R，﹣x2+x﹣1＜0；②∀x∈R，|x|＞x；③∀x，y∈Z，2x﹣5y≠12；④∃x∈R，Tsin2x+sinx+1=0．43、命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是．44、已知命题p：∃n∈N，2n＞1000，则￢p为．45、下列全称命题中是假命题的是．①2x+1是整数（x∈R）；②对所有的x∈R，x＞3；③对任意的x∈Z，2x2+1为奇数．46、下列存在性命题中，是真命题的是．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．47、不等式x2﹣x＞x﹣a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是．48、命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是．49、命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．50、下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x02﹣3x0+6＜0成立．51、下列说法正确的是________(将所有正确的序号填在横线上)．①直线l1：ax＋y＝3，l2：x＋by－c＝0，则l1∥l2的必要条件是ab＝1；②方程x2＋mx＋1＝0有两个负根的充要条件是m>0；③命题“若|a|＝|b|，则a＝b”为真命题；④“x<0”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件．52、命题，使的否定是 .53、命题，使的否定是 .54、下列说法：①“，”的否定是“，”；②函数的最小正周期是；③命题“函数在处有极值，则”的否命题是真命题；④是上的奇函数，的解析式是，则时的解析式为．其中正确的说法是__________．55、若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数a的范围________．56、命题p:“，使”的否定¬p是57、已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0,1)，使f(x0)＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．58、命题“R，.”的否定是 .59、命题“R，.”的否定是 .60、由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是．61、已知命题，请写出命题的否定:_________.62、下列说法：① “，使>3”的否定是“，使3”；②函数的最小正周期是；③ “在中，若，则”的逆命题是真命题；④ “”是“直线和直线垂直”的充要条件；其中正确的说法是（只填序号）.63、命题：“，x0≤1或>4”的否定是________.64、命题“”的否定是： .65、若，则下列不等式对一切满足条件的，恒成立的是（写出所有正确命题的编号）_______________。

1．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素都验证为真，而要判定一个全称命题为假命题，只需举一个反例说明即可．2．要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中找到一个x0使命题成立即可．如果在集合中找不到这样的元素，则这一特称命题为假．3．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，因此，我们可以通过“举反例”来否定一个全称命题．——————————————————————————————————————————————————————————————————————————[A级基础夯实]1．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于3解析：“存在”是存在量词．答案：D2．下列特称命题中，真命题的个数是()①存在一个实数a，使a为正整数；②存在一个实数x，使10x为正整数；③存在一个实数y，使11y＝1为整数．A．0B．1C．2 D．3解析：对于①，当a＝4时，a＝2为正整数；对于②，当x＝1时，10x＝1为正整数；对于③，当y＝1时，11y＝1为整数，故选D.答案：D3．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定．．是() A．所有不能被2整除的整数都是偶数B ．所有能被2整除的整数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析：由于全称命题的否定是特称命题，本题“所有能被2整除的整数都是偶数”是全称命题，其否定为特称命题“存在一个能被2整除的整数不是偶数”．答案：D4．给出下列命题：①矩形的对角线不相等；②有的向量方向不确定；③对任意角α，都有sin 2 α＋cos 2 α＝1；④存在实数大于等于3；⑤至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．其中是全称命题的是________，是特称命题的是________．(填序号)解析：①可改写为，“所有矩形的对角线都不相等”，含有全称量词“所有”，故是全称命题；②中含有存在量词“有的”，故是特称命题；③中含有全称量词“任意”，故是全称命题；④中含有存在量词“存在”，故是特称命题；⑤中含有存在量词“至少有一个”，故是特称命题．答案：①③ ②④⑤5．给出下列四个命题：①梯形的对角线相等；②对任意实数x ，均有x ＋2>x ；③不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；④有些三角形不是等腰三角形．其中所有正确命题的序号为________．解析：①中直角梯形的对角线不相等，不成立；②显然成立；③x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34>0，成立；④显然成立．答案：②③④6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假：(1)每一个指数函数都是增函数；(2)至少有一个自然数小于1；(3)存在一个实数x ，使得x 2＋2x ＋2＝0；(4)圆内接四边形，其对角互补．解析：(1)是全称命题．对于指数函数y ＝(12)x ，它是减函数，故该全称命题是假命题． (2)是特称命题．显然，自然数0小于1，故该特称命题是真命题．(3)是特称命题．对方程x 2＋2x ＋2＝0，Δ＝22－4×2＝－4<0，即方程x 2＋2x ＋2＝0没有实数根，因此该特称命题是假命题．(4)是全称命题．省略了全称量词“所有的”，是真命题．[B 级 能力提升]7．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意的m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意的m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：对于选项A ，当m ＝0时，即∃m ∈R ，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确． 答案：A8．命题“存在x ∈R,2x ≤0”的否定是( )A ．不存在x ∈R,2x >0B ．存在x ∈R,2x ≥0C ．对任意x ∈R,2x ≤0D ．对任意x ∈R,2x >0解析：命题中含有存在量词“存在”，是特称命题，存在量词“存在”的否定为“任意”，由特称命题的否定为全称命题，可知选D.答案：D9．若对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，求a 的取值范围．解析：这是一个全称命题，只须：(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，借助二次函数图像可知只须⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0Δ＝16－4(a －1)(a ＋2)≤0成立． 解得a ≥2.所以，a 的取值范围为[2，＋∞)．10．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)不论m 取何实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实数根．(2)存在一个实数x ，使得x 2＋x ＋2≤0.(3)等圆的面积相等，周长相等．(4)对任意角α，都有sin 2 α＋cos 2 α＝1.解析：(1)这一命题可以表述为：“对所有的实数m ，方程x 2＋x －m ＝0有实数根”，其否定形式是：“存在实数m ，使得x 2＋x －m ＝0没有实数根”，注意到当Δ＝1＋4m ＜0，即m ＜－14时，一元二次方程没有实数根，所以其否定形式是真命题； (2)这一命题的否定形式是：对所有实数x ，都有x 2＋x ＋2＞0，利用配方法可以证得原命题的否定是一个真命题；(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知原命题的否定是一个假命题；。

1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A ­BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a (a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）1.下列命题中为真命题的是( )A.，B.,是整数C.,D.,2.（2012·山东泰安二模）下列命题中为真命题的是( )A.x∈R,sin x+cos x=B.x∈(0,π),sin x＞cos xC.x∈(－∞,0),＜D.x∈(0,+∞),＞x+13.下列判断正确的是( )A.设x是实数，则“x＞1”是“｜x｜＞1”的充分不必要条件B.p:“x∈R,≤0”则有p:不存在x∈R,＞0C.命题“若=1,则x=1”的否命题为：“若=1，则x≠1”D.x∈(0,+∞),＞为真命题二、填空题（本题共6小题，每小题7分，共42分）4.已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是________．5.命题“对任何，”的否定是________．6.下列四个命题：；；；.其中真命题是________．7.下列命题中的假命题是________．①，；②，；③，；④，.8.下列四个命题：①x∈R,+x+1≥0；②x∈Q,+x－是有理数；③α,β∈R,使sin(α+β)=sinα+sinβ；④x,y∈Z,使3x－2y=10.其中真命题的序号是.9.已知对，不等式恒成立，则实数的取值范围是________．三、解答题（本题共3小题，共40分）10.（本小题满分12分）写出下列命题的否定，并判断其真假.(1)x∈R，＋x＋1＞0；(2)x∈Q，＋x＋1是有理数；(3)α，β∈R，使cos(α＋β)=cosα＋cosβ. 11.（本小题满分12分）已知两个命题.如果对，与有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围.12.（本小题满分16分）已知函数.（1）若,使，求实数的取值范围；（2）设，且在上单调递增，求实数的取值范围．§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）答题纸得分：_______ 一、选择题二、填空题4.________5._________6._________7._________8._________9._________三、解答题10.解：11.解：12.解：§3 全称量词与存在量词（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B解析：一般地，要判定一个全称命题为真，必须对限定集合中的每一个验证成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称命题为假，只需要举出一个反例即可．要判定一个特称命题为真，只要在限定集合中，能找到一个，使成立即可，否则这一命题就为假．据此易知B是正确的．2. D解析：A选项：sin x+cos x=sin(x+π)＜，故A为假命题；B选项：当x=π时，有sinππ，故B 为假命题；由指数函数的性质知，x∈(－∞,0),＞，故C为假命题；D选项：设f(x)=，g（x）=x＋1，由两函数图象可知在(0,+∞)内＞x+1，故D为真命题.3.A解析：A中x＞1|x|＞1,|x|＞1x＞1或x＜－1，所以正确;B中p:x∈R,＞0;C中否命题为：“若≠1，则x≠1”;D中x=时是错误的.二、填空题4.－解析：已知命题是假命题，则原命题的否定“对任意，使－”是真命题，所以－－，解得－.5.存在，－－解析：全称命题的否定为特称命题，所以命题“对任何，”的否定是“存在，－－”.6.，解析：由图像可得命题是假命题当时,所以命题是真命题由图像可得命题是假命题对，所以命题是真命题7.③解析：当时，，所以①是真命题；当时，，所以②是真命题；当时，，所以③是假命题；④显然是真命题.8.①②③④解析：①②显然正确；③中，若α=π,β=0，则sin(α+β) =1,sinα+sinβ=1+0=1，等式成立，所以③正确；④中，当x=4,y=1时，3x－2y=10成立，所以④正确.9.解析：原不等式可化为，要使上式恒成立，只需大于的最大值，故上述问题转化成求的最值问题，.所以，即，等价于，，，或，，解得.三、解答题10.解：(1)的否定是“x∈R，使＋x＋1≤0”，假命题.(2)的否定是“x∈Q，使＋x＋1不是有理数”，假命题.(3)的否定是“α，β∈R，cos(α＋β)≠cosα＋cosβ”，真命题.11.解：因为－，所以当是真命题时，－.当为真命题，即对，恒成立时,有，解得－.所以当是真命题时，－.又对，与有且仅有一个是真命题，所以与一真一假当为真，为假时，.当为假，为真时，.综上，实数的取值范围是或.12.解：（1）由，，得，，所以－，解得或.（2）由题设得，对称轴方程为，方程=0的根的判别式为.由于在上单调递增，则有，解得.①当，即时，有，②当，即或时，设方程的根为，，(ⅰ)若，即，则有，解得；，(ⅱ)若，即，则有，解得.，由(ⅰ) (ⅱ)得或.综合①②有或.。

教学设计北师大-选修2-1-第一章§3 全称量词与存在量词的否定西安市第一中学孙丽荣课题：全称量词与存在量词的否定学习目标1,通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的含义．2．会判断全称命题，特称命题的真假．3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定（一）复习1全称量词与全称命题在指定范围内，表示整体或全部的含义的词叫做____________．我们把含有全称量词的命题，叫做____________．全称量词一般有：“所有的”、“任何一个”、“每一个”、“一切”、“任意一个”等等．2．存在量词与特称命题在指定范围内，表示个别或一部分的含义的词叫做________．我们把含有存在量词的命题叫做________．存在量词一般有：“有一个”、“有些”、“存在”、“至少有一个”等等．思考1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数（3） ∈R，2-21≥0；←探究：写出命题的否定（1）≥0,则2-m=0有实数根。

←（3）可以被5整除的整数，末位是0。

←（4）被8整除的数能被4整除。

例4 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

←（1）：若＞,则5＞5；←（2）：若2﹤2,则2-﹤2；←（3）：正方形的四条边相等；←（4）：已知a,b为实数，若2ab≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

←练习：写出下列命题的否定：←（1）：所有能被3整除的整数都是奇数；←（2）：每一个四边形的四个顶点共圆；←（3）：对任意∈Z，2的个位数字不等于3；←（4）：任意素数都是奇数；←（5）：每个指数函数都是单调函数；←（6）：线段的垂直平分线上的点到这条线段两←个端点的距离相等；。

§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题学习目标 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词.2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性.知识点一全称量词和全称命题短语“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”等都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题.知识点二存在量词与特称命题短语“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”等都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题叫作特称命题.【预习评价】(1)在全称命题和特称命题中，量词是否可以省略？(2)全称命题中的“x，M与p(x)”表达的含义分别是什么？提示(1)在特称命题中，量词不可以省略；在有些全称命题中，量词可以省略.(2)元素x可以表示实数、方程、函数、不等式，也可以表示几何图形，相应的集合M是这些元素的某一特定的范围.p(x)表示集合M的所有元素满足的性质.题型一全称量词与全称命题【例1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意实数x，使x2＋2>0；(2)所有自然数x，使x4≥1；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.解(1)由于任意实数x，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“对于任意实数x，x2＋2>0”是真命题.(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“所有自然数x，x4≥1”是假命题.(3)由于任意角α，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题.规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立.判断全称命题为假时，可以用反例进行否定.【训练1】试判断下列全称命题的真假：(1)任意x∈R，x2＋1≥2；(2)任何一条直线都有斜率；(3)每个指数函数都是单调函数.解(1)由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋1≥1，所以“任意x∈R，x2＋1≥2”是假命题.(2)当直线的倾斜角为π2时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题.(3)无论底数a>1还是0<a<1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题.题型二存在量词与特称命题【例2】判断下列特称命题的真假：(1)存在x0∈Z，使得x30<1；(2)存在一个四边形不是平行四边形；(3)有一个实数α，tan α无意义；(4)存在x0∈R，使得cos x0＝π2.解(1)∵－1∈Z，且(－1)3＝－1<1，∴“存在x0∈Z，使得x30<1”是真命题.(2)真命题，如梯形.(3)真命题，当α＝π2时，tan α无意义.(4)∵当x ∈R 时，cos x ∈[－1，1]，而π2>1， ∴不存在x 0∈R ，使cos x 0＝π2，∴“存在x ∈R ，使得cos x 0＝π2”是假命题.规律方法 判定特称命题真假的方法——代入法：在给定的集合中找到一个元素x ，使命题p (x )为真，否则命题为假. 【训练2】 试判断下列特称命题的真假：(1)存在x 0∈Q ，x 20＝3；(2)存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0；(3)存在x 0∈R ，tan x 0＝1； (4)存在x 0∈R ，lg x 0＝0.解 (1)由于使x 20＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“存在x 0∈Q ，x 20＝3”为假命题.(2)因为x 0>0，y 0>0，所以x 20＋y 20>0，所以“存在x 0，y 0为正实数，使x 20＋y 20＝0”为假命题.(3)当x 0＝π4时，tan π4＝1，所以“存在x 0∈R ，tan x 0＝1”为真命题. (4)当x 0＝1时，lg 1＝0，所以“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”为真命题.【探究1】 若命题p ：存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0为真命题，求实数a 的取值范围.解 方法一 由ax 20＋2x 0＋a <0，得a (x 20＋1)<－2x 0，当x 0＝0时，a ＜0；∵x 20＋1>0，∴a <－2x 0x 20＋1＝－2x 0＋1x0， 当x 0>0时，x 0＋1x 0≥2，∴－2x 0＋1x≥－1，当x 0<0时，x 0＋1x 0≤－2，∴－2x 0＋1x≤1， ∴－2x 0＋1x的最大值为1. 又∵存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a <0成立，∴只要a <1，∴a 的取值范围是(－∞，1).方法二 当a ≤0时，显然存在x 0∈R ，使ax 20＋2x 0＋a ＜0成立；当a ＞0时，由题意得⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2＞0，解得－1＜a ＜1， 综上，a 的取值范围是(－∞，1).【探究2】 若不等式(m ＋1)x 2－(m －1)x ＋3(m －1)<0对任意实数x 恒成立，求实数m 的取值范围.解 ①当m ＋1＝0即m ＝－1时，2x －6<0不恒成立. ②当m ＋1≠0，则⎩⎨⎧m ＋1<0，Δ<0⇒⎩⎨⎧m <－1，Δ＝[－（m －1）]2－4（m ＋1）·3（m －1）<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－1，m <－1311或m >1，综上，m <－1311.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1311.【探究3】 已知关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，求实数a 的取值范围.解 关于x 的不等式x 2＋(2a ＋1)x ＋a 2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝(2a ＋1)2－4(a 2＋2)≥0，即4a －7≥0，解得a ≥74，∴实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫74，＋∞.【探究4】 若命题p ：1－sin 2x ＝sin x －cos x 是真命题，求实数x 的取值范围.解 由1－sin 2x ＝sin x －cos x ，得sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ＝sin x －cos x ，∴（sin x－cos x）2＝sin x－cos x，即|sin x－cos x|＝sin x－cos x，∴sin x≥cos x.结合三角函数图像得2kπ＋π4≤x≤2kπ＋5π4(k∈Z)，此即为所求x的取值范围.规律方法应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质；所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决.(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.课堂达标1.下列命题中全称命题的个数是()①任意一个自然数都是正整数；②有的等差数列也是等比数列；③三角形的内角和是180°.A.0B.1C.2D.3解析①③是全称命题.答案 C2.下列命题中，不是全称命题的是()A.任何一个实数乘以0都等于0B.自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D.一定存在没有最大值的二次函数解析D选项是特称命题.答案 D3.已知命题：“对任意x＞3，x＞a恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是________.解析对任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.答案(－∞，3]4.已知命题：“存在x0∈[1，2]，使x20＋2x0＋a≥0”为真命题，则a的取值范围是________.解析要使命题为真命题，则22＋2×2＋a≥0，即a≥－8.答案[－8，＋∞)5.判断下列命题的真假.(1)p：任意x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0.解(1)∵任意x∈R，x2－x＋14＝⎝⎛⎭⎪⎫x－122≥0，∴p为真命题.(2)q为真命题.(3)∵任意x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0，∴r为假命题.课堂小结1.判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断.2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题.3.要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题.基础过关1.下列命题：①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除0，都等于0.其中全称命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析命题①②④都是全称命题.答案 C2.下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1.A.0B.1C.2D.3解析命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题.答案 B3.下列全称命题中真命题的个数为()①负数没有对数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A.1B.2C.3D.4解析①②③为真命题.答案 C4.给出下列四个命题：①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.其中全称命题是________.解析①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”.答案①②④5.若任意x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________.解析∵f(x)＝(a2－1)x是减函数，∴0<a2－1<1，∴1<a2<2，∴a∈(－2，－1)∪(1，2).答案(－2，－1)∪(1，2)6.已知命题p：“任意x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”，若命题p、q皆是真命题，求实数a的取值范围.解由p、q皆是真命题，知p为真命题，q也为真命题.若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2.综上，实数a的取值范围为{a|a≤－2或a＝1}.7.若任意x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.解(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒有公共点，所以a∈R.(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立.又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ′＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0时，a∈[－1，1].能力提升8.给出以下命题：①任意x∈R，有x4>x2；②存在α∈R，使得sin 3α＝3sin α；③存在a∈R，对任意x∈R，使得x2＋2x＋a<0.其中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.3解析①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图像开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题.故选B.答案 B9.已知命题p：存在x0∈R，x20＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A.[0，4]B.(0，4)C.(－∞，0)∪(4，＋∞)D.(－∞，0]∪[4，＋∞)解析∵p是假命题，∴任意x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立，∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4.答案 A10.下面四个命题：①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R，4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________.解析x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题.∵当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题.对任意x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题.4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题.∴①②③④均为假命题.答案011.若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________.解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1.∴m 的最小值为1. 答案 112.已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并求出m 的取值范围；(2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)不等式m ＋f (x )>0可化为m >－f (x )， 即m >－x 2＋2x －5＝－(x －1)2－4.要使m >－(x －1)2－4对于任意x ∈R 恒成立，只需m >－4即可.故存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，此时m >－4.m 的取值范围是(－4，＋∞).(2)不等式m －f (x 0)>0可化为m >f (x 0)，若存在一个实数x 0，使不等式m >f (x 0)成立，只需m >f (x )min .∵f (x )＝(x －1)2＋4，∴f (x )min ＝4，∴m >4. ∴所求实数m 的取值范围是(4，＋∞).13.(选做题)已知函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1，1]上任意的x ，都有f (x )≤0.求实数p 的取值范围.解 在[－1，1]上的所有实数x ，都有f (x )≤0恒成立.又由二次函数的图像特征可知，⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≤0，即⎩⎨⎧4＋2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，4－2（p －2）－2p 2－p ＋1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧p ≥1或p ≤－12，p ≥32或p ≤－3，∴p ≥32或p ≤－3.∴p 的取值范围是(－∞，－3]∪[32，＋∞).。

第一章 常用逻辑用语1.3.2 全称命题与特称命题的否定教学目标：1．理解全称量词与存在量词的意义.2．能正确地对含有一个量词的命题进行否定教学重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．教学过程：一、创设情境数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”、“任何”、“任意”、“每一个”等与“存在着”、“有”、“有些”、“某个”、“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词（用符号分别记为“ ∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与存在性命题。

在全称命题与存在性命题的逻辑关系中，,p q p q ∨∧都容易判断，但它们的否定形式是我们困惑的症结所在。

二、活动尝试问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。

（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）每一个素数都是奇数；（3）∀x ∈R ，x 2-2x+1≥0分析：（1）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个矩形不是平行四边形；∃∈⌝x M,p(x)（2）∀∈x M,p(x)，否定：存在一个素数不是奇数；∃∈⌝x M,p(x)（3）∀∈x M,p(x)，否定：∃x ∈R ，x 2-2x+1<0；∃∈⌝x M,p(x)这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？结论：从命题形式上看，这三个全称命题的否定都变成了存在性命题.三、师生探究问题2：写出命题的否定（1）p ：∃ x ∈R ，x 2＋2x +2≤0；（2）p ：有的三角形是等边三角形；（3）p ：有些函数没有反函数；（4）p ：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；分析：（1）∀ x ∈R ，x 2＋2x+2>0；（2）任何三角形都不是等边三角形；（3）任何函数都有反函数；（4）对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分；从集合的运算观点剖析：()U U U A B A B =,()U U U A B A B =四、数学理论1.全称命题、存在性命题的否定一般地，全称命题P ：∀ x ∈M,有P （x ）成立；其否定命题p ⌝为：∃x ∈M,使P （x ）不成立。