高中数学 1.3.1全称量词与全称命题、1.3.2存在量词与特称命题同步练习(含解析)北师大版选修11

第3.1节全称量词与全称命题第3.2节存在量词与特称命题学习目标：能够用全称量词符号表示全称命题，能用存在量词符号表述特称命题；能判断全称命题和特称命题的真假；学习重点、难点：正确判断全称命题和特称命题的真假.学习方法：师生共研讨、生生互助一．自主学习：（阅读教材P12-14后完成以下问题）1.想一想（1）对任意Rx∈，3>x；（2）所有的正整数都是有理数；（3）若函数)(xxf=-，则)(xf是f(xf对定义域D中的每一个x，都有)()偶函数；（4）所有有中国国籍的人都是黄种人．问题.（1）这些命题中的量词有何特点?（2）上述4个命题，可以用同一种形式表示它们吗？2.填一填：全称量词：全称命题：全称命题的符号表示：全称命题真假的判断方法你能否举出一些全称命题的例子？3.试一试：判断下列全称命题的真假．（1）所有的素数都是奇数；（2）11,2≥+∈∀x R x ；（3）每一个无理数x ，2x 也是无理数．（4）{}Q n m n m x x b a ∈+=∈∀,,2,，{}Q n m n m x x b a ∈+=∈+,,2．4.想一想：你是如何判断全称命题的真假的？问题下列命题中量词有何特点？与全称量词有何区别？（1）存在一个,0R x ∈使3120=+x ；（2）至少有一个,0Z x ∈0x 能被2和3整除；（3）有些无理数的平方是无理数． 5.类比归纳：存在量词 特称命题 特称命题的符号表示 特称命题真假的判断方法6.练一练：判断下列特称命题的真假．（1）有一个实数0x ，使032020=++x x ；（2）存在两个相交平面垂直于同一平面；（3）有些整数只有两个正因数．二．学习诊断：1、用符号“∀”、“∃”语言表达下列命题（１）自然数的平方不小于零（２）存在一个实数，使0122=+-X X2、判断下列命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{}是无理数，是无理数2|x x x x ∈∀（4）;0,00≤∈∃x R x３、下列说法正确吗？因为对)(,)(,x p M x x p M x ∈∃⇒∈∀，反之则不成立．所以说全称命题是特称命题，特称命题不一定是全称命题．４、设函数m x x x f --=2)(2，若对[]4,2∈∀x ，0)(≥x f 恒成立，求m 的取值范围；三．课后练习1．下列命题中为全称命题的是（ ）(A)有些圆内接三角形是等腰三角形；（B ）存在一个实数与它的相反数的和不为0；(C)所有矩形都有外接圆； （D ）过直线外一点有一条直线和已知直线平行．2．下列全称命题中真命题的个数是（ ）①末位是0的整数，可以被3整除；②对12,2+∈∀x Z x 为奇数． ③角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等；（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 33．下列特称命题中假命题．．．的个数是（ ） ①0,≤∈∃x R x ；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§3全称量词与存在量词3.1全称量词与全称命题3.2存在量词与特称命题课时目标 1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义.2.能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容，并判断全称命题和特称命题的真假．1．全称量词与全称命题命题中“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等词语，都是在指定范围内，表示______________的含义，这样的词叫作全称量词，含有______________的命题，叫作全称命题．2．存在量词与特称命题命题中“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”这样的词语，都是表示________的含义，这样的词叫作存在量词．含有____________的命题叫作特称命题．一、选择题1．下列语句不是全称命题的是()A．任何一个实数乘以零都等于零B．自然数都是正整数C．高二(一)班绝大多数同学是团员D．每一个向量都有大小2．下列命题是特称命题的是()A．偶函数的图像关于y轴对称B．正四棱柱都是平行六面体C．不相交的两条直线是平行直线D．存在实数大于等于33．下列是全称命题且是真命题的是()A．任意x∈R，x2>0B．任意x∈Q，x2∈QC．存在x0∈Z，x20>1D．任意x，y∈R，x2＋y2>04．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是()A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20>0C ．任一无理数的平方必是无理数D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2 5．下列全称命题中假命题的个数是( )①2x ＋1是整数(x ∈R )；②对所有的x ∈R ，x >3；③对任意一个x ∈Z,2x 2＋1为奇数A ．0B ．1C ．2D ．36．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．任意m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．下列特称命题中是真命题的有________．(填序号)①存在x ∈R ，x 2＝0；②有的菱形是正方形；③至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数．8．不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对于x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是__________．9．下列命题中，真命题有__________．(填序号)①不存在实数x ，使x 2＋x ＋1<0；②对任意实数x ，均有x ＋1>x ；③方程x 2－2x ＋3＝0有两个不等的实根；④不等式x 2－x ＋1|x |＋1<0的解集为∅. 三、解答题10．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假．(1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x >0.(2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2.(3)存在T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |.(4)存在x 0∈R ，使x 20＋1<0.11．已知对任意x >0，a <x ＋1x恒成立，求a 的取值范围．能力提升12．已知a >0，则x 0满足关于x 的方程ax ＝b 的充要条件是( )A ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 B ．存在x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 0 C ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≥12ax 20－bx 0 D ．任意x ∈R ，12ax 2－bx ≤12ax 20－bx 01．判断一个命题是全称命题还是特称命题，主要看命题中是否含有全称量词或存在量词，有的题目隐含了全称量词或存在量词，要注意对其进行改写找到．2．要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每一个元素x 验证p (x )成立；但要判定一个全称命题是假命题，却只需找出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可(这就是我们常说的“举出一个反例”)．要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M 中，至少能找到一个x ＝x 0，使得p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．§3 全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3.2 存在量词与特称命题知识梳理1．整体或全部 全称量词2．个别或一部分 存在量词作业设计1．C [“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，是特称命题．]2．D [“存在”是存在量词．]3．B [A 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．]4．B 5.C6．A [对于选项A ，存在m ∈R ，当m ＝0时，f (x )＝x 2＋mx ＝x 2是偶函数．故A 正确．]7．①②③解析 对于命题①，当x ＝0时，x 2＝0；对于命题②，有一个角是直角的菱形是正方形；对于命题③，整数1既不是合数，也不是素数．8．(－2,2]解析 当a ＝2时，显然符合条件；当a ≠2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ a <2，Δ＝4(a －2)2－4(a －2)×(－4)<0， ⇒－2<a <2.综上，a 的取值范围是(－2,2]．9．①②④解析 对于选项③，方程x 2－2x ＋3＝0没有实根，是假命题．10．解 (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题．(1)∵a x >0 (a >0，a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．(2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期，∴命题(3)是真命题．(4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0，∴命题(4)是假命题．11．解 由于对任意x >0，a <x ＋1x恒成立， 只需a <⎝⎛⎭⎫x ＋1x min 恒成立． ∵x >0，x ＋1x≥2，即⎝⎛⎭⎫x ＋1x min ＝2. ∴a <2.故a 的取值范围是(－∞，2)．12．C [由于a >0，令函数y ＝12ax 2－bx ＝12a (x －b a )2－b 22a ，此时函数对应的图像开口向上，当x ＝b a 时，取得最小值－b 22a ，而x 0满足关于x 的方程ax ＝b ，那么x 0＝b a ，y min ＝12ax 20－bx 0＝－b 22a ，那么对于任意的x ∈R ，都有y ＝12ax 2－bx ≥－b 22a ＝12ax 20－bx 0.]。

2022-2023新高一初高中衔接假期过关实训课程衔接知识点： 全称量词与存在量词知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（ ）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____．三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m 取什么实数，方程x 2+x -m =0必有实根.（4）存在一个实数x ，使x 2+x +4≤0.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R ∀∈，210x x ++>；（2）x R ∃∈，210x x -+=；（3）所有的正方形都是矩形.9．若命题“x R ∃∈，使得2(1)10x a x +-+<”是真命题，求实数a 的取值范围.10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．《全称量词与存在量词》答案及解析知识点温习及典例1．全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．2．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定经典例题解析 例1 (1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 答案 B解析 A 中锐角三角形的内角都是锐角，所以A 是假命题；B 中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题；C 中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；D 中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．例2设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则非p 为( )A ．所有正方形都不是平行四边形B ．有的平行四边形不是正方形C ．有的正方形不是平行四边形D ．不是正方形的四边形不是平行四边形答案 C解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即非p 为有的正方形不是平行四边形．例3已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋2－a ＝0.若命题p ，q 都是真命题，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，－2]解析 由命题p 为真，得a ≤0，由命题q 为真，得Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，即a ≤－2或a ≥1，所以a ≤－2.例4 下列命题是真命题的是( )A ．所有的素数都是奇数B ．∀x ∈R ，x 2＋1≥0C ．对于每一个无理数x ，x 2是有理数D ．∀x ∈Z ，1x∉Z 答案 B解析 对于A,2是素数，但2不是奇数，A 假；对于B ，∀x ∈R ，总有x 2≥0，则x 2＋1≥0恒成立，B 真；对于C ，π是无理数，(π)2＝π还是无理数，C 假；对于D,1∈Z ，但11＝1∈Z ，D 假，故选B. 例5．若命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈R,2x 2－1<0B ．∀x ∈R,2x 2－1≥0C ．∃x ∈R,2x 2－1≤0D．∀x ∈R,2x 2－1<0答案 C解析 由题意，根据全称命题与特称命题的关系，可得命题p ：∀x ∈R,2x 2－1>0的否定是“∃x ∈R, 2x 2－1≤0”．过关实训习题一、单选题1．命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是（）A ．0x R ∃∈，00220210x x -+<B ．0x R ∃∈，20020210x x -+≤C ．x R ∀∈，220210x x -+<D ．x R ∀∈，220210x x -+≤【答案】B【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“x R ∀∈，220210x x -+>”的否定是“0x R ∃∈，20020210x x -+≤”.故选：B.2．命题“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是（）A ．20,10x x ax ∃≥+-<B ．20,10x x ax ∃≥+-≥C ．20,10x x ax ∃<+-<D ．20,10x x ax ∃<+-≥【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定是特称命题，所以“20,10x x ax ∀<+-≥”的否定是“20,10x x ax ∃<+-<”.故选：C二、填空题3．命题“2,430x R ax ax ∀∈++>”为真，则实数a 的范围是__________ 【答案】30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】将问题转化为“不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立”，由此对a 进行分类讨论求解出a 的取值范围.【详解】由题意知：不等式2430ax ax ++>对x ∈R 恒成立，当0a =时，可得30>，恒成立满足；当0a ≠时，若不等式恒成立则需2016120a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得304a <<， 所以a 的取值范围是30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 故答案为：30,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.思路点睛：形如()200ax bx c ++<>的不等式恒成立问题的分析思路：（1）先分析0a =的情况；（2）再分析0a ≠，并结合∆与0的关系求解出参数范围；（3）综合（1）（2）求解出最终结果.4．若“,x R ∃∈有21k x -+≤成立”是真命题，则实数k 的取值范围是____________ 【答案】1k ≤【分析】转化条件为()2max 1k x≤-+，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得()2max 1k x ≤-+，函数21y x =-+的最大值为1，∴1k ≤.故答案为：1k ≤.5．已知命题21:,04∀∈-+>p x R x x ，则p ⌝为_____． 【答案】20001,04∃∈-+≤x R x x 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可直接写出p ⌝.【详解】 由全称命题的否定为特称命题，已知21:,04∀∈-+>p x R x x ，所以20001:,04⌝∃∈-+≤p x R x x . 故答案为：20001,04∃∈-+≤x R x x .三、解答题6．判断下列命题是全称命题还是特称命题，写出这些命题的否定，并说出这些否定的真假，不必证明．（Ⅰ）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（Ⅱ）菱形都是正方形；（Ⅲ）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【答案】答案见解析【分析】根据全称命题和特称命题的定义，结合全称命题的否定是特称命题、特称命题的否定是全称命题进行求解即可.【详解】解：（Ⅰ）该命题是特称命题，该命题的否定是：对任意一个实数x，都有x2+2x+3≤0.因为22++=++>23(1)20x x x所以该命题的否定是假命题．（Ⅱ）该命题是全称命题，该命题的否定是：菱形不都是正方形.因为只有当菱形的邻边互相垂直时，才能成为正方形，所以该命题的否定是真命题．（Ⅲ）该命题是特称命题，该命题的否定是：方程x2﹣8x+12＝0的每一个根都不是奇数.因为方程x2﹣8x+12＝0的根为2或6，所以该命题的否定是真命题．7．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假：（1）实数都能写成小数形式.（2）有的有理数没有倒数.（3）不论m取什么实数，方程x2+x-m=0必有实根.（4）存在一个实数x，使x2+x+4≤0.【答案】答案见解析.【分析】（1）按全称命题改写，再判断命题真假.（2）按特殊命题改写，再判断命题真假.（3）按全称命题改写，再判断命题真假.（4）按特殊命题改写，再判断命题真假.【详解】（1）∀a∈R，a都能写成小数形式，此命题是真命题.（2）∃x∈Q，x没有倒数，有理数0没有倒数，故此命题是真命题.（3）∀m∈R，方程x2+x-m=0必有实根.当m=-1时，方程无实根，是假命题.（4）∃x∈R，使x2+x+4≤0.x2+x+4=212x⎛⎫+⎪⎝⎭+154>0恒成立，所以为假命题.8．写出下列命题的否定，并判断其真假：（1）x R∀∈，210x x++>；（2）x R∃∈，210x x-+=；（3）所有的正方形都是矩形.【答案】（1）存在x∈R，210x x++≤，假命题；（2）任意x∈R，210x x-+≠，真命题；（3）至少存在一个正方形不是矩形，假命题.【分析】（1）全称量词改为存在量词，大于改为小于等于；（2）存在量词改为全称量词，等于改为不等于；（3）全称量词改为存在量词，是改为不是.【详解】（1）存在x∈R，210++≤，真假性：假命题.x x（2）任意x∈R，210-+≠，真假性：真命题.x x（3）至少存在一个正方形不是矩形，真假性：假命题.【点睛】关键点点睛：掌握全称量词的否定是存在量词，存在量词的否定是全称量词是解题关键.9．若命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，求实数a的取值范围.x a x-∞-+∞.【答案】(,1)(3,)【分析】根据题意，结合二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，命题“x R∃∈，使得2(1)10+-+<”是真命题，x a x则满足2a a a a--=-+>，a∆=-->，即223(3)(1)0(1)40解得1a>，a<-或3-∞-+∞.即实数a的取值范围(,1)(3,)10．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题，并判断真假（需说明理由）：（1）任意实数的平方大于0；（2）存在整数x ，y ，使得43x y +=.【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）将文字改为符号即可，利用反例知原命题为假；（2）将文字改为符号即可，利用特殊值知原命题为真.【详解】（1）原命题可用符号表示为：x R ∀∈，20x >.当0x =时，20x =，可知原命题为假命题；（2）原命题可用符号表示为：0x Z ∃∈，0y Z ∈，0043x y +=.当03x =，00y =时，0043x y +=，可知原命题为真命题.11．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，请写出它们的否定，并判断其真假：（1）p ：对任意的x ∈R ，210x x ++≠都成立；（2）q ：x R ∃∈，使2350x x ++≤．【答案】（1）全称量词命题，p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”，假命题；（2）存在量词命题，q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”，真命题．【分析】（1）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；（2）根据全称命题和特称命题的定义即可判断，即可写出其否定形式并判断真假；【详解】（1）由于命题中含有全称量词“任意的”， 因此，该命题是全称量词命题．又因为“任意的”的否定为“存在一个”， 所以其否定是：存在一个x ∈R ，使210x x ++=成立， 即p ⌝：“x R ∃∈，使210x x ++=”， 因为=30∆-<，所以方程210x x ++=无实数解， 此命题为假命题．（2）由于“x R ∃∈”表示存在一个实数x ，即命题中含有存在量词“存在一个”， 因此，该命题是存在量词命题．又因为“存在一个”的否定为“任意一个”， 所以其否定是：对任意一个实数x ，都有2350x x ++>成立． 即q ⌝：“x R ∀∈，有2350x x ++>”． 因为=110∆-<，所以对x R ∀∈，2350x x ++>总成立， 此命题是真命题．。

高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析1.已知命题，则为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D【考点】全称命题的否定.2.已知命题，那么是A．B．C．D．【答案】B【解析】命题的否定，就是把命题的结论否定，条件不变，但条件中的存在量词必须作相应的改变，因此是．选B．【考点】命题的否定．3.已知命题，命题，则( )A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题【答案】C【解析】在直角坐标系中作出y=x-2与图像可得命题P是真命题,命题q是错误的(x=0),所以命题是真命题是真命题,故选C.【考点】全称命题特称命题逻辑连接词4.把命题“”的否定写在横线上__________．【答案】【解析】命题“”的否定为“”．【考点】命题的否定．5.下列命题中,真命题是()A．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数【答案】A【解析】∵当m=0时,f(x)=x 2(x ∈R),∴f(x)是偶函数. 又∵当m=1时,f(x)=x 2+x(x ∈R),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.C 、D 错.当x≠0,x ∈R 时,f(-x)=x 2-mx≠-(x 2+mx)=-f(x),∴B 不成立.故选A.6. 已知a>0,函数f(x)=ax 2+bx+c,若x 0满足关于x 的方程2ax+b=0,则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R,f(x)≤f(x 0)B ．∃x ∈R,f(x)≥f(x 0)C ．∀x ∈R,f(x)≤f(x 0)D ．∀x ∈R,f(x)≥f(x 0)【答案】C【解析】∵a>0,∴二次函数图象开口向上,对称轴为x=-,∴∀x ∈R,f(x)≥f(x 0),故C 为假命题.故选C.7. 已知命题p:∀x ∈R,x>sinx,则p 的否定形式为( ) A ．∃x ∈R,x<sinx B ．∃x ∈R,x≤sinx C ．∀x ∈R,x≤sinx D ．∀x ∈R,x<sinx【答案】B【解析】命题中“”与“”相对,则p: x ∈R,x≤sinx.8. 以下正确命题的个数为（ ） ①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】命题“存在，”的否定是：“，”，所以①是假命题；由函数零点存在定理知②是真命题；由得，，所以③是真命题；线性回归直线恒过样本中心，但不一定经过样本点，所以 是假命题④；综上知正确命题的个数为2，故选D.【考点】全称命题与存在性命题，函数的零点存在定理，回归直线方程，导数的几何意义，基本不等式.9. 由命题“”是假命题，求得实数的取值范围是，则实数的值是 ． 【答案】【解析】根据题意可得：是真命题，则，即，故． 【考点】1.命题的真假;2.三个二次的关系10. 已知命题： （ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】全称命题：“”的否定为“”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“”的否定是“”.故选C.【考点】全称命题的否定.11.已知命题p：∀x，>0，则（）A．非p：∃x，B．非p：∀x，C．非p：∃x，D．非p：∀x，【答案】C【解析】“”的否定是“”，否定命题即否定条件也否定结论，故命题p：∀x，>0，的否命题是“∃x，”，选C.【考点】全称量词、命题及其关系.12.为假命题,则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】为假命题，即对，设，则是二次函数，其图像是开口向上的抛物线，因为，所以图像与轴无交点.即，所以,解得，故的取值范围为.【考点】对含一个量词的命题进行否定、一元二次不等式13.已知命题：，，那么是( )A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】含有一个存在量词的特称命题的否定是全称命题，所以.【考点】全称、特称命题及其否定形式.14.已知命题：使成立．则为（）A．均成立B．均成立C．使成立D．使成立【答案】D【解析】原命题为特称命题，故其否定为全称命题，即．【考点】全称命题.15.命题：“”，则（）A．是假命题；：B．是假命题；：C．是真命题；：D．是真命题；：【答案】B【解析】命题是假命题，当时不成立，全称命题的否定是特称命题，需将任意改存在，并对满足的条件否定的否定是，所以命题P的否定是：【考点】全称命题与特称命题点评：全称命题的否定是，特称命题的否定是16.已知命题，使，则（）A．，使B．，使C．，使D．，使【答案】D【解析】对于特称命题的否定是全称命题，可知那么命题，使，将存在改为任意，结论改为否定，可知为，使，故选D.【考点】命题的否定点评：本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题17.已知p：函数有两个零点，．若为真，为假，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解：∵为真，为假，∴p,q是一个真命题，一个假命题，由p：函数f（x）=x2+mx+1有两个零点，得△=m2-4＞0，解得m＞2或m＜-2．由q：，，得△=16（m-2）2-16<0，解得1<m<3，∴实数m的取值范围为,故选B．【考点】命题的真值点评：解决的关键是利用函数的零点的概念来分析得到，以及全称命题的理解和运用，属于基础题。

1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x >2 解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A ．每一个二次函数的图像都开口向上B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( )A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos x D ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos x sin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A ­BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥ACC ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD 同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ， 故AD ⊥EF . 6．“对于任意的x ∈Z ，2x ＋1是整数”的逆命题是________． 答案：若2x ＋1是整数，则x ∈Z7．若对任意的x ∈R ，f (x )＝(a 2－1)x 是减函数，则a 的取值范围是________．解析：依题意有：0<a 2－1<1⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，a 2－1<1⇔⎩⎨⎧a <－1或a >1，－2<a <2⇔－2<a <－1或1<a < 2. 答案：(－2，－1)∪(1，2)8．若对任意x ∈R ，都有ax 2＋2x ＋a ＜0，则实数a 的取值范围是________．解析：命题为真命题时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝4－4a 2＜0.解得a ＜－1.即a 的取值范围是(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．(1)任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2；(2)存在x ∈{x |x ＞1}，log 2x ＋log x 2＜2；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．解：(1)全称命题．由于x 2－x ＜2⇔x 2－x －2＜0⇔－1＜x ＜2，所以任意x ∈(－1，2)，x 2－x ＜2成立．真命题．(2)特称命题．当x ∈{x |x ＞1}时，log 2x ＞0，故log 2x ＋log x 2＝log 2x ＋1log 2x≥2，当且仅当x ＝2时，(log 2x ＋log x 2)min ＝2，所以不存在x ∈{x |x ＞1}，使log 2x ＋log x 2＜2成立．假命题．(3)全称命题．当a ＞1时，指数函数f (x )＝a x 为增函数，当0＜a ＜1时，指数函数f (x )＝a x 为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．10．不等式x 2－2mx －1＞0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．解：法一：因为Δ＝4m 2＋4＞0恒成立，所以设方程x 2－2mx －1＝0的两根为x 1，x 2，且x 1＜x 2 .因为{x |1≤x ≤3}⊆{x |x 2－2mx －1＞0}＝{x |x ＞x 2或x ＜x 1}，所以方程x 2－2mx －1＝0的两根x 1，x 2都大于3或都小于1.因为x 1x 2＝－1＜0，所以两根都小于1.令y ＝x 2－2mx －1，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜1，f （1）＞0， 解得m ＜0.所以m 的取值范围为{m |m ＜0}．法二：因为1≤x ≤3，x 2－2mx －1＞0，所以m ＜x 2－12x ＝12⎝⎛⎭⎪⎫x －1x . 当x ∈[1，3]时，函数y ＝x －1x是增加的， 所以12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，43，所以m ＜0. [B.能力提升]1．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．存在x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)B ．存在x ∈R ，使f (x )≥f (x 0)C ．对任意x ∈R ，使f (x )≤f (x 0)D ．对任意x ∈R ，使f (x )≥f (x 0) 解析：选C.由x 0＝－b2a (a >0)及抛物线的相关性质可得选项C 是错误的．2．有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12； p 2：存在x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ；p 3：对任意的x ∈[0，π], 1－cos 2x 2＝sin x ； p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2. 其中假命题为( )A ．p 1，p 4B ．p 2，p 4C ．p 1，p 3D ．p 3，p 4解析：选A.由于对任意x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x2＝1，故p 1是假命题； 当x ，y ，x －y 有一个为2k π(k ∈Z )时，sin x －sin y ＝sin(x －y )成立，故p 2是真命题．对于p 3：任意x ∈[0，π]，1－cos 2x 2＝2sin 2x 2＝|sin x |＝sin x 为真命题． 对于p 4：sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2为假命题，例如x ＝π，y ＝π2，满足sin x ＝cos y ＝0，而x ＋y ＝3π2. 3．命题“对任意x ∈R ，存在m ∈Z ，使m 2－m ＜x 2＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)解析：由于对任意x ∈R ，x 2＋x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以只需m 2－m ＜34，即－12＜m ＜32.所以当m ＝0或m ＝1时，对任意x ∈R ，m 2－m ＜x 2＋x ＋1成立，因此该命题是真命题．答案：真4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f (x )，使f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )对于任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析：由函数单调性得3≥a 2－sin x ≥a ＋1＋cos 2x 对任意x ∈R 均成立，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3＋sin x ，a 2－a ≥sin x ＋cos 2x ＋1对任意x ∈R 均成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤（3＋sin x ）min ，a 2－a ≥（sin x ＋cos 2x ＋1）max ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，a 2－a ≥94. 解得－2≤a ≤12－102. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12－102 5．若不等式t 2－2at ＋1≥sin x 对一切x ∈[－π，π]及a ∈[－1，1]都成立，求t 的取值范围．解：因为x ∈[－π，π]，所以sin x ∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a ∈[－1，1]不等式t 2－2at ＋1≥1恒成立．由t 2－2at ＋1≥1得2t ·a －t 2≤0.令f (a )＝2t ·a －t 2，则f (a )在t ≠0时是关于a 的一次函数，当t ＝0时，显然f (a )≤0成立，当t ≠0时，要使f (a )≤0在a ∈[－1，1]上恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝2t －t 2≤0，f （－1）＝－2t －t 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t ≥0，t 2＋2t ≥0，解得t ≤－2或t ≥2. 故t 的取值范围是t ≤－2或t ＝0或t ≥2.6．(选做题)若x ∈[－2，2]，不等式x 2＋ax ＋3≥a 恒成立，求a 的取值范围．解：设f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，则问题转化为当x ∈[－2，2]时，[f (x )]min ≥0即可．①当－a 2＜－2，即a ＞4时，f (x )在[－2，2]上是增加的，[f (x )]min ＝f (－2)＝7－3a ≥0，解得a ≤73，又a ＞4，所以a 不存在． ②当－2≤－a 2≤2，即－4≤a ≤4时， [f (x )]min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝12－4a －a 24≥0， 解得－6≤a ≤2.又－4≤a ≤4，所以－4≤a ≤2.③当－a 2＞2，即a ＜－4时，f (x )在[－2，2]上是减少的，[f (x )]min ＝f (2)＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，又a ＜－4，所以－7≤a ＜－4.故a 的取值范围是{a |－7≤a ≤2}．。

1.5全称量词与存在量词考点1全称量词命题和存在量词命题1.全称量词短语“所有的"“任意一个"在逻辑中通 常叫作全称量词,并用符号“∀”表示.2.全称量词命题(1)定义:含有全称量词的命题，叫作全称量词命题。

(2)符号表示:通常,将含有变量x 的语句用p(x)q(x)r(x)......表示,变量x 的取值范围用M 表示.那么，全称量词命题“对M 中任意一个x ，p(x)成立”可用符号简记为∀x ∈M,p(x).3.存在量词短语“存在一个”“至少有一个” 在逻辑中通常叫作存在量词,并用符号“∃”表示4. 存在量词命题(1)定义:含有存在量词的命题，叫作存在量词命题，(2)符号表示:存在量词命题“存在M 中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x ∈M,p(x).牛刀小试1. 用量词符号表述下列全称量词命题:(1)任一个实数乘以一1都等于它的相反数.(2)对任意实数x,都有x x 23>(3)凸n 边形的外角和等于2π.2.给出下列语句,其中既是命题又是全称量词命题的是①对任意实数x,x2 +1≥2.②有一个实数a,a 不能作分母. ③每一个负数的平方都是正数吗?3.将“xy y x 222≥+"改写成全称量词命题,下列说法正确的是( ) A.对任意x,y ∈R,都有xy y x 222≥+ B.存在x.y ∈R,使xy y x 222≥+ C.对任意x>0,y>0，都有xy y x 222≥+ D.存在x<0,y<0,使xy y x 222≥+5. 用量词符号“∃”表示下列存在量词命题:(1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立.(2)至少有一个整数x,使0)32(3<+x(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除.(4)某个四边形不是平行四边形.6.下列命题不是“∃x ∈R,x 2>3”的表述方法的是( ). A.有一个x ∈R,使得,x 2>3成立 B.对有些x ∈R,使得,x 2>3成立 C.任选一个x ∈R,都有,x 2>3成立 D.至少有一个x ∈R,使得,x 2>3成立考点2全称量词命题和存在量词命题的真假判断1.判断全称量词命题“∀x ∈M,p(x)”成立，需要对M 中的每一个x ，都证明p(x)成立，则为真命题，如果在M 中存在一个x,使 p(x)不成立,则为假命题。

通用版2022-2023学年初升高衔接新知识预习篇专题：存在量词与全称量词(原卷)一、基本知识及其典型例题【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)矩形的对角线不相等；(2)凸多边形的外角和等于360°；(3)存在x∈N,使得2x＋1是偶数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（2）菱形都是正方形；（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【例2】将下列命题用“∀”或“∃”表示．(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <0)至少存在一个负根；【变式2】用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立； （3）任意实数乘1-，都等于它的相反数； （4）存在实数x ，使得32x x >.【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (2)对任意实数a ，|a |＞0；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（） A.负数没有对数；B.对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；C.二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；D.∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0.【变式3.2】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假：(1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数.【例4】（全称量词命题的否定）写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1,2,3,4,5中的每一项都是偶数； (3)∀a ，b ∈R ，方程ax ＝b 都有唯一解；(4)可以被5整除的整数末位是0.【练习4】写出下列全称量词命题的否定： (1)p ：每一个四边形的四个顶点共圆； (2)p ：所有自然数的平方都是正数； (3)p ：任何实数x 都是方程5x －12＝0的根； (4)p ：对任意实数x ，x 2＋1≥0.【例5】（存在量词命题的否定）写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形； (3)∃x 0，y 0∈Z ，使得2x 0＋y 0＝3.【变式5】写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假． (1)p ：∃x 0>1，使x 20－2x 0－3＝0； (2)p ：有些素数是奇数；(3)p ：有些平行四边形不是矩形．【例6】已知p ：∀x ∈R ，ax 2＋2x ＋3>0，如果⌝p 是真命题，那么a 的取值范围是.【变式6】已知命题p ：3x ∀≥，使得21x m -≥是真命题，求实数m 的取值范围.二 过关检测一、选择题 1.命题x R ∀∈,210x 的否定形式是（）A ．200,10x R x ∃∈+>B ．200,10x R x ∀∈+≤C ．200,11x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤2.给出下列命题：①存在实数x 0>1，使x 20>1；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数a ，使ax 2－ax ＋1＝0的根为负数． 其中存在量词命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．在下列给出的四个命题中，为真命题的是( ) A.a R ∀∈，b Q ∃∈，220a b += B.n Z ∀∈，m Z ∃∈，nm m = C.n Z ∀∈，m Z ∃∈，2n m >D.a R ∀∈，b Q ∃∈，221a b +=4．若命题“x R ∃∈，使得23210x ax ++<”是假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．a <<．a ≤a ≥C ．a ≤≤．a <a >5．对下列命题的否定说法正确是（）. A ．P ：x R ∀∈，0x >；p ⌝：x R ∃∈，0x > B ．P ：x R ∃∈，21x ≤-；p ⌝：x R ∃∈，21x >-C ．P ：如果2x <，那么1x <；p ⌝：如果2x <，那么1≥xD ．P ：x R ∀∈，使210x +≠；p ⌝：x R ∃∈，使210x += 6．命题“2[1,2],x x a ∃∈≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．1a ≥ B ．4a ≥C ．2a ≥-D ．0=a二、多选题7．设命题:67p n N n ∀∈+，为质数，则（） A ． p ⌝为假命题 B ． :N,67p n n ⌝∃∈+不是质数 C ． p ⌝为真命题D ． :N,67p n n ⌝∀∈+不是质数8．下列说法中正确的个数是（）A ．命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题；B ．命题“2,20x R x ∀∈+<”是全称量词命题；C ．命题“x R ∃∈，2440x x ++≤”是存在量词命题．D ．命题“不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根”是真命题；9．已知命题:p x R ∃∈，2220x x a ++-=为真命题，则实数a 的取值可以是（） A ．1B ．0C ．3D ．3-10．（多选题）下列说法正确的有（）A ．命题p ：,(0,1)∀∈x y ，2x y +<，则p ⌝：00,(0,1)∃∈x y ，002+≥x yB ．“1a >，1b >”是“1ab >”成立的充分条件C ．命题p ：x R ∀∈，20x >，则p ⌝：x R ∃∈，20x <D ．“5a <”是“3a <”的必要条件 三、填空题11.命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为_____________． 12．命题“全等三角形的面积都相等”的否定是_______________13.有4个命题：（1）没有男生爱踢足球；（2）所有男生都不爱踢足球；（3）至少有一个男生不爱踢足球；（4）所有女生都爱踢足球；其中是命题“所有男生都爱踢足球”的否定是_____． 14．若“[1,2]x ∃∈-，21x m ->”为假命题，则实数m 的最小值为___________. 四、解答题15．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假. （1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；（2）对任意非零实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则11x >21x ；（3）对任意的x ∈R ，x 2+x +1=0都成立； （4）∃x ∈R ，使得x 2+1=0； （5）每个正方形都是平行四边形.16．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定. （1）所有的正方形都是矩形；（2）每一个奇数都是正数；（3）∀x∈R，210-+≥；x x（4）有些实数有平方根；（5）∃x∈R，210x+=.17．令p(x)：ax2+2x+1＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，求实数a的取值范围．专题：存在量词与全称量词(解析及答案）一、基本知识及其典型例题【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)矩形的对角线不相等；(2)凸多边形的外角和等于360°；(3)存在x∈N,使得2x＋1是偶数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【解析】(1)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为存在量词命题．(2)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题．(3)含有存在量词“存在”，故是存在量词命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为存在量词命题．【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）存在实数x，使得x2+2x+3＞0；（2）菱形都是正方形；（3）方程x2﹣8x+12＝0有一个根是奇数．【详解】（1）该命题是特称命题，（2）该命题是全称命题， （3）该命题是特称命题，【例2】将下列命题用“∀”或“∃”表示． (1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <0)至少存在一个负根；【解析】 (1)∀x ∈R ，x 2≥0.(2)∃x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <0)． 【变式2】用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立； （3）任意实数乘1-，都等于它的相反数； （4）存在实数x ，使得32x x >. 【答案】答案见解析. 【分析】按照全称命题和特称命题的定义进行求解 【详解】解：（1）x R ∀∈，x 能写成小数形式； （2）(,),,x y x R y R ∃∈∈，使30x y ++<； （3）,(1)x R x x ∀∈⋅-=-； （4）32,x R x x ∃∈>. 【点睛】此题考查全称命题和特称命题的含义及符号表示，属于基础题.【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0； (2)对任意实数a ，|a |＞0；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．【解析】(1)是存在量词命题．假命题，因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立． (2)是全称量词命题．假命题，因为|0|＝0，所以|a |＞0不都成立．(3)是全称量词命题．假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数．(4)是存在量词命题．假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解 【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（） A.负数没有对数；B.对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；C.二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；D.∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0. 【解析】ABC 为真命题．D 中，当0==y x 时，x 2＋|y |=0，不符合。

§1.3 全称量词与存在量词(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．既是特称命题，又是真命题的是( )A ．斜三角形的内角是锐角或钝角B ．至少有一个x ∈R ，使x 2≤0C ．两个无理数的和是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2 解析： 如x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0.答案： B2．“a ∥α，则a 平行于α内任一条直线”是( )A ．真命题B ．全称命题C ．特称命题D ．不含量词的命题 解析： 命题中含有“任一”全称量词，故为全称命题．答案： B3．下列命题的否定为真命题的是( )A ．有理数是实数B ．末位数是0的整数能被2整除C ．存在x 0∈R ，x 02－3＝0D ．任意的x ∈R ，x 2＋2x >0解析： 一个命题和它的否定真假性相反．如当x ＝－1时，x 2＋2x ＝(－1)2＋2×(－1)＝－1<0，所以任意的x ∈R ，x 2＋2x >0是假命题，因此其否定是真命题．答案： D4．(2008年海南)已知存在命题p ：∃x ∈R,2x ＋1≤0，则命题p 的否定是( )A ．∃x ∈R,2x ＋1>0B ．∀x ∈R,2x ＋1>0C ．∃x ∈R,2x ＋1≥0D ．∀x ∈R,2x ＋1≥0解析： “存在x ∈R ，使2x ＋1≤0”成立的否定是：任意x ∈R ，2x ＋1>0.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2010年安徽卷)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________． 解析： 因为原命题为特殊命题，所以其否定为“对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠0”． 答案： 对任意x ∈R ，都有x 2＋2x ＋5≠06．给出以下命题：(1)对任意x ∈R ，有x 4＞x 2；(2)存在α∈R ，使sin 3α＝3sin α；(3)存在a ∈R ，对任意x ∈R 都有x 2＋2x ＋a ＜0，其中的假命题是________．解析： (1)它是全称命题，举反例，当x ＝12时，x 4＞x 2不成立，是假命题；(2)它是特称命题，当α＝0时，sin 3α＝3sin α成立，是真命题；(3)令函数y ＝x 2＋2x ＋a ，是二次函数，开口方向向上，不存在实数a ，使x 2＋2x ＋a ＜0成立，是假命题．答案： (1)(3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．用符号“任意的”或“存在”表示下列的命题，并判断真假：(1)实数的平方大于或等于0；(2)存在一对实数(x ，y )，使2x －y ＋1<0成立；(3)勾股定理．解析： (1)是全称命题，隐藏了全称量词“所有的”．任意的x ∈R ，x 2≥0.是真命题．(2)存在x ∈R ，y ∈R,2x －y ＋1<0，是真命题，如x ＝0，y ＝2时：2x －y ＋1＝0－2＋1＝－1<0成立．(3)这是全称命题，所有直角三角形都满足勾股定理．即任意的Rt △ABC ，a ，b 为直角边长，c 为斜边长，a 2＋b 2＝c 2.是真命题．8．写出下列命题的否定：(1)若2x >4，则x >2；(2)若m ≥0，则x 2＋x －m ＝0有实数根；(3)可以被5整除的整数，末位是0；(4)被8整除的数能被4整除；(5)若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．解析： (1)的否定：存在实数x 0，虽然满足2x 0>4，但x 0≤2.(2)的否定：虽然实数m ≥0，但存在一个实数m 0，使x 2＋x －m 0＝0无实数根．(3)的否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0.(4)的否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除．(5)的否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但它的四条边中至少有两条边不相等．9．(10分)判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．(1)至少存在一个实数x，使x3＋8＝0.(2)存在x∈Q，x2＝3.(3)任意x∈R，sin x>1.(4)负数的平方是正数．解析：(1)真命题，其否定是：“任意实数x，x3＋8≠0”．(2)假命题，其否定是：“任意x∈Q，x2≠3”．(3)是假命题，命题的否定是：“存在x∈R，sin x≤1”．(4)是真命题，命题的否定是：“存在一个负数的平方不是正数”．。

1.1命题及其关系重难点：了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题；明白四种命题之间的关系；会利用两个命题互为逆否命题的关系判别命题的真假．考纲要求：①了解命题及其逆命题、否命题与逆否命题．②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的互相关系．经典例题：已知命题；若是的充分非必要条件，试求实数的取值范围．当堂练习：1.给出以下四个命题：①“若x＋y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若，则有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三内角相等”的逆否命题．其中真命题是( )A．①②B．②③C．①③D．③④1.“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为（）A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角D．以上都不对3.给出4个命题：①若，则x=1或x=2；②若，则；③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么：（）A．①的逆命题为真B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假4.命题“若△ABC不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等.”的逆否命题是（）A．“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角相等.”B．“若△ABC任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形.”C．“若△ABC有两个内角相等，则它是等腰三角形.”D．“若△ABC任何两个角相等，则它是等腰三角形.”5.命题p：若A∩B=B，则；命题q：若，则A∩B≠B．那么命题p与命题q 的关系是（）A．互逆B．互否C．互为逆否命题D．不能确定6.对以下四个命题的判断正确的是( )(1)原命题：若一个自然数的末位数字为0，则这个自然数能被5整除(2)逆命题：若一个自然数能被5整除，则这个自然数的末位数字为0(3)否命题：若一个自然数的末位数字不为0，则这个自然数不能被5整除(4)逆否命题：若一个自然数不能被5整除，则这个自然数的末位数字不为0A．(1)、(3)为真，(2)、(4)为假B．(1)、(2)为真，(3)、(4)为假C．(1)、(4)为真，(2)、(3)为假D．(2)、(3)为真，(1)、(4)为假7.直线的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是（）A．k＜0 B．k＜－1 C．k＜1 D．k＞－2 8.直线，互相平行的一个充分条件是（）A．，都平行于同一个平面B．，与同一个平面所成的角相等C．平行于所在的平面D．，都垂直于同一个平面9.已知a1，a2，a3，a4是非零实数，则a1a4=a2a3是a1，a2，a3，a4成等比数列的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分且必要条件D．既不充分又不必要条件10.在ΔABC中，条件甲：A＜B，条件乙：cos A＞cos B,则甲是乙的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件11.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上).12.命题则对复合命题的下述判断：①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假．其中判断正确的序号是（填上你认为正确的所有序号）．13.设集合A={x|x2＋x－6=0}，B={x|mx＋1=0}，则B是A的真子集的一个充分不必要的条件是_ .14.设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么甲是丁的__________条件．15.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假：(1)若xy=0，则x，y中至少有一个是0；(2)若x＞0，y＞0，则xy＞0；16.设集合，，则“或”是“”的什么条件？17.已知关于x的一元二次方程(m∈Z)① mx2－4x＋4＝0 ② x2－4mx＋4m2－4m－5＝0求方程①和②都有整数解的充要条件18.设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α、β均大于1的什么条件？参考答案：经典例题：【解析】由，得．：．由，得．：B={}．∵是的充分非必要条件，且，A B．即当堂练习：1.C;2.B;3.A;4.C;5.C;6.C;7.C;8.D;9.B; 10.C; 11.②; 12.①④⑤⑥; 13. m=(也可为或0);14.充分不必要.15.【解析】(1)逆命题：若x=0，或y=0则xy=0；否命题：xy≠0，则x≠0且y≠0；逆否命题：若x≠0，且y≠0则xy≠0；(2)逆命题：若xy＞0,则x＞0，y＞0；否命题：若x≤0，或y≤0则xy≤0；逆否命题：若xy≤0；则x≤0，或y≤016.【解析】“或”，，因为“或”，但，故“或”是“”的必要不充分条件．17.【解析】方程①有实根的充要条件是解得m 1.方程②有实根的充要条件是，解得故m=－1或m=0或m=1.当m=－1时，①方程无整数解.当m=0时，②无整数解；当m=1时，①②都有整数.从而①②都有整数解m=1.反之，m=1①②都有整数解.∴①②都有整数解的充要条件是m=1.18.【解析】根据韦达定理得a=α+β,b=αβ.判定的条件是p:结论是q:(注意p中a、b满足的前提是Δ=a2－4b≥0)(1)由，得a=α+β＞2,b=αβ＞1,∴q p(2)为证明p q,可以举出反例：取α=4,β=,它满足a=α+β=4+＞2,b=αβ=4×=2＞1,但q不成立.综上讨论可知a＞2,b＞1是α＞1,β＞1的必要但不充分条件1.2简单的逻辑联结词重难点：通过实例，了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；能准确区分命题的否定与否命题．考纲要求：①了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义．经典例题：已知p:方程x2＋mx＋1=0有两个不等的负根；q:方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．当堂练习：1.下列命题中为简单命题的是（）A．8或6是30的约数B．菱形的对角线垂直平分C．是无理数D．方程没有实数根2.有下列命题：①面积相等的三角形是全等三角形；②“若xy=0，则”的逆命题；③“若a>b，则a+c>b+c”的否命题；④“矩形的对角线互相垂直”的逆否命题．其中真命题共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.已知命题p：若实数x、y满足则x、y全为0；命题q：若给出下列四个复合命题：①p且q，②p或q，③p，④q.其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3 D．44.在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数可以是（）A.1或2或3或4B.0或2或4C.1或3D.0或45.若命题p：2n－1是奇数，q：2n＋1是偶数，则下列说法中正确的是（）A．p或q为真B．p且q为真C．非p为真D．非p为假6.“至多三个”的否定为（）A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个7.“”的含义是（）A．不全为0 B.全不为0C．至少有一个为0 D.不为0且为0，或不为0且为08.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题9.如果命题“非p”与命题“p或q”都是真命题，那么（）A．命题p与命题q的真值相同B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p不一定是真命题10.由下列各组命题构成“p或q”为真，“p且q”为假，非“p”为真的是（）A．, B．p：等腰三角形一定是锐角三角形，q：正三角形都相似C．，D．12是质数11.命题A：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥；命题A 的等价命题B可以是：底面为正三角形，且______________的三棱锥是正三棱锥．12.由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p 且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.13.在空间中，①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是(把符合要求的命题序号都填上).14.所给命题：①菱形的两条对角线互相平分的逆命题；②= ;③对于命题:“p且q”，若p假q真，则“p且q”为假；④有两条边相等且有一个内角为60°是一个三角形为等边三角形的充要条件．其中为真命题的序号为．15.写出下列各组命题的“或”命题，并判断其真假①p：2=2；q：2＞2．②p：正方形的对角线互相垂直；q：矩形的对角线互相平分．16.关于x的不等式与指数函数若命题“p的解集为或在内是增函数”是真命题，求实数的取值范围．17.若三条抛物线中至少有一条与x轴有公共点，求a的取值范围.18.已知命题p:|x2－x｜≥6，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值. 参考答案：经典例题：【解析】由已知p，q中有且仅有一为真，一为假．．．（1）若p假q真，则；（２）若p真q假，则．综上所述：．当堂练习：1.C;2.B;3.B;4.B;5.A;6.B;7.A;8.B;9.B; 10.B; 11.此题是开放性题，答案不唯一，可以是“侧棱与底面所成角相等”；或“侧面与底面所成角相等；……; 12. 6是12或24的约数；6是12的约数，也是24的约数；6不是12的约数; 13.②;14.②③④.15.【解】①p∨q：(2=2)∨(2＞2)，即2≥2．(真)由于2=2是真命题，所以2≥2是真命题．②p∨q：(正方形的对角线互相垂直)∨(矩形的对角线互相平分)．由于两个命题都是真的，所以p∨q是真命题．16.【解析】设使p的解集为的的集合为A，使在内是增函数的的集合为B，则本题即求答案为．17.【解析】若按一般思维习惯，对三条抛物线与x轴公共点情况一一分类讨论，则较为繁琐，若从其反面思考，先求“三抛物线均与x轴无公共点的的范围”则很简单.由解之，得，记，则所求a的范围是?18.【解析】∵p且q为假 ∴p、q至少有一命题为假，又“非q”为假∴q为真，从而可知p为假.由p为假且q为真，可得：即∴故x的取值为：－1、0、1、2.1.3全称量词与存在量词重难点：通过生活和数学中丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义地利用；能准确全称量词与存在量词的意义．考纲要求：①理解全称量词与存在量词的意义．②能正确地对含有一个量词的命题进行否定．经典例题：判断下列命题是全称命题还是存在性命题．(1)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(2)负数的平方是正数；(3)有些三角形不是等腰三角形；(4)有些菱形是正方形．当堂练习：1.对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是( )A.是全称命题B.是存在性命题C.是假命题D.是“若p则q”形式的命题2.命题“原函数与反函数的图象关于y=x对称”的否定是（）A 原函数与反函数的图象关于y=－x对称B 原函数不与反函数的图象关于y=x对称C 存在一个原函数与反函数的图象不关于y=x对称D 存在原函数与反函数的图象关于y=x对称3.下列全称命题中，真命题是( )A.所有的素数是奇数B. , (x－1)2＞0C., x+≥2D. , sinx+≥24.下列存在性命题中,假命题是( )A. ,B.至少有一个x∈Z．x能被2和3整除C.存在两个相交平面垂直于同一个直线D. 是无理数}．x2是有理数5.下列全称命题中假命题的个数是（）2x+1是整数（x∈R）②对所有的x∈R，x＞3③对任意一个x∈z，2x2+1为奇数A 0B 1C 2D 36.下列全称命题中真命题的个数是（）末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 47.下列存在性命题中假命题的个数是（）有的实数是无限不循环小数②有些三角形不是等腰三角形③有的菱形是正方形A 0B 1C 2D 38.下列特称命题中真命题的个数是（）①②至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数③A 0B 1C 2D 39.下列命题为存在性命题的是（）A 偶函数的图象关于y轴对称B 正四棱柱都是平行六面体C 不相交的两条直线是平行直线D 存在实数大于等于310.下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等③正四面体中两侧面的夹角相等A 1B 2C 3D 411.命题“任何有理数的平方仍是有理数”用数学符号语言可以表示为．12.命题“存在实数是有理数”用数学符号语言可以表示为．13.命题“存在实数是有理数”的否定用数学符号语言可以表示为．14.命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________．15.判断下列命题的真假：(1) ．+1≥x；(2) ．+1≥x；(3)存在无穷多个既是奇函数又是偶函数的函数；(4)有些相似三角形是全等三角形．16.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断真假：(1)正方形对角线互相垂直平分：(2)所有中国人都讲汉语；(3)有些数比它的平方大；(4)有些实数的平方根是无理数．17.已知：对,a＜x+恒成立，求a的取值范围．18.写出下列命题的否定.(1)对所有的正数x，＞x－1；(2)不存在实数x，x2+1＜2x”；(3)集合A中的任意一个元素都是集合B的元素；(4)集合A中至少有一个元素是集合B的元素．参考答案：经典例题：【解析】⑴全称命题⑵全称命题⑶存在性命题．⑷存在性命题．当堂练习：1.A;2.C;3.C;4.C;5.C;6.C;7.A;8.D;9.C; 10.C; 11. ,; 12. ,;13.,x∈?RQ;14.任意一个三角形都有外接圆15.【解析】①假命题②真命题③真命题④假命题16.【解析】①全称命题;真命题②全称命题;假命题③存在命题;真命题④存在命题;真命题.17.【解析】18.【解析】(1)“对所有的正数x，＞x－1”的否定是“存在正数x，≤x－1”；(2)“不存在实数x，x2+1＜2x”的否定是“存在实数x，x2+1≥2x”；(3)“集合A中的任意一个元素都是集合B的元素”的否定是“存在集合A中的元素不是集合B中的元素”；(4)“集合A中至少有一个元素是集合B的元素”的否定是“集合A中的所有元素都不是集合B中的元素”．1.4常用逻辑用语单元测试1．函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是（）A．ab=0 B．a+b=0 C．a=b D．a2+b2=02．“至多有三个”的否定为（）A．至少有三个B．至少有四个C．有三个D．有四个3．有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像．金盒上写有命题p：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题q：肖像不在这个盒子里；铅盒上写有命题r：肖像不在金盒里．p、q、r中有且只有一个是真命题，则肖像在（）A．金盒里B．银盒里C．铅盒里D．在哪个盒子里不能确定4．不等式对于恒成立，那么的取值范围是（）A．B．C．D．5．“a和b都不是偶数”的否定形式是（）A．a和b至少有一个是偶数B．a和b至多有一个是偶数C．a是偶数，b不是偶数D．a和b都是偶数6．某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（）A．不拥有的人们不一定幸福B．不拥有的人们可能幸福C．拥有的人们不一定幸福D．不拥有的人们不幸福7．若命题“p或q”为真，“非p”为真，则（）A．p真q真B．p假q真C．p真q假D．p假q假8．条件p：，，条件q：，，则条件p是条件q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件9．2x2－5x－3＜0的一个必要不充分条件是（）A．－＜x＜3 B．－＜x＜0 C．－3＜x＜D．－1＜x＜610．设原命题：若a+b≥2，则a,b中至少有一个不小于1。