高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则课时提升作业11_1

高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算第2课时导数的运算法则学案（含解析）新人教A 版选修11学习目标 1.了解求导法则的证明过程.2.掌握函数的和、差、积、商的求导法则.3.能够运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．知识点一 函数和、差的导数 已知f (x )＝x ，g (x )＝1x.思考1 f (x )，g (x )的导数分别是什么？ 答案 f ′(x )＝1，g ′(x )＝－1x2.思考2 若h (x )＝f (x )＋g (x )，I (x )＝f (x )－g (x )，那么h ′(x )，I ′(x )分别与f ′(x )，g ′(x )有什么关系？答案 ∵Δy ＝(x ＋Δx )＋1x ＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝Δx ＋－Δxx x ＋Δx，∴ΔyΔx ＝1－1xx ＋Δx.∴h ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x x ＋Δx ＝1－1x 2. 同理，I ′(x )＝1＋1x2.梳理 和、差的导数[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )．特别提醒：(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)[c (x )]′＝cf ′(x )．(3)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．知识点二 函数积、商的导数 1．函数积的导数[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )．2．函数商的导数⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．1．f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( × ) 2．f (x )＝1e x ＋1，则f ′(x )＝exe x ＋1.( × )3．函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( × )类型一 利用导数四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝2x 3－3x ＋x ＋1x x；(2)y ＝x 2＋1x 2＋3；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)；(4)y ＝x sin x －2cos x .考点 导数的运算法则 题点 导数乘除法则的混合运用解 (1)∵y ＝322x －123x -＋x －1＋32x -，∴y ′＝123x ＋3232x -－x －2－5232x -.(2)方法一 y ′＝x 2＋1′x 2＋3－x 2＋1x 2＋3′x 2＋32＝2xx 2＋3－2x x 2＋1x 2＋32＝4xx 2＋32.方法二 y ＝x 2＋1x 2＋3＝x 2＋3－2x 2＋3＝1－2x 2＋3，y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 2＋3′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＋3′ ＝－2′x 2＋3－－2x 2＋3′x 2＋32＝4x x 2＋32.(3)方法一 y ′＝[(x ＋1)(x ＋3)]′(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)′＝[(x ＋1)′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)′](x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝(2x ＋4)(x ＋5)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋18x ＋23. 方法二 ∵y ＝(x ＋1)(x ＋3)(x ＋5)＝(x 2＋4x ＋3)(x ＋5) ＝x 3＋9x 2＋23x ＋15，∴y ′＝(x 3＋9x 2＋23x ＋15)′＝3x 2＋18x ＋23. (4)y ′＝(x sin x )′－⎝⎛⎭⎪⎫2cos x ′＝x ′sin x ＋x (sin x )′－2′cos x －2cos x ′cos x 2＝sin x ＋x cos x －2sin xcos 2x.反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分．(2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导．这样可以减少运算量，优化解题过程．(3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用积、商的求导法则求导．跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝cos x ln x ；(3)y ＝e xsin x.考点 导数的运算法则 题点 导数乘除法则的混合运用解 (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋1x ln3. (2)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e xsin x ＝ex′·sin x －e x·sin x′sin 2x＝e x·sin x －e x·cos x sin 2x ＝e xsin x －cos xsin 2x. 类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式例2 (1)已知函数f (x )＝ln xx＋2xf ′(1)，试比较f (e)与f (1)的大小关系；(2)设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，试确定常数a ，b ，c ，d ，使得f ′(x )＝x cos x . 考点 导数的应用 题点 导数的应用 解 (1)由题意得f ′(x )＝1－ln xx2＋2f ′(1)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1－ln11＋2f ′(1)，即f ′(1)＝－1.所以f (x )＝ln x x －2x ，得f (e)＝lne e －2e ＝1e－2e ，f (1)＝－2，由f (e)－f (1)＝1e －2e ＋2<0，得f (e)<f (1)．(2)由已知f ′(x )＝[(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ]′ ＝[(ax ＋b )sin x ]′＋[(cx ＋d )cos x ]′＝(ax ＋b )′sin x ＋(ax ＋b )(sin x )′＋(cx ＋d )′cos x ＋(cx ＋d )(cos x )′ ＝a sin x ＋(ax ＋b )cos x ＋c cos x －(cx ＋d )sin x ＝(a －cx －d )sin x ＋(ax ＋b ＋c )cos x . 又∵f ′(x )＝x cos x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －d －cx ＝0，ax ＋b ＋c ＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＝0，－c ＝0，a ＝1，b ＋c ＝0，解得a ＝d ＝1，b ＝c ＝0.反思与感悟 解决此类题目的前提是熟练应用导数的运算法则．跟踪训练2 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2e xf ′(1)＋3ln x ，则f ′(1)等于( )A ．－3B ．2eC.21－2e D.31－2e考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝2e xf ′(1)＋3x，令x ＝1，得f ′(1)＝2e f ′(1)＋3， ∴f ′(1)＝31－2e. 命题角度2 与切线有关的问题 例 3 (1)设曲线y ＝2－cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2处的切线与直线x ＋ay ＋1＝0垂直，则a ＝________. 考点 导数的应用 题点 导数的应用(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 (1)1 (2)(e ，e) 解析 (1)y ′＝sin 2x －2－cos x cos x sin 2x ＝1－2cos xsin 2x， 当x ＝π2时，y ′＝1－2cosπ2sin2π2＝1，直线x ＋ay ＋1＝0的斜率是－1a，由题意－1a＝－1，所以a ＝1.(2)设P (x 0，y 0)， 则0'|x x y =＝ln x 0＋1＝2，∴x 0＝e ，则y 0＝e 则P 点坐标为(e ，e)．反思与感悟 (1)与切线有关的问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素．其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系．(2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确． (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点． 跟踪训练3 设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为________． 考点 导数的应用题点 导数的应用 答案 4解析 因为曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，由导数的几何意义知g ′(1)＝2，又因为f (x )＝g (x )＋x 2，所以f ′(x )＝g ′(x )＋2x ⇒f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，所以y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为4.1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 B2．对于函数f (x )＝e xx 2＋ln x －2kx，若f ′(1)＝1，则k 等于( )A.e 2B.e 3C ．－e 2D ．－e 3 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 A解析 ∵f ′(x )＝e xx －2x 3＋1x ＋2kx2， ∴f ′(1)＝－e ＋1＋2k ＝1，解得k ＝e2，故选A. 3．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2B.12C ．－12D ．－2考点 导数的应用 题点 导数的应用答案 D 解析 y ′＝x ＋1′x －1－x ＋1x －1′x －12＝－2x －12，∴y ′|x ＝3＝－23－12＝－12，∴曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线斜率为－12， 由题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×(－a )＝－1，∴a ＝－2. 4．已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 3解析 由题意得f ′(x )＝(2x ＋3)e x，则得f ′(0)＝3.5．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y ＝ax 2＋b x(a ，b 为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是______． 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 －3解析 y ＝ax 2＋b x 的导数为y ′＝2ax －b x2， 直线7x ＋2y ＋3＝0的斜率为－72.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b2＝－5，4a －b 4＝－72，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.一、选择题1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x)′＝3xlog 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 B解析 选项A ，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x2，故错误；选项B ，(log 2x )′＝1x ln2，故正确； 选项C ，(3x)′＝3xln3，故错误；选项D ，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故错误． 故选B.2．函数y ＝x 2＋a 2x(a >0)在x ＝x 0处的导数为0，那么x 0等于( )A ．aB ．±aC ．－aD ．a 2考点 导数的运算法则 题点 导数除法法则及运算 答案 B解析 ∵y ′＝1－a 2x 2，0'|x x y =＝1－a 2x 20＝0，∴x 0＝±a .3．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( ) A.194B.174C.154D.134考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.4．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 D解析 ∵f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，由题意知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－1， ∴a ＝2.5．若函数f (x )＝exx在x ＝x 0处的导数值与函数值互为相反数，则x 0的值等于( )A ．0B ．1 C.12D ．不存在考点 导数的应用 题点 导数的应用 答案 C解析 ∵f ′(x )＝x e x －e xx 2，由题意知f ′(x 0)＋f (x 0)＝0， 即x 0e x 0－e x 0x 20＋e x 0x 0＝0，解得x 0＝12. 6．若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2f ′(2)x ＋m ，则( ) A ．f (0)<f (5) B ．f (0)＝f (5) C ．f (0)>f (5) D ．f (0)≥f (5)考点 导数的应用题点导数的应用答案 C解析∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4. ∴f(x)＝x2－8x＋m，∴f(0)＝m，f(5)＝25－40＋m＝－15＋m.∴f(0)>f(5)．7．在下面的四个图象中，其中一个图象是函数f(x)＝13x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a≠0)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )A.13B．－13C.73D．－13或53考点导数的应用题点导数的应用答案 B解析∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴f′(x)不是偶函数，其图象不关于y轴对称，故其图象必为③.由图象特征知f′(0)＝0，且对称轴－a>0，∴a ＝－1，则f (－1)＝－13－1＋1＝－13，故选B. 二、填空题8．设f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，若h (x )＝f x ＋2g x，则h ′(5)＝________. 考点 导数的运算法则题点 导数除法法则及运算答案 516 解析 ∵f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，又h ′(x )＝f ′xg x －[f x ＋2]g ′x [g x ]2， ∴h ′(5)＝f ′5g 5－[f 5＋2]g ′5[g 5]2 ＝3×4－5＋2×142＝516. 9．已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos x ＋sin x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________． 考点 导数的应用题点 导数的应用答案 1解析 ∵f ′(x )＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4sin x ＋cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×22＋22， 得f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2－1. ∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1. 10．曲线y ＝x e x＋2x ＋1在点(0,1)处的切线方程为________．考点 导数的应用题点 导数的应用答案 3x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ＋2，k ＝y ′|x ＝0＝e 0＋0＋2＝3，所以切线方程为y －1＝3(x －0)，即3x －y ＋1＝0.11．已知f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，则f ′(0)＝________.考点 导数的运算法则题点 导数乘法法则及运算答案 120解析 因为f (x )＝x (x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋6，所以f ′(x )＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)＋x [(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)(x ＋4)(x ＋5)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5＝120.三、解答题12．若曲线y ＝x 2－ax ＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．考点 导数的应用题点 导数的应用解 ∵y ＝x 2－ax ＋ln x ，∴y ′＝2x －a ＋1x， 由题意可知存在实数x >0使得2x －a ＋1x＝0， 即a ＝2x ＋1x成立， ∴a ＝2x ＋1x ≥22(当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立)． ∴a 的取值范围是[22，＋∞)．13．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，其导函数f ′(x )＝2x －8.(1)求a ，b 的值；(2)设函数g (x )＝e x sin x ＋f (x )，求曲线g (x )在x ＝0处的切线方程．考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)因为f (x )＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)，所以f ′(x )＝2ax ＋b ，又f ′(x )＝2x －8，所以a ＝1，b ＝－8.(2)由(1)可知g (x )＝e x sin x ＋x 2－8x ＋3，所以g ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ＋2x －8，所以g ′(0)＝e 0sin0＋e 0cos0＋2×0－8＝－7，又g (0)＝3，所以曲线g (x )在x ＝0处的切线方程为y －3＝－7(x －0)， 即7x ＋y －3＝0.四、探究与拓展14．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________．考点 导数的应用题点 导数的应用答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 解析 y ′＝－4e x e x ＋12＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1， 设t ＝e x ∈(0，＋∞)，则y ′＝－4t t 2＋2t ＋1＝－4t ＋1t＋2， ∵t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，等号成立)， ∴y ′∈[－1,0)，α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π. 15．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．考点 导数的应用题点 导数的应用解 (1)由7x －4y －12＝0，得y ＝74x －3. 当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，② 由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝3， 故f (x )＝x －3x.(2)设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)， 即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝－6x 0， 从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0. 令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.。

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导数的运算法则一、选择题(每小题5分，共25分）1。

关于x的函数f（x)=cosx+sina，则f′（0)等于（）A。

0 B。

—1 C。

1 D。

±1【解析】选A。

f′（x）=—sinx，f′(0）=0.2.(2016·临沂高二检测)若曲线f（x)=xsinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（）A。

-2 B。

-1 C.1 D。

2【解析】选D。

f′(x）=sinx+xcosx,f′=1,由题意得-=-1，即a=2.3。

(2016·德州高二检测)函数y=（a〉0）在x=x0处的导数为0,那么x0等于（）A.aB.±aC.—aD.a2【解析】选B.y′===.由=0,得x0=±a。

4.已知直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点（1，3),则b的值为( )A.3 B。

—3 C。

5 D.-5【解析】选A.由点（1，3）在直线y=kx+1上,得k=2,由点(1,3)在曲线y=x3+ax+b上，得1+a+b=3,即a+b=2，y′=3x2+a，由题意得3×12+a=2。

3.3.2 函数的极值与导数【基础巩固】1.下列关于函数的极值的说法正确的是( D )(A)导数值为0的点一定是函数的极值点(B)函数的极小值一定小于它的极大值(C)函数在定义域内有一个极大值和一个极小值(D)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内不是单调函数解析:由极值的概念可知只有D正确.2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点( A )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:极小值点应有先减后增的特点,即f′(x)<0→f′(x)=0→f′(x)>0.由图象可知只有1个极小值点.故选A.3.函数y=1+3x-x3有( D )(A)极小值-1,极大值1(B)极小值-2,极大值3(C)极小值-2,极大值2(D)极小值-1,极大值3解析:f′(x)=-3x2+3,由f′(x)=0可得x1=1,x2=-1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)=3,极小值为f(-1)=1-3+1=-1.故选D.4.(2018·太原高二检测)若函数f(x)=ax-ln x在x=处取得极值,则实数a的值为( A )(A)(B)(C)2 (D)解析:f′(x)=a-,令f′()=0,即a-=0,解得a=.故选A.5.(2017·河南高二月考)已知函数f(x)=e x-ax有两个零点x1<x2,则下列说法错误的是( C )(A)a>e(B)x1+x2>2(C)x1x2>1(D)有极小值点x0,且x1+x2<2x0解析:因为f(x)=e x-ax,所以f′(x)=e x-a,令f′(x)=e x-a>0,①当a≤0时,f′(x)=e x-a>0在x∈R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.②当a>0时,因为f′(x)=e x-a>0,所以e x-a>0,解得x>ln a,所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.因为函数f(x)=e x-ax有两个零点x1<x2,所以f(ln a)<0,a>0,所以e ln a-aln a<0,所以a>e,A正确;x1+x2=ln(a2x1x2)=2ln a+ln(x1x2)>2+ln(x1x2),取a=,f(2)=e2-2a=0,所以x2=2,f(0)=1>0,所以0<x1<1,所以x1+x2>2,B正确;f(0)=1>0,所以0<x1<1,x1x2>1不一定,C不正确;f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,所以有极小值点x0=ln a,且x1+x2<2x0=2ln a,D正确.故选C.6.(2015·陕西卷)函数y=xe x在其极值点处的切线方程为.解析:由y=xe x可得y′=e x+xe x=e x(x+1),从而可得y=xe x在(-∞,-1)上递减,在(-1,+∞)上递增,所以当x=-1时,y=xe x取得极小值-e-1,因为y′|x=-1=0,切点为(-1,-),故切线方程为y=-e-1,即y=-.答案:y=-7.(2018·宝鸡高二月考)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx,其导函数y=f′(x)的图象经过点(1,0),(2,0),如图所示,则下列说法中正确的是(把所有正确的说法序号都填上).①当x=时函数取得极小值;②f(x)有两个极值点;③当x=2时函数取得极小值;④当x=1时函数取得极大值.解析:从题中图象上可以看到:当x∈(-∞,1)时,f′(x)>0;当x∈(1,2)时,f′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)有两个极值点1和2,且当x=2时函数取得极小值,当x=1时函数取得极大值.只有①不正确.答案:②③④8.(2017·咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3+3x2-9x+3.求:(1)f(x)的单调递增区间;(2)f(x)的极值.解:(1)f′(x)=3x2+6x-9,解f′(x)≥0,得x≥1或x≤-3;所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-3],[1,+∞).(2)x<-3时,f′(x)>0,-3<x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0;所以x=-3时f(x)取极大值30,x=1时,f(x)取极小值-2.【能力提升】9.(2018·沈阳高二质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( D )(A)2 (B)3 (C)6 (D)9解析:f′(x)=12x2-2ax-2b,则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,又a>0,b>0,则t=ab≤()2=9,当且仅当a=b=3时取等号.故选D.10.(2018·成都高二诊断)函数f(x)=x3-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是.解析:令f′(x)=3x2-3a=0,得x=±,则f(x),f′(x)随x的变化情况如表:,-) ,) ,++ 0 -从而解得所以f(x)的单调递减区间是(-1,1).答案:(-1,1)11.(2018·呼伦贝尔高二检测)设函数y=x3+ax2+bx+c的图象如图所示,且与y=0在原点相切,若函数的极小值为-4.(1)求a,b,c的值;(2)求函数的递减区间.解:(1)因为函数的图象经过点(0,0),易得c=0.又图象与x轴相切于点(0,0),且y′=3x2+2ax+b,故0=3×02+2a×0+b,解得b=0.所以y=x3+ax2,则y′=3x2+2ax.令y′=0,解得x=0或x=-a,即x=0和x=-a是极值点.由图象知函数在x=0处取极大值,故在x=-a时取极小值.当x=-a时,函数有极小值-4,所以(-a)3+a(-)2=-4,整理得a3=-27,解得a=-3.故a=-3,b=0,c=0.(2)由(1)得y=x3-3x2,则y′=3x2-6x,令y′<0,即y′=3x2-6x<0,解得0<x<2,所以函数的递减区间是(0,2).【探究创新】12.(2017·南阳高二期末)已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,函数f(x)在区间(0,1)内取极大值,在区间(1,2)内取极小值,则u=的取值范围是.名师点拨:由函数在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值,列出a,b所满足的约束条件,利用线性规划求解.解析:f′(x)=x2+ax+2b,因为函数f(x)在(0,1)内取极大值,在(1,2)内取极小值.所以即作出点(a,b)所满足的可行域如图:而u=可看作是平面区域内的点与点C(1,2)连线的斜率,由可得A(-3,1),又B(-1,0)所以k AC==,k BC==1,所以<u<1.答案:(,1)。

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课时提升作业(二十一)导数的运算法则(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=xsinx+的导数是( )A.y=sinx+xcosx+B.y=sinx-xcosx+C.y=sinx+xcosx-D.y=sinx-xcosx-【解析】选A.因为y=xsinx+,所以y′=′=′+′=x′sinx+x·(sinx)′+=sinx+xcosx+.2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是( )A.′=1+B.′=C.′=3x·log3eD.′=-2sinx【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;又′=,所以选项B正确;又′=3x ln3,所以选项C错误;又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.3.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-=-e-1.4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)= 4,则a的值是( )A. B. C. D.【解析】选D.f′(x)=3ax2+6x,因为f′(-1)=3a-6,所以3a-6=4,所以a=.5.(2015·贵阳高二检测)曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-y+1=0B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0【解析】选A.y′=e x+xe x,且点(0,1)在曲线上,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0.【补偿训练】曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________.【解析】由f(x)=sinx+e x+2得f′(x)=cosx+e x,从而f′(0)=2,又f(0)=3,所以切线方程为y-3=2(x-0),即y=2x+3.答案:y=2x+3二、填空题(每小题5分,共15分)6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.【解析】因为s′=2t-,所以当t=4时,v=8-=(m/s).答案:7.(2015·鸡西高二检测)若函数f(x)=,则f′(π)=________.【解析】因为f′(x)==,所以f′(π)==.答案:8.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为______________.【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.答案:y=-3x三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·哈尔滨高二检测)求下列函数的导数.(1)y=.(2)y=2x cosx-3xlog2015x.(3)y=x·tanx.【解析】(1)y′===.(2)y′=(2x)′cosx+(cosx)′2x-3=2x ln2·cosx-sinx·2x-3=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015x-3log2015e=2x ln2·cosx-2x sinx-3log2015(ex).(3)y′=(xtanx)′=′=====.10.求过点(1,-1)与曲线y=x3-2x相切的直线方程.【解题指南】由于(1,- 1)不一定是切点,所以先设切点坐标,求出切线方程,利用切点在切线上,求出切点坐标进而求出切线方程.【解析】设P(x0,y0)为切点,y′=3x2-2,则切线斜率为k=3-2.故切线方程为y-y0=(3-2)(x-x0). ①因为(x0,y0)在曲线上,所以y0=-2x0. ②又因为(1,-1)在切线上,所以将②式和(1,-1)代入①式得-1-(-2x0)=(3-2)(1-x0).解得x0=1或x0=-.当x0=1时,k=1,当x0=-时,k=-.故所求的切线方程为y+1=x-1或y+1=-(x-1).即x-y-2=0或5x+4y-1=0.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·西安高二检测)设a∈R,函数f(x)=e x+a·e-x的导函数是f′(x),且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是,则切点的横坐标为( ) A.ln2 B.-ln2 C. D.-【解析】选A.因为f′(x)=e x-ae-x为奇函数,所以a=1,设切点横坐标为x0,则f′(x0)=-=,因为>0,所以=2,所以x0=ln2.【补偿训练】若函数f(x)=e x sinx,则此函数图象在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( ) A. B.0 C.钝角 D.锐角【解析】选C.y′=e x sinx+e x cosx,当x=4时,y′=e4(sin4+cos4)=e4sin<0,故倾斜角为钝角.2.(2015·聊城高二检测)设f0(x)=sinx,f1(x)=f′0(x),f2(x)=f′1(x),…,f n+1(x)=f′n(x),n∈N,则f2015(x)= ( )A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【解析】选 D.f1(x)=(sinx)′=cosx,f2(x)=(cosx)′=-sinx,f3(x)=(-sinx)′=-cosx,f4(x)=(-cosx)′=sinx,f5(x)=(sinx)′=f1(x),f6(x)=f2(x),…,f n+4(x)=f n(x),可知周期为4.2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)= -cosx.【延伸探究】若将“f0(x)=sinx”改为“f0(x)=sinx+cosx,其他条件不变,则f2015(x)=________. 【解析】f1(x)=f0′(x)=cosx-sinx,f2(x)=(cosx-sinx)′=-sinx-cosx,f3(x)=-cosx+sinx,f4(x)=sinx+cosx,以此类推,可得出f n(x)=f n+4(x).2015=4×503+3,所以f2015(x)=f3(x)=-cosx+sinx.答案:-cosx+sinx二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·天津高考)已知函数f=axlnx,x∈,其中a为实数,f′为f的导函数,若f′=3,则a的值为______.【解析】因为f′=a,所以f′=a=3.答案:34.(2015·衡阳高二检测)若函数f(x)=x2-ax+lnx存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是________.【解析】垂直于y轴的切线,其切线的斜率为0,因为f(x)=x2-ax+lnx,所以f′(x)=x-a+.设切点横坐标为x0(x0>0),则有x0-a+=0,a=x0+≥2.答案:a≥2【补偿训练】(2015·沈阳高二检测)已知函数f(x)=x2·f′(2)+5x,则f′(2)=________.【解析】因为f′(x)=f′(2)·2x+5,所以f′(2)=f′(2)×2×2+5,所以3f′(2)=-5,所以f′(2)=-.答案:-三、解答题(每小题10分,共20分)5.函数f(x)=x3-x2-x+1的图象上有两点A(0,1)和B(1,0),在区间(0,1)内求实数a,使得函数f(x)的图象在x=a处的切线平行于直线AB.【解题指南】可先由A,B两点的坐标求AB的斜率,再求f(x)=x3-x2-x+1在x=a处切线的斜率,令其相等,即可求出a的值.【解析】直线AB的斜率k AB=-1,f′(x)=3x2-2x-1,令f′(a)=-1(0<a<1),即3a2-2a-1=-1,解得a=.6.(2015·天水高二检测)已知曲线C:f(x)=x3-x.(1)试求曲线C在点(1,f(1))处的切线方程.(2)试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程.【解析】(1)因为f(x)=x3-x,所以f(1)=13-1=0,即切点坐标为(1,0),又f′(x)=3x2-1.所以,切线的斜率k=f′(1)=3×12-1=2.故切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=0.(2)设切点坐标为(x0,-x0),又f′(x)=3x2-1,所以切线的斜率k=3-1.又切线与直线y=5x+3平行,所以3-1=5,解得=2,切点为或,故切线方程为:y-=5(x-)或y+=5(x+),即:5x-y-4=0或5x-y+4=0.关闭Word文档返回原板块。

学习资料3．2。

2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）内容标准学科素养1。

理解函数的和、差、积、商的求导法则．2。

理解求导法则的证明过程,能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数。

提升逻辑推理及数学运算授课提示:对应学生用书第59页[基础认识]知识点一函数和、差的导数错误!若h(x)＝f（x)＋g（x)，I（x)＝f(x）－g（x），那么h′（x)，I′（x）分别与f′（x），g′(x)有什么关系?提示：设f(x),g（x）是可导的．Δy＝h（x＋Δx)－h（x)＝f（x＋Δx）＋g（x＋Δx）－f(x)－g(x）＝[f（x＋Δx)－f（x）]＋[g(x＋Δx)－g（x）]＝Δf＋Δg∴错误!＝错误!＋错误!＝错误!＋错误!∴li错误!错误!＝lim错误!＝错误!错误!＋错误!错误!＝f′（x）＋g′（x）即h′（x）＝［f(x)＋g（x)］′＝f′(x）＋g′(x）同理可证I′(x）＝［f(x)－g(x）]′＝f′（x)－g′（x)知识梳理和、差的导数［f（x)±g(x)］′＝f′（x)±g′(x）．特别提醒：两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算．知识点二函数积、商的导数知识梳理(1）函数积的导数［f（x)g（x)]′＝f′（x）g(x)＋f(x)·g′（x）．（2)函数商的导数错误!′＝错误!（g(x）≠0）．(3)常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数，即[cf(x）]′＝cf′（x）．［自我检测]1．函数y＝（错误!＋1)(错误!－1)的导数等于()A．1B．－错误!C。

错误!D．－错误!答案：A2．已知f（x)＝e x ln x，则f′(x）＝(）A.错误!B．e x＋错误!C.错误!D。

错误!＋ln x答案:C授课提示：对应学生用书第59页探究一利用导数四则运算法则求导［阅读教材P84例2］根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数y＝x3－2x ＋3的导数．题型：运用导数的运算法则求导．方法步骤：①由基本函数的导数公式知(x3）′＝3x2，x′＝1，3′＝0。

导数的运算法则(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数y=xsinx+的导数是( )A.y=sinx+xcosx+B.y=sinx-xcosx+C.y=sinx+xcosx-D.y=sinx-xcosx-【解析】选A.因为y=xsinx+,所以y′=′=′+′=x′sinx+x·(sinx)′+=sinx+xcosx+.2.(2015·泉州高二检测)下列求导运算正确的是( )A.′=1+B.′=C.′=3x·log3eD.′=-2sinx【解析】选B.因为′=x′+′=1-,所以A选项错误;又′=,所以选项B正确;又′=3x ln3,所以选项C错误;又′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以选项D错误.3.(2015·太原高二检测)已知函数f(x)的导函数为f′(x),且满足f(x)=2xf′(e)+lnx,则f′(e)=( )A.e-1B.-1C.-e-1D.-e【解析】选C.因为f(x)=2xf′(e)+lnx,所以f′(x)=2f′(e)+,所以f′(e)=2f′(e)+,解得f′(e)=-=-e-1.4.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值是( )A. B. C. D.【解析】选D.f′(x)=3ax2+6x,因为f′(-1)=3a-6,所以3a-6=4,所以a=.5.(2015·贵阳高二检测)曲线y=xe x+1在点(0,1)处的切线方程是( )A.x-y+1=0B.2x-y+1=0C.x-y-1=0D.x-2y+2=0【解析】选 A.y′=e x+xe x,且点(0,1)在曲线上,当x=0时,导数值为1,故所求的切线方程是y-1=x,即x-y+1=0.【补偿训练】曲线C:f(x)=sinx+e x+2在x=0处的切线方程为________.【解析】由f(x)=sinx+e x+2得f′(x)=cosx+e x,从而f′(0)=2,又f(0)=3,所以切线方程为y-3=2(x-0),即y=2x+3.答案:y=2x+3二、填空题(每小题5分,共15分)6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位:s,s的单位:m),则它在第4s末的瞬时速度应该为________m/s.【解析】因为s′=2t-,所以当t=4时,v=8-=(m/s).答案:7.(2015·鸡西高二检测)若函数f(x)=,则f′(π)=________.【解析】因为f′(x)==,所以f′(π)==.答案:8.设a∈R,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数是f′(x),若f′(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为______________.【解析】f′(x)=3x2+2ax+(a-3),又f′(-x)=f′(x),即3x2-2ax+(a-3)=3x2+2ax+(a-3)对任意x∈R都成立,所以a=0,f′(x)=3x2-3,f′(0)=-3,曲线y=f(x)在原点处的切线方程为y=-3x.答案:y=-3x。