空间两点间的距离公式导学案

空间两点间的距离公式
【学习目标】
记忆空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.预习案
【相关知识】
思考：平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？
它是如何推导的？
【研读课本】
1、长a，宽b，高c的长方体的对角线，怎么求？
2、平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示什么图形？在空间中方程
x2+y2+z2=r2表示什么图形？
3、阅读课本理解推导空间直角坐标系中两点之间的距离公式并将它写下来。

练习：在空间直角坐标系中求出它们之间的距离
1、A（2，3，5）B（3，1，4）
2、A（6，0，1）B（3，5，7）
c
b
a d
探究案
例题探究：
已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：
(1)线段AB的中点坐标和长度；
(2)到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.【强化训练】
1、在z轴上求一点M,使点M到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.
2、如图，正方体OABC -D`A`B`C`的棱长为a ，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN 的长.
【课堂检测】
1、 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形。

2、求证：以A(4,1,9),B(10,-1,6),C(2,4,3)为顶点的△ABC 是一等腰直角三角形。

A
B
C
O
A
`
D
` C ` B `
M N。

高中数学高一年级必修二第四章 第4.3.2节 ：空间中两点间的距
离公式
导学案
Ａ．学习目标
通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式
Ｂ．学习重点、难点
重点：空间两点间的距离公式
难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导。

Ｃ．学法指导
通过运用空间直角坐标系的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和
兴趣。

D ．知识链接
与距离有关的一些实物，同时距离公式的应用
E ．自主学习
教师提出问题：提出学生在生活中对距离的认识，引导学生回忆，举例和相互交流。

教师对学生的活动及时给予评价。

F.合作探究
1．引导学生思考、交流、讨论，对空间中两点间的距离进行讨论
2．推导出空间两点间的距离公式
G.课堂小结
由学生整理学习了哪些内容？有什么收获？
H ．达标检测
1、在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离
2在空间直角坐标系中，已知两点A 、B 坐标，求出它们之间的距离：
(1) A(2,3,5) B(3,1,4)；(2)A(6,0,1) B(3,5,7)
)
3,2( A
3在z轴上求一点M，使得点M到点A(1，0，2)与点B(1，-3，1)的距离相等。

4如图，正方体OABC-D`A`B`C`的棱长为a，|AN|=2|CN|，|BM|=2|MC`|，求MN的长.。

4.3.2空间两点间的距离公式一、学习目标1. 理解空间两点间距离公式的推导过程和方法.2. 掌握空间两点间的距离公式及其简单应用. 二、学习方法指引1. 预习课本136-137页，做138页练习.2. 重点：空间两点间的距离公式及应用.3. 难点：空间两点间距离公式的推导. 三、基础知识再现 1. 空间两点间的距离公式空间中两点),,(1111z y x P ，),,(3222z y x P 之间的距离是=21P P . 说明：空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，平面上两点间的距离公式又可看成是空间两点间的距离公式的特例.2. 用空间两点间距离公式时要注意坐标差是对应的21x x -，21y y -，21z z -，因为有平方，故减数和被减数的位置可以互换.3. 空间两点间距离的求法 （1）建立适当的空间直角坐标系. （2）在空间直角坐标系中写出点的坐标. （3）用空间两点间距离公式求距离.4. 在空间直角坐标系中，任意一个三元一次方程0=+++D Cz By Ax （C B A ,,不能同时为零）都表示一个平面，反过来，任意一个平面的方程都是一个三元一次方程.对于特殊的三元一次方程：a x =表示平行于yOz 面的平面，且与yOz 面的距离为a .b y =表示平行于xOz 面的平面，且与xOz 面的距离为b .c z =表示平行于xOy 面的平面，且与xOy 面的距离为c .0,0,0===z y x 分别表示yOz ，xOz ，xOy 三个坐标平面.5. 空间两点间距离公式的推导方法剖析：（1）先看简单的情形：设空间直角坐标系中点),,(z y x P ， 求点P 到原点O 的距离.如图所示，设点P 在xOy 平面上的射影是B ， 则点B 坐标是(,,0)x y ，在xOy平面上有OB =在直角三角形OBP 中，根据勾股定理，得OP =因为BP z=，所以OP = 这说明，在空间直角坐标系Oxyz 中，任意一点(,,)P x y z 与原点之间的距离是OP = （2）下面再看一般的情况：如图所示，设点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 是空间任意两点，且两点在xOy 平面上的射影分别为,M N ，那么,M N 的坐标为11(,,0)M x y ，22(,,0)N x y .在xOy 平面上，MN =过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ，则11MP z =，22NP z =，所以212HP z z =-. 在直角三角形12PHP 中，1PH MN == 根据勾股定理，得12PP ==.因此空间中两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 间的距离公式可以表示成下面形式：12PP =五、课堂练习 1. 点P 到原点的距离是（ ）A6 B 1C 6D 62. 点(,,)P a b c 到坐标平面xOz 的距离是（ ）AB aC bD c3. 点(2,3,4)P 到y 轴的距离是（ ）AB C 5D4. 若(4,7,1)A -，(6,2,)B z ，11AB =，则z = .5. 已知点(1,2,1)A -关于坐标平面xOy 的对称点为1A ，则A ，1A 两点间的距离为 .6. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，已知3AB =，2BC =，12AA =，用空间两点间的距离公式计算对 角线1B D 的长为 .7.如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直， ,//,CD AB CD AD ⊥AB = AD 4,2==CD ，M 为CE 的中点。

空间两点间的距离学习目标通过有三条棱分别与坐标轴平行的长方体顶点的坐标的表示，感受并会用空间两点间的距离公式求空间两点间的距离.学习过程一 学生活动问题1．平面直角坐标系中两点间距离公式如何表示？试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式．问题2．平面直角坐标系中两点)(111y x P ，，)(222y x P ，的线段21P P 的中点坐标是什么？空间中两点)(1111z y x P ，，，)(2222z y x P ，，的线段21P P 的中点坐标又是什么？二 建构知识三 知识运用例题例1 求空间两点)523(1 - ，，P ，)106(2- ，，P 间的距离21P P ．例2 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为122=+y x ．在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的轨迹方程．例3 证明以)134( ，，A ，)217( ，，B ，)325( ，，C 为顶点的ABC ∆是等腰三角形．例4 已知)133( ，，A ，)501( ，，B ，求：线段AB 的中点和线段AB 长度；巩固练习 1．已知空间中两点)32(1 ，，x P 和)745(2 ，，P 的距离为6，求x 的值．2．试解释方程36)5()3()12(222=-+++-z y x 的几何意义．3．已知点)652(- ，，A ，在y 轴上求一点P ，使7=PA ．四 回顾小结空间两点间距离公式；空间两点的中点的坐标公式．五 学习评价双基训练1在空间直角坐标系中A ，B 两点，再求他们之间的距离和线段AB 中点的坐标：（1）A （1，1，0），B （-1，2，1）；（2）M （-3，1，5），N （0，-2，3）.2.在z 轴上求一点M ，使M 到点A （1，0，2）与B （1，-3，1）的距离相等.3.已知点A （1，-2，11），B （4，2，3），C （6，-1，4）.求证:ABC ∆是直角三角形.4.求到下列两点A，B距离相等的点的坐标(x,y,z)满足的条件：（1）A（1，0，1），B（2，3，-1）；（2）A（-3，2，2），B（1，0，-2）.5.写出与点A(-1,0,4)的距离等于3的点的坐标(x,y,z)满足的条件，并指出这些点构成的图形.6.已知点A(x,5,2-z)关于点P(1,y,3)的对称点是B(-2,-3,2+2z)，求x,y,z的值.7.在平行四边形ABCD中，若其中三点坐标是，A（0，2，3），B（-2，1，6），C（1，-1，5），求顶点D的坐标.的三边中点分别D（1，-2，-1），E（3，2，2），F（4，0，-4），试求A，8.已知ABCB，C三点的坐标.拓展延伸9.若点G 到ABC ∆三个顶点的距离的平方和最小，则点G 就是ABC ∆的重心.（1）已知ABC ∆的三个顶点分别为A （3，3，1），B （1，0，5），C （-1，3，-3），求ABC ∆的重心G 的坐标；（2）已知ABC ∆的顶点坐标分别为A （3x+1，1，2z ），B （1，2-y ，3-z ），C （x ，2，0），重心 G 的坐标为（2，-1，4），求x,y,z 的值.。

两点间的距离公式导学案两点间的距离课题：两点间的距离时间：2013年9月14 日备课小组：第一小组执笔人：刘琴审稿人：牛克芳一、温故互查1. 回忆初中几何中求两点间的距离的方法（构造直角三角形，利用勾股定理）2. 建立直角坐标系，我们可以将几何图形用代数式表示，同时也可以将几何性质用代数式表示，将几何问题转化成代数问题，这种方法，我们称之为坐标法。

二、学习目标1、掌握平面内两点间距离公式及其推到过程；通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单平面几何问题的重要性。

2、能灵活运用公式解决一些简单问题使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相的问题，培养学生勇于探索，善于发现，独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质。

师生笔记三、问题导读1、阅读课本第104-105例4前内容，思考并回答下列问题1）本学时的主要内容是平面直角坐标系中两点间的距离公式，这个公式是如何得出来的，你能把它的推导过程展现一遍吗？它对任意两点都成立吗？2）课本第105页例3是两点间的距离公式的应用，你能根据等腰三角形的性质写出本题其它的解法吗？试试3）如何解决课本第105页例4？你是用几何方法还是代数方法？你会用几何方法证明本题吗?试试4）对于课本第105页例4的证明采用了什么特殊方法？这种方法具有一般性嘛？与几何方法比较你有什么感受？5）根据例4的证明，你能概括利用代数方法解决几何问题的一般步骤吗？每一步需要注意什么？四、自学检测1.已知点A（x，3）关于点C（2，y）的对称点是B（-1，-7），则点P（x，y）到原点的距离是—————。

2. 已知点A（2，a）,B（1，4）,且|AB|=310，则a=—————。

3.过A（3，m）和B（4，n）的直线与直线x=y平行，则|AB|=—————。

4. 已知ΔABC的顶点坐标为A（- 1，0 ），B（1，0），C（12，32），试判断ΔABC的形状。

5.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是（1,-2），则|AB|=—————.思考1：x轴上点的坐标如何设？y轴上点的坐标如何设？思考2：写出已知两点的中点的坐标公式。

株洲市南方中学2014年高一年级数学导学案
课题 空间两点间的距离公式
编制：李哲 审校：高一数学备课组 使用时间：20150125
一、 学习目标 1、 掌握空间两点间的距离公式，理解公式使用的条件，会用
公式计算和证明。

2、 培养观察、分析、联想的能力以及归纳概括的能力。

3、 运用类比的办法，体验从二维空间过度到三维空间的过程，
激发学习兴趣，培养勇于探索的精神。

二、预习思考
1. 平面直角坐标系中，两点111(x ,y )P ，222(x ,y )P 的怎么计算？
2. 空间直角坐标系中，点(1,1,1)到坐标原点的距离是多少？
三、自主﹒合作﹒探究
探究一、空间两点间的距离公式
1．点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离？
2.你能设计一个方案求空间中任意两点1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z 之间的距离吗？
探究二、空间两点间的距离公式的应用
1 求点1(1
,0,1)P -与2(4,3,1)P -之间的距离
2 在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是(1,2,3)A - ，
(2,2,3)B -,15(,,3)22
C ,求证：ABC ∆是直角三角形.
3. 2222
x y z r ++=（r 是非零常数）表示什么图形？ 四、学生展示﹒交流
五、总结﹒反思﹒提高。

空间两点间的距离公式教案教案标题：空间两点间的距离公式教案教案目标：1. 理解空间中两点之间的距离概念；2. 学习并掌握空间两点间的距离公式；3. 运用距离公式解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：投影仪、电脑、教学PPT、白板、黑板、书籍、练习题；2. 学生准备：纸、铅笔、计算器。

教学过程：步骤一：导入新知识1. 利用投影仪或黑板绘制一个空间坐标系，引导学生回顾平面坐标系的概念和用法。

2. 引导学生思考，空间中两点之间的距离是否与平面上两点之间的距离有何不同。

步骤二：引入距离公式1. 通过教学PPT或书籍，向学生介绍空间两点间的距离公式：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)² + (z2-z1)²)。

2. 解释公式中各符号的含义：(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2)分别表示两点的坐标，d 表示两点之间的距离。

3. 指导学生通过几个示例计算实际距离，加深对公式的理解。

步骤三：练习与巩固1. 分发练习题，让学生独立或合作完成。

2. 鼓励学生在计算过程中使用计算器，但同时要提醒他们理解公式的原理和计算步骤。

3. 收集学生的答案，进行讲评，解答学生可能存在的疑惑。

步骤四：拓展应用1. 引导学生思考，如何应用距离公式解决实际问题，例如计算两个建筑物之间的距离、飞机的飞行距离等。

2. 提供一些实际问题，让学生运用所学知识进行解决。

3. 鼓励学生在解决问题的过程中运用创造性思维，提出自己的解决方案。

步骤五：总结与评价1. 总结本节课所学的内容，强调空间两点间距离公式的重要性和应用价值。

2. 对学生的学习情况进行评价，鼓励他们继续巩固和拓展所学知识。

教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量与计算，验证空间两点间的距离公式的准确性。

2. 引导学生探索其他空间几何问题，如点到平面的距离、线段长度等，并引入相关公式。

教学反思：本节课通过引入空间两点间的距离公式，帮助学生理解和应用该公式解决实际问题。

两点间的距离
【学习目标】
1.探索平面内两点间距离公式，并把握该公式的结构特征；
2.会用平面内两点间距离公式解决一些有关的问题，会用坐标法证明一些简单的几何问题；
3.通过公式的推导及运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的一般思路和方法；
4.进一步体会用解析法研究几何问题，体验数形结合和转化的数学思想.
【学习重点】
两点间的距离公式和它的简单应用.
【学习难点】
用坐标法解决平面几何问题.
【学习过程】
一、学习准备
1. 距离：距离是指（两物体）在空间上相隔的长度
2. 平面内两点间距离的定义：
3. 平面几何中两点间距离的求法：
如果只知道平面上两点的坐标，如何求出这两点间的距离呢？今天我们将一起来探究这个问题——两点间的距离公式的探究.
二、学习探究
（一）公式的探究
●观察思考
利用我们初中学过的知识，我们会求一些特殊的两点间的距离.
请观察图像求出下列两点间的距离.
在数轴上A、B两点间的距离是_______,如何得到的？
那在坐标平面上，A(-1，0)，B(2，0)两点间的距离是_______；
A(0，1)，-3)两点间的距离是_______； A(-1，-3)，-3)两点间的距离是_______； B(0，B(2，A(-1，1)，B(-1，-3)两点间的距离是_______；A(2，0)，B(0，1)两点间的距离是
______. 1。

空间两点间的距离教学案学习目标：1。

通过具体到一般的过程，让学生推导出空间两点间的距离公式。

2．通过类比的方式得到空间两点构成的线段的中点公式，并证明掌握。

重点：1。

通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。

2掌握空间两点间的距离公式及其应用。

难点：空间两点间的距离公式的推导及其应用。

问题1：平面直角坐标系中的许多公式能推广到空间直角坐标系中去吗？问题2：回忆平面直角坐标系中两点的距离公式如何表示？问题3：试猜想空间直角坐标系中两点的距离公式。

新知探究：1 已知空间两点P1（2,2,5），P2（5,4，-1），求这两点间P1 P2的距离。

2．通过上面两个点之间的距离的推导，猜测一下如果在空间中有任意两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，则这两点间的距离为3．上面的距离等式还不能称为公式，这只是进行类比后推导出来的结果。

只有经过证明后，这个等式才可以作为公式进行使用。

这个公式该如何证明？4．回忆平面直角坐标系中两点），），，222111y (x P y (x P 的线段P1 P2的中点M 的坐标是5．已知空间中两点），，），，，22221111z y (x P z y (x P ，线段P1 P2的中点M 的坐标是例题 ：例1：求空间两点P1（3,-2,5），P2（6,0，-1）间的距离P1P2【变式训练】已知空间两点P1（x,-2, 5），P2（6,0，-1），且两点间的距离P1P2= 7 ，求x 的值。

例2：平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+。

在空间中，到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么？试写出它的方程。

【变式训练】1平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是单位圆，其方程为 1y x 22=+，在空间中方程仍为1y x 22=+的轨迹是2．点P 在坐标平面xoy 内，A 点的坐标是（-1,2,4），问满足条件 ︳PA ︳=5的点P 的轨迹是例3证明：以A （4,3,1）、B （7,1,2）、C （5,2,3）为顶点的 △ABC 是等腰三角形。