小学奥数五年级同余问题

一、带余除法的定义及性质：时间：2021.03.01 创作：欧阳语一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,若有a÷b=q……r，也就是a＝b×q＋r,0≤r＜b；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：(1)当时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b 的商或完全商(2)当时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图，这是一堆书，共有a本，这个a就可以理解为被除数，现在要求按照b本一捆打包，那么b就是除数的角色，经过打包后共打包了c捆，那么这个c就是商，最后还剩余d 本，这个d就是余数。

这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系。

并且可以看出余数一定要比除数小。

二、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23+16=39除以5的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，故23+19=42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数，即2.2.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。

例如：23，16除以5的余数分别是3和1，所以23×16除以5的余数等于3×1=3。

当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。

例如：23，19除以5的余数分别是3和4，所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数，即2.3.同余定理若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m )，那么一定有a －b＝mk,k是整数，即m|(a－b)三、弃九法原理：在公元前9世纪，有个印度数学家名叫花拉子米，写有一本《花拉子米算术》，他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行，由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确，他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3，那么上面这个算式一定是错的。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，(12,108)12-=，14739108=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

余数及同余问题⼩学五年级奥数余数及同余问题（⼀）1、310被⼀个两位数整除，余数是37，这个两位数是_________。

2、⼀个数除以23余数是2，把被除数扩⼤到4倍，余数是________。

3、某数⽤3除余1，⽤5除余3，⽤7除余5，此数最⼩是________。

4、378×196×251除以17的余数是________。

5、若871和633两个⾃然数都被同⼀个两位数相除，所得的余数都是4，除数是__________。

6、有⼀个整数，⽤它去除70,98,143得到的三个余数之和是29，则这个数是___________。

7、⼀个数除200余5，除300余1，除400余10，这个数是__________。

8、有⼀个等于1的整数，⽤它去除967，1000，2001，得到相同余数，那么这个整数是_______。

9、在1——3000之间同时被3，5，7除都余2的数有_______个。

10、数713,1103,830,947被⼀个数整除，所得余数相同（不为0），求这个除数_________。

11、⼀个数除以7余2，如果把被除数扩⼤9倍，那么余数是⼏？_________12、账本上记着买机器⽤去□□12元，其中千位数字和百位数字模糊不清，但采购员还记得这个数减去7能被7整除，减去8能被8整除，减去9能被9整除，你能算出买这台机器⽤去多少元吗？_________。

（⼆）1、如果某数除492，2241,3195都余15，那么这个数是________。

2、有⼀个数除以3余2，除以4余1，那么这个数除以12余_______。

3、乘积34×37×41×43除以13的余数是____________。

4、666…66（1999个6）除以7所得的余数是____________。

5、有⼀个三位数，其中个位上的数字是百位上的数字的3倍，且这个三位数除以5余4，除以11余3，这个三位数是_________。

1.学习同余的性质 2.利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711-（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；⑸ 整数N 被11除的余数等于N 的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当 加11的倍数再减）；⑹ 整数N 被7，11或13除的余数等于先将整数N 从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．模块一、两个数的同余问题【例 1】 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题 【难度】1星 【题型】解答【解析】 (法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】 某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.【考点】两个数的同余问题 【难度】2星 【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】 “加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数例题精讲知识点拨教学目标5-5-3.同余问题就是[3、4、5]+1=60+1=61。

1.两数相除商37余73，求被除数的最小值。

解析(jiě xī)：28812.两数相除，商4余8，被除数(chú shù)、除数、商和余数的和为415，则被除数是多少？解析(jiě xī)：被除数(chú shù)是424，除数是79.3.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做(kàn zuò)390，商比原来大了3，求原来的除数。

解析：除数是10.4.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数。

解析：除数是9.5.求算式3218+26-757除以9的余数。

解析：3.6.求除以5的余数。

解析：1.7. 2461×135×6047÷11的余数是多少？解析：5.8. ÷7的余数是多少？解析(jiě xī)：0.9.求123456789101112……199200除以9的余数(yúshù)是________;解析(jiě xī)：3.10. 数11…1(2007个1),被13除余多少(duōshǎo)?解析(jiě xī)：711.已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .解析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.12.有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果？解析：此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .内容总结（1）两数相除商37余73，求被除数的最小值（2）解析：除数是10.小明在做题的时候由于马虎，错把被除数360看做390，商比原来大了3，余数也比原来大了3.求原来的除数（3）1(2007个1),被13除余多少。

小学奥数知识讲解：余数问题
一、同余的定义：
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。

二、同余的性质：
①自身性：a≡a(mod m)；
②对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
③传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
⑦同倍性：若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：
如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。

1. 学习同余的性质2. 利用整除性质判别余数同余定理 1、定义：若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称a 、b 对于模m 同余，用式子表示为：a ≡b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a 同余于b ，模m 。

2、重要性质及推论：（1）若两个数a ，b 除以同一个数m 得到的余数相同，则a ，b 的差一定能被m 整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以1711 （）能被3整除． （2）用式子表示为：如果有a ≡b ( mod m )，那么一定有a －b ＝mk ,k 是整数，即m |(a －b )3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N 被m 除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R ，使得：N 与R 对于除数m 同余．由于R 是一个较简单的数，所以可以通过计算R 被m 除的余数来求得N 被m 除的余数．⑴ 整数N 被2或5除的余数等于N 的个位数被2或5除的余数；⑵ 整数N 被4或25除的余数等于N 的末两位数被4或25除的余数；⑶ 整数N 被8或125除的余数等于N 的末三位数被8或125除的余数；⑷ 整数N 被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；知识点拨教学目标5-5-3.同余问题⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．例题精讲模块一、两个数的同余问题【例 1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.【考点】两个数的同余问题【难度】1星【题型】解答【解析】(法1) 39336-=，51-3=48，1473144-=，(36,144)12=，12的约数是1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12；(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数．513912-=，14739108-=，(12,108)12=，所以这个数是4,6,12．【答案】4,6,12【例 2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______. 【考点】两个数的同余问题【难度】2星【题型】填空【关键词】人大附中，分班考试【解析】“加上3后被3除余1”其实原数还是余1，同理这个两位数除以4、5都余1，这样，这个数就是[3、4、5]+1=60+1=61。

五年级奥数同余同余是数论中的一个重要概念，也是五年级奥数中的一个重要知识点。

同余可以用来描述两个数在除以某个数后的余数相等的情况。

在奥数中，同余常常被用来解决一些数学问题，如整数分割、方程求解等等。

同余的概念最早可以追溯到中国古代。

在中国古代，人们用竹签来进行记数。

当竹签的根数达到某个固定的数目后，人们就用一根新的竹签来继续记数。

这样，每个竹签的根数都是相同的，它们之间存在着同余的关系。

在数学中，同余可以用符号≡来表示。

如果两个整数a和b满足a 与b除以某个正整数m所得的余数相等，即a≡b(mod m)，则称a 与b同余于模m。

例如，当a=5，b=12，m=7时，可以得到5≡12(mod 7)，即5与12同余于模7。

同余有一些重要的性质。

首先，同余具有传递性。

如果a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。

其次，同余具有交换性。

即a≡b(mod m)等价于b≡a(mod m)。

此外，同余还具有加法性和乘法性。

即如果a≡b(mod m)和c≡d(mod m)，那么可以推出a+c≡b+d(mod m)和ac≡bd(mod m)。

在五年级奥数中，同余常常被用来解决一些整数分割的问题。

例如，有一个正整数n，要求将它分割成若干个数的和，且这些数要满足同余于模m。

我们可以通过同余来解决这个问题。

首先，我们可以用n除以m，得到商q和余数r。

然后，我们可以将n分割成q个数的和，每个数都是m。

最后，将余数r加入其中，即可得到一种满足条件的分割方式。

同余还可以用来解决一些方程求解的问题。

例如，求解方程2x≡1(mod 3)。

我们可以通过观察得到，当x=2时，2x除以3的余数为1，满足方程的要求。

因此，方程的解为x≡2(mod 3)。

除了以上的应用，同余还有许多其他的应用。

例如，在密码学中，同余被广泛用于加密和解密的过程中。

同余在数论、代数、密码学等领域都有广泛的应用，具有重要的理论和实际意义。