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文章编号模糊层次分析法张吉军西南石油学院经济管理系 四川南充摘要 首先通过分析指出层次分析法 存在的问题 然后给出了较文献条件更弱的模糊一致矩阵的定义 并对新定义的模糊一致矩阵的性质 用模糊一致矩阵表示因素两两重要性比较的合理性以及表示因素两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权重之间的关系进行了讨论 最后给出了模糊层次分析法的原理和步骤 关键词 层次分析法 模糊一致矩阵 模糊层次分析法 决策分析中图分类号文献标识码层次分析法 存在的问题层次分析法是美国运筹学家 匹兹堡大学的 教授于世纪 年代提出的一种定性分析和定量分析相结合的系统分析方法 层次分析法通过明确问题 建立层次分析结构模型 构造判断矩阵 层次单排序和层次总排序五个步骤计算各层次构成要素对于总目标的组合权重 从而得出不同可行方案的综合评价值 为选择最优方案提供依据 的关键环节是建立判断矩阵 判断矩阵是否科学 合理直接影响到 的效果 通过分析 我们发现检验判断矩阵是否具有一致性非常困难检验判断矩阵是否具有一致性需要求判断矩阵的最大特征根 看 是否同判断矩阵的阶数 相等 若 则具有一致性 当阶数 较大时 精确计算 的工作量非常大当判断矩阵不具有一致性时需要调整判断矩阵的元素 使其具有一致性 这不排除要经过若干次调整 检验 再调整 再检验的过程才能使判断矩阵具有一致性检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准 缺乏科学依据 判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异为了解决上述问题 我们引进了模糊一致矩阵的概念 为些 下面先介绍模糊一致矩阵的定义及其性质第 卷第 期模糊系统与数学年 月收稿日期 修订日期作者简介 张吉军 男 四川南充人 西南石油学院经济管理系副教授 博士 研究方向 现代管理理论与方法第期张吉军模糊层次分析法模糊一致矩阵的定义及其性质模糊一致矩阵及其有关概念定义设矩阵若满足则称是模糊矩阵定义若模糊矩阵满足则称模糊矩阵是模糊互补矩阵在文献中定义的模糊一致矩阵如下定义若模糊互补矩阵满足则称模糊矩阵是模糊一致矩阵本文定义的模糊一致矩阵不要求模糊矩阵是互补的因而其条件较文献弱本文的定义如下定义若模糊矩阵满足有则称模糊矩阵是模糊一致矩阵模糊一致矩阵的性质定理设模糊矩阵是模糊一致矩阵则有有有的第行和第列元素之和为且均为模糊一致矩阵其中是的转置矩阵是的余矩阵从中划掉任意一行及其对应列所得的子矩阵仍然是模糊一致矩阵满足中分传递性即当时若则有当时若则有证明由是模糊一致矩阵知有特别地当时也应成立即有故有成立模糊系统与数学年因为有成立特别地当时也应成立即有由知故有从而成立的证明见文献定理若模糊矩阵是模糊互补矩阵则有证明因为是模糊互补矩阵故对一切有成立特别地当时也应成立即有故对一切有成立定理模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定两行的对应元素之差为常数证明必要性对任意指定的第行和第行由模糊一致矩阵的定义知有从而有在上式中和是固定的只有是变动的所以第行和第行对应元素之差为常数充分性对任意指定的第行和第行设它们对应元素之差为常数即有成立特别地当时也应成立即有由式和式有故再由是模糊互补矩阵及定理知有故由式有最后由和的任意性及模糊一致矩阵的定义知模糊互补矩阵是模糊一致矩阵第期张吉军模糊层次分析法定理模糊互补矩阵是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差为某一个常数证明必要性由定理直接可得充分性若对任意指定的第行和第行对恒有则有即第行和第行的对应元素之差为常数再由和的任意性知的任意指定两行对应元素之差均为常数从而由定理知是模糊一致矩阵用模糊一致矩阵表示因素间两两重要性比较的合理性解释在模糊数学中模糊矩阵是模糊关系的矩阵表示若论域上的模糊关系比重要得多的矩阵表示为模糊矩阵则的元素具有如下实际意义的大小是比重要的重要程度的度量且越大比就越重要表示比重要反之若则表示比重要由余的定义知表示不比重要的隶属度而不比重要则比重要又因比重要的隶属度为故即是模糊互补矩阵特别地当时有也即元素同自身进行重要性比较时重要性隶属度为若人们在确定一元素比另一个元素重要的隶属度的过程中具有思维的一致性则应有若即比重要则有另一方面是比相对重要的一个度量再加上自身比较重要性的度量为则可得比绝对重要的度量即也即应是模糊一致矩阵综上所述以及模糊一致矩阵的性质知用模糊一致矩阵表示论域上的模糊关系比重要得多是合理的表示因素间两两重要性比较的模糊一致矩阵同表示因素重要程度权重之间的关系设表示元素两两比较重要程度的模糊判断矩阵为模糊系统与数学年元素的权重分别为由的定义知表示元素比元素重要的隶属度越大就比越重要时表示和同等重要另一方面由权重的定义知是对元素的重要程度的一种度量越大元素就越重要因而的大小在一定程度上也表示了元素比重要的程度且越大比就越重要这样通过两两比较得到的元素比重要的重要程度度量同可建立一定的联系这种联系我们用函数表示即下面推断函数应具有的性质由上面的分析讨论知越大元素比越重要同样越大元素比越重要因此函数应是上的增函数因为为确保模糊判断和元素与重要程度差异的一致性以及模糊判断整体的一致性函数应是连续的由维尔斯特拉斯定理知对于函数及任意总存在一个多项式使得在上一致成立因此在精度允许的范围内可以假定具有多项式形式即由具有的性质可以确定的具体形式如下由有令有从而有将代入上式并化简得即对一切成立这里假定或又因次多项式最多有个不同的根要使式对一切成立必有故即具有如下形式简记为由有令有再由及上式有第期张吉军模糊层次分析法即又故要使对一切成立必有事实上因为对一切成立特别地对也应成立此时有故对一切成立再因次多项式最多有个根知从而必有于是有及由及有当时所以是元素和重要程度差异的度量单位它的大小直接反映了决策者的意志趋向越大表明决策者非常重视元素间重要程度的差异越小表明决策者不是非常重视元素间重要程度的差异居于这种分析在实际决策分析中可以根据决策者的态度选择稍大或稍小一点的另外由是增函数知再由知综上知模糊层次分析法模糊层次分析法的步骤和提出的的步骤基本一致仅有两点不同在中通过元素的两两比较构造判断矩阵而在中通过元素两两比较构造模糊一致判断矩阵由模糊一致矩阵求表示各元素的相对重要性的权重的方法同由判断矩阵求权重的方法不同为此下面仅介绍如何建立模糊一致判断矩阵以及由模糊一致判断矩阵求权重的方法模糊一致判断矩阵的建立模糊一致判断矩阵表示针对上一层某元素本层次与之有关元素之间相对重要性的比较假定上一层次的元素同下一层次中的元素有联系则模糊一致判断矩阵可表示为元素具有如下实际意义表示元素和元素相对于元素进行比较时元素和元素具有模糊关系比重要得多的隶属度为了使任意两个方案关于某准则的相对重要程度得到定量描述可采用如下的标度给予数量标度数量标度标度定义说明同等重要稍微重要明显重要重要得多极端重要两元素相比较同等重要两元素相比较一元素比另一元素稍微重要两元素相比较一元素比另一元素明显重要两元素相比较一元素比另一元素重要得多两元素相比较一元素比另一元素极端重要反比较若元素与元素相比较得到判断则元素与元素相比较得到的判断为有了上面的数字标度之后元素相对于上一层元素进行比较可得到如下模糊判断矩阵具有如下性质即是模糊一致矩阵模糊判断矩阵的一致性反映了人们思维判断的一致性在构造模糊判断矩阵时非常重要但在实际决策分析中由于所研究的问题的复杂性和人们认识上可能产生的片面性使构造出的判断矩阵往往不具有一致性这时可应用模糊一致矩阵的充要条件进行调整具体的调整步骤如下第一步确定一个同其余元素的重要性相比较得出的判断有把握的元素不失一般性设决策者认为对判断比较有把握模糊系统与数学年第期张吉军模糊层次分析法第二步用的第一行元素减去第二行对应元素若所得的个差数为常数则不需调整第二行元素否则要对第二行元素进行调整直到第一行元素减第二行的对应元素之差为常数为止第三步用的第一行元素减去第三行的对应元素若所得的个差数为常数则不需调整第三行的元素否则要对第三行的元素进行调整直到第一行元素减去第三行对应元素之差为常数为止上面步骤如此继续下去直到第一行元素减去第行对应元素之差为常数为止由模糊一致判断矩阵求元素的权重值设元素进行两两重要性比较得到的模糊一致性矩阵为元素的权重值分别为则由前面的讨论知有如下关系式成立其中是人们对所感知对象的差异程度的一种度量但同评价对象个数和差异程度有关当评价的个数或差异程度较大时值可以取得大一点另外决策者还可以通过调整的大小求出若干个不同的权重向量再从中选择一个自己认为比较满意的权重向量当模糊判断矩阵不是一致的时候式中等号不严格成立这时可采用最小二乘法求权重向量即求解如下的约束规划问题由拉格朗日乘子法知约束规划问题等价于如下无约束规划问题其中是乘子将关于求偏导数并令其为零得个代数方程组成的方程组也即是注上式用到方程组含有未知数个方程解此方程组还不能确定唯一解又因故将此式加到方程组中可得到含有个方程个未知量的方程组模糊系统与数学年解此方程组即可求得权重向量结论模糊层次分析法同普通层次分析法相比具有以下优点用本文给出的定理或定理检验模糊矩阵是否具有一致性较通过计算判断矩阵的最大特征根及其对应特征向量检验判断矩阵是否具有一致性更容易用本文给出的方法调整模糊矩阵的元素可很快使模糊不一致矩阵具有模糊一致性克服了普通层次分析法要经过若干次调整检验再调整再检验才能使判断矩阵具有一致性的缺点用定理或定理作为检验模糊矩阵是否具有一致性的标准较检验判断矩阵是否具有一致性的判断标准更加科学准确和简便参考文献许树柏层次分析法原理天津天津大学出版社姚敏张森模糊一致矩阵及其在软科学中的应用系统工程张跃邹寿平宿芬模糊数学方法及其应用煤炭工业出版社。
区间统计算法
区间统计算法，也称为区间频数统计算法，是一种用于统计给定区间内数据出现次数的算法。
该算法常用于解决一些需要统计某一区间内数据出现次数的问题，如统计某个数组中某一区间内的数值个数、求解区间中某一数值的频数等。
区间统计算法的基本思想是使用一个数组或哈希表来记录每个数值出现的频数，然后遍历给定区间内的数据，依次将数据出现的次数记录下来。
最后，可以根据记录的频数来进行相应的统计和分析。
具体实现可以采用以下步骤：
1. 创建一个数组或哈希表，用于记录每个数值出现的频数。
2. 遍历给定区间内的数据，对于每个数据，将其在数组或哈希表中的频数加1。
3. 根据需要，可以进一步统计出现频数最高的数值、出现频数最低的数值等。
例如，对于一个包含数据[1, 2, 3, 2, 1, 3, 4, 1, 2]的数组，如果
需要统计区间[1, 3]内的数值频数，可以使用区间统计算法进
行处理。
首先创建一个长度为5的数组，分别记录数值1、2、3、4的频数。
然后遍历给定区间内的数据，对于每个数据，
将其在数组中的对应位置的频数加1。
最后，可以统计出数值1、2、3、4在区间[1, 3]内的频数分别为3、3、2、0。
区间统计算法的时间复杂度取决于给定区间内的数据个数，为O(n)，其中n为数据个数。
可以看到，该算法是一种简单而有效的统计算法，适用于不同规模的数据集和不同维度的数据分析。
数学与统计学院硕士研究生课程内容简介学科基础课-------------------- 泛函分析--------------------课程编号：1 课程类别：学科基础课课程名称：泛函分析英文译名：Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：1 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：基础数学、应用数学、运筹与控制论、课程与教学论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，基础数学系教师。
内容简介：本课程介绍紧算子与Fredholm算子、抽象函数简介、Banach代数的基本知识、C*代数、Hilbert 空间上的正常算子、无界正常算子的谱分解、自伴扩张、无界算子序列的收敛性、算子半群、抽象空间常微分方程。
主要教材：张恭庆、郭懋正：《泛函分析讲义》(下册)，北京大学出版社，1990年版。
参考书目（文献）：1．定光桂：《巴拿赫空间引论》，科学出版社，1984年版。
2．M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I, Functional Analysis, 1972.3．K. Yosida, Functional Analysis, Sixth Edition, 1980.4．张恭庆、林源渠：《泛函分析讲义》(上册)，北京大学出版社，1987。
5．V. Barbu, Nonlinear Semigroups and Differential Equations in Banach Spaces, 1976.6．A. Pazy, Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations, 1983.-------------------- 非线性泛函分析--------------------课程编号：2 课程类别：学科基础课课程名称：非线性泛函分析英文译名：Nonlinear Functional Analysis学时：60学时学分：3学分开课学期：2 开课形式：课堂讲授考核形式：闭卷考试适用学科：应用数学、基础数学、运筹学与控制论授课单位及教师梯队：数学与统计学院，应用数学系教师。
区间数的排序方法研究
区间数排序是一种非常重要的数据结构排序方法，它能够实现对极大或极小数值域中的数据进行排序。
它在多种领域有着广泛的应用，如特征抽取、图像处理、信号处理等，有很多排序算法能够提供有效的处理效果。
首先，要认识到区间数的特点。
区间数是指一组数，其元素值具有固定的上下边界，在这个边界内的所有值都可以被认为是有效的，超出边界的值则被认为是无效的。
这样的数据结构具有特定的保护性，能够有效防止被恶意修改和损坏。
其次，要介绍关于区间数排序算法的研究进展。
区间数排序算法基于线性时间复杂度进行数据处理，可以有效地提高排序效率。
研究发现，基于排序算法的排序方法可以有效地满足对大数据量的排序要求，更重要的是，它能够很好地解决数据安全性问题。
再次，要介绍区间数排序算法的应用场景。
区间数排序算法可以用于混合模式数据的排序，例如特征抽取、图像处理等。
此外，它还可以用于实时通信等场景，实现对实时数据流的排序，例如实时电子商务等。
最后，要介绍一些基于区间数排序算法的实现方法。
常用的排序算法有快速排序、堆排序、归并排序等，它们在不同的应用场景中表现出了不同的性能。
针对区间数排序，可以考虑使用桶排序、划分排序等。
通过以上介绍，可以看出，区间数排序算法在多种领域有着广泛
的应用，它能够实现高效且可靠的排序处理，保证数据的安全性，使用区间排序，可以大大提高数据处理的效率，满足多种应用的需求。
区间数量统计算法区间数量统计是一种常见的统计问题，即统计给定区间内符合特定条件的元素数量。
该问题在很多应用场景中都有实际需求，如在计算机科学中的数据处理和图像分析中，以及在金融学和统计学中的风险分析和概率分布等领域。
在本文中，我们将介绍几种常见的区间数量统计算法，包括朴素算法、排序算法和线段树算法，并分析它们的时间复杂度和空间复杂度。
一、朴素算法朴素算法是最简单直接的算法，它通过遍历整个数据集来统计符合条件的元素数量。
具体步骤如下：1. 定义统计变量count，初始化为0。
2. 遍历数据集中的每个元素，判断元素是否在给定区间内，并将符合条件的元素数量加1。
3. 返回count作为结果。
朴素算法的时间复杂度为O(n)，其中n表示数据集的大小。
该算法的优点是简单易实现，适用于小规模的数据集。
但当数据规模较大时，朴素算法的效率较低。
二、排序算法排序算法是一种常见的区间数量统计算法。
它通过对数据集进行排序，并使用一些优化方法来加速区间数量统计的过程。
具体步骤如下：1. 将数据集按照元素的大小进行排序。
2. 对给定区间的起点和终点进行二分查找，找到它们在排序后数组中的位置。
3. 统计位于起点和终点之间的元素数量，并返回结果。
排序算法的时间复杂度主要取决于排序过程，通常为O(nlogn)，其中n表示数据集的大小。
排序算法的优点是能够处理大规模的数据集，并且可以进行一些优化，如快速排序、归并排序等。
三、线段树算法线段树算法是一种高效的区间数量统计算法，它通过建立一棵二叉树来表示给定区间内元素的数量。
具体步骤如下：1. 定义线段树的结构，包括节点的起点、终点和数量信息。
2. 将数据集表示为一个线段树，其中每个叶子节点表示一个元素，内部节点表示其子节点中元素的数量。
3. 根据给定区间的起点和终点，从根节点开始向下遍历线段树，统计位于起点和终点之间的元素数量，并返回结果。
线段树算法的时间复杂度为O(logn)，其中n表示数据集的大小。
