广西陆川县2017-2018学年高二数学12月月考试题 理

广西陆川县中学2017年秋季期高三12月月考理科数学试题第I 卷(选择题，共60分）一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}2|20,|3,0xA x x xB y y x =--<==≤，则=B A A ．)2,1(- B ．)1,2(-C ．]1,1(-D ．(0,1] 2.已知复数z 满足111121z i i=++-，则复数z 的虚部是（ ） A ．15 B ．15i C ．15- D ．15i -3.已知向量,a b 是互相垂直的单位向量，且1c a c b ⋅=⋅=-，则()35a b c b -+⋅=（ ） A ．1- B ．1 C ．6 D ．6-4. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为（ ）A ．0.7 2.3y x =-B ．0.710.3y x =-+C ．10.30.7y x =-+D ．10.30.7y x =-5.设()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中,,,a b αβ都是非零实数，若()20171f =-，那么()2018f =（ ）A ．1B ．2C ．0D ．1- 6. 若01m <<，则（ ）A ．()()11m m log m log m +>-B ．(10)m log m +> C. ()211m m ->+D ．()()113211m m ->-7. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A ．92B ． 4 C. 3 D8. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()1,5 B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞9.如图，将45︒直角三角板和30︒直角三角板拼在一起，其中45︒直角三角板的斜边与30︒直角三角板的30︒角所对的直角边重合.若,0,0DB xDC yDA x y =+>>，则x y +=（ ）A ．1+B ．1+ C.2D ．10. 已知,,,A BCD 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．B ．48π C. 24π D ．16π11.已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则 “点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件12. 已知函数()21ln 1f x x =-+（, 2.71828x e e >=是自然对数的底数）.若()()f m f n =，则()f mn 的取值范围为（ ）A ．5,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．9,110⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. 5,17⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）（13）已知x ，y 满足2040330x y x y x y -+-≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则3z x y =-+的最小值为 ．（14）已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ．（15）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,若31=a 且12n n n a S S -=⋅则}{n a 的通项公式=n a ．（16）如图，设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos cos sin a C c A b B +=，且6CAB π∠=.若点D 是ABC ∆外一点，2,3DC DA ==，则当四边 形ABCD 面积最大值时，sin D = ．三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知数列{}n a 的前n 项和22n n S a =-. （1）证明：{}n a 是等比数列，并求其通项公式； （2）求数列1n n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18. (本小题满分12分)在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且A b c B a cos )3(cos -=. （1）求A cos 的值；（2）若3=b ，点M 在线段BC 上，→→→=+AM AC AB 2，23||=→AM ,求ABC ∆的面积.19. (本小题满分12分)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）.（1超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市．．的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值.20．(本小题满分12分)已知函数x b bx x x f 21)()(2-⋅++=（1）当1-=b 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）求函数)(x f 在]0,1[-上的最大值.21．(本小题满分12分)已知函数)1ln()(+=x x f . (1)当)0,1(-∈x 时，求证：)()(x f x x f --<<；(2)设函数a x f e x g x--=)()()(R a ∈，且)(x g 有两个不同的零点21,x x )(21x x <， ①求实数a 的取值范围； ②求证：021>+x x .请考生在22,23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为11x y αα⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩（α为参数），直线l 过点(1,0)-，且斜率为12,射线OM（1）求曲线C 和直线l 的极坐标方程；（2）已知射线OM 与圆C 的交点为,O P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（1）函数|3|)(-=x x f ，若存在实数x ，使得)1()4(2-+≤+x f m x f 成立，求实数m 的取值范围；（2）设R z y x ∈,,，若422=-+z y x ，求2224z y x ++的最小值．理科数学试题参考答案及评分标准1-5: DCDBA 6-10: DABBA 11、12：CC13． 014215． 3,118,2(53)(83)n n n n =⎧⎪⎨≥⎪--⎩16．17.（1）证明：当1n =时，12a =，由1122,22n n n n S a S a ++=-=-得1122n n n a a a ++=-， 即12n n a a +=， 所以12n na a +=， 所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，于是2n n a =. （2）解：令112n n n n n b a ++==， 则12323412222n n n T +=++++，① ①12⨯得234112341222222n n n n n T ++=+++++，② ①﹣②，得23111111122222n n n n T ++=+++++13322n n ++=-所以332n n n T +=-. 17. （1）因为A b c B a cos )3(cos -= ，由正弦定理得：A B C B A cos )sin sin 3(cos sin -= 即A C A B B A cos sin 3cos sin cos sin =+,A C C cos sin 3sin = 在ABC ∆中，0sin ≠C ，所以31cos =A ………………5分 （2）→→→=+AM AC AB 2，两边平方得：22242→→→→→=⋅++AM AC AB AC AB由3=b ，23||=→AM ，31cos =A 得184313292⨯=⨯⨯⨯++c c 解得：（舍）或97-==c c所以ABC ∆的面积273223721=⨯⨯⨯=S ………………12分19. （1）2278.0)400410(6.0)210400(5.0210=⨯-+⨯-+⨯元 …………2分（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3247)0(31037===C C p ξ4021)1(3101327===C C C p ξ 407)2(3102317===C C C p ξ1201)3(31033===C C p ξ 故ξ的分布列是所以101203402401240)(=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………7分 （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足)53,10(~B X ，可知kk k C k X p -==1010)52()53()()10,3,2,1,0(⋅⋅⋅=k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-----+-++-)1(1011101010)1(1011101010)52()53()52()53()52()53()52()53(k k k k k k k k k k k k C C C C ,解得533528≤≤k ，*N k ∈ 所以当6=k 时，概率最大，所以6=k ………………12分 20. （1）函数的定义域为]21,(-∞，当1-=b 时，xx x x f 21)1(5)(---='……3分由0)(='x f 得，0=x 或1=x （舍去）。

广西陆川县中学2017—2018学年度上学期期末考试高二数学理试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线 的准线方程是( )A ．B ．C ．D ．2．若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为() A ．73 B ．54 C ．43 D ．533．设变量，满足约束条件010{ 3032x y x x x y +≥-≥-≤+≥，则的取值范围为（）A. [2，6]B. （－∞，10]C. [2，10]D. （－∞，6]4．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于( )A. -4B. -6C. -8D. -105．若下列不等式成立的是( )A. B. C. D.6．不等式的解集是，则的值是（）A. B. C. 14 D. 107．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）A. B. C. D.8．设命题：，使得，则为（ ）A.，B.C. D.，9．已知向量，，则“”是“与共线”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 641=y10．下列有关命题的说法正确的是（ ）A. 命题“若”的否命题为“若”B. “”是“”的充要条件C. 命题“使得”的否定是 “均有”D. 命题“若,则=”的逆否命题为真命题11．已知，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D.12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为，若椭圆上不存在点，使得是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝⎦B. ⎫⎪⎪⎣⎭C. D. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．观察下列不等式，……照此规律，第五个．．．不等式为 . 14．已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于、两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 .15．若⎰+=102)(2)(dx x f x x f ，则 .16．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 为椭圆的上顶点，B 是直线 A F 2与椭圆的另一个交点，且B AF AF F 1021,60∆=∠的面积为，则a 的值是. 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．（本小题10分）给出两个命题：命题甲：关于 的不等式 的解集为 ，命题乙：函数 为增函数．分别求出符合下列条件的实数 的范围.(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题.18．（本小题12分）0)1(22≤+-+a x ax已知三棱锥S －ABC 中,底面ABC 为边长等于2的等边三角形,SA 垂直于底面ABC ，SA ＝3，（1）如图建立空间直角坐标系，写出SB →、SC →的坐标；（2）求直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值.19．（本小题12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，B B 1 的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝ 22AB =2. (1)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值.20．（本小题12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率e ＝63，A ，B 是椭圆C 上两点，N (3，1)是线段AB 的中点.（1）求直线AB 的方程；（2）若以AB 为直径的圆与直线相切，求出该椭圆方程.21.（本小题12分）已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上每一点到点F (1，0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正实数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB → <0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.22．（本小题12分）已知椭圆C ： ，四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）中恰有三点在椭圆C 上.（1） 求椭圆C 的方程；（2） 设直线不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：过定点. )0(>>b a理科数学答案1. D2. D 3．D4．B5．C6．A7．C8．B9．A10．D11．D12．A 13. 6116151413121122222<+++++ 14. x= -1 15. 16. 10 17．（本小题10分）解析：甲命题为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2＜0，即a ＞13或a ＜－1.................................................2分 乙命题为真时，2 a 2－a ＞1，即a ＞1或a ＜－12.................................................................................................4分 (1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，a 的取值范围是...............................7分(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a ≤1，甲假乙真时，－1≤a <－12， ∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a 的取值范围为}211131|{-<≤-≤<a a a 或....................................10分 21．（本小题12分）解析：(1)建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)．∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3)．...........6分(2)设面SBC 的法向量为． 则{033032=-+=⋅=-=⋅z y x SB n z y令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴．设AB 与面SBC 所成的角为θ，则43sin ==θ............12分22．（本小题满分12分）解析：(1)证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点．又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB ，得AC ⊥BC .............................4分以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz.设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，，CD →＝(1,1,0)，CE →＝(0,2,1)，．设是平面A 1CD 的法向量， 则{00221=+=⋅=+=⋅y x z x可取．同理，设是平面A 1CE 的法向量，则可取．从而33,cos =>=<，故. 即二面角D －A 1C －E 的正弦值为63................................12分23．（本小题12分）解析：(1)离心率e ＝63，设椭圆C ：x 2＋3y 2＝a 2(a ＞0)， 设A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由题意，设直线AB 的方程为y ＝k (x －3)＋1，代入x 2＋3y 2＝a 2， 整理得(3k 2＋1)x 2－6k (3k －1)x ＋3(3k －1)2－a 2＝0.①Δ＝4[a 2(3k 2＋1)－3(3k －1)2]＞0，②且，由N (3，1)是线段AB 的中点，得．解得k ＝－1，代入②得a 2＞12，直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)，即x ＋y －4＝0..6分(2)圆心N (3，1)到直线的距离,.当时方程①即22424480x x a -+-=1221206124x x a x x ⎧⎪∆>⎪∴+=⎨⎪⎪⋅=-⎩12AB x ∴=-=.椭圆方程为....................................................12分21.（本小题12分）解析: (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足：(x ＞0).化简得y 2＝4x (x ＞0)..................................................4分(2)设过点M (m ，0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝⎛⎭⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔ （y 1y 2）216＋y 1y 2－14[]（y 1＋y 2）2－2y 1y 2＋1＜0.③ 由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④对任意实数t ，4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m ，0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)...........................12分22．（本小题12分）解析:（1）由于P 3，P 4两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过P 3，P 4两点又由知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此 ⎪⎩⎪⎨⎧==+111431222b b a ，解得 故C 的方程为................................................4分（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1、k 2,如果l 与x 轴垂直，设l :x =t ,由题设知，且，可得A ，B 的坐标分别为（），（t ，）则1t224t 2242221-=+----=+t t k k ,得t =2， 不符合题设.从而可设l :，将代入得0448x 14222=-+++m kmx k ）（由题设可知设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则，而221111k x m kx x m x -++-+= 212121))(1(2k x x x x m x x +-+= 由题设，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=. 即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得.当且仅当时，，欲使l ：，即，所以l 过定点（2，）..................................................12分。

2016-2017学年广西陆川县中学高二12月月考理科数学一、选择题：共12题1．已知a+b>0,b<0，那么a,b,−a,−b的大小关系是A.a>b>−b>−aB.a>−b>−a>bC.a>−b>b>−aD.a>b>−a>−b【答案】C【解析】本题考查了有理数的大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数反而越小．∵b＜0，a+b＞0，∴a>−b>0，a<0，∴−a<b<0，∴a，b，−a，−b的大小关系为a>−b>b>−a．故选C.2．若双曲线x2a -y2b=1的离心率为3,则其渐近线方程为___.A.y=±2xB.y=±2xC.y=±12x D.y=±22x【答案】B【解析】本题考查双曲线的方程和简单几何性质,意在考查考生的运算求解能力.在双曲线中离心率e=ca =1+(ba)2=3,可得ba=2,故所求的双曲线的渐近线方程是y=±2x.【备注】注意双曲线的离心率和渐近线的斜率之间的关系.在双曲线x2a -y2b=1的渐近线方程中ba ,ab容易混淆,只要根据双曲线x2a-y2b=1的渐近线方程是x2a-y2b=0,即可防止上述错误.3．用反证法证明命题：“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1，则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为A.a,b,c,d至少有一个正数B.a,b,c,d全为正数C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一个负数【答案】C【解析】本题考查用反证法证明命题的方法，求出命题的否定，是解题的关键．“a,b,c,d中至少有一个负数”的否定为“a,b,c,d全都大于等于0”，由用反证法证明数学命题的方法可得，应假设“a,b,c,d全都大于等于0”，故答案为：a,b,c,d全都大于等于0．故选C.4．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是A.ab≥1B.a+b>2C.a3+b3≥3D.1a +1b≥2【答案】D【解析】本题主要考查了基本不等式的应用问题，也考查了特殊值判断命题真假的问题，是基础题目．对于A，ab≥1：由2=a+b≥2ab，∴ab≤1，命题A错误；对于B，a+b>2,令a=b=1，则a+b=2，所以命题B错误；对于C，a3+b3≥3,令a=1，b=1，则a3+b3=2<3，所以命题C错误；对于D，1a +1b≥2：由a+b=2，0<ab≤1，得1a+1b=a+bab=2ab≥2，命题D正确．故选D.5．设命题p:∀x∈(0,+∞),3x>2x；命题q:∃x∈(−∞,0),3x>2x，则下列命题为真命题的是A.p∧qB.p∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)【答案】B【解析】本题考查复合命题的真假，涉及全称命题和特称命题真假的判断，属基础题．由题意可知命题p:∀x∈(0,+∞),3x>2x，为真命题；而命题q:∃x∈(−∞,0),3x>2x，为假命题，即¬q为真命题，由复合命题的真假可知p∧(¬q)为真命题，故选B.6．函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)开区间(a,b)内的极小值点有( )个A.4B.3C.2D.1【答案】D【解析】本题考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．因为函数的极小值两侧导函数值需左负右正；而由图得：满足导函数值左负右正的自变量只有一个；故原函数的极小值点只有一个．故选D.7．设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．由“|x−2|<1”得1<x<3，由x2+x−2>0得x>1或x<−2，即“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的充分不必要条件，故选A.8．已知x,y满足约束条件x−2≥0x+y≤62x−y≤6，若目标函数z=3x+y+a的最大值是10，则a=A.6B.−4C.1D.0【答案】B【解析】本题主要考查线性规划问题，作出约束条件的可行域是关键.作出约束条件x−2≥0x+y≤62−y≤6所表示的可行域，如图，由图可知，当直线y=−3x经过点A(4,2)时，目标函数z取到最大值，故10=3×4+2+a，解得a=−4,故选B.9．若C(−2,−2),CA·CB=0，且直线CA交x轴于A，直线CB交y轴于B，则线段AB中点M的轨迹方程是A.x+y−2=0B.x−y+2=0C.x+y+2=0D.x−y−2=0【答案】C【解析】本题考查了直角三角形的斜边的中线的性质和两点间的距离公式，属于基础题．由题意可知：点M既是Rt△ABC的斜边AB的中点，又是Rt△OAB的斜边AB的中点．∴|OM|=|CM|，设M(x，y)，则 x2+y2=(x+2)2+(y+2)2，化简为x+y+2=0．故选C.10．已知函数f(x)=x−ln|x|，则f(x)的图象大致为A. B.C. D.【答案】A【解析】本题主要考查函数的图象，涉及了导数的应用.f x=x−ln x=x−ln x,x>0x−ln−x,x<0,当x>0时，f′x=1−1x =x−1x,故当x>1时，函数f(x)为增函数，当0<x<1时,函数f(x)为减函数；当x<0时，f′x=1−1x =x−1x>0恒成立，故在x<0时，函数f(x)为增函数，根据单调性判断可知A中的图符合题意，故选A.11．已知函数f(x)=x+1x,g(x)=log2x+m，若对∀x1∈[1,2],∃x2∈[1,4]，使得f(x1)≥g(x2)，则m的取值范围是A.m≤2B.m≤34C.m≤0 D.m≤−54【答案】B【解析】本题主要考查了函数的等价转化思想，以及函数求值域的方法，属中等题．对∀x1∈[1,2],∃x2∈[1,4]，使得f(x1)≥g(x2)等价于f(x)min≥g(x)min；f x=x+1x=1 x +1x，换元令t=1x∈12,1, t=t+t2,知 t在(12,+∞)上单调递增；所以f(x)min= 12=34；g x=log2x+m在x∈[1，4]上为单调增函数，故g(x)min=g1=m,所以m≤34，故选C.12．设函数f(x)在R上存在导函数f′(x)，对于任意的实数x，都有f(x)=4x2−f(−x)，当x∈(−∞,0)时，f′(x)+12<4x，若f(m+1)≤f(−m)+4m+2，则实数m的取值范围是A.[−2,+∞)B.[−32,+∞) C.[−1,+∞) D.[−12,+∞)【答案】D【解析】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．∵f (x )=4x 2−f (−x )，∴f x −2x 2+f −x −2x 2=0，设g x =f x −2x 2，则g x +g −x =0， ∴函数g x 为奇函数．∵x ∈(−∞,0)时，f′(x )+12<4x ， f ′ x =f ′ x −4x <−12，故函数g x 在(−∞,0)上是减函数， 故函数g x 在(0,+∞)上也是减函数， 若f (m +1)≤f (−m )+4m +2， 则f m +1 −2(m +1)2≤f −m −2m 2， 即g (m +1)<g (−m )， ∴m +1≥−m ，解得：m ≥−12 故选D.二、填空题：共4题13．已知函数f (x )=e x −f (0)x +12x 2，则f′(1)=__________.【答案】e【解析】本题主要考查导数的计算.∵f 0 =e 0−f 0 ×0+12×0=1,f ′ x =e x −f 0 +x ,∴f ′ 1 =e 1−1+1=e , 故答案案为e.14． 2d x +1x211d x = __________.【答案】π4+ln2【解析】本题主要考查了定积分，定积分运算是求导的逆运算，解题的关键是求原函数，也可利用几何意义进行求解，属于基础题． 1−x 2d x 10表示的几何意义是以(0,0)为圆心，1为半径第一象限内圆弧与坐标轴围成的面积， ∴ 1−x 2d x 1=π4,1x21d x =ln x |12=ln2, 故 2d x +1x211d x =π4+ln2.15．已知函数f (x )=ln x x−kx (k ∈R )，在区间[1e ,e 2]上有两个零点，则k 的取值范围_________. 【答案】2e 4≤k <12e【解析】本题考查函数的零点问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法和导数求得单调区间、最值，考查运算能力，属于中档题． 由f (x )=0，可得kx =ln x x,即为k =ln x x 在区间[1e ,e 2]上有两个实数解．即直线y =k 和g x =ln xx 在区间[1e ,e 2]上有两个交点． 由g ′ x =1−2ln x x 3可得g x 在[1e , e]递增，在( e,e 2)递减，即有g x 在x = e 取得最大值12e ,由g 1e =−e 2,g e 2 =2e ,可得当2e 4≤k <12e 时，直线y =k 和函数g(x)的图象有两个交点． 即有函数f (x )在区间[1e ,e 2]上的有两个零点． 故答案为2e ≤k <12e .16．如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1,x 2都有x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则称函数f (x ) “H 函数”. 下列函数是“H 函数”的所有序号为_________.①y =e x +x ；②y =x 2；③y =3x −sin x ；④f x =ln|x |,x ≠00,x =0.【答案】①③【解析】本题主要考查函数单调性的应用，∵对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)恒成立，∴不等式等价为x1−x2f(x1−f(x2)]>0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数．①y=e x+x为增函数，满足条件．②函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．③y=3x−sin x，y′=3−cos x>0，函数单调递增，满足条件．④f x=ln|x|,x≠00,x=0．当x>0时，函数单调递增，当x<0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为①③．三、解答题：共6题17．已知函数f(x)=x3−3x.(1)求函数f(x)的极值；(2) 过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程.【答案】(1)∵f(x)=x3−3x,∴f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1),令f′(x)=0，解得x=−1或x=1，列表如下当x=−1时，有极大值f(−1)=2；当x=1时，有极小值f(1)=−2.(2)设切点(x0,x03−3x0),∴k=(x3−3x)′|x=x=3x02−3，∴切线方程y−(x03−3x0)= (3x02−3)(x−x0),∵切线过点P(2,−6),∴−6−(x03−3x0)=(3x02−3)(2−x0),∴x0= 0或x0=3，∴切线方程为y=−3x或y=24x−54.【解析】本题考查函数的极值的求法，导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．(1)求出函数的导数，通过导数为0，判断函数的单调性，然后求解函数的极值．(2)设出切点，求出斜率，然后求解切线方程．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n22+3n2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足b n=a n+2−a n+1a n+2·a n，且数列{b n}的前n项和为T n，求证:T n<2n+512.【答案】(1) 当n≥2时，a n=S n−S n−1=n22+3n2−(n−1)22−3(n−1)2=n+1，又n=1时，a1=S1=2适合a n=n+1,∴a n=n+1.(2)证明：由(1)知b n=n+3−(n+1)+1(n+3)(n+1)=2+12(1n+1−1n+3)，∴T n=b1+b2+b3+...+b n=2n+12(12−14+13−15+...+1n+1−1n+3)=2n+12(12+13−1 n+2−1n+3)<2n+512【解析】本题主要考查了数列通项公式以及数列的前n项和的求法.(1)根据a n=S n−S n−1求通项公式，然后验证a1=S1=2，不符合上式，因此数列{a n}是分段数列；(2)先写出数列{b n}的通项公式，应用列项求和，求出T n，再利用放缩可证得结论.19．在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b−12c=a cosC.(1)求角A；(2)若4(b+c)=3bc,a=23，求△ABC的面积S.【答案】(1)由正弦定理得：sin B−12sin C=sin A cos C，又∵sin B=sin(A+C),∴sin(A+C)−12sin C=sin A cosC.即cos A sin C=12sin C，又∵sin C≠0,∴cos A=12，又A是内角，∴A=60∘.(2)由余弦定理得：a2=b2+c2−2bc cos A=b2+c2−bc=(b+c)2−3bc,∴(b+c)2−4(b+c)=12，得b+c=6,∴bc=8,∴S=12bc sin A=12×8×32=23.【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用，熟练掌握相关公式定理是解题的关键，属于中档题．(1)由正弦定理化简已知可得：sin B−12sin C=sin A cos C，结合三角形内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得cos A=12，结合A为内角，即可求A的值．(2)由余弦定理及已知可解得：b+c=6，从而可求bc=8，根据三角形面积公式即可得解．20．已知抛物线C的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点A(1,2)为抛物线C上一点.(1)求C的方程；(2) 若点B(1,−2)在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k BP·k BQ=−2，求证: 直线PQ过定点.【答案】(1)当焦点在x轴时，设C的方程为x2=2py，代人点A(1,2)得2p=4，即y2=4x.当焦点在y轴时，设C的方程为x2=2py，代人点A(1,2)得2p=12，即x2=12y，综上可知：C的方程为y2=4x或x2=12y.(2)因为点B(1,−2)在C上，所以曲线C的方程为y2=4x.设点A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB:x=my+b，显然m存在，联立方程有：y2−4my−4b=0,Δ=16(m2+b),∴y1+y2=4m,y1·y2=−4b.∵k BP·k BQ=−2,∴y1+2x1−1·y2+2x2−1=−2,∴4y1−2·4y2−2=−2,即y1y2−2(y1+y2)+12=0,∴−4b−8m+12=0即b=3−2m.直线AB:x=my+b=my+3−2m即x−3=m(y−2),∴直线AB过定点(3,2).【解析】本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．(1)设出抛物线方程，代入点A(1，2)，即可求出C的方程；(2)直线AB:x=my+b，y2=4x,消去x，得y1+2x1−1·y2+2x2−1=−2，从而求出Q坐标，确定直线直线AB:x=my+b=my+3−2m，求出定点坐标．21．如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB上的点.(1)求证: 平面EAC⊥平面PBC；(2)若E是PB的中点，且二面角P−AC−E的余弦值为63，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.【答案】(1)证明：∵PC⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥PC,AB=2,AD=CD= 1,∴AC=BC=2,∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥B C.又BC∩PC=C,PC⊂面PBC,BC⊂面PBC,∴AC⊥平面PBC,∵AC⊂平面EAC,∴平面EAC⊥平面PB C.(2)以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则C(0,0,0),A(1,1,0),B(1,−1,0)，设P(0,0,a)(a>0)，则E(12,−12,a2),CA=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE=(12,−12,a2)，取m=(1,−1,0)，则m·CP=m·CA=0,∴m为面PAC的法向量.设n=(x,y,z)为面EAC的法向量.则n·AC=n·CE=0，即x+y=0x−y+az=0，取x=a,y=−a,z=−2，则n=(a,−a,−2)，依题意，|cos<m,n>|=|m·n||m||n|=a2+2=63，则a=2，于是n=(2,−2,−2).设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos<PA,n>|=|PA·n||PA||n|=23，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为23.【解析】本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．(1)证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；(2)根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量m=(1,−1,0)，面EAC的法向量n=(a,−a,−2)，利用二面角P−AC−E的余弦值为63, 可求a的值，从而可求n=(2,−2,−2),PA=(1,1,−2)，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．22．已知函数f(x)=ln x−kx+1.(1)求函数f(x)的的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；(3)证明:ln23+ln34+...+ln nn+1<n(n−1)4(n∈N+,n>1).【答案】(1) 函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1x −k，当k≤0时，f′(x)=1x−k>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数，当k>0时，若x∈(0,1k )时，有f′(x)=1x−k>0，若x∈(1k ,+∞)时，有f′(x)=1x−k<0，则f(x)在(0,1k)上是增函数，在(1k,+∞)上是减函数.(2)由(1)知k≤0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数，而f(1)=1−k>0,f(x)≤0不成立，故k>0，又由(1)知f(x)的最大值为f(1k )，要使f(x)≤0恒成立，则f(1k)≤0即可，即−ln k≤0，得k≥1.(3)由(2)知，当k=1时，有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立，且f(x)在(1,+∞)上是减函数，f(1)=0，即ln x<x−1，在x∈[2,+∞)上恒成立，令x=n2，则ln n2<n2−1，即2ln n<(n−1)(n+1)，从而ln nn+1<n−12,ln23+ln34+ln45+...+ln nn+1<12+22+32+...+n−12=n(n−1)4得证.【解析】本题考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，不等式的证明．考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．(1)由函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1x−k．再对k进行讨论，能求出函数f(x)的单调区间．(2)由(1)知k≤0时，f(x)在(0,+∞)上是增函数，而f(1)=1−k>0,f(x)≤0不成立，故k>0，又由(1)知f(x)的最大值为f(1k)，由此能确定实数k的取值范围．(3)由(2)知，当k=1时，有f(x)≤0在(0,+∞)恒成立，且f(x)在(1,+∞)上是减函数，f(1)=0，即ln x<x−1在x∈[2,+∞)上恒成立，由此能够证明ln23+ln34+...+ln nn+1<n(n−1)4。

高二第二学期月考数学试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中元素的个数为（ ）A.3B.4C.5D.62.已知i 是虚数单位，则复数z = 2−i4+3i 在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.曲线y = x 2+3x 在点A （2，10）处的切线的斜率k 是（ ） A.7 B.6 C.5 D.44.（√x −1x ）9展开式中的常数项是（ ） A.-36 B.36 C.-84 D.845.已知命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0，那么命题p 的否定是（ ） A.∃a 0∈（0，+∞），a 02 - 2a 0 -3≤0 B.∃a 0∈（-∞，0），a 02 - 2a 0 -3≤0 C.∀a ∈（0，+∞），a 2 - 2a -3≤0 D.∀a ∈（-∞，0），a 2 - 2a -3≤06.已知F 1，F 2是双曲线12222=-bx a y（a ＞0，b ＞0）的下、上焦点，点F 2关于渐近线的对称点恰好落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2 C.√3 D.37.某餐厅的原料费支出x 与销售额y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为∧y=8.5x +7.5，则表中的m 的值为（ ）A.50B.55C.60D.658.若f （x ）=x 2 - 2x - 4lnx ，则)('x f ＜0的解集（ ）A.（0，+∞）B.（0，2）C.（0，2）∪（-∞，-1）D.（2，+∞）9.设△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 = - 11，a 4 + a 6= - 6，则当S n 取最小值时，n 等于（ ） A.6 B.7 C.8 D.911.由曲线y =√x ，直线y = x - 2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A.103 B.4 C.163 D.612.定义在R 上的函数f （x ）满足：f （x ）+)('x f ＞1，f （0）= 4，则不等式e xf （x ）＞e x +3（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ） A.（0，+∞） B.（-∞，0）∪（3，+∞） C.（-∞，0）∪（0，+∞） D.（3，+∞）二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设随机变量X ～N （μ，σ2），且P （X ＜1）=12， P （X ＞2）=p ，则P （0＜X ＜1）= ______ ． 14.已知函数f （x ）=13x 3+ax 2+x +1有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 15.已知函数xx f x f sin cos )4()('+=π，则f （π4）= ______ ．16.观察下列一组等式：①sin 230°+cos 260°+sin 30°cos 60° = 34，②sin 215°+cos 245°+sin 15°cos 45° = 34，③sin 245°+cos 275°+sin 45°cos 75° = 34，…，那么，类比推广上述结果，可以得到的一般结果是： ______ ．三、解答题(本大题共6小题，共72.0分)17.已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，√3sin C cos C - cos 2C = 12，且c =3 （1）求角C（2）若向量m⃗⃗ =（1，sin A ）与n⃗ =（2，sin B ）共线，求a 、b 的值．18.已知正数数列 {a n } 的前n 项和为S n ，且对任意的正整数n 满足2√S n =a n +1． （Ⅰ）求数列 {a n } 的通项公式； （Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列{b n } 的前n 项和B n ．19.学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱） （Ⅰ）求在1次游戏中获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望E （X ）．20.如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D（Ⅰ）求证：BD ⊥A 1C（Ⅱ）求二面角B-A 1D-C 的大小．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0），F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3． （1）求椭圆C 的方程；（2）过定点P （0，2）作直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且OA ⊥OB （其中O 为坐标原点），求直线l 的方程．22.已知函f （x ）= ax 2 - e x （a ∈R ）．（Ⅰ）a =1时，试判断f （x ）的单调性并给予证明； （Ⅱ）若f （x ）有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2）． （i ） 求实数a 的取值范围； （ii ）证明：1)(21-<<-x f e（注：e 是自然对数的底数）【解析】1. 解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x |x =a +b ，a ∈A ，b ∈B}，所以a +b 的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8， 所以M 中元素只有：5，6，7，8．共4个． 故选B ．利用已知条件，直接求出a +b ，利用集合元素互异求出M 中元素的个数即可． 本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力． 2. 解：复数z =2−i4+3i =(2−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=5−10i 25=15−25i 在复平面内对应的点(15，−25)所在的象限为第四象限． 故选：D ．利用复数的运算法则及其几何意义即可得出．本题考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题． 3. 解：由题意知，y =x 2+3x ，则y ′=2x +3， ∴在点A （2，10）处的切线的斜率k =4+3=7， 故选：A ．根据求导公式求出y ′，由导数的几何意义求出在点A （2，10）处的切线的斜率k ．本题考查求导公式和法则，以及导数的几何意义，属于基础题．4. 解：（√x −1x ）9展开式的通项公式为T r +1=C 9r•（-1）r •x9−3r2，令9−3r 2=0，求得r =3，可得（√x −1x ）9展开式中的常数项是-C 93=-84，故选：C ．先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题． 5. 解：根据特称命题的否定是全称命题，得； 命题p ：∃a 0∈（0，+∞），a 02-2a 0-3＞0， 那么命题p 的否定是：∀a ∈（0，+∞），a 2-2a -3≤0． 故选：C ．根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定命题￢p 即可． 本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，是基础题目．6. 解：由题意，F 1（0，-c ），F 2（0，c ），一条渐近线方程为y =ab x ，则F 2到渐近线的距离为√a 2+b 2=b ．设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，∴|MF 2|=2b ，A 为F 2M 的中点， 又0是F 1F 2的中点，∴OA ∥F 1M ，∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4（c 2-a 2），∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2． 故选：B ．首先求出F 2到渐近线的距离，利用F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，可得直角三角形，即可求出双曲线的离心率．本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 7. 解：由题意，x .=2+4+5+6+85=5，y .=25+35+m+55+755=38+m5，∵y 关于x 的线性回归方程为y ^=8.5x +7.5， 根据线性回归方程必过样本的中心， ∴38+m5=8.5×5+7.5，∴m =60． 故选：C ．计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到结论． 本题考查线性回归方程的运用，解题的关键是利用线性回归方程恒过样本中心点，这是线性回归方程中最常考的知识点．属于基础题．8. 解：函数f （x ）=x 2-2x -4lnx 的定义域为{x |x ＞0}， 则f '（x ）=2x -2-4x =2x 2−2x−4x，由f '（x ）=2x 2−2x−4x ＜0，得x 2-x -2＜0，解得-1＜x ＜2，∵x ＞0，∴不等式的解为0＜x ＜2， 故选：B ．求函数的定义域，然后求函数导数，由导函数小于0求解不等式即可得到答案．本题主要考查导数的计算以及导数不等式的解法，注意要先求函数定义域，是基础题． 9. 解：∵△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列， ∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①； 又sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， ∴sin 2B=sin A •sin C=34，②由①②得：sin A •sin （120°-A ）=sin A •（sin 120°cos A-cos 120°sin A ）=√34sin 2A+12•1−cos2A2=√34sin 2A-14cos 2A+14 =12sin （2A-30°）+14 =34，∴sin （2A-30°）=1，又0°＜∠A ＜120° ∴∠A=60°． 故选D ．先由△ABC 的三内角A 、B 、C 成等差数列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，得sin 2B=sin A •sin C ，②，①②结合即可判断这个三角形的形状．本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得∠B=60°，∠A+∠C=120°，再利用三角公式转化，着重考查分析与转化的能力，属于中档题．10. 解：设该数列的公差为d ，则a 4+a 6=2a 1+8d =2×（-11）+8d =-6，解得d =2， 所以S n =−11n +n(n−1)2×2=n 2−12n =(n −6)2−36，所以当n =6时，S n 取最小值．故选A ．条件已提供了首项，故用“a 1，d ”法，再转化为关于n 的二次函数解得． 本题考查等差数列的通项公式以及前n 项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力．11. 解：联立方程{y =x −2y=√x得到两曲线的交点（4，2），因此曲线y =√x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为：S=∫(40√x −x +2)dx =(23x 32−12x 2+2x)|04=163．故选C ．利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线y =√x ，直线y =x -2的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．12. 解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，∵e x f（x）＞e x+3，∴g（x）＞3，又∵g（0）═e0f（0）-e0=4-1=3，∴g（x）＞g（0），∴x＞0故选：A．构造函数g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．13. 解：随机变量X～N（μ，σ2），可知随机变量服从正态分布，X=μ，是图象的对称轴，可知P（X＜1）=12，P（X＞2）=p，P（X＜0）=p，则P（0＜X＜1）=12−p．故答案为：12−p．直接利用正态分布的性质求解即可．本题考查正态分布的简单性质的应用，基本知识的考查．14. 解：函数f（x）=13x3+ax2+x+1的导数f′（x）=x2+2ax+1由于函数f（x）有两个极值点，则方程f′（x）=0有两个不相等的实数根，即有△=4a2-4＞0，解得，a＞1或a＜-1．故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）求出函数的导数，令导数为0，由题意可得，判别式大于0，解不等式即可得到．本题考查导数的运用：求极值，考查二次方程实根的分布，考查运算能力，属于基础题．15. 解：由f（x）=f′（π4）cosx+sinx，得f′（x）=-f′（π4）sinx+cosx，所以f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，f′（π4）=-√22f′（π4）+√22．解得f′（π4）=√2-1．所以f（x）=（√2-1）cosx+sinx则f（π4）=（√2-1）cosπ4+sinπ4=√22（√2−1）+√22=1．故答案为：1．由已知得f′（π4）=-f′（π4）sinπ4+cosπ4，从而f（x）=（√2-1）cosx+sinx，由此能求出f（π4）．本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．16. 解：观察下列一组等式：①sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34，②sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34，③sin245°+cos275°+sin45°cos75°=34，…，照此规律，可以得到的一般结果应该是sin2x+sinx）cos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，∴sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．证明：sin2x+sinx（√32cosx−12sinx）+（√32cosx−12sinx）2=sin2x+√32sinxcosx-12sin2x+34cos2x-√32sinxcosx+14sin2x=3 4sin2x+34cos2x=34．故答案为：sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x）=34．观察所给的等式，等号左边是sin230°+cos260°+sin30°cos60°，3sin215°+cos245°+sin15°cos45°…规律应该是sin2x+sinxcos（30°+x）+cos2（30°+x），右边的式子：34，写出结果．本题考查类比推理，考查对于所给的式子的理解，从所给式子出发，通过观察、类比、猜想出一般规律，不需要证明结论，该题着重考查了类比的能力．答案和解析【答案】1.B2.D3.A4.C5.C6.B7.C8.B9.D 10.A 11.C 12.A13.12−p14.（-∞，-1）∪（1，+∞）15.116.sin2（30°+x）+sin（30°+x）cos（30°-x）+cos2（30°-x）=3417.解：（1）∵√3sinCcosC−cos2C=12，∴√32sin2C−1+cos2C2=12∴sin（2C-30°）=1∵0°＜C＜180°∴C=60°（2）由（1）可得A+B=120°∵m ⃗⃗⃗ =(1，sinA)与n ⃗ =(2，sinB)共线， ∴sin B-2sin A=0∴sin （120°-A ）=2sin A 整理可得，cosA =√3sinA 即tan A=√33∴A=30°，B=90° ∵c =3．∴a =√3，b =2√3 18.解：（Ⅰ）由2√S n =a n +1，n =1代入得a 1=1， 两边平方得4S n =（a n +1）2（1），（1）式中n 用n -1代入得4S n−1=(a n−1+1)2&(n ≥2)（2）， （1）-（2），得4a n =（a n +1）2-（a n -1+1）2，0=（a n -1）2-（a n -1+1）2，（3分） [（a n -1）+（a n -1+1）]•[（a n -1）-（a n -1+1）]=0， 由正数数列{a n }，得a n -a n -1=2，所以数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，有a n =2n -1．（7分） （Ⅱ）b n =1an ⋅a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，裂项相消得B n =n2n+1．（14分）19.（I ）解：设“在X 次游戏中摸出i 个白球”为事件A i （i =，0，1，2，3），“在1次游戏中获奖”为事件B ，则B=A 2∪A 3， 又P （A 3）=C 32C 21C 52C 32=15，P （A 2）=C 32C 22+C 31C 21C 21C 52C 32=12，且A 2，A 3互斥，所以P （B ）=P （A 2）+P （A 3）=12+15=710； （II ）解：由题意可知X 的所有可能取值为0，1，2.X ～B(2，710) 所以X 的分布列是 X 012P9100215049100X 的数学期望E （X ）=0×9100+1×2150+2×49100=75． 20.（Ⅰ）证明：分别以AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，∵AC=2√3，AA 1=√3，AB=2，点D 在棱B 1C 1上，且B 1C 1=4B 1D ， ∴B （2，0，0），C （0，2√3，0），A 1（0，0，√3），D （32，√32，√3）．则BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2√3，−√3)， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12×0+√32×2√3−√3×√3=0． ∴BD ⊥A 1C ；（Ⅱ）解：设平面BDA 1的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2，0，√3)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12，√32，√3)，∴{m ⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x +√32y +√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x+√3z=0，取z =2，则m ⃗⃗⃗ =(√3，−3，2)；设平面A 1DC 的一个法向量为n ⃗ =(x ，y ，z)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，3√32，−√3)，CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0，−2√3，√3)，∴{n ⃗ ⋅CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2√3y +√3z =0n⃗⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x+3√32y−√3z=0，取y =1，得n ⃗ =(−√3，1，2)．∴cos ＜m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ ＞=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=4×2√2=−√28．∴二面角B-A 1D-C 的大小为arccos √28．21.解：（1）∵椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1的左焦点F 1的坐标为（-√3，0）， F 2是它的右焦点，点M 是椭圆C 上一点，△MF 1F 2的周长等于4+2√3， ∴{c =√32a +2c =4+2√3a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y =kx -2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{x 24+y 2=1y =kx −2，得（1+4k 2）x 2-16kx +12=0，△=（-16k ）2-48（1+4k 2）＞0，由根与系数关系得x 1+x 2=16k1+4k 2，x 1•x 2=121+4k 2， ∵y 1=kx 1-2，y 2=kx 2-2，∴y 1y 2=k 2x 1•x 2-2k （x 1+x 2）+4． ∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，∴（1+k 2）x 1x 2-2k （x 1+x 2）+4=0， ∴12(1+k 2)1+4k 2-32k 21+4k 2+4=0，解得k =±2，∴直线l 的方程是y =2x -2或y =-2x -2． 22.解：（Ⅰ）当a =1时，f （x ）=x 2-e x ，f （x ）在R 上单调递减．事实上，要证f ′（x ）=x 2-e x 在R 上为减函数，只要证明f ′（x ）≤0对∀x ∈R 恒成立即可，设g （x ）=f ′（x ）=2x -e x ，则g ′（x ）=2-e x ，当x =ln 2时，g ′（x ）=0，当x ∈（-∞，ln 2）时，g ′（x ）＞0，当x ∈（ln 2，+∞）时，g ′（x ）＜0． ∴函数g （x ）在（-∞，ln 2）上为增函数，在（ln 2，+∞）上为减函数． ∴f ′（x ）max =g （x ）max =g （ln 2）=2ln 2-2＜0，故f ′（x ）＜0恒成立 所以f （x ）在R 上单调递减； （Ⅱ）（i ）由f （x ）=ax 2-e x ，所以，f ′（x ）=2ax -e x ．若f （x ）有两个极值点x 1，x 2，则x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两个根，故方程2ax-e x=0有两个根x1，x2，又因为x=0显然不是该方程的根，所以方程2a=e xx有两个根，设ℎ(x)=e xx ，得ℎ′(x)=e x(x−1)x2．若x＜0时，h（x）＜0且h′（x）＜0，h（x）单调递减．若x＞0时，h（x）＞0．当0＜x＜1时h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时h′（x）＞0，h（x）单调递增．要使方程2a=e xx 有两个根，需2a＞h（1）=e，故a＞e2且0＜x1＜1＜x2．故a的取值范围为(e2，+∞)．（ii）证明：由f′（x1）=0，得：2ax1−e x1=0，故a=e x12x1，x1∈（0，1）f(x1)=ax12−e x1=e x1 2x1⋅x12−e x1=e x1(x12−1)，x1∈（0，1）设s（t）=e t(t2−1)（0＜t＜1），则s′(t)=e t(t−12)＜0，s（t）在（0，1）上单调递减故s（1）＜s（t）＜s（0），即−e2＜f(x1)＜−1．。

陆川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin2，则该数列的前10项和为（ ）A ．89B ．76C ．77D ．352． 设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ．12πa 2D ．24πa 23． 《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布．A ．B ．C ．D ．4． 已知A ，B 是以O 为圆心的单位圆上的动点，且||=，则•=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣D ．5． 计算log 25log 53log 32的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．86． 由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）A B1C D7． 在三棱柱111ABC A B C -中，已知1AA ⊥平面1=22ABC AA BC BAC π=∠=，，,此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的体积为（ ） A ．323π B ．16π C.253π D ．312π8． “a ＞0”是“方程y 2=ax 表示的曲线为抛物线”的（ ）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9． 某公园有P ，Q ，R 三只小船，P 船最多可乘3人，Q 船最多可乘2人，R 船只能乘1人，现有3个大人和2个小孩打算同时分乘若干只小船，规定有小孩的船必须有大人，共有不同的乘船方法为（ ） A ．36种 B ．18种 C ．27种 D ．24种 10．江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距（ ）A ．10米B ．100米C ．30米D ．20米11．如果a ＞b ，那么下列不等式中正确的是（ ） A ．B ．|a|＞|b|C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 312．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知直线l ：ax ﹣by ﹣1=0（a ＞0，b ＞0）过点（1，﹣1），则ab 的最大值是 ．14．圆柱形玻璃杯高8cm ，杯口周长为12cm ，内壁距杯口2cm 的点A 处有一点蜜糖．A 点正对面的外壁（不是A 点的外壁）距杯底2cm 的点B 处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少 cm ．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）15．在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，且，则____．16．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的值是 ．17．在ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b ⋅=+，ABC ∆的面积S =，则边c 的最小值为_______．【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等基础知识，意在考查基本运算能力．18．若曲线f （x ）=ae x +bsinx （a ，b ∈R ）在x=0处与直线y=﹣1相切，则b ﹣a= ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知圆C ：022=++++F Ey Dx y x 的圆心在第二象限，半径为2，且圆C 与直线043=+y x 及y 轴都相切.（1）求F E D 、、；（2）若直线022=+-y x 与圆C 交于B A 、两点，求||AB .20．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题： （1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S21．如图，点A是单位圆与x轴正半轴的交点，B（﹣，）．（I）若∠AOB=α，求cosα+sinα的值；（II）设点P为单位圆上的一个动点，点Q满足=+．若∠AOP=2θ，表示||，并求||的最大值．22．如图所示，两个全等的矩形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M AC ∈，N FB ∈，且AM FN =，求证：//MN 平面BCE ．23．已知命题p ：∀x ∈[2，4]，x 2﹣2x ﹣2a ≤0恒成立，命题q ：f （x ）=x 2﹣ax+1在区间上是增函数．若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围．24．已知函数f（x）=1+（﹣2＜x≤2）．（1）用分段函数的形式表示函数；（2）画出该函数的图象；（3）写出该函数的值域．陆川县二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：因为a1=1，a2=2，所以a3=（1+cos2）a1+sin2=a1+1=2，a4=（1+cos2π）a2+sin2π=2a2=4．一般地，当n=2k﹣1（k∈N*）时，a2k+1=[1+cos2]a2k﹣1+sin2=a2k﹣1+1，即a2k+1﹣a2k﹣1=1．所以数列{a2k﹣1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k﹣1=k．当n=2k（k∈N*）时，a2k+2=（1+cos2）a2k+sin2=2a2k．所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k=2k．该数列的前10项的和为1+2+2+4+3+8+4+16+5+32=77故选：C．2．【答案】B【解析】解：根据题意球的半径R满足（2R）2=6a2，所以S球=4πR2=6πa2．故选B3．【答案】D【解析】解：设从第2天起每天比前一天多织d尺布m则由题意知，解得d=．故选：D．【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的求解．4．【答案】B【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且||=，即有||2+||2=||2，可得△OAB为等腰直角三角形，则，的夹角为45°，即有•=||•||•cos45°=1××=1．故选：B．【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．5．【答案】A【解析】解：log25log53log32==1．故选：A．【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．6．【答案】D【解析】由定积分知识可得，故选D。

2017年秋季期高二12月月考试卷理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、等比数列{}n a 的前n 项和为S n , 且14a ， 22a ， 3a 成等差数列，若1a =1，则S 10=（ ） A 、512 B 、511 C 、1024 D 、10232．若R ∈k ,则“3>k "是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线"的（ ） 条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要3．若双曲线22142x y m m +=--的渐近线方程为13y x =±，则m 的值为（ ) A 。

1 B 。

74 C 。

114D. 5 4.已知双曲线方程为2214y x -=，过点()1,0P 的直线L 与双曲线只有一个公共点，则L 的条数共有（ )A 。

4 B. 3 C 。

2 D 。

15．设{}n a 为等差数列，若11101aa <-,且它的前n 项和n S 有最小值，那么当n S 取得最小正值时的n 值为（ )A 。

18 B. 19 C 。

20 D. 216．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l与C 交于A ,B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ）A ． 2B ．3C ．2D ．错误!7．已知椭圆22184x y +=的弦AB 的中点坐标为()1,1M ，则直线AB 的方程为（ ）A 。

230x y +-= B. 210x y -+= C 。

230x y +-= D 。

210x y -+=8。

设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若==5935,95S S a a则（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．21 9．过点M (1，1）作斜率为21-的直线与椭圆C ：错误!＋错误!＝1（a 〉b >0)相交于A 、B 两点，若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于( ）A ．22 B ．33 C ．12 D ．1310．若点O 和点F 分别为椭圆错误!＋错误!＝1的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点，则 错误!·错误!的最大值为（ )A ．6B ．3C ．2D 。

高二12月月考（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1．直线x﹣y+1＝0的斜率为（）A．B．﹣C．D．﹣2.（5分）2．已知向量＝（2，3，1），＝（1，2，0），则|+|等于（）A．B．3C．D．93.（5分）3．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝，＝，＝，则下列向量与相等的是（）A．﹣﹣+B．+﹣C．﹣++D．++4.（5分）4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列．若冬至、大寒、雨水的日影子长的和是40.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为（）A．6.5尺B．13.5尺C．14.5尺D．15.5尺5.（5分）5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为棱A1B1和BB1的中点，那么异面直线AM和CN所成角的余弦值是（）A．B．C．D．﹣6.（5分）6．历时23天嫦娥五号成功携带月球样品返回地球，标志着中国航天向前迈出一大步．其中2020年11月28日晚，嫦娥五号成功进行首次近月制动，进入一个大椭圆轨道．该椭圆形轨道以月球球心为一个焦点F1，若其近月点A（离月球表面最近的点）与月球表面距离为r1公里，远月点B（离月球表面最远的点）与月球表面距离为r2公里，并且F1，A，B在同一直线上已知月球的半径为R公里，则该椭圆形轨道的离心率为（）A．B．C．D．7.（5分）7．已知动点P在直线l1：3x﹣4y+1＝0上运动，动点Q在直线l2：6x+my+4＝0上运动，且l1∥l2，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．8.（5分）8．若等差数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＞0，a2020+a2021＞0，a2020•a2021＜0，则满足S n＞0成立的最大正整数n是（）A．4039B．4040C．4041D．4042二、多选题（本题共计4小题，总分20分）9.（5分）9．关于双曲线C1：＝1与双曲线C2：＝1，下列说法正确的是（）A．它们的实轴长相等B．它们的渐近线相同C．它们的离心率相等D．它们的焦距相等10.（5分）10．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣4x＝0的公共点为A，B，则（）A．|C1C2|＝2B．直线AB的方程是x＝C．AC1⊥AC2D．|AB|＝11.（5分）11．若数列{a n}满足a1＝1，a2＝1，a n＝a n﹣1+a n﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{a n}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用则下列结论成立的是（）A．a7＝13B．a1+a3+a5+……+a2019＝a2020C．S7＝54D．a2+a4+a6+……+a2020＝a202112.（5分）12．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点E，F在平面A1B1C1D1内，若|AE|＝，AC⊥DF，则（）A．点E的轨迹是一个圆B．点F的轨迹是一个圆C．|EF|的最小值为﹣1D．AE与平面A1BD所成角的正弦值的最大值为三、填空题（本题共计3小题，总分15分）13.（5分）13．若直线x﹣y+1＝0与直线mx+3y﹣1＝0互相垂直，则实数m的值为．14.（5分）14．若双曲线的渐近线为，则双曲线C的离心率为．15.（5分）16．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点（，0）的直线l与圆C：x2+y2﹣4x+8＝0交于A，B两点，则四边形OACB面积的最大值为．四、解答题（本题共计7小题，总分75分）16.（5分）15．已知四面体ABCD的顶点分别为A（2，3，1），B（1，0，2），C（4，3，﹣1），D（0，3，﹣3），则点D到平面ABC的距离．17.（10分）17．在：①圆C与y轴相切，且与x轴正半轴相交所得弦长为2；②圆C经过点A（4，1）和B（2，3）；③圆C与直线x﹣2y﹣1＝0相切，且与圆Q：x2+（y﹣2）2＝1相外切。

2017-2018学年 高二年级理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. “R x ∈∃0，010<+x 或0020>-x x ”的否定形式是（ ）A ．R x ∈∃0，010≥+x 或0020≤-x xB ．R x ∈∀，01≥+x 或02≤-x x C ．R x ∈∃0，010≥+x 且0020≤-x x D ．R x ∈∀，01≥+x 且02≤-x x2. 若b a >，0>>d c ，则下列不等式成立的是（ ）A ．c b d a +>+B ．c b d a ->-C ．bd ac >D ．dbc a < 3. 不等式111-≥-x 的解集为（ ） A ．),1[]0,(+∞-∞ B ．),0[+∞ C ．),1(]0,(+∞-∞ D ．),1()1,0[+∞ 4. 等差数列}{n a 中，已知39741=++a a a ，27963=++a a a ，则前9项和9S 的值为（ ） A ．297 B ．144 C ．99 D ．66 5. 下列中是真的是（ ）① “若022≠+y x ，则y x ,不全为零”的否；②“正多边形都相似”的逆；③“若0>m ，则02=-+m x x 有实根”的逆否；④“R x ∈∃，022≤++x x ”的否定. A ．①②③④ B ．①③④ C ．②③④ D ．①④6. 方程0)82(2=-++--y x y y x 表示的曲线为（ ）A ．一条线段与一段劣弧B ．一条射线与一段劣弧C ．一条射线与半圆D ．一条直线和一个圆 7. 设c b a ,,都为正数，那么三个数ac c b b a 1,1,1+++（ ） A ．都不大于2 B ．都不小于2 C ．至少有一个不大于2 D ．至少有一个不小于2 8. 已知p ：111<-x ，q ：0)1(2>--+a x a x ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]1,2(--B ．]1,2[--C ．]1,3[--D ．),2[+∞-9. ABC ∆中内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若c b a ,,成等比数列，且bc ac c a -=-22，则角A 的大小及cBb sin 的值分别为（ ） A ．6π，21 B ．3π，23 C ．3π，21 D ．6π，2310. 定义np p p n+++ 21为n 个正数n p p p ,,,21 的“均倒数”，若已知数列}{n a 的前n 项和的“均倒数”为131+n ，又62+=n n a b ，则=+++1093221111b b b b b b （ ） A ．111 B ．1110 C ．109D ．1211 11. 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为21,F F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，21F PF ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若10||1=PF ，椭圆与双曲线的离心率分别为21,e e ，则121+⋅e e 的取值范围是（ ） A ．),1(+∞ B ．),34(+∞ C ．),56(+∞ D ．),910(+∞ 12. 在锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，满足)cos 1(cos A b B a +=，且ABC ∆的面积2=S ，则))((a b c b a c -+-+的取值范围是（ ）A ．)8,828(-B ．)8,338(C ．)338,828(- D ．)38,8( 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若双曲线11622=-mx y 的离心率2=e ，则=m . 14. 已知正数y x ,满足0322=-+xy x ，则y x +2的最小值是 .15. 若数列}{n a 满足231+=-n n a a (*∈≥N n n ,2)，11=a ，则数列}{n a 的通项公式为=n a .16. 若y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≤-222y y x y x ，则6--=x x y z 的最大值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)已知p ：02082≤--k k ，q ：方程11422=-+-ky k x 表示焦点在x 轴上的双曲线. （1）q 为真，求实数k 的取值范围；（2）若“q p ∨”为真，“q p ∧”为假，求实数k 的取值范围. 18. (本小题满分12分)已知圆C ：422=+y x .（1）直线l 过点)2,1(P ，且与圆C 交于B A 、两点，若32||=AB ，求直线l 的方程； （2）过圆C 上一动点M 作平行于x 轴的直线m ，设m 与y 轴的交点为N ，若向量ON OM OQ +=，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.19. (本小题满分12分)等差数列}{n a 中，已知0>n a ，15321=++a a a ，且13,5,2321+++a a a 构成等比数列}{n b 的前三项.（1）求数列}{n a ，}{n b 的通项公式； （2）求数列}{n n b a 的前n 项和n T .20. (本小题满分12分) 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若ABa b c cos cos 2=- （1）求角A 的大小；（2）已知52=a ，求ABC ∆面积的最大值.21. (本小题满分12分)已知二次函数2)(2+-=bx ax x f (0>a ).（1）若不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ，求a 和b 的值； （2）若12+=a b .①解关于x 的不等式0)(≤x f ；②若对任意]2,1[∈a ，0)(>x f 恒成立，求x 的取值范围.22. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：12222=+by a x (0>>b a )的左、右焦点分别为21,F F ，离心率为23，以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切. 过点2F 的直线与椭圆C 相交于N M 、两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）若F MF 223=，求直线的方程； （3）求MN F 1∆面积的最大值.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．48； 14．2； 15．1321-⨯-n ； 16．1三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解：由02082≤--k k 得102≤≤-k ，即p ：102≤≤-k .由⎩⎨⎧<->-0104k k 得41<<k ，即q ：41<<k .（1）q 为真，41<<k .（2）由题意p ，q 一真一假，因此有⎩⎨⎧≥≤≤≤-41102k k k 或或⎩⎨⎧<<><41102k k k 或∴12≤≤-k 或104≤≤k .18．解：（1）①当直线垂直于x 轴时，则此时直线方程为1=x ，与圆的两个交点坐标为)3,1(和)3,1(-，其距离为32，满足题意.②若直线不垂直于x 轴，设其方程为)1(2-=-x k y ，即02=+--k y kx . 设圆心到此直线的距离为d ，则24232d -=，得1=d ，∴1|2|12++-=k k ，43=k ，∵ON OM OQ +=，∴)2,(),(00y x y x =，即x x =0，20y y =. 又∵42020=+y x ，∴4422=+y x . 由已知，直线x m //轴，∴0≠y ，∴点Q 的轨迹方程是141622=+x y (0≠y )， 轨迹是焦点坐标为)32,0(),32,0(21F F -，长轴长为8的椭圆，并去掉)0,2(±两点. 19. 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则由已知得：1532321==++a a a a ，即52=a . 又100)135)(25(=+++-d d ，解得2=d 或13-=d （舍），321=-=d a a ， ∴12)1(1+=-+=n d n a a n .又5211=+=a b ，10522=+=a b ，∴2=q ，∴125-⨯=n n b . （2）]2)12(27253[512-⋅+++⨯+⨯+=n n n T ，]2)12(272523[5232n n n T ⋅+++⨯+⨯+⨯= ，两式相减得]12)21[(5]2)12(222725223[5132-⋅-=⋅+-⨯++⨯+⨯+⨯+=--n n n n n n T ，∴]12)12[(5+⋅-=nn n T .20．解：（1）∵ABa b c cos cos 2=-，∴B a A b c cos cos )2(=-， 由正弦定理得B A A B C cos sin cos )sin sin 2(=-， 整理得B A A B A C cos sin cos sin cos sin 2=-， ∴C B A A C sin )sin(cos sin 2=+=， 在ABC ∆中，0sin ≠C ，∴21cos =A ，3π=A . （2）由余弦定理得212cos 222=-+=bc a c b A ，又52=a ，∴2022022-≥=-+bc bc c b ∴20≤bc ，当且仅当c b =时取“=”，∴ABC ∆的面积35sin 21≤=A bc S . 即ABC ∆面积的最大值为35.21． 解：(1) 不等式0)(>x f 的解集为2|{>x x 或}1<x ， ∴与之对应的二次方程022=+-bx ax 的两根为1，2，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯=+a a b 22121，解得⎩⎨⎧==31b a .(2)将12+=a b 代入2)(2+-=bx ax x f ，得)1)(2(2)12()(2ax x a x a ax x f --=+--=(0>a )①0)1)(2(≤--a x x ，∴若(21>a )，不等式0)(≤x f 解集为}21|{≤≤x a x ；若210<<a ，不等式0)(≤x f 解集为}12|{a x x ≤≤；若21=a ，不等式0)(≤x f 解集为}2|{=x x .②令2)2()(2+--=x x x a a g ，则⎩⎨⎧>>0)2(0)1(g g 或0=x ，解得2>x 或21<x 或0=x .故x 的取值范围是2|{>x x 或21<x 或}0=x .22．解：（1）设椭圆方程为12222=+by a x (0>>b a )，∵离心率为23，∴23=a c ，即a c 23=，又222c b a +=，∴224a b =.∵以原点为圆心，以椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线02=+-y x 相切， ∴圆心到直线02=+-y x 的距离b d ==2|2|，∴12=b ，42=a . ∴椭圆C 的方程为1422=+y x （2）由题意可设直线方程为3+=my x ①当直线的斜率为0时，不符合题意；②当直线的斜率不为0时，则直线方程为3+=my x ，可设),(11y x M ，),(22y x N ，由N F MF 223=可得),3(3),3(2211y x y x -=--，得213y y -=.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322y x my x 得0132)4(22=-++my y m ，由0)1(162>+=∆m ，则22212432y m m y y -=+-=+，22221341y m y y -=+-=， 可得方程为41)432(3222+-=+-m m m ，解得212=m ，22±=m .∴直线方程为062=--y x 或062=-+y x . （3）由（2）可得232134111343113441344143221||||212222222221211=⨯≤+++⨯=+++⨯=++⨯=++⨯⨯=-⨯=∆m m m m m m m m y y F F S MNF当且仅当13122+=+m m 时“=”成立，即2±=m 时，MN F 1∆面积的最大值为2.。

广西陆川县中学2017-2018学年下学期高二期末考试卷理科数学一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、若{1，2} ⊆ A ⊆{1，2，3，4，5}，则集合A 的个数是（ ） （A ）8 （B ）7 （C ）4 （D ）32、设x,y ∈R,A={}(,)x y y x =,B={}(,)1y x y x=,则A 、B 间的关系为（ ）（A ）AB （B ）BA （C ）A=B （D ）A ∩B=Φ3.已知复数1z i =-，则21z z =- （ ）A 、 2B 、－2C 、2iD 、 －2i4. 函数f(x)=ax 3+3x 2+2,若(1)4f '-=,则a 的值是（ ）A.319 B. 316 C. 313 D. 310 5.甲、乙两人独立地解同一问题，甲解决这个问题的概率是p 1，乙解决这个问题的概率是2p ，那么恰好有1人解决这个问题的概率是 （ ）A 、12p pB 、()()122111p p p p -+-C 、121p p -D 、()()12111p p ---6.函数93)(23-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a = （ ）A 、2B 、3C 、4D 、57.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示。

则有 （ ）A 、1212,μμσσ<<B 、1212,μμσσ<>C 、1212,μμσσ><D 、1212,μμσσ>>8．一工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中抽取4个，则其中恰好有一个二等品的概率为（ ）A. 49041001C C -B. 0413109010904100C C C C C +C. 1104100C CD. 1310904100C C C 9．已知随机变量),(~p n B ξ，且12=ξE ，4.2=ξD ，则n 与p 的值分别为 （ ）A ．16与0.8B ．20与0.4C ．12与0.6D ．15与0.8 10.函数xe x y 2=的单调递减区间是. （ ） A 、(–1, 2) B 、(–∞, –1)与(1, +∞)C 、(–∞, –2)与(0, +∞)D 、(–2，0)11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．11 12.已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题： ① f(x)的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]； ② f(x)的极值点有且仅有一个；③ f(x)的最大值与最小值之和等于零；其中正确的命题个数为 （ ） A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X ，则X 的期望E （X ）= ．14.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤,则(0)P ξ=≤ . 15．在未来3天中，某气象台预报天气的准确率为0.8，则在未来3天中，至少连续2天预报准确的概率是 ．16.已知n 为正整数，在二项式122nx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79.则n 的值为 ，展开式中第 项的系数最大.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.〔本小题满分10分）设实部为正数的复数z ，满足|z|=5,且复数（1+3i ）z 在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上. (I)求复数z(II)若复数z + m 2(1 +i)-2i 十2m -5为纯虚数，求实数m 的值. 18.〔本小题满分12分）已知（1+m x )n(m 是正实数)的展开式的二项式系数之和为128,展开式中含x 项的系数为84，一：匕： (I)求m,n 的值(II)求（1+m x )n(1-x)的展开式中有理项的系数和. 19.〔本小题满分12分)已知某公司为郑州园博园生产某特许商品，该公司年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2 .7万元，设该公司年内共生产该特许商品工x 千件并全部销售完;每千件的销售收入为R(x)万元，且(I )写出年利润W(万元〉关于该特许商品x(千件）的函数解析式； 〔II 〕年产贵为多少千件时，该公司在该特许商品的生产中所获年利润最大?20、(本题满分12分) 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛. 假设每局甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，各局比赛结果相互独立．(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数，求X 的分布列和均值(数学期望)．21．(本题满分12分) 过点P ⎝⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋2y 2＝1交于点M 、N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α值．22、(本题满分12分) 已知函数()f x =|21||2|x x a -++,()g x =3x +. (Ⅰ)当a =2时,求不等式()f x <()g x 的解集;(Ⅱ)设a >-1,且当x ∈[2a -,12)时,()f x ≤()g x ,求a 的取值范围.理科数学答案1-5. ABA DB 6-10DADDD 11.B12.C13. 2 14. 0.16 15. 0.768 16. 12 1117.解析：(1)设()R 0Z a bi a b a =+∈>、且，由5=Z ，得.522=+b a ----------1分 又复数()Z i 31+=()()i b a b a ++-33在复平面内对应的点在第一、三象限的角平分线上.则b a b a +=-33，即b a 2-=---------------------3分又0>a ，所以1,2-==b a ，则i Z -=2---------5分 (2)()52212-+-++m i i m Z =()i m m m 13222-+-+为纯虚数,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-+≠-,032,0122m m m ---------------------7分可得.3-=m -------------10分18.解析：(1)由题意可知，1282=n ，解得7=n -------3分含x 项的系数为84227=m C ，2=m ---------6分(2) ()nx m +1的展开项通项公式为271r rrr x m C T =+------8分(13571,nT T T T +的展开式中有理项分别是、、、-------10分(1(1)n x +-的展开式有理项的系数和为0-------12分19.解析：（1）当100≤<x 时，10301.8)7.210()(3--=+-=x x x x xR W当10>x 时，x xx x xR W 7.23100098)7.210()(--=+-= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤<--=∴107.2310009810010301.83x x x x x x W ------------6分（2）①当100≤<x 时，由;0,)9,0(.90101.82>'∈==-='W x x x W 时且当得当(9,10),0;x W '∈<时∴当9=x 时，W 取最大值，且6.3810930191.83max =-⨯-⨯=W -----------------10分 ②当10>x 时，W =98387.2310002987.231000=⨯-≤⎪⎭⎫⎝⎛+-x x x x当且仅当max 10001002.7,,38.39x x W x ===即时 综合①、②知9=x 时，W 取最大值．所以当年产量为9千件时，该公司在该特许商品生产中获利最大．--------------- 12分20、用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，A k 表示“第k 局甲获胜”，B k 表示“第k 局乙获胜”，则P (A k )＝23，P (B k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)P (A )＝P (A 1A 2)＋P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2A 3A 4)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (B 1B 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (B 1)P (B 2)＝59， P (X ＝3)＝P (B 1A 2A 3)＋P (A 1B 2B 3)＝P (B 1)P (A 2)P (A 3)＋P (A 1)P (B 2)P (B 3)＝29，P (X ＝4)＝P (A 1B 2A 3A 4)＋P (B 1A 2B 3B 4)＝P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)＋P (B 1)P (A 2)P (B 3)P (B 4)＝1081，P (X ＝5)＝1－P (X ＝2)－P (X ＝3)－P (X ＝4)＝881.故X 的分布列为E (X )＝2×59＋3×29＋4×81＋5×81＝81.21、设直线为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋sin 2α. ∴当sin 2α＝1时，即α＝π2，|PM |·|PN |取最小值为34，此时α＝π2.22、当a =-2时,不等式()f x <()g x 化为|21||22|30x x x -+---<,设函数y =|21||22|3x x x -+---,y =15, 212, 1236, 1x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩,其图像如图所示从图像可知,当且仅当(0,2)x ∈时,y <0,∴原不等式解集是{|02}x x <<.(Ⅱ)当x ∈[2a -,12)时,()f x =1a +,不等式()f x ≤()g x 化为13a x +≤+, ∴2x a ≥-对x ∈[2a -,12)都成立,故2a-≥2a -,即a ≤43,∴a 的取值范围为(-1,43].。

数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知0,0a b b +><，那么,,,a b a b --的大小关系是 （ ） A ．a b b a >>->- B ．a b a b >->-> C ．a b b a >->>- D ．a b a b >>->-2. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> （ ）A ．y =B ．2y x =± C ．12y x =±D ．2y x =± 3. 用反证法证明命题：“,,,,1,1a b c d R a b c d ∈+=+=,且1ac bd +>，则,,,a b c d 中至少有一个负数”时的假设为（ ）A ．,,,a b c d 至少有一个正数B ．,,,a b c d 全为正数C ．,,,a b c d 全都大于等于0D ．,,,a b c d 中至多有一个负数4. 若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 （ ）A ．1ab ≥B 2> C. 333a b +≥ D ．112a b+≥ 5. 设命题():0,,32xxp x ∀∈+∞>；命题():,0,32q x x x ∃∈-∞>，则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝ C.()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝ 6. 函数()f x 的定义域为开区间(),a b ，导函数()'f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 开区间(),a b 内的极小值点有（ ）个A ．4B ．3 C.2 D ．1 7. 设x R ∈，则“21x -<”是“220x x +->”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件8. 已知,x y 满足约束条件20626x x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，若目标函数3z x y a =++的最大值是10，则a =（ ）A ．6B ．4- C.1 D ．0 9. 若()2,2,0C CA CB --=，且直线CA 交x 轴于A ，直线CB 交y 轴于B ，则线段AB 中点M 的轨迹方程是（ ）A ．20x y +-=B ．20x y -+= C. 20x y ++= D ．20x y --=10. 已知函数()ln f x x x =-，则()f x 的图象大致为 （ ）A ．B ． C. D ．11. 已知函数()()221,log x f x g x x m x +==+，若对[][]121,2,1,4x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥，则m 的取值范围是 （ ）A ．2m ≤B ．34m ≤C.0m ≤ D ．54m ≤-12. 设函数()f x 在R 上存在导函数()'f x ，对于任意的实数x ，都有()()24f x x f x =--，当(),0x ∈-∞时，()1'42f x x +<，若()()142f m f m m +≤-++，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)2,-+∞B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C.[)1,-+∞ D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 已知函数()()2102xf x e f x x =-+，则()'1f =__________.14.211dx x+=⎰⎰__________. 15. 已知函数()()ln x f x kx k R x =-∈，在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个零点，则k 的取值范围_________.16. 如果对定义在R 上的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x 都有()()()()11221221x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()f x “H 函数”. 下列函数是“H 函数”的所有序号为_________.①xy e x =+；②2y x =；③3sin y x x =-；④ln ,00,0x x x ⎧≠⎪⎨=⎪⎩.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知函数()33f x x x =-.（1）求函数()f x 的极值；（2） 过点()2,6P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.18.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2322n n nS =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足221n n n n nb a a a a ++=-+，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证:5212n T n <+. 19.（本小题满分12分）在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若1cos 2b c a C -=.（1）求角A ；（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .20.（本小题满分12分）已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点()1,2A 为抛物线C 上一点.（1）求C 的方程；（2） 若点()1,2B -在C 上，过B 作C 的两弦BP 与BQ ，若2B P B Q k k =-，求证: 直线PQ 过定点.21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，,,222AB AD AB CD AB AD CD ⊥===,E 是PB 上的点.（1）求证: 平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --PA 与平面EAC 所成角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知函数()ln 1f x x kx =-+.（1）求函数()f x 的的单调区间；（2）若()0f x ≤恒成立，试确定实数k 的取值范围 ；（3）证明:()()1ln 2ln 3ln ...,13414n n n n N n n +-+++<∈>+.广西陆川县中学2016-2017学年高二12月月考数学（理）试题参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1-5. CACDB 6-10. DABCA 11-12. BD 二、填空题（每小题5分，共20分） 13. e 14.ln 24π+ 15.4212k e e≤< 16. ① ③ 三、解答题17.解：（1）()()()()323,'33311f x x x f x x x x =-∴=-=-+,令()'0f x =，解得1x =-或1x =，列表如下当1x =-时，有极大值()12f -=；当1x =时，有极小值()12f =-.（2）设切点()()03320000,3,3'|33x x x x x k x x x =-∴=-=-，∴切线方程()()()320000333,y x x x x x --=--切线过点()()()()32000002,6,63332,0P x x x x x -∴---=--∴=或03x =，∴切线方程为3y x=-或2454y x =-.1231111111...2...2243513n n T b b b b n n n ⎛⎫∴=++++=+-+-++- ⎪++⎝⎭111115222232312n n n n ⎛⎫=++--<+ ⎪++⎝⎭. 19.解：（1）由正弦定理得：1sin sin sin cos 2B C A C -=，又()()1sin sin ,sin sin sin cos 2B A C A C C A C =+∴+-=.即1cos sin sin 2A C C =，又1sin 0,cos 2C A ≠∴=，又A 是内角，60A ∴=.（2）由余弦定理得：()()()22222222cos 3,412a b c bc A b c bc b c bc b c b c =+-=+-=+-∴+-+=，得116,8,sin 822b c bc S bc A +=∴=∴==⨯=20.解：（1）当焦点在x 轴时，设C 的方程为22x py =，代人点()1,2A 得24p =，即24y x =.当焦点在y 轴时，设C 的方程为22x py =，代人点()1,2A 得122p =，即212x y = ，综上可知：C 的方程为24y x =或212x y =. （2）因为点()1,2B -在C 上，所以曲线C 的方程为24y x =.设点()()1122,,,A x y B x y ，直线:AB x my b =+，显然m 存在，联立方程有：()221212440,16,4,4y my b m b y y m y y b --=∆=+∴+==-.12121222442,2,21122BP BQ y y k k x x y y ++=-∴=-∴=-----,即()12122120,48120y y y y b m -++=∴--+=即32b m =-.直线:32AB x my b my m =+=+-即()32,x m y -=-∴直线AB 过定点()3,2.21.解：（1）证明：PC ⊥平面,ABCD AC ⊂平面,,2,1,ABCD AC PC AB AD CD AC BC ∴⊥===∴==222,AC BC AB AC BC ∴+=∴⊥.又,BCPC C PC =⊂面,PBC BC ⊂面,PBC AC ∴⊥平面,PBC AC ⊂平面,EAC ∴平面EAC ⊥平面PBC .（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则()()()0,0,0,1,1,0,1,1,0C A B -，设()()0,0,0P a a >，则()()1111,,,1,1,0,0,0,,,,222222a a E CA CP a CE ⎛⎫⎛⎫-===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取()1,1,0m =-， 则0,m CP m CA m ==∴为面PAC 的法向量.设(),,n x y z =为面EAC 的法向量.则0n AC n CE ==， 即0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩，取,,2x a y a z ==-=-，则(),,2n a a =--，依题意，2cos ,3m n m n m na <>===，则2a =，于是()2,2,2n =--.设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，则2s i n c o s ,3P AnP AnP A n θ=<>==，即直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值为3. 22.解：（1） 函数()f x 的定义域为()()10,,'f x k x+∞=-，当0k ≤时，()()1'0,f x k f x x =->在()0,+∞上是增函数，当0k >时，若10,x k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有()1'0f x k x =->，若1,x k ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，有()1'0f x k x =-<，则()f x 在10,k ⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，在1,k ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上是减函数. （2）由（1）知0k ≤时，()f x 在()0,+∞上是增函数，而()()110,0f k f x =->≤不成立，故0k >，又由（1）知()f x 的最大值为1f k ⎛⎫⎪⎝⎭，要使()0f x ≤恒成立，则10f k ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可，即ln 0k -≤，得1k ≥.（3）由（2）知，当1k =时，有()0f x ≤在()0,+∞恒成立，且()f x 在()1,+∞上是减函数，()10f =，即ln 1x x <-，在[)2,x ∈+∞上恒成立，令2x n =，则22ln 1n n <-，即()()2ln 11n n n <-+，从而()1ln 1ln 2ln 3ln 4ln 1231, (12345122224)n n n n n n n n ---<++++<++++=++得证.。