第7章 两通道滤波器组本本章章首首先先讨讨论论图图77..11..11中中各各信信号号间间的的一一般般关关系系，，然然后后讨讨论论实实现现准准确确重重建建的的途途径径。
也也即即，，如如何何确确定定)(0z H ,,)(1z H ,,)(0z G 和和)(1z G 才才能能去去除除混混叠叠失失真真，，幅幅度度失失真真及及相相位位失失真真，，即即P P R R 。
以下结论设用于F F I I R R //I I I I R R 系统：)()(z H z F -=，则()()()j j F e H e ωωπ±=，()(1)()n f n h n =- （7.2.17a ）1()()F z H z -=，则*()()j j F e H e ωω=（实系数），()()f n h n =- （7.2.17b ）1()()F z H z -=-，则*()()()j j F e H e ωωπ±=（实系数），()(1)()n f n h n =--（7.2.17c ）(1)1()()N F z z H z ---=-，则(1)*()()()j j N j F e e H e ωωωπ--±=（实系数），1()(1)(1)N n f n h N n --=--- （7.2.17d ）7.1 两通道滤波器组中各信号的关系图7.1.1两通道滤波器组经推导得到：[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)()()()()()()()(21)(ˆ110010z X z X z H z H z H z H z G z G z X（7.1.4）)(z X -是是混混叠叠分分量量（（由由抽抽取取和和插插值值引引起起的的））。
)由此得：两通道滤波器组的调制性表示：定义)]()()()([21)()]()()()([21)(1100111000z G z H z G z H z F z G z H z G z H z F -+-=+=※(7.1.5)※则)()()()()(ˆ10z X z F z X z F z X -+= (7.1.6)若0)(1=z F ，则可有效的去除混叠失真，这样：)()]()()()([21)()()(ˆ11000z X z G z H z G z H z X z F z X +== ※(7.1.7)※)(0z F 反反应应了了去去除除混混叠叠失失真真后后的的两两通通道道滤滤波波器器组组的的总总的的传传输输特特性性。
系系统统的的幅幅度度失失真真及及相相位位失失真真均均与与)(0z F 有有关关，，因因此此)(0z F 又又称称““失失真真传传递递函函数数（（d d i i s s t t o o r r t t i i o o n n t t r r a a n n s s f f e e r r f f u u n n c c t t i i o o n n ））””。
7.2 准确重建的充要条件和)(0z G 和)(1z G 的选择定义： )()()(10z H z H z P -= ……(7.2.3a) 则)()()(10z H z H z P -=-……(7.2.3b)再定义m H z P z P z T det )()()(=--=……（7.2.4）)(z P 可以刻划)()()(z P z P z T --=的内部结构。
A) 首先，我们先深入的讨论一下)(0z G 和和)(1z G 的的一一般般选选取取原原则则：由(7.1.4)式可得：(21z X (21z X -⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)()()()()()()()()()(21)(ˆ)(ˆ11001010z X z X z H z H z H z H z G z G z G z G z X z X……(7.2.7) 令⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)()()()(1010z G z G z G z G m G ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=)()()()(1010z H z H z H z H m H[]Tz X z X )(ˆ)(ˆˆ-=X ，[]Tz X z X )()(-=X则X H G XT m m 21ˆ=……（7.2.10） m H 又称“混迭分量（AC ）”矩阵。
Xˆ对X 准确重建的【充要条件1】：其中含有)(0z H ,,)(1z H ,,)(0z G 和)(1z G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--k k Tm m z z )(0021H G (7.2.11)经推导得到【充要条件2】：同样，其中含有)(0z H ,,)(1z H ,,)(0z G 和)(1z G⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-==--)()(det 2)()()(det 2)(0110z H z T H cz z G z H z T H cz z G m kmk（7.2.14）其中，m H z P z P z T det )()()(=--=，也称为“失真函数”可见，在两通道滤波器组中，)(0z G 、)(1z G 选取是独立于)(0z H 及)(1z H 的，也即，对于给定的0H 和1H ，只要按（7.2.14）式选定)(0z G 和)(1z G ，即可实现PR 。
分析该式，我们发现：1．取)(0z H 和)(1z H 是FIR 的，则)(z T 是FIR 的，但由于)(z T 出现在(7.2.14)式的分母上，那么)(0z G 和)(1z G 将变成IIR 的，这是在应用中所不希望的； 2．保证)(0z G 和)(1z G 是FIR 的，唯一可能而又“方便”（就用c,不用c ’）的做法是令l k cz z T +-=2)(，（7.2.15）则⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--=-=--)()()()(0110z H z z G z H z z G l l（7.2.16）这也就是【“充要”条件3】,由（7.2.15）（（含含有有)(0z H ,,)(1z H ））和（7.2.16）（（含含有有)(0z H ,,)(1z H ,,)(0z G 和和)(1z G ））共共同同组组成成。
代入)()]()()()([21)()()(ˆ11000z X z G z H z G z H z X z F z X +==※(7.1.7)※得 )()()(21)(ˆz X cz z X z T z z Xk l --==,正是准确重建。
我们发现，（7.2.16）是去去除除混混叠叠失失真真的的充充分分条条件件。
)(0z G 和)(1z G 最直观、常用的选取方法是l ＝0：⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=-=)()()()(0110z H z G z H z G现在的问题是如何选取)(0z H ，)(1z H ，实现lk cz z T +-=2)((7.2.15)。
B) 现在我们来分析一下)(0z H ，)(1z H ，)(0z G 和)(1z G 在 (7.2.16)式制约下所具有的时域关系（当然前提是都为FIR 滤波器，可复）：1) 由（7.2.16）式，有)()1()()()1()(01110l n h n g l n h n g l n l n --=--=+-- （7.2.18）2) 双通道滤波器组中，若按(7.2.16)式选定)(0z G 和)(1z G 。
若l 为奇数，则)(1n g 与)(0n h 的偶次移位正交，)(0n g 和)(1n h 的偶次移位正交；若l 为偶数，则)(1n g 与)(0n h 的奇次移位正交，)(0n g 和)(1n h 的奇次移位正交。
这是两通道滤波器组中的交叉正交关系。
3) 由【“充要”条件3】lk czz P z P z T +-=--=2)()()(，由于()()P z P z --只包含奇次项，所以l k -只能为奇数。
若取0=l ，k 只能是奇数。
这就是说，在0100()()()()()P z H z H z H z G z =-=中，它的奇序号项只能有一项，即在k z -处，于是，我们有li l i c k n h i n g c k n h i n g --=--=--δδ)(),()(),(1100这是反映同一条支路上，分析滤波器和综合滤波器之间的正交关系。
上面这几条时域关系是共性。
后面，共轭正交镜像滤波器组中，将讨论那种情况下的0h 和1h 的关系。
7.4 共轭正交镜像滤波器组)()(10)1(1----=z H z z H N(7.4.1)式中N 为偶数（后面说明原因）。
按【“充要”条件3】，取0=l ，)()()()()(0110)1(10z H z G z H z z H z G N --=-=-=--- (7.4.2)把这四个滤波器时域的关系归纳如下：)1()1()1()1()(01011n N h n N h n h n n N ---=---=+--(7.4.3b))1()(00n N h n g ---= (7.4.3c))()1()(011n h n g n +-=(7.4.3d)—————————————————————————————————————将(7.4.1)式代入(7.2.13)式，有[])()()()(det 100100)1(------+-=z H z H z H z H z N m H(7.4.4)令)()()(100-=z H z H z P C※(7.4.5a)※则)()()()()(111100--=--=-z H z H z H z H z P C ※(7.4.5b)※再令 )()()(z P z P z T C C C -+=※(7.4.6a)※ 则)(det )()1(z T zz T C N m ---==H※(7.4.6b)※请注意此处)(z P C 、)(z T C 的定义与(7.2.3)和(7.2.4)式的区别。
再将CQMFB 的关系代入(7.1.5)式，有)(21)(21)()1(0z T z z T z F C N ---== （7.4.7）为了设计的方便，常取0',')()()(>=-+=c c z P z P z T C C C（7.4.8）则)1(02')(---=N zc z F 为一纯延迟，且倒倒置置。
从而实现)(ˆz X 对)(z X 的准确重建。
在我们利用单带滤波器的方法设计半带滤波器，从而设计出CQMFB 时，实际上取的是1)(=z T C 。
● 另外，这里取c ’＝2或1是合理的。
原因有二： （1） 由于)(ωj C eP 恒正，故)(z T C 只能取正的纯延迟形式0',')('>=-c z c z T k C ；（2） 由前节的结论lk cz z P z P z T +-=--=2)()()(，l k -只能为奇数。
