美赛：优化建模与LINGO计算----数学软件类

第９卷第３期２００７年６月黄山学院学报ＪＯｕｒｎａｌ０ｆＨｕａｎｇｓｈａｎＵｎｉＶｅｆｓｉｔｙＶｏ】．９．ＮＯ．３Ｊｕｎ．２００７数学建模中的优秀软件——ＬＩＮＧＯ周甄川（黄山学院数学系，安徽黄山２４５０４１）摘要：介绍了数学建模的相关概念、数学建模竞赛概况，探讨了ＬＩＮＧｏ系统的功能与特点，以及它在数学建模中的应用。

关键词：数学模型；数学建模；ＬｌＮＧｏ系统中图分类号：ＴＰ３１９：０１４１．４文献标识码：Ａ文章编号：１６７２—４４７ｘ（２００７）０３—０１１２—０３在对自然科学与社会科学许多课题的研究中，科学工作者常将事物的变化规律用特定的数学表达式的形式加以描述。

将寻求这种确定事物变化规律的过程称为“数学建模”。

而在数学建模以及全国大学生数学建模竞赛中，最常碰到的是一类决策问题，即在一系列限制条件下，寻求使某个或多个指标达到最大或最小，这种决策问题通常称为最优化问题【１】。

最优化理论是近几十年发展和形成的一门新兴的应用性学科。

它主要解决最优生产计划、最优分配、最优设计、最优决策、最佳管理等最优化问题。

主要研究方法是定量化、系统化和模型化方法，特别是运用各种数学模型和技术来解决问题。

它主要由决策变量、目标函数、约束条件三个要素组成。

当遇到的实际问题时即使建立了模型，找到了解的方法，对于较大的计算量也是望而却步，ＬＩＮＧｏ系列优化软件包就给我们提供了理想的选择。

１什么是数学建模数学建模（ＭａｔｈｅＩｍｔｉｃａｌＭｏｄｅｌｉｎ曲‘１１顾名思义就是建立数学模型以解决实际问题的过程。

它利用数学和计算机对实际问题进行分析研究，抽象出反映事物内在活动规律的数学关系表达式，通过对这些数学关系表达式的求解和反复验证，最终解决实际问题。

数学是所有自然科学的基础，随着计算机软硬件技术的迅速发展，数学建模和与之相伴的计算已逐渐成为工程设计的关键工具，并在人类社会实践活动中的众多领域内发挥着越来越重要的作用。

那么，什么是数学模型？如何建立数学模型？如何用数学模型解决实际问题呢？模型就是对事物的一种抽象。

0 ⋅ x1 + 2 ⋅ x2 ≤ 12
x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
产品 资源 设备/台时 设备 台时 原料A/吨 原料 吨 原料B/吨 原料 吨 单位赢利/万元 单位赢利 万元
甲 3 1 0 3
乙 2 0 2 5
资源量 18 4 12
ห้องสมุดไป่ตู้
相应的数学模型
max z = 3 x 1 + 5 x 2
3 x 1 + 2 x 2 ≤ x ≤ 1 2 x 2 x 1 ≥ 0 , x 2 18 4 ≤ 12 ≥ 0
表3
单位运价 销 地 产 地 甲 乙 销 量 21 51 1700 25 51 1100 7 37 200 2000 1000
A
B
C
产 量
确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量 运输量。 分析 确定调运方案就是确定从不同产地到各个销地的运输量。 表示这些要找的运量。 设 x ij 表示这些要找的运量。 分别表示从甲地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。 即x 11 、 x 12 、 x 13分别表示从甲地调往 、B、C三地的运量。 x 21 、 x 22 、 x 23分别表示从已地调往 、B、C三地的运量。 分别表示从已地调往A、 、 三地的运量 三地的运量。
定价问题的数学模型
max z = 3 x1 + 5 x2
s.t.
3 x 1 + 2 x 2 ≤ 18 x ≤4 1 2 x 2 ≤ 12 x1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
min W = 18 y1 + 4 y 2 + 12 y3 3 y1 + y 2 ≥ 3 s.t .2 y1 + 2 y3 ≥ 5 y , y , y ≥ 0 1 2 3

x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
模型求解
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
max =72*x1+64*x2; x1+x2<50;
REDUCED COST 0.000000
Lingo

基 础
计算结果为
Objective value:89.88349
模型的集部分



LINGO 有 两 种 类 型 的 集 ： 原 始 集 ( primitive set) 和 派 生 集 ( derived set)。 一个原始集是由一些最基本的对象组成 的。 一个派生集是用一个或多个其它集来定 义的，也就是说，它的成员来自于其它 已存在的集。
如果在Lingo文件example3_4.lg4 加上以下内容 其他不变 data:
@ole("d:\ 数 学 建 \EXAMPLE3_4.XLS","result")=c; @ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","x")=x; 建 模 模
@ole("d:\ 数 学 \EXAMPLE3_4.XLS","y")=y;
@OLE 的使用例子 Lingo文件example3_4.lg4 的内容 data: a,b,d,e=@OLE("d:\数学建模 \EXAMPLE3_4.XLS"); enddata init: x,y=@Ole("d:\数学建模 \Example3_4.xls"); endinit

NLP: 非线性规划
(2)最优状态 全局全优
(3)最优目标值: 10
约束条件情况最优解： (1)约束总个数X4=100,按方法4 (2)非线性个数X6=50, 按方法6
25
[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ [模型-2]的求解结果：
最优目标函 数值：90
x1=40, 按方法1截割 x2=20, 按方法2截割 x6=30. 按方法6截割
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[例1] 下料(截割问题)及求解
❖ 求解结果分析：
在追求“余料最少”目标时，“≥”约 束把条件放宽了。
修正方法：改为“=”约束
模型(1)的求解结果： 最优目标(余料)=10m
(x4,x6)=(100,50) 耗用原料 = 150根
是否符 合原问 题要求?
不符合。 (1)问题出在哪里? (2)如何修正?
2
一、竞赛题中的优化模型总结
❖ 2.优化类竞赛题小结 ❖ 在全国数模竞赛中，优化问题是出现频率最
高的一类竞赛题。 ❖ 从1992-20××年全国大学生数模竞赛试题
的解题方法统计结果来看，优化模型共出现 了17次以上，占到了50%。 ❖ 即每两道竞赛题中就有一道涉及到利用优化 理论来建模和求解。
3
一、竞赛题中的优化模型总结
题
13
(三) 典型数学规划问题及求解
❖ 例1 下料(截割)问题及求解 ❖ 例2 运输问题及求解 ❖ 例3 非线性规划问题及求解 ❖ 例4 分派(选址)问题及求解 ❖ 例5 动态规划问题及求解
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[例1] 下料(截割)问题及求解
1. 问题提出 2. 建立数学模型 3. 编写LINGO求解程序 4. 执行程序 5. 获得计算结果并分析 6. 修正模型，重新求解 7.课后作业 8.编程小结