一次函数的性质微课
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一次函数性质市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
一次函数性质教案一、教学目标通过本节课的教学，学生应能够：1. 理解一次函数的定义和性质。
2. 能够根据给定的函数式确定一次函数的图像。
3. 掌握一次函数的斜率和截距的计算方法。
4. 能够应用一次函数的性质解决实际问题。
二、教学重点与难点教学重点：一次函数的定义、性质和应用。
教学难点：一次函数斜率和截距的计算方法。
三、教学准备教师准备：课件、黑板、书籍等。
学生准备：课本、笔记本。
四、教学过程1. 导入引入：通过提问激发学生思考。
教师：大家知道什么是一次函数吗？一次函数有哪些性质？学生：一次函数是形如y = ax + b的函数，性质有斜率和截距等。
教师：非常好！那么今天我们就来学习一次函数的性质和应用。
2. 理论讲解（1）一次函数的定义教师：一次函数是指具有形如y = ax + b的函数，其中a和b都是常数，且a≠0。
请注意，a的值决定了函数的斜率，b的值决定了函数的截距。
接下来，我们分别来讲解一次函数的斜率和截距。
（2）斜率的计算方法教师：一次函数的斜率是指函数图像上任意两点间的纵坐标变化量与横坐标变化量的比值。
具体计算方法如下：设直线上两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则斜率k = (y2 - y1) / (x2 -x1)。
特别地，当x2 = x1时，斜率为0。
（3）截距的计算方法教师：一次函数的截距是指函数图像与坐标轴的交点。
具体计算方法如下：当x = 0时，y = a * 0 + b = b，因此截距为b。
3. 实例讲解教师：接下来，我们通过一些实例来加深对一次函数斜率和截距的理解。
请大家仔细观察以下例题。
例题1：已知一次函数y = 3x + 2，求其斜率和截距。
解析：根据一次函数的定义和性质，我们可以得知斜率为3，截距为2。
例题2：已知一次函数的图像过点(1, -1)，斜率为2，求函数的表达式。
解析：根据斜率的计算方法，我们可以得到函数为y = 2x + b。
将点(1, -1)代入得到-1 = 2 * 1 + b，解得b = -3，因此函数表达式为y = 2x - 3。
一次函数的性质PPT课件精选全文
（来自教材）
30
解：(1)y＝10 000－3.6x(1 500≤x≤2 000)． (2)函数图像如图所示． (3)2 800≤y≤4 600.
知2－练
（来自教材）
31
知2－练
4 若正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小， 则一次函数y＝kx＋k的图像大致是( D )
（来自《典中点》）
（来自教材）
14
解：图像如图所示． (1)减小；下降 (2)当y＜0时，x＞1. (3)当0＜x＜1时， 0＜y＜3.
知1－练
（来自教材）
15
知1－练
5
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－
1 3
x＋2
图像上的两点，下列判断中，正确的是( D )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2
知识点 1 一次函数的性质
知1－导
在下图所示的两个坐标系中，分别画出一次函数
y=2x+3、
1 y=
2
x－2和y=－2x+4、y=－
1 2
x+2的图
像，并回答以下问题：
4
y=2x+3 y
4
3
2
y
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
1x 2 2
知1－讲
5
y 1x 2 2
y=-2x+4 y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
知1－讲
6
哪些函数，y的值是随x的值的增大而增大的？
30
解：(1)y＝10 000－3.6x(1 500≤x≤2 000)． (2)函数图像如图所示． (3)2 800≤y≤4 600.
知2－练
（来自教材）
31
知2－练
4 若正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小， 则一次函数y＝kx＋k的图像大致是( D )
（来自《典中点》）
（来自教材）
14
解：图像如图所示． (1)减小；下降 (2)当y＜0时，x＞1. (3)当0＜x＜1时， 0＜y＜3.
知1－练
（来自教材）
15
知1－练
5
已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y＝－
1 3
x＋2
图像上的两点，下列判断中，正确的是( D )
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当x1＜x2时，y1＜y2 D．当x1＜x2时，y1＞y2
知识点 1 一次函数的性质
知1－导
在下图所示的两个坐标系中，分别画出一次函数
y=2x+3、
1 y=
2
x－2和y=－2x+4、y=－
1 2
x+2的图
像，并回答以下问题：
4
y=2x+3 y
4
3
2
y
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
1x 2 2
知1－讲
5
y 1x 2 2
y=-2x+4 y
4
3
2
1
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
知1－讲
6
哪些函数，y的值是随x的值的增大而增大的？
2021年华师大版八年级数学下册第十七章《一次函数的性质》公开课课件 (4).ppt
练习
1 一次函数y=x-2的图象不经过的象限为( B ）
(A) 一 (B) 二
(C) 三 (D) 四
2 不经过第二象限的直线是
（B）
(A) y=-2x (B) y=2x-1 (C) y=2x+1 (D) y=-2x+1
3 若直线 y=kx+b经过一二四象限，那么直线 y=－bx+k 经过 二三四象限
（6）若随的增大而增大,求m的取值范围。
例4、如图，AB是⊙O的直径，E为弦BC上一点（不 与B、C两点重合）ED⊥AB，垂足为D。已知 AB=10，BC=8，设DE=x，AD=y。
（1）求y与x的函数式及x的取值范围。
（2）在直角坐标系中作出这个函数图象。
C
E
Bj
Do
A
练习：已知一次函数y=（m+5）x+（2-n） 求（1）m为何值时，y随x的增大而减少？
• 14、Thank you very much for taking me with you on that splendid outing to London. It was the first time that I had seen the Tower or any of the other famous sights. If I'd gone alone, I couldn't have seen nearly as much, because I wouldn't have known my way about.
例2、已知函数y=2x-4
（1）画出它的图象；
（2）写出这条直线与x轴、y轴交点的坐标；
（3）求这条直线与两坐标轴所围成的三角形 的面积。
一次函数的性质教学课件
数在该区间内单调递增；若图像在某一区间内下降，则函数在该区间内
单调递减。
利用待定系数法求解问题
已知函数类型，求解析式
根据题目给出的函数类型，设出相应的解析式，再根据已知条件求出待定系数，从而得出 解析式。
已知函数图像上两点坐标，求解析式
根据题目给出的两点坐标，利用两点式求出直线斜率，再设出直线方程，将已知点坐标代 入方程求出待定系数，从而得出解析式。
复合一次函数单调性判断方法
导数法
通过对复合一次函数求导，判断 导数的正负来确定函数的单调性。
定义法
根据单调性的定义，通过比较函数 值的大小来判断函数的单调性。
图像法
通过观察复合一次函数的图像，判 断函数在不同区间上的单调性。
复合一次函数在实际问题中应用举例
经济学
在经济学中，复合一次函数可用于描述成本、收益等经济变量之间的 关系，帮助决策者进行经济分析和预测。
05 互动环节：课堂练习与小 组讨论
课堂练习题目设计
题目一
已知一次函数 y = 2x + 1，求当 x = -1, 0, 1 时，y 的值。
题目四
已知一次函数 y = kx + b（k ≠ 0） 的图像经过点 (1,2) 和 (-1,0)，求 该一次函数的解析式。
题目二
已知一次函数 y = -3x + 5，判断 点 (2,1) 是否在该函数的图像上。
斜率等于0时，函数 为常数函数，即y值 不随x的变化而变化。
斜率小于0时，函数 为减函数，即随着x 的增大，y减小。
截距对函数图像影响
y轴上的截距表示函数图像与y轴 的交点，即当x=0时的y值。
x轴上的截距表示函数图像与x轴 的交点，即当y=0时的x值。
华师大版八年级数学下册第十七章《 一次函数的性质》公开课课件 (2)
从左到右怎样变化?
当增的大图k＜而象0从_时减_左_，小_到y_随，右x这下_的_时_降_函_数．
（2）当x取何值时,y=0? （3）当x取何值时,y＞0? 解：(2)因为 y=0 所以 -2x+2=0 ，x=1 （3）因为 y＞0 所以 -2x+2 ＞ 0 ，x < 1
所以 当 x=1时 y=0 , 当 x＜1 时 y＞ 0；
y随x增大 而减小
y随x增大 而减小
y随x增大 而减小
o
（3）由此可得，该函数中自变量与函数值的变化 有何规律？
y 2 x 1 3
x 0 3 2
y10
y3x2 y 2 x 1 3
y增大 x增大
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大， 这时函数的图象从左到右上升；
•1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 •2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 6:11:58 PM •3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 •4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、最有价值的知识是关于方法的知识。 •6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 •7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 •8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
一次函数图象与性质课件
详细描述：在经济学中，价格和需求量之间存在一次函数关系。当价格上升时，需求量减少；当价格下降时，需求量增加。 这种关系可以用一次函数表示。
一次函数在距离与时间问题中的应用
总结词：匀速运动
详细描述：在距离、时间和速度的问题中，如果速度保持不变，则距离和时间之间存在一次函数关系 。例如，匀速行驶的汽车，其行驶的距离是时间的线性函数。
和b是常数，k≠0。
它表示的是一种线性关系，即因 变量y与自变量x之间的变化关系
。
当k>0时，函数为增函数，随着 x的增加，y也增加；当k<0时， 函数为减函数，随着x的增加，y
减少。
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析 式表示为y=kx+b， 其中k和b是常数且 k≠0。
还可以通过表格的形 式表示，列出一些自 变量x的值和对应的 因变量y的值。
一次函数在交通运输中的应用
总结词
运输量与运输成本的关系
详细描述
在交通运输中，一次函数可以用来表示运输量与运输成本之 间的关系。随着运输量的增加，运输成本也会相应增加，这 种关系可以用一次函数来表示。通过分析这种关系，可以更 好地制定运输计划和控制运输成本。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
数。通过求解这个方程，可以预测不同投资额下的预期回报率。
一次函数在生产计划中的应用
总结词
生产量与生产要素的关系
详细描述
在生产计划中，一次函数可以用来表示生产量与生产要素之间的关系。例如， 生产量与劳动力、原材料、设备等生产要素之间存在线性关系，可以用一次函 数来表示这种关系，从而更好地安排生产计划。
一次函数在距离与时间问题中的应用
总结词：匀速运动
详细描述：在距离、时间和速度的问题中，如果速度保持不变，则距离和时间之间存在一次函数关系 。例如，匀速行驶的汽车，其行驶的距离是时间的线性函数。
和b是常数，k≠0。
它表示的是一种线性关系，即因 变量y与自变量x之间的变化关系
。
当k>0时，函数为增函数，随着 x的增加，y也增加；当k<0时， 函数为减函数，随着x的增加，y
减少。
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析 式表示为y=kx+b， 其中k和b是常数且 k≠0。
还可以通过表格的形 式表示，列出一些自 变量x的值和对应的 因变量y的值。
一次函数在交通运输中的应用
总结词
运输量与运输成本的关系
详细描述
在交通运输中，一次函数可以用来表示运输量与运输成本之 间的关系。随着运输量的增加，运输成本也会相应增加，这 种关系可以用一次函数来表示。通过分析这种关系，可以更 好地制定运输计划和控制运输成本。
2023
PART 05
总结与展望
REPORTING
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
数。通过求解这个方程，可以预测不同投资额下的预期回报率。
一次函数在生产计划中的应用
总结词
生产量与生产要素的关系
详细描述
在生产计划中，一次函数可以用来表示生产量与生产要素之间的关系。例如， 生产量与劳动力、原材料、设备等生产要素之间存在线性关系，可以用一次函 数来表示这种关系，从而更好地安排生产计划。
一次函数的性质公开课课件
寄语
感恩生活 感恩生命 让我们在二中相遇
2019.04.25
课前五分钟
1. 什么是一次函数?
学习目标 预习 展示 互动
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b (k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的
一次函数.
生成 达标 拓展
2. 一次函数的图象是什么？
一条直线
谈谈收获
3.一次函数的性质
２.代——将点的坐标代入y=kx+b中,列出关
于K、b的方程
３.解——解方程求出K、b值；
４.定——把求出的k、b值代回到表达式中
即可.
1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式
课前五分钟
学习目标 预习 展示 互动 生成 达标 拓展
谈谈收获
解：设正比例函数y=kx 根据题意，得： 3=-1×k， 解得k=-3 ∴y=-3x
课前五分钟 V/(米/秒)
某物体沿一个斜坡下滑，它的
学习目标 预习
速度 v （米/秒）与其下滑时 （２，５）
间t（秒）的关系如右图所示：
展示 互动
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
生成
(2)下滑3秒时物体的速度是多
达标 拓展
0
谈谈收获
少
t/秒
解答
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
课前五分钟 解：设Ｖ＝kt，根据题意，得
3
(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？ 连续干旱23天呢？
课前五分钟
学习目标 预习
(23,750)
连续干旱10天，蓄水量为1000万米3 连续干旱23天，蓄水量为750万米3
展示
互动
生成 达标
感恩生活 感恩生命 让我们在二中相遇
2019.04.25
课前五分钟
1. 什么是一次函数?
学习目标 预习 展示 互动
若两个变量x,y间的关系式可以表示成 y=kx+b (k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的
一次函数.
生成 达标 拓展
2. 一次函数的图象是什么？
一条直线
谈谈收获
3.一次函数的性质
２.代——将点的坐标代入y=kx+b中,列出关
于K、b的方程
３.解——解方程求出K、b值；
４.定——把求出的k、b值代回到表达式中
即可.
1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式
课前五分钟
学习目标 预习 展示 互动 生成 达标 拓展
谈谈收获
解：设正比例函数y=kx 根据题意，得： 3=-1×k， 解得k=-3 ∴y=-3x
课前五分钟 V/(米/秒)
某物体沿一个斜坡下滑，它的
学习目标 预习
速度 v （米/秒）与其下滑时 （２，５）
间t（秒）的关系如右图所示：
展示 互动
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
生成
(2)下滑3秒时物体的速度是多
达标 拓展
0
谈谈收获
少
t/秒
解答
(1)请写出 v 与 t 的关系式；
课前五分钟 解：设Ｖ＝kt，根据题意，得
3
(2)干旱持续10天，蓄水量为多少？ 连续干旱23天呢？
课前五分钟
学习目标 预习
(23,750)
连续干旱10天，蓄水量为1000万米3 连续干旱23天，蓄水量为750万米3
展示
互动
生成 达标
八年级数学上册_一次函数的性质第一课时课件_人教新课标版
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
4
观察：它们图像形状有什么特点？ 3
2
●
1
●
●
-4
-3
-2
-●1
●
O
1
2
3
● -1
●
4x
1.一次函数y=kx+b的图像是什么图形？
y=kx+b的图像是一条直线
2.几个点可以确定一条直线？ 两点确定一条直线
3.画一次函数图像时，只取几个点就可以了？ 画一次函数y=kx+b的图像通过确定 两个点来完成
x
… -2 -1 0 1 2 …
Y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
y=2x+1
y5
4 3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
123
x
知识点二：一次函数图像的形状是什么？
上面，我们已经用描点法画出了一次函数y=2x+1的图像。那 么，你知道一次函数的图像是什么形状的吗？
例二： 在所给的直角坐标系中画出函数 y 1 x 的图像 2
上,则它的图象经过第_二__、__三__、_四__象限.
10.点A(-5,y1)和B(-3,y2)都在直线
y__=_-y_21_x_+_1_上y_2_，.则y1与y2的大小关系：
11.如果一次函数y=kx+b,当x1 < x2时，
y1 > y2,且过点(0,1)，则k,b的符号为
（ B）
A.k > 0,b > 0
解：（1）随X增大y减小 （2）当x=1时，y=0 （3）当x<1时,y>0
y
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
y
4
观察：它们图像形状有什么特点？ 3
2
●
1
●
●
-4
-3
-2
-●1
●
O
1
2
3
● -1
●
4x
1.一次函数y=kx+b的图像是什么图形？
y=kx+b的图像是一条直线
2.几个点可以确定一条直线？ 两点确定一条直线
3.画一次函数图像时，只取几个点就可以了？ 画一次函数y=kx+b的图像通过确定 两个点来完成
x
… -2 -1 0 1 2 …
Y=2x+1 … -3 -1 1 3 5 …
y=2x+1
y5
4 3 2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
123
x
知识点二：一次函数图像的形状是什么？
上面，我们已经用描点法画出了一次函数y=2x+1的图像。那 么，你知道一次函数的图像是什么形状的吗？
例二： 在所给的直角坐标系中画出函数 y 1 x 的图像 2
上,则它的图象经过第_二__、__三__、_四__象限.
10.点A(-5,y1)和B(-3,y2)都在直线
y__=_-y_21_x_+_1_上y_2_，.则y1与y2的大小关系：
11.如果一次函数y=kx+b,当x1 < x2时，
y1 > y2,且过点(0,1)，则k,b的符号为
（ B）
A.k > 0,b > 0
解：（1）随X增大y减小 （2）当x=1时，y=0 （3）当x<1时,y>0
一次函数图像和性质微课
• 作业布置： • 书本P87页习题4.4—1、2，P88页3、4
正比例函数的图象是(
经过原点的一条直线
)
提问复习，引入新课 3、正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）中， k的正负对函数图象有什么影响?
y=kx 图 象
y
性
质
K>0
y
x
经过一、三象限 y随x增大而增大
K<0
x
经过二、四象限 y随x增大而减小
提问复习，引入新课
既然正比例函数是特殊的一次 函数，正比例函数的图象是直线， 那么一次函数的图象也会是一条直 线吗？ 它们图象之间有什么关系? 一次函数又有什么性质呢?
-1 1
想一想
列表 、 描点 、 连线 。 • 作一次函数的步骤为： • 一次函数的图象是 一条直线 。
总结： 画一次函数的图像时，只要描出合适关 系式的两点，再连接两点即可。 k 我们通常选取（0，b）和（- ，0 ） 这两个点，也就是选取图像与b x轴和y轴 的交点坐标。 有时也选取（0，b）和（1,k+b)这两 点，因题而异。
推广： 一条直线； (1) 所有一次函数y=kx+b的图象都是________ 互相平行 ； (2)直线 y=kx+b与直线y=kx__________ y=k1x+b1(k1≠0, k1,b1为常数）, y=k2x+b2 (k2≠0, k2,b2为常数）,当k1=k2，b1≠b2时 两个函数图象互相 平行 。
一次函数的图像和性质
y
0
x
提问复习，引入新课 1、什么叫正比例函数、一次函数？它们之间有 什么关系？ k≠0） 一般地，形如 y=kx（k是常数， 的函数，叫做正比 例函数； 一般地，形如 y=kx+b(k,b 的函数，叫做一次函 是常数，k≠0) 数。 当b=0时，y=kx+b就变成了 y=kx ,所以说正比 例函数是一种特殊的一次函数。 2、正比例函数的图象是什么形状？
10.3 一次函数的性质公开课教学课件
结
论 当k＞0时，y随x的增大而增大,
探究活动2： 在同一直角坐标系中，分别画出直线
y x 2,
y 3x 1,
y
1 2
x,
观察这些直线，它们自左向右的变化趋势是怎样的？ 你又有什么发现？
观察分析：
直线是下降的，当横坐标逐渐增 大时，点的纵坐标也逐渐减小。
这说明当自变量x的值增大时， 函数y的值也随着减小。
k＞0 k＜0 b＞0
b决定直线与y轴 交点(0,b)的位置
b＝0 b＜0
上升(必过一三象限)
下降(必过二四象限)
与y的正半轴相交 (必过一二象限) 经过原点(0,0) 与y的负半轴相交 (必过三四象限)
根据下列一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的草图回答出各图中k、b的 符号：
k__＞_0，b_＞__0
o2 4 6
x
-2
-4
当点P(x,y)沿直线y=2x+4向右上方运动时，
点P的横坐标x和纵坐标y分别发生了怎样的变 化？ 这说明一次函数y=2x+4，当自变量x的值 增大时，函数值y怎样变化？
当点P沿直线向右上方运动时，
直线是上升的，当横坐标逐渐增 大时，点的纵坐标也逐渐增大。
这说明当自变量x的值增大时， 函数y的值也随着增大。
下列一次函数中，y的值随x值的增大而减小
的有__(2__)、__(_4_)
(1)y 2x 3 (2)y 0.3x 2
(3) y 5x 4
(4)y
1 3
x
1
已知一次函数y=3x+4的图象经过（m,a），（n,b）两点， 当m＜n时，a与b的大小关系为（ ）
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一次函数的性质
乡宁二中 刘 国 珍
一次函数y＝kx＋b的性质： ⑴当k＞0时，y随x的增大而增大，从 左到右看函数的图象是上升的；
⑵当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小， 从左到右看函数的图象是下降．
练习
1.已知函数y＝ (m－3)x－ 2 3
(1)当m取何值时y随x 的增大而增大？ (2)当m取何值时y随x 的增大而减小？
2.根据性质判断. 因为k=2>0, y随x的增大而增大,1<0.5,所以a<b
3即：m>3时，y随x 的增大而增大; (2)当m-3<0时，即：m<3时， y随x 的增大而减小;
2.已知点(－1，a)和( ， b) 都在直线 y＝ 2 x＋3 上， 试比较a和b的大小.你有几种 方法呢？
1 2
1.直接代入计算. 解：把x=-1代入解析式解得a=1,
把x=0.5代入解析式解得b=4, 所以a<b.
乡宁二中 刘 国 珍
一次函数y＝kx＋b的性质： ⑴当k＞0时，y随x的增大而增大，从 左到右看函数的图象是上升的；
⑵当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小， 从左到右看函数的图象是下降．
练习
1.已知函数y＝ (m－3)x－ 2 3
(1)当m取何值时y随x 的增大而增大？ (2)当m取何值时y随x 的增大而减小？
2.根据性质判断. 因为k=2>0, y随x的增大而增大,1<0.5,所以a<b
3即：m>3时，y随x 的增大而增大; (2)当m-3<0时，即：m<3时， y随x 的增大而减小;
2.已知点(－1，a)和( ， b) 都在直线 y＝ 2 x＋3 上， 试比较a和b的大小.你有几种 方法呢？
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1.直接代入计算. 解：把x=-1代入解析式解得a=1,
把x=0.5代入解析式解得b=4, 所以a<b.