第2章力系的简化

理论力学常见问题及解答第2单元：力系的简化1. 任意力系亦可由力平行四边形法则（或力多边形法则）得到简化结果吗？ 解答：不能。

因为平行四边形法则（或力多边形法则）只能应用于汇交力系。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：任意力系，力的平行四边形法则，力的多边形法则，汇交力系2. 如何应用力的平移定理解释偏心力对立柱的作用效果？解答：将力平移到立柱的轴线上，得到一个力和一个附加力偶，该力使立柱产生受压变形，而该力偶使立柱产生弯曲变形。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：力的平移定理，立柱，作用效果3. 如何理解力系的两个不变量？解答：主矢量'R 和主矢量与主矩的标量积O M R '均与简化中心O 无关，是力系的固有属性，因此称为力系的不变量。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版） 关键词：力系的不变量，主矢量，主矩，简化中心4.如何从力系简化，理解固定端约束反力的表达方法？解答：固定端约束的反力是空间分布力系，将该力系向梁与基础连接点简化，得到一个力（主矢量）和一个力偶（主矩），将该力和力偶矩矢量向三个方向正交分解，得到固定端约束反力的表达方式，如图。

参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983关键词：固定端，反力，力系简化5.当力系第二不变量为零时，共有几种简化结果？解答：共3种：力系平衡，力，力偶。

第2章 力系的简化2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。

分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。

答： 45,N 66.5N 24===x R θ︒，合力作用线过A 点。

题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。

答：力偶，Fl m 23=，逆时针。

2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。

已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。

试将此力系简化。

答：力偶，191),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。

题2-3图 题2-4图2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。

答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。

2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。

答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ⋅m题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。

答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。

2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。

图中每格代表1m 。

答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。

2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。

力系合成结果及平行力系中心将如何变化？答：力偶。

无平行力系中心。

2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。

答：h z y x C C C 31,0===。

16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。

该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。

其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。

用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。

kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。

力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。

即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。

即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。

力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。

它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。