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理论力学常见问题及解答第2单元：力系的简化1. 任意力系亦可由力平行四边形法则（或力多边形法则）得到简化结果吗？ 解答：不能。
因为平行四边形法则（或力多边形法则）只能应用于汇交力系。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995关键词：任意力系，力的平行四边形法则，力的多边形法则，汇交力系2. 如何应用力的平移定理解释偏心力对立柱的作用效果？解答：将力平移到立柱的轴线上，得到一个力和一个附加力偶，该力使立柱产生受压变形，而该力偶使立柱产生弯曲变形。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004(美)施皮格尔（M.R.Spiegel ）. 《理论力学 • 理论和习题》，科学出版社1983关键词：力的平移定理，立柱，作用效果3. 如何理解力系的两个不变量？解答：主矢量'R 和主矢量与主矩的标量积O M R '均与简化中心O 无关，是力系的固有属性，因此称为力系的不变量。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版） 关键词：力系的不变量，主矢量，主矩，简化中心4.如何从力系简化，理解固定端约束反力的表达方法？解答：固定端约束的反力是空间分布力系，将该力系向梁与基础连接点简化，得到一个力（主矢量）和一个力偶（主矩），将该力和力偶矩矢量向三个方向正交分解，得到固定端约束反力的表达方式，如图。
参考资料：贾启芬，刘习军. 《理论力学》，机械工业出版社2011第2版萧龙翔等.《理论力学》，天津大学出版社1995范钦珊. 《理论力学》，清华大学出版社2004洪嘉振，杨长俊. 《理论力学》，高等教育出版社2008（第3版）(美)施皮格尔（M.R.Spiegel）. 《理论力学•理论和习题》，科学出版社1983关键词：固定端，反力，力系简化5.当力系第二不变量为零时，共有几种简化结果？解答：共3种：力系平衡，力，力偶。
第二章力系的简化
2-1．通过A（3，0，0），B（0，4，5）两点（长度单位为米），且由A指向B的力F，在z轴上投影为，对z轴的矩的大小为。
答：R/2；62R/5。
2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b，c，则力F在轴z和y上的投影：Fz= ；Fy= ；F对轴x的矩
M x(F)= 。
答：Fz=F·sinφ；Fy=－F·cosφ·cosφ；Mx（F）=F（b·sinφ+c·cosφ·cosθ）
图2－40 图2－41
2-3．力通过A（3，4、0），B（0，4，4）两点（长度单位为米），若F=100N，则该力
在x轴上的投影为，对x轴的矩为。
答：－60N；320N.m
2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a，在平面ABED内有沿对角线AE 的一个力F，图中α=30°，则此力对各坐标轴之矩为：
M x（F）= ；M Y（F）= ；M z（F）= 。
答：M x（F）=0，M y（F）=－Fa/2；M z（F）=6Fa/4
2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。
答：M x（F）=160 N·cm；M z（F）=100 N·cm
图2－42 图2－43
2-6．试求图示中力F对O点的矩。
解：a: M O(F)=F l sinα
b: M O(F)=F l sinα
c: M O(F)=F(l1+l3)sinα+ F l2cosα
d:
2-7．图示力F=1000N，求对于z轴的力矩M z。
题2－7图题2－8图
2-8．在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30N·m。
试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O点简化
R X=F2－F1=30N
R V=－F3=－40N
∴R=50N
主矩：Mo=（F1+F2+F3）·3+M=300N·m
合力的作用线至O点的矩离d=Mo/R=6m
合力的方向：cos（，）=0.6，cos（，）=－0.8
（，）=－53°08’
（，i）=143°08’
2-9．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力R、R',R=R'=502KN；α=1m。
试求该力系向C点简化结果。
解：主矢：
'
R=Σi=0
主矩：c=+（，'）
又由M cx=－m（，'）·cos45°=－50KN·m
M cY=0
M cz=M－m（，'）·sin45°=0
∴c的大小为
Mc=（M cx2+M cY2+M cz2）1/2
=50KN·m
c方向：
Cos（c，）=cosα=M cx/Mc=－1，α=180°
Cos（M c，j）=cosβ=M cY/Mc=0，β=90°
Cos（M c，）=cosγ=M cZ/Mc=0，γ=90°
即M c沿X轴负向
题2－9图题2－10图
2-10．一个力系如图示，已知：F1=F2=F3，M=F·a，OA=OD=OE=a，OB=OC=2a。
试求此力系的简化结果。
解：向O点简化，主矢R'投影
Rx'=－F·
2
1
R Y '=－F ·21
R Z '=F ·2
'=－F ·21－F ·21+F ·2 主矩o 的投影：
M ox =2
13Fa ，M oY =0，M oz =0 M o '=2
13Fa i R '·M o =－2
13aF 2≠0，R '不垂直M o 所以简化后的结果为力螺旋。
2-11．沿长方体的不相交且不平行的棱边作用三个大小相等的力，问边长a ，b ，c 满足什么条件，这力系才能简化为一个力。
解：向O 点简化 R '投影：Rx '=P ，R Y '=P ，Rz '=P
R '=P i +P j +P j 主矩M o 投影：M ox =bP －cP ，M oY =－aP ，M oz =0
M o=（bP －cP ）i －aP j 仅当R '·M o=0时力系才能简化为一个合力，所以。
（P i +P j +P k ）[（bP －cP ）i －ap j =0
即 P （b －c －a ）=0，
所以 b = c+ a
2-12．曲杆OABCD 的OB 段与Y 轴重合，BC 段与X 轴平行，CD 段与Z 轴平行，已知：P 1=50N ，P 2=50N ；P 3=100N ，P 4=100N ，L 1=100mm ，L 2=75mm 。
试求以B 点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式，并确定其位置。
图2－49
解：向B 简化
Rx '=50N R Y '=0 R Z '=50N
R '=502
R '方向： cos α=21
cos β=0 cos γ=21
主矩M B M xB =2.5·m M YB =m zB =0 M B =2.5N ·m
主矩方向 cos α=1 cos β=0 cos γ=0 B 不垂直'
Mn B =1.76N ·m M iB =1.76N ·m
d=M B /R '=0.025m
2-13．结构如图所示，求支座B 的约束力。
题2－13图
2-14．图示曲柄摇杆机构，在摇杆的B 端作用一水平阻力R ，已知：OC=r ，AB=L ，各部分自重及摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC 水平）保持平衡，试求在曲柄OC 上所施加的力偶的力偶矩M 。
图2－51
解：一）取OC ΣMo （F ）=0
Nsin45°·r －M=0，N=M/（r sin45°）
取AB Σm A （F ）=0
RLsin45°－N '2rsin45°=0，N '=
21RL/r M=412RL 二）取OC ΣX=0 Xo －Ncos45°=0，Xo=412LR/r ΣY=0 Yo+Nsin45°=0，Yo=－412LR/r 取AB ΣX=0 X A +N ’cos 45°－R=0，
X A =（1－412L/r ）R ΣY=0 Y A －N ’sin 45°=0，Y A =412RL/r。
