第二章 力系的简化理论详解
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理论力学 第2章力系的简化习题解答
第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。
试将此力系简化成最简形式。
解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。
将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。
用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。
用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。
因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。
合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。
2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。
距离c b a ,,为已知。
问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。
当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。
第二章力系的简化理论
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 F2
O r1 F1
y
x
z
MOn
MO2
F2
Fn O
F1
y
MO1
x
空间汇交力系： Fi Fi
FR
空间力偶系： MOi MO (Fi )
O MO
y
合力 FR Fi Fi
x
23
力偶 MO MOi MO(Fi )
(3)解析表达式
(4)平面力系中，
i j k 力对点之矩可以
MO F r F x y z
用代数量来描述。
Fx Fy Fz
5
2-2 力矩
2.力对轴之矩是代数量
(1)定义
M z (F ) Fxy d
6
d为Fxy到z轴的距离。
(2)性质 当力的作用线与轴平行或相交时， 力对该轴之矩等于零。
a) FR M O时, 进一步简化为一合力。
MO
O
FR
O1 h FR
O
FR FR
O1 h •
FR
O
30
FR FR FR ,
h | M 0 | FR
h表示O点到合力作用线的距离。
2-4-3 力系的简化结果
31
b)FR与MO平行时，即为力螺旋
FR
M0
O
FR
M0
O
h MO /F
M z (F ) [MO (F )]z 力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力 对该轴之矩。
7
2-2 力矩
8
4. 合力矩定理
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章 力系的简化
主矩 MO =m1 +m2 +m3 +… =mO (F1)+mO (F2 )+…=∑mO (Fi )
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
大小： 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ （移动效应）方向 移动效应 方向：
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0，MO ≠0，为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述， 综合上述，有：
合力偶M 平面任意力系的简化结果 ：①合力偶 O ； ②合力 注意： （1）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， ）由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和， 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 （2）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩，应说明是 ）主矩一般与简化中心有关，故提到主矩， 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 （3）主失（大小、方向）与合力（三要素）是两个不同 ）主失（大小、方向）与合力（三要素） 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 （未知力系） （已知力系） 汇交力系 力偶系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
理论力学平面力系的简化和平衡
原力偶系的合力偶矩
n
M Mi i 1
只受平面力偶系作用的刚体平衡充要条件：
n
M Mi 0 i 1
对BC物块对B点取矩，以逆时针为正列方程应为：
M 2 M B (FC ) M FCY a FCx b M FC (b a) cos45 0
[例] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为 m1m2 m3 m4 15Nm 求工件的总切削力偶矩和A 、B端水平反力?
两轴不平行即 条件：x 轴不 AB
可，矩心任意
连线
mA (Fi ) 0 mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
③三矩式 条件：A,B,C不在
同一直线上
上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
4. 平面一般力系的简化结果分析
简化结果： 主矢R ，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① R =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② R =0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
解除约束，可把支反
力直接画在整体结构
的原图上）
解除约束
由
mA (Fi
)
0
P2a N B
3a0,
N B
2P 3
X 0 XA 0
Y 0 YB NB P0,
YA
P 3
2.5物体系统的平衡、静定与超静定问题
1、物体系统的平衡问题 物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统叫∼。 [例]
外力：外界物体作用于系统上的力叫外力。 内力：系统内部各物体之间的相互作用力叫内力。
N2个物体受平面汇交力系（或平面平行力系）
X 0 Y 0
2*n2个独立平衡方程
N3个物体受平 X 0 面任意力系 Y 0
《工程力学》力系的简化
24/48
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
第2 章 力系的简化
R R'' = ∑ Fi i =1 n M = m ( F ) O ∑ O i i =1
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线， 若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变） 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点（且当力系方位改变时该点不变）──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为： 力螺旋中的力与力偶为：
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程： M O = r × R 合力作用线方程： 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋，最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线， 若已知各力作用点，不仅可确定合力作用线，还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变） 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点（且当力系方位改变时该点不变）──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。 所以，力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为： 力螺旋中的力与力偶为：
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程： M O = r × R 合力作用线方程： 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O ， ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋，最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
第2章 力系的简化 《建筑力学》教学课件
平面力系又可分为平面汇交力系、平面平行力系和 平面任意力系。
空间力系同样也可分为空间汇交力系、空间平行力 系、空间任意力系。
2.1.1 力 系 的 分 类
（1）平面汇交力系：力系中各力的作用线在同平面内且相交于 同一点。其中，共点力是汇交力系的一种特殊情况。
（2）平面平行力系：力系中各力的作用线在同平面内且互相平 行。
图2-1
2.2.1 平 面 汇 交 力 系 的 简 化
力三角形法则：分力 F1 、 F2按力的方向
首尾相接，而合力R则沿相反方向，从起点
指向最后一个分力的末端。
F2 F1
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形法则：分力按力的方向沿力多边 形的某一方向首尾相接，而合力R则沿相 反方向连接力多边形的封闭边。
d M A 25 0.282 m
R 88.69
因为主矩为逆时针，故需将主矢向A点的
2.2.2 平
右侧平移。力系的合成结果为一合力，其大
面
小和方向与所求的R相同.
任
意
力
系
的
简
化
一绞盘有三个等长的柄，长度为L，相互夹角为1200
如图所示。每个柄端作用一垂直于柄的力P。将该力系
向BC连线的中点简化，结果为（
效的。
2.2.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化
• 平面汇交力系的合成
合成为一作用于O点的一个力R，其大小等于原力 系中各力的矢量和.
R的大小： R
Rx2
R
2 y
X 2 Y 2
2.2.2
Fn
平
R
面
R的方向： tan Ry
空间力系同样也可分为空间汇交力系、空间平行力 系、空间任意力系。
2.1.1 力 系 的 分 类
（1）平面汇交力系：力系中各力的作用线在同平面内且相交于 同一点。其中，共点力是汇交力系的一种特殊情况。
（2）平面平行力系：力系中各力的作用线在同平面内且互相平 行。
图2-1
2.2.1 平 面 汇 交 力 系 的 简 化
力三角形法则：分力 F1 、 F2按力的方向
首尾相接，而合力R则沿相反方向，从起点
指向最后一个分力的末端。
F2 F1
F3 F4
F3
F4
F2
F1
F2
F3
F4
力多边形法则：分力按力的方向沿力多边 形的某一方向首尾相接，而合力R则沿相 反方向连接力多边形的封闭边。
d M A 25 0.282 m
R 88.69
因为主矩为逆时针，故需将主矢向A点的
2.2.2 平
右侧平移。力系的合成结果为一合力，其大
面
小和方向与所求的R相同.
任
意
力
系
的
简
化
一绞盘有三个等长的柄，长度为L，相互夹角为1200
如图所示。每个柄端作用一垂直于柄的力P。将该力系
向BC连线的中点简化，结果为（
效的。
2.2.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化
• 平面汇交力系的合成
合成为一作用于O点的一个力R，其大小等于原力 系中各力的矢量和.
R的大小： R
Rx2
R
2 y
X 2 Y 2
2.2.2
Fn
平
R
面
R的方向： tan Ry
华北电力大学理论力学第二章 力系简化理论
第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。
(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。
试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。
1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。
工程力学——第2章(力系的简化)
1. FR 0 , M O 0 （为一合力偶，主矩与简化中心无关） 2. FR 0 , M O 0 （为一合力，合力矢 通过简化中心，且等于
3. F 0 , M 0 （为一平衡力系） R O
主矢）
4.
FR 0 , M O 0
FR
（为一般情况，可继续简化为一合力 ）
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示，试求其重心坐标。
29
解：分割法：将截面分成三部分，坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称，其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
结论：三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积，其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解：⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小：
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2355 709.4
3.320m
d
x
M O FR
FR
三、力系简化结果分析
应用1 固定端受力
Fx
Fy
M
W
Fy
P
P
My
Fz
Mz
Fx
Mx
三、力系简化结果分析
应用2 合力矩定理
FR 0 M O 0
MO
FR M O 0
O
FR
O
d O
FR
MO(FR ) MO MO(Fi ) (i 1,2,,n)
此时主矩与简化中心无关，简化结果与简化中心无关。
4、FR 0 MO 0 FR M O 0 简化结果为合力。 FR FR
合力 作用线到简化中心O的距离
MO
d
MO FR
O
FR
FR
O
d
FR FR FR FR
O d O
FR
三、力系简化结果分析
5、FR 0
MO
0
FR // M O
0
简化结果为力螺旋
FRx Fix 50 44.7 76.8 82.1N
FRy Fiy 102.4N
FRz
Fiz
89.4 153.6
64.2N
M x M x (Fi ) 489.4 6102.4 256.8N m
M y M y (Fi ) 389.4 6 76.8 192.6N m
Fi yi ， FR
zC
Fi zi FR
四、平行力系的中心、重心
重心坐标
xC
Pi xi Pi
yC
Pi yi Pi
zC
Pi zi Pi
均质物体
Pi Vi g
P Vg
xdV
xC
V
V
ydV
yC
V
V
zdV
zC
V
V
重心与几何中心重合
四、平行力系的中心、重心
集中载荷与分布载荷
qx
合力矩定理：合力对一点之矩等于力系中各分力对同 一点之矩的矢量和。
四、平行力系的中心、重心
平行力系有合力时，合力作用线平行于力系各力的作用线。 若力系各力绕各自的固定作用点按相同方
位转过同一角度而成为另一新平行力系，则合 力作用线也经历相同的转动转到新的公共方位 平行，但合力作用线始终通过空间的一个确定 点，此点称为平行力系中心。 重力系的作用中心就是重心。
第二章 力系的简化理论
江文强 2012.2.28
引言
空间汇交力系
FB A
力的可传性
空间一般力系
CF B
A
力线能平移吗？
一、力线平移定理
F
B
F rBA
F
A
F F F
M
F
F
,
F
B A
加减平衡力系公理
M rBA F M B F
力线平移定理：作用在刚体上点A的力F平行移动到任一点B上， 必须同时附加一个力偶，此附加力偶的矩矢等于原来力F对新 作用点B的矩矢。
平行力系的简化结果……
四、平行力系的中心、重心 z
C
O
ri
rC
Fi
FR
y
MO FR MO Fi
rC FR ri Fi
rC FRe ri Fie
x
rC
Fi ri FR
FRrC e Firi e
平行力系中心坐标：xC
Fi FR
xi
，
yC
乒乓球为何会旋转？
一、力线平移定理
M
F
F
二、力系向一点简化结果
F2
z
O
x
F1
y
Fn
F2 M1
z
M2
F1
Mn
y
O
Fn
x
空间一般力系
FR
z
MO
力
+
力
O
偶
空间汇交力系+空间力偶系
y
主矢 FR'
Fi'
Fi
主矩 MO Mi MO(Fi )
x
二、力系向一点简化结果
空间任意力系向一点O进行简化，可得一个力和一个力偶。
例题2-3 有三个力组成的力系， F1 50 N F2 100 N F3 200 N
试将该力系向O点简化。
解：
F1
50 i
F2 （ 3
45 ）100 i （6
45 ）100 k 44.7i 89.4k
F3 （3
61） 200i （4
61） 200 j （6
61） 200k
76.8i 102.4 j 153.6k
Fi
j
M z
Fi
k
FR' 合力? -----力系的主矢：原力系各力的矢量和
M O 合力偶? -----力系对于O点的主矩：
原力系各力对O点之矩的矢量和
二、力系向一点简化结果
FR
MO
y
FRy
x
FRx
M Oy
M Ox
有效推进力
有效升力 侧向力
z
FRz M Oz
O
滚转力矩 偏航力矩 俯仰力矩
二、力系向一点简化结果
FR 0 M O 0
FR 0 MO 0 FR MO
FR 0
MO
0
FR, MO
不垂直。
三、力系简化结果分析
F1
F3
F2
合力偶
F1
F3
F2
F5
F4
合力
F1
F3
F2
合力
F5
F3
F1
F2
F4
左螺旋
三、力系简化结果分析
例题2-6 重力坝受力如图，F1 300 kN F2 70kN P1 450 kN P2 200 kN
MFRO
FR
O
O
力螺旋是一种简单力系，不能再简化
力螺旋三要素：力矢、力偶矩矢、中心轴 力矢与力偶矩矢的指向相同时为右螺旋； 反之为左螺旋。
三、力系简化结果分析
6、 FR 0 MO 0
MO
FR
,
M
O
成任意角。
M
O
简化结果为力螺旋。
O
FR
O
M
O
FR
O O
d
M
O
FR
合力偶 合力 力螺旋
FR 0 MO 0
求力系的合力。
解： FRx Fix F1 F2 cos 232.9kN
FRy Fiy P1 P2 F2 sin 670.1kN
yห้องสมุดไป่ตู้
FR Fix2 Fiy2 709 .4kN
MO MO Fi 3F1 1.5P1 3.9P2 k
2355 k
力线矩O点距离：
d
MO FR
这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过O点。这
个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩。
FR' Fi
主矢与简化中心选择无关
Fxii Fyi j Fzik
MO
MO(Fi
)
ri Fi
主矩一般与简化中心有关
MOxi MOy j MOzk
M x
Fi
i
M y
M z M z (Fi ) 4 44.7 178.8N m
三、力系简化结果分析
1、 FR 0 MO 0 2、 FR 0 MO 0
此时力系平衡
简化结果为合力。 FR FR
合力的大小和方向与主矢相同，作用点在简化中心O。
3、FR 0 MO 0
简化结果为合力偶。M M O
合力偶的作用面、大小和方向与主矩相同。
FR
x xC l
载荷集度:单位长度上的力
l
FR
q( x)dx
0
l
q(x) xdx