第二章 力系的简化理论详解

第二章 力系的简化 习题解答2-1在立方体的顶点A 、H 、B 、D 上分别作用四个力，大小均为F ，其中1F 沿AC ，2F 沿IG ，3F 沿BE ，4F 沿DH 。

试将此力系简化成最简形式。

解：各力均在与坐标平面平行的面内，且与所在平面的棱边成45°角。

将力系向A 点简化，主矢'R F 在坐标轴上的投影为045cos 45cos '21=-=F F F Rx ，FF F F F F Ry 245cos 45cos 45cos 45cos '4321=+-+=，F F F F Rz 245cos 45cos '43=+= 。

用解析式表示为： ()k j F +=F R 2'设立方体的边长为a ，主矩A M 在坐标轴上的投影为 045cos 45cos 32=⋅+⋅-=a F a F M Ax ， Fa a F a F M Ay 245cos 45cos 42-=⋅-⋅-= ，Fa a F a F M Az 245cos 45cos 42=⋅+⋅= 。

用解析式表示为：()k j M +-=Fa A 2。

因为，0'=⋅A R M F ，所以，主矢和主矩可以进一步简化为一个力，即力系的合力。

合力的大小和方向与主矢相同，'R R F F =；合力作用点的矢径为()i MF r a F R R =⨯=2''，所以，合力大小为2F ，方向沿对角线DH 。

2-2三力321,F F ,F 分别在三个坐标平面内，并分别与三坐标轴平行，但指向可正可负。

距离c b a ,,为已知。

问：这三个力的大小满足什么关系时力系能简化为合力？又满足什么关系时能简化为力螺旋？解：这力系的主矢为k j i 321'F F F F R ++=； 对O 点的主矩为k j i a F c F b F M O 213++=。

当主矢与主矩垂直时，力系能简化为合力。

第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。

(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。

试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。

1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。

第2章　力系的等效与简化　作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。

这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。

同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。

在就是前一章中提到的力系等效的概念。

本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。

力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。

　§2-1 力系等效定理　２－１－１ 力系的主矢和主矩　２－１－２ 力系等效定理　§2-2 力偶与力偶系　２－２－１ 力偶与力偶系　２－２－２ 力偶的性质　２－２－３ 力偶系的合成　§2-3 力系的简化　２－３－１ 力向一点平移定理　２－３－２ 空间一般力系的简化　２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用　§2-4 结论和讨论　２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及　主矩矢的矢量性质　２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用　２－４－３ 关于力系简化的最后结果　２－４－４ 关于实际约束的简化模型　２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制　习 题　本章正文 返回总目录第2章　力系的等效与简化　§２－１ 力系等效定理　物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。

物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。

这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。

因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。

２－１－１　力系的主矢和主矩　主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。

第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。

前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。

力系简化的前提是等效。

等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。

力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。

力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。

力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。

力系简化并不局限于静力学。

例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。

因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。

然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。

最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。

§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。

设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。

力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。

记为F R ，即∑==ni i 1R F F （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。

主矢通常不是力。

计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。

记为M O ，即 ∑=⨯=ni iiO 1F r M （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。

因此，主矩是定位矢量。

利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。

因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。