第二章 力系的简化

第二章 力系的简化将复杂力系等效地化为最简力系在理论分析和工程中都具有重要意义。

前一章将汇交力系和力偶系分别合成为一个力和一个力偶，是力系简化的例子。

力系简化的前提是等效。

等效力系是指不同力系对同一物体所产生的运动效应相同。

力系的简化是指用简单的力系等效地替换一个复杂力系。

力系简化而得到的最简单力系称为力系简化的结果，可以是平衡、一个力、一个力偶，或者一个力和一个力偶。

力系的简化结果可以导出力系平衡条件，将在下章中详细讨论。

力系简化并不局限于静力学。

例如，飞行中的飞机受到升力、牵引力、重力、空气阻力等分布在飞机不同部位力作用，为确定飞机运动规律可以先进行力系的简化。

因此，力系简化也是动力学分析的基础本章首先引入主矢和主矩两个力系的基本特征量，作为力系等效简化的依据。

然后讨论力系简化，力系简化的基础是力线平移，由此力系可向任意一点简化，并进而分析力系的几种最简形式。

最后，考虑平行力系的简化，并叙述重心、质心和形心的概念与计算公式。

§2.1 力系的基本特征量：主矢与主矩为讨论力系的等效和简化问题，引入力系的两个基本特征量：主矢和主矩。

设刚体受到力系F i (i=1, 2,…,n )作用，诸作用点相对固定点O 的矢径依次为r i (i=1, 2,…,n )。

力系F i 的矢量和，称为力系的主矢。

记为F R ，即∑==ni i 1R F F （2.1.1）主矢仅取决于力系中各力的大小和方向，而不涉及作用点，是一个自由矢量。

主矢通常不是力。

计算力系F i 对固定点O 的力矩的矢量和，称为力系对点O 的主矩。

记为M O ，即 ∑=⨯=ni iiO 1F r M （2.1.2）它不仅取决于力系中各力的大小、方向和作用点，还取决于矩心O 的选择。

因此，主矩是定位矢量。

利用动力学理论，可以证明，不同力系对刚体运动效应相同的条件是不同力系的主矢以及对相同点的主矩对应相等。

因此，主矢和主矩的引入为判断力系的等效提供了依据。

第2章　力系的等效与简化　作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。

这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。

同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。

在就是前一章中提到的力系等效的概念。

本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。

力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。

　§2-1 力系等效定理　２－１－１ 力系的主矢和主矩　２－１－２ 力系等效定理　§2-2 力偶与力偶系　２－２－１ 力偶与力偶系　２－２－２ 力偶的性质　２－２－３ 力偶系的合成　§2-3 力系的简化　２－３－１ 力向一点平移定理　２－３－２ 空间一般力系的简化　２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用　§2-4 结论和讨论　２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及　主矩矢的矢量性质　２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用　２－４－３ 关于力系简化的最后结果　２－４－４ 关于实际约束的简化模型　２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制　习 题　本章正文 返回总目录第2章　力系的等效与简化　§２－１ 力系等效定理　物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。

物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。

这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。

因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。

２－１－１　力系的主矢和主矩　主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。

第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。

(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。

试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。

1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。

16 第2章 力系的简化 2.1 主要内容2.1.1 汇交力系汇交力系合成为通过汇交点的合力，合力的大小、方向等于各分力的矢量和F F R ∑=或 汇交力系的合力在轴上的投影等于各分力在同一轴上的投影的代数和，称之为合力投影定理，即R R R 111,,nnnx xi y yi z zi i i i F F F F F F ======∑∑∑2.1.2 力偶系力偶系合成结果为一合力偶，其力偶矩M 等于各力偶矩的矢量和：∑==ni i1MM合力偶矩矢在各直角坐标轴上的投影：∑∑∑======ni ziz ni yi y ni xi x MM MM MM 111,,或 k j i M iz iy ix M M M ∑+∑+∑=平面力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代数和：i M M ∑=2.1.3 任意力系力的平移定理作用在刚体上的力，可平行移动到刚体上任一点，平移时需附加一力偶，附加力偶的矩等于原作用力对平移点之矩，称为力的平移定理。

该定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。

其逆定理表明，可将平面内的一个力和一个力偶等效于一个力。

用一简单力系等效地替代一复杂力系称为力系的简化或合成，应用力的平移定理，将力系向一点简化的方法是力系简化的普遍方法。

kj i F z y x F F F ∑+∑+∑=R17力系向一点简化·主矢和主矩力系向任一点O （称简化中心）简化，得到通过简化中心的一个力及一个力偶。

力系中各力的矢量和称为力系的主矢量。

即F F ∑='R主矢与简化中心位置无关力系中各力对简化中心之矩的代数和称为力系对简化中心的主矩。

即)(F O O M M ∑=主矩与简化中心位置有关。

力系的简化结果归结为计算两个基本物理量——主矢和主矩。

它们的解析表达式分别为R1111()nni i i i n nO i O i i i ====⎫''==⎪⎪⎬⎪==⎪⎭∑∑∑∑F F F M M M F 力的大小、方向等于力系的主矢量，力偶矩矢等于力系对O 点的主矩。

第2章 力系的等效简化2-1 一钢结构节点，在沿OC 、OB 、OA 的方向受到三个力的作用，已知F 1＝1kN ，F 2＝2kN ，F 3＝2kN 。

试求此力系的合力。

解答 此平面汇交力学简化为一合力，合力大小可由几何法，即力的多边形进行计算。

作力的多边形如图（a ），由图可得合力大小kN F R 1=，水平向右。

2-2 计算图中1F 、2F 、3F 三个力的合力。

已知1F ＝2kN ，2F ＝1kN ，3F ＝3kN 。

解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。

kN F F F F ix Rx 424.26.0126.0222221=´´+=´´+=S =kN F F F iy Ry 566.08.018.022222=´´=´´=S =kN F F F F iz Rz 707.313222223=´+=´+=S =kN F F F F Rz Ry Rx R 465.4222=++=合力方向的三个方向余弦值为830.0cos ,1267.0cos ,5428.0cos ======RRz R Ry R Rx F FF F F F g b a2-3已知 N F N F N F N F 24,1,32,624321====，F 5＝7N 。

求五个力合成的结果(提示：不必开根号，可使计算简化)。

解答 用解析法计算此空间汇交力系的合力。

N F F F F F ix Rx 0.460cos 45cos 537550043=´´++-=S =N F F F F F iy Ry 0.460sin 45cos 547550042=´´+-=S =N F F F F F iz Rz 0.445sin 7625041=´++-=S =N F F F F Rz Ry Rx R 93.634222==++=合力方向角：4454),(),(),(¢°=Ð=Ð=Ðz F y F x F R R R 。