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第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y Mm N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图(a)ABr 解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
工程力学（静力学与材料力学）习题第2章力系的等效与简化2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。
已知F、d1和d2。
试求产生最大弯曲变形的角度 。
习题2－1图2－2 作用于铣刀上的力系可以简化为一个力和一个力偶。
已知力的大小为1200N，力偶矩的大小为240N·m，方向如图所示。
试求此力系对刀架固定端点O的力矩。
习题2－2图2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。
习题2－3图习题2－6图2－4 图示作用于管板子手柄上的两个力构成一力偶，试求此力偶矩矢量。
2－5 齿轮箱有三个轴，其中A 轴水平，B 和C 轴位于yz 铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。
试求合力偶。
2－6 槽钢受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－7 截面为工字形的立柱受力如图所示。
试求此力向截面形心C 平移的结果。
2－8 平行力（F ,2F ）间距为d ，试求其合力。
2－9 已知图示一平面力系对A （3,0），B （0,4）和C （–4.5,2）三点的主矩分别为：M A = 20kN ·m ，M B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
习题2－4图习题2－5图习题2－7图 习题2－8图75习题2－11图2－10 空间力系如图所示，其中力偶矩M = 24N·m，作用在Oxy平面内。
试求此力系向点O简化的结果。
2－11 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。
试求此力系向点A简化的结果。
2－12 对于图示作用在平板上的平行力系，试求其合力。
习题2－9图习题2－10图习题2－12图z2－13 试确定作用在曲轴的各曲柄销中点的力系F k（k = 1,2,...,6）是否平衡。
假定各力F i（i = 1,2, (6)的大小均为F，其作用线均通过曲轴的轴线并与之相垂直，指向背离轴线。
力系的简化第二章，的力F，5）两点（长度单位为米），且由A指向B．通过A（3，0，0），B（0，42-1 。
，对z轴的矩的大小为在z轴上投影为22 /5。
答：F / ；6 F上和y，c，则力F在轴z2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b的矩x ；F对轴；Fy= 的投影：Fz=F 。
)= M ( x）··（）（··；－··；cos=FFz=F答：φsinφbFy=θFsincosφφcosφ+cMxFcos41－图2 图2－40F，则该力，若F=100N，4）两点（长度单位为米）），B（0，2-3．力4通过A（3，4、0 。
，对x轴的矩为在x轴上的投影为320N.m；答：－60NAE内有沿对角线，在平面ABED2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a °，则此力对各坐标轴之矩为：α=30的一个力F，图中。
）= ）；M（F= （（MF）= ；MF zYx6Fa/4 =（F）；M）=0，（F）=－Fa/2MF答：M（zxy2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。
答：M（F）=160 N·cm；M（F）=100 N·cmzx43－图2 2图－42O2-6．试求图示中力F对点的矩。
M(F)=Flsinα解：a: O M(F)=Flsinαb: Oα+ Flcos)sinc: M(F)=F(l+lα2O13??22?lM?Fl?Fsin d: 2o1。
轴的力矩M1000N2-7．图示力F=，求对于z z图题2－8 7题2－图。
试求=40N，M=30N·m=40N2-8．在图示平面力系中，已知：F=10N，F，F321其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。
解：将力系向O点简化=30N F=F－R12X40N －=R=－F3V R=50N ∴m ）··3+M=300N+FF主矩：Mo=（+F312d=Mo/R=6mO合力的作用线至点的矩离iiRR0.8－=），（cos，=0.6），（cos合力的方向：iR ）=－53，°08'（iR ，'）（=143°08，内作用一力偶，其矩M=50KNGA转向如图；又沿·m，2-9．在图示正方体的表面ABFE2RR =50。
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。
二力作用线之间的距离为d 。
试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。
解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。
合力矢量属于滑动矢量。
2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。
若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。
第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。
解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。
解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB=100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。
试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。
解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y M m N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。
习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图ABr(a)解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==FFa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。
解：F r F M ⨯=AB A )(5354F F d d d-k j i= =)743(51k j i -+-Fd)34(5)(j i j F M +⨯=Fd O力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M ；0)(=F y M ；Fd M z 54)(-=F2—6面。
求这四个力偶的合力偶。
解：4321M M M M M+++=k j i )53()54(43241M M M M M +--+-= m N 8.1284.14⋅---=k j i2－7 已知一平面力系对A （3,0），B A B = 0，M C =–10kN ·m 。
试求该力系合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点； 由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（图a ）在图（a ）中，设 OF = d ，则 θc o t 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1）θθs i n )25.4(s i n dCE CD -== （2）即 θθs i n )25.4(2s i n)3(dd -=+ d d -=+93， 3=dF 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a ），作用线如图过B 、F 点；习题2－4图习题2－5图习题2－6图 （a ） 43 M 1M 2 M 3M 4习题2－7图34tan =θ 8.4546sin 6=⨯==θAG8.4R R ⨯=⨯=F AG F M Ak N 6258.420R ==F 即 )k N 310,25(R =F作用线方程：434+=x y讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－8 已知F 1 = 150N ，F 2 = 200N ，F 3 = 300N ，F =F '= 200N 。
求力系向点O 的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距d 。
200100131121FFF'解：N .64375210145cos 321-=--︒-=∑F F F F xN .61615110345sin 321-=+-︒-=∑F F F F ym N 44.2108.02.0511.045sin )(31⋅=-⨯+⨯︒=∑F F F M O F向O 点简化的结果如图（b ）；合力如图（c ），图中N 5.466)()(22'R =∑+∑=y x F F F ，m N 44.21⋅=O M合力N 5.466'R R ==F F ，mm 96.45R==F M d O2－9 图示平面任意力系中F 1 = 402N ，F 2 = 80N ，F 3 = 40N ，F 4 = 110M ，M = 2000 N ·mm 。
各力作用位置如图所示，图中尺寸的单位为mm 。
求（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力的大小、方向及合力作用线方程。
FFFF (0,30)(20,20)(20,-30)(-50,0)45解：N 15045cos 421R -=--︒=∑=F F F F F x x045sin 31R =-︒=∑=F F F F y yR(a)习题2－8图习题2－9图N 150)()(22'R =∑+∑=y x F F Fmm N 900305030)(432⋅-=--+=∑=M F F F M M O O F向O 点简化结果如图（b ）；合力如图（c ），其大小与方向为N 150'R R i F F -==设合力作用线上一点坐标为（y x ,），则x y O O yF xF M M R R R )(-==F将O M 、'R y F 和'R x F 值代入此式，即得合力作用线方程为：mm 6-=y2－10 图示等边三角形板ABC ，边长a ，今沿其边缘作用大小均为F P 的力，方向如图（a ）所示，求三力的合成结果。
若三力的方向改变成如图（b ）所示，其合成结果如何？解（a ）0'R =∑=i F Fa F a F M A P P 2323=⋅=（逆） 合成结果为一合力偶a F M P 23=（逆）（b ）向A 点简化i F P 'R 2F -=（←）a F M A P 23=（逆） 再向'A 点简化，a F M d A 43'R==合力i F P R 2F A -=（←）2－11 图示力系F 1 = 25kN ，F 2 = 35kN ，F 3 = 20kN ，力偶矩m = 50kN ·m 。
各力作用点坐标如图。
试计算（1）力系向O 点简化的结果；（2）力系的合力。
解（1）向O 点简化 kN 10'R k F F =∑=i)(F M M O O ∑=mkN )10580(200 002 3- 35- 0 00 2 2 25 0 00 2-3 50⋅+-=+++=j i kj i k j i k j i j（2）合力kN 10R k F =设合力作用线过点)0,,(y x ，则F F FF F F 习题2－10图 F F FF F A 习题2－11图j i M kj i 10580100 00 +-==O x y5.10-=x ，0.8-=y ，0=z 合力作用线过点（-10.5，-8.0，0）。
2－12 图示载荷F P =1002N ， F Q =2002N ，分别作用在正方形的顶点A 和B 处。
试将此力系向O 点简化，并求其简化的最后结果。
解：N )(100P k i F +-=N )(200Q k j i F +--=mN )300200(200200- 2000 1 1 1000 1000 0 1 )(⋅-=-+-=j i k j i k j i F O MN )300200300('R k j i F F +--=∑=iQ P F F F r M ⨯+⨯=B A O合力 N )300200300('R R k j i F F +--== 设合力过点（0,,y x ），则j i M kj i 300200300200- 3000 -==-O y x 得 1=x ，32=y ，0=z 即合力作用线过点（0,32,1）。
2－13 图示三力F 1、 F 2和 F 3的大小均等于F ，作用在正方体的棱边上，边长为a 。
求力系简化的最后结果。
解：先向O 点简化，得k F F ='R ， k j M Fa Fa O +=因0'R ≠⋅O M F ，故最后简化结果为一力螺旋。
该力螺旋k F F ='R ，k M Fa = 设力螺旋中心轴过)0,,(y x O '，则j M F r Fa O ==⨯'1R即j k j i Fa Fy x = 0 00 得 a x -=，0=y ，0=z即合成最后结果的力螺旋中心轴上一点坐标为（0,0,a -）。
习题2－12图习题2－13图2－14 某平面力系如图所示，且F 1=F 2=F 3=F 4= F ，问力系向点A 和B 简化的结果是什麽？二者是否等效？解：（1）先向A 点简化，得)(2Rj i F -='F ；Fa M A 2= （2）再向B 点简化，得)(2Rj i F -='F ；0=B M 二者等效，若将点B 处的主矢向点A 平移，其结果与（1）通。
2－15 某平面力系向两点简化的主矩皆为零，此力系简化的最终结果可能是一个力吗？可能是一个力偶吗？可能平衡吗？解：可能是一个力，也可能平衡，但不可能是一个力偶。
因为（1），平面力系向一点简化的结果为一主矢和一主矩，而由已知是：向两点简化的主矩皆为零，即简化结果可能为（0,R ='A M F ），（0,R ='B M F ）（主矢与简化中心无关），若0R ≠'F ，此时已是简化的最后结果：一合力'R R F F =经过A 点，又过B 点。
（2）若该主矢0R='F ，则此力系平衡，这显然也是可能的；最后结果不可能是一力偶，因为此时主矩不可能为零，与（1）矛盾。
