理论力学 第2章力系的简化习题解答

第二章 习 题2-1 试计算图2-55中力F 对点O 之矩。

图2-55(a) 0)(=F O M (b) Fl M O =)(F (c) Fb M O -=)(F (d) θsin )(Fl M O =F(e) βsin )(22b l F M O +=F(f) )()(r l F M O +=F2-2 一大小为50N 的力作用在圆盘边缘的C 点上，如图2-56所示。

试分别计算此力对O 、A 、B 三点之矩。

图2-56mN 25.6m m N 625030sin 2505060cos 30sin 5060sin 30cos 50⋅=⋅=︒⨯⨯=︒⨯︒-︒⨯︒=R R M Om N 075.17825.1025.630cos 50⋅=+=⨯︒+=R M M O A m N 485.9235.325.615sin 50⋅=+=⨯︒+=R M M O B2-3 一大小为80N 的力作用于板手柄端，如图2-57所示。

(1)当︒=75θ时，求此力对螺钉中心之矩；(2)当θ为何值时，该力矩为最小值；(3) 当θ为何值时，该力矩为最大值。

图2-57(1)当︒=75θ时，（用两次简化方法）m N 21.20mm N 485.59.202128945.193183087.21sin 8025075sin 80⋅=⋅=+=⨯︒⨯+⨯︒⨯=O M (2) 力过螺钉中心 由正弦定理)13.53sin(250sin 30θθ-︒= 08955.03/2513.53cos 13.53sin tan =+︒︒=θ ︒=117.5θ(3) ︒=︒+︒=117.95117.590θ2-4 如图2-58所示，已知N 200N,300N,200N,150321='====F F F F F 。

试求力系向O 点的简化结果，并求力系合力的大小及其与原点O 的距离d 。

图2-58kN64.1615110345cos kN64.4375210145cos 321R321R-=+-︒-=∑='-=--︒-=∑='F F F F F F F F F F y y x x主矢RF '的大小 kN 54.466)()(22R =∑+∑='y x F F F 而 3693.064.43764.161tan RR ==''=x y F F α ︒=27.20α m N 44.21162.0511.045cos )(31⋅=-⨯+⨯︒=∑=F F M M O O Fmm 96.45m 04596.054.466/44.21/R==='=F M d O2-5 平面力系中各力大小分别为kN 60kN,260321===F F F ，作用位置如图2-59所示，图中尺寸的单位为mm 。

第二章 力系的简化习题解[ 习题 2-1] 一钢构造节点 , 在沿 OA,OB,OC 的方向上遇到三个力的作用, 已知 F 1 1kN ,F 2 1.41kN , F 32kN , 试求这三个力的协力 .解:F 1 x0 F1 y1kNF 21350F 3F 2 x 1.41 cos451( kN ) F 2 y 1.41sin 45 1(kN )F 3 x2kNF3 yO 9003F 1F RxF xi0 1 2 1(kN )i 03FRyFyi1 1 0i 0F R F Rx 2R Ry 21 作用点在 O 点 , 方向水平向右 .[ 习题 2-2]计算图中已知F 1 , F 2 , F 3 三个力分别在 x, y, z 轴上的投影并求协力. 已知F 1 2kN , F 2 1kN , F 33kN .解:zF1 x 2kNF1yF1zF2 xF 2 sin 450 cos13 0.424( kN ) F 15 F2 yF 2 sin 450 sin14 0.567( kN )A45 05F 2 sin 4505yF2 z10.707( kN)OF 2F 3F3 xF3 y0 F3 z3kN334F RxF xi20 2.424( kN )xi 03F RyF yi0 0.567(kN )i 03F RzF zi3 3.707(kN )i 0协力的大小 :F R FRx2FRy2FRz220.567 224.465(kN )方向余弦 :cosFRxF RcosFRyF RF RzcosF R作用点 : 在三力的汇交点A.[ 习题 2-3]已知 F 1 2 6N ,F 2 2 3N ,F 3 1N F 4 4 2N ,F 5 的结果 ( 提示 : 不用开根号 , 可使计算简化 ).解:zF 1 x 0 F 1y 0 F 1z 2 6NF 2 x 0 F 2 y2 3N F 2 zF 1F3 x 1N F 3 y 0F3z0 F 4F4 xF 4 cos450cos604 22 1 2(N ) 45A2260 0F 3F 4 yF 4 cos 450 sin 6004 2 2 3 2 3(N)22F4 zF 4 sin 4504 22 4(N)253F5 xF 5 sin cos74232 (2 6) 2 3(N)5 F5 yF 5 sin sin75 44232(2 6) 2 4(N)5F5 zF 5 cos72 62 6(N)4232(2 6 )25F RxF xi 001234(N)i 05FRyF yi0230234 4(N)i 05FRz Fzi26004264(N)i 0协力的大小 :F RFRx2FRy2FRz24 24242 4 3 6.93(N)方向余弦 :cosFRx4 3F R4 3 37 N , 求五个力合成F 52 6F 2y34xF Ry 4 3cos433F RFRz4 3cos4 33F Rarccos3540 44'8"3作用点 : 在三力的汇交点 A.[ 习题 2-4] 沿正 六面 体的 三棱 边作用 着三 个力 , 在平 面 OABC 内作 用一个 力偶 .已 知F 1 20N , F 2 30N , F 3 50 N , M 1N m . 求力偶与三个力合成的结果 .AzF 1B150mmMOyO 1EF 2xF 3150mmD200mmC解:把 F 1, F 2 , F 3向O 1平移, 获得: 题 24图主矢量 :F RF 3 F 1 F 25020 30 0M x ( F 1 ) F 1204( N m)M y ( F 1 ) 0 M z ( F 1 ) 0M x ( F 2 ) F 2 30 6( N m) M y ( F 2 ) F 2304.5(N m)M z ( F 2 ) 0 M x ( F 3 ) 0M y ( F 3 ) F 37.5( N m)M z ( F 3 )M 的方向由 E 指向 D.MOCM O 1(F 1)M O 1(F 3)8.25( N m)M xM sin12000.8( N m)2002150 2OE150M yM cos10.6( N m)O 12002 1502M 900DCM z3M xM x (F i ) M x 4 6 0 0.89.2( N m)i 13M y M y (F i ) M y3.6( N m) i 1 3M zi 1 M z (F i ) M z00000主矩 :M O (M x )2 (M y ) 2 (M z ) 2( 9.2)2( 3.6)202 9.88( N m)方向余弦 :cosM xM 0cosM yM 0cosM zM 0[习题 2-5]一矩形体上作用着三个力偶 (F 1,F 1') , (F 2,F 2') , (F 3,F 3') .已 知F 1F 1 ' 10N , F 2F 2 '16N , F 3 F 3 '20N , a 0.1m , 求三个力巧合成的结果 .解:先把 F 1 在正 X 面上平行挪动到 x 轴 .则应附带力偶矩 :zM x ( F 1 ) F 1a 101( N m)F 'Mx1M x (F 1 ) 1(N m)1'aM y1F 1 2a 102( N m)F 2Mz1y把 F 2 沿 y, z 轴上分解 :F 2F 3FF cos450 1611.314( N )2 y22aF F sin 4501611.314( N )'F 12 z2Mx2 0F 3xa题 2 5图M y2 F 2z 2a2.263( N m)M z2 F 2 y 2a2.263( N m)M x3 0 My3Mz3F 3 a 20 2( N m)3M xM xi 1 0 0 1i 13M yMyi24.263(N m)i 1 3M zMzi2 0.263( N m)i 1主矩 :M O (M x ) 2(M y ) 2(M z ) 212( 4.263) 2 0.263 24.387(N m)方向余弦 :zcosM x1100mmM 0100mm2NM y2Ncos2NM 05N7NM zcosyOM 0[ 习题 2-6] 试求图诸力合成的结果 .4N4N解:3N1200主矢量 :3NF R 5 2 7 0竖 M x (5N ) 0的向 M x (7N )7力 矩产M x (2N ) 2生 面 顶M x1底 Mx 2面斜 M x3 3sin 60 0面x习题2 6图M y M z (5N ) 0M yM z ( 7N ) 0 M y (2 N ) 0M z ( 2N ) 0M y10 M x1My20 Mx2M y3M x33 cos 600主矩 :M O ( M x ) 2( M y ) 2( M z ) 2( 0.76) 2221.086( N m)方向余弦 :M xcosM 0cosM yM 0cosM zM 0[ 习题 2-7]柱子上作有着 F1,F2, F3三个铅直力,已知 F1 80kN , F2 60kN ,F3 50kN ,三力地点以下图. 图中长度单位为mm ,求将该力系向O点简化的结果.zF1F3A( 0, 250, ZA )F2C( 170,150,0)yOB(170,150,0)解:主生竖向的力矩产主矩 :矢量:x习题27图F R8060 50190(kN ) M x (F1 )800.25 20M y (F1 )0M z (F1 )0M x (F2 )609M y (F2 )60M z (F2 )0M x (F3 )50M y (F3 )50M z (F3 )0M O(M x ) 2( M y ) 2(M z ) 22 1.7 202 3.891( N m)方向余弦 :cosM xM 0cosM yM 0cosM z0M 0[ 习题 2-8]求图示平行力系合成的结果( 小方格边长为100mm)7kNyo(0,0)7kN3kN9kNB(400,200)12kNA(450,0)D(300,600)x 解:C(600,500)习题28图1277390主矢量:F RA M x (3kN)0M y ( 3kN )3B M x (9kN)9M y ( 9kN )9C M x (12kN )6M y (12kN )12D M x (7kN)7M y (7kN )7主矩 :M O(M x )2( M y ) 28.4 2( 4.35)29.46(kN m)方向余弦 :cosM x M 0cosM y M 0[ 习题 2-9]平板 OABD上作用空间平行力系以下图, 问x, y应等于多少才能使该力系协力作用线经过板中心 C.解:主矢量 :F R7 8 5 6 430(kN )由协力矩定理可列出以下方程:4 y5 8 8 83044 y 40 64120y 4(m)长度单位 : m4x 5 6 6 6 303x 6( m)[ 习题 2-10] 一力系由四个力构成。

第2章 力系的等效与简化2－1试求图示中力F 对O 点的矩。

解：（a ）l F F M F M F M M y O y O x O O ⋅==+=αsin )()()()(F （b ）l F M O ⋅=αsin )(F（c ）)(sin cos )()()(312l l Fl F F M F M M y O x O O +--=+=ααF （d ）2221sin )()()()(l l F F M F M F M M y O y O x O O +==+=αF2－2 图示正方体的边长a =0.5m ，其上作用的力F =100N ，求力F 对O 点的矩及对x 轴的力矩。

解：)(2)()(j i k i Fr F M +-⨯+=⨯=Fa A O m kN )(36.35)(2⋅+--=+--=k j i k j i Fam kN 36.35)(⋅-=F x M2－3 曲拐手柄如图所示，已知作用于手柄上的力F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，α = 30°。

试求力F 对x 、y 、z 轴之矩。

解：)cos cos sin (sin )4.03.0()(2k j i k j F r F M αααα--⨯-=⨯=F D Ak j i αααα22sin 30sin 40)sin 4.03.0(cos 100--+-=力F 对x 、y 、z 轴之矩为：m N 3.43)2.03.0(350)sin 4.03.0(cos 100)(⋅-=+-=+-=ααF x M m N 10sin 40)(2⋅-=-=αF y Mm N 5.7sin 30)(2⋅-=-=αF z M2—4 正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB =a ，在平面ABED 内沿对角线AE 有一个力F ， 图中θ =30°，试求此力对各坐标轴之矩。

习题2-1图A r A习题2-2图（a ）习题2-3图(a)ABr 解：)sin 45sin cos 45cos cos ()(k j i i F r F M θθθ+︒+︒-⨯=⨯=F a A O )45sin cos sin (k j ︒+-=θθaF 力F 对x 、y 、z 轴之矩为：0)(=F x M230sin )(aF aF M y -=︒-==F Fa aF M z 4645sin 30cos )(=︒︒=F2－5 如图所示，试求力F 对A 点之矩及对x 、y 、z 轴之矩。

第二章力系的简化习题解[习题2-1] 一钢结构节点,在沿OA,OB,OC的方向上受到三个力的作用,已知,,,试求这三个力的合力.解:作用点在O点,方向水平向右.[习题2-2] 计算图中已知,,三个力分别在轴上的投影并求合力. 已知,,.解:合力的大小:方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-3] 已知,,,,求五个力合成的结果(提示:不必开根号,可使计算简化).解:合力的大小: 方向余弦:作用点:在三力的汇交点A.[习题2-4] 沿正六面体的三棱边作用着三个力,在平面OABC内作用一个力偶. 已知,,,.求力偶与三个力合成的结果.解:把,,向平移,得到:主矢量:的方向由E指向D.主矩:方向余弦:[习题2-5] 一矩形体上作用着三个力偶,,.已知,,,,求三个力偶合成的结果.解:先把在正X面上平行移动到x轴.则应附加力偶矩:把沿轴上分解:主矩:方向余弦:[习题2-6] 试求图诸力合成的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩顶面底面斜面-0.76 0.2 0.75 主矩:方向余弦:[习题2-7] 柱子上作有着,,三个铅直力, 已知,,,三力位置如图所示.图中长度单位为,求将该力系向点简化的结果.解:主矢量:竖向力产生的矩3.5 1.7 0主矩:方向余弦:[习题2-8] 求图示平行力系合成的结果(小方格边长为)解:主矢量:ABCD8.4 -4.35主矩:方向余弦:[习题2-9] 平板OABD上作用空间平行力系如图所示,问应等于多少才能使该力系合力作用线通过板中心C.解:主矢量:由合力矩定理可列出如下方程:[习题2-10] 一力系由四个力组成。

已知F1＝60Ｎ，F2＝400Ｎ，F3＝500Ｎ，F4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。

解:主矢量计算表0 0 600 200 0300 546.41 -140方向余弦:-110.564 120 0 主矩大小:方向余弦:[习题2-11]一力系由三力组成，各力大小、作用线位置和方向见图。

第二章力系简化理论◆力的平移定理◆力系的主矢和主矩◆力系向一点简化◆力系简化结果分析§2–2 主矢和主矩·力系向一点的简化∑∑⨯==ii i O O F r )F (M M R i ix iy ix F F F i F j F k'==++∑∑∑∑ 称为该力系对O 点的主矩（principal moment ）称为该力系的主矢（principal vector ）式中， 分别表示各力对x ，y ，z 轴的矩。

(),(),()x y z M F M F M F空间任意力系的n 个力的矢量和1. 力系的主矢、主矩取任意点O ， n 个力对O 点之矩的矢量和kF M j F M i F M M i z i y i x O ∑∑∑++=)()()(由F 1、F 2组成的空间力系，已知：F 1 = F 2 = F 。

试求力系的主矢F R 以及力系对O 、A 、E 三点的主矩。

1. 计算力系主矢令i 、j 、k 为x 、y 、z 方向的单位矢量，则力系中的二力可写成力系的主矢为：)43(51j i F +=F)43(52j i F -=FiF F F F F i i R 562121=+==∑= 例：求主矢、主矩解：解： 2. 计算主矩应用矢量叉乘方法，力系对O 、A 、E 三点的主矩分别为：()2211M M F r F O O i i i i i ====⨯∑∑2211F r F r ⨯+⨯=)43(53j i k +⨯=F )43(54j i j -⨯+F)12912(5k j i -+-=F)43(51j i F +=F)43(52j i F -=F∑=⨯+⨯=⨯=2121i EC EA i i E F r F r F r M )12912(5k j i ---=F)12912(k j i +--=F)43(5)34(j i k j -⨯-=F )43(53)43(54j i k j i j -⨯-+⨯-=FF 2210F r F r M ⨯+=⨯=∑=AC i i i A 对O 点对A 三点对E 点其中，各 ，各i iF F '= ()i o i M M F =该汇交力系与力偶系与原任意力系等效。

力系的简化第二章，的力F，5）两点（长度单位为米），且由A指向B．通过A（3，0，0），B（0，42-1 。

，对z轴的矩的大小为在z轴上投影为22 /5。

答：F / ；6 F上和y，c，则力F在轴z2-2．已知力F的大小，角度φ和θ，以及长方体的边长a，b的矩x ；F对轴；Fy= 的投影：Fz=F 。

)= M ( x）··（）（··；－··；cos=FFz=F答：φsinφbFy=θFsincosφφcosφ+cMxFcos41－图2 图2－40F，则该力，若F=100N，4）两点（长度单位为米）），B（0，2-3．力4通过A（3，4、0 。

，对x轴的矩为在x轴上的投影为320N.m；答：－60NAE内有沿对角线，在平面ABED2-4．正三棱柱的底面为等腰三角形，已知OA=OB=a °，则此力对各坐标轴之矩为：α=30的一个力F，图中。

）= ）；M（F= （（MF）= ；MF zYx6Fa/4 =（F）；M）=0，（F）=－Fa/2MF答：M（zxy2-5．已知力F的大小为60（N），则力F对x轴的矩为；对z轴的矩为。

答：M（F）=160 N·cm；M（F）=100 N·cmzx43－图2 2图－42O2-6．试求图示中力F对点的矩。

M(F)=Flsinα解：a: O M(F)=Flsinαb: Oα+ Flcos)sinc: M(F)=F(l+lα2O13??22?lM?Fl?Fsin d: 2o1。

轴的力矩M1000N2-7．图示力F=，求对于z z图题2－8 7题2－图。

试求=40N，M=30N·m=40N2-8．在图示平面力系中，已知：F=10N，F，F321其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。

解：将力系向O点简化=30N F=F－R12X40N －=R=－F3V R=50N ∴m ）··3+M=300N+FF主矩：Mo=（+F312d=Mo/R=6mO合力的作用线至点的矩离iiRR0.8－=），（cos，=0.6），（cos合力的方向：iR ）=－53，°08'（iR ，'）（=143°08，内作用一力偶，其矩M=50KNGA转向如图；又沿·m，2-9．在图示正方体的表面ABFE2RR =50。

工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。

二力作用线之间的距离为d 。

试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。

解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。

合力矢量属于滑动矢量。

2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。

若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。

解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。

2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。