课题第二十八章锐角三角函数小结与复习

（一）激趣导入你能根据本章内容画出知识结构图吗？试一试。

（二）指导自学学生查看教材61-77页内容，熟悉本章知识点，教师巡视指导。

（三）合作互助学生分组进行讨论，画出本章知识结构图，学生代表展示结果。

【课件展示】直角三角形中的边角关系锐角三角函数解直角三角形实际问题提问：（1）锐角三角函数定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,如图所示.我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=;我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=;我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tan A,即tan A=.（2）特殊角的函数值[规律方法] 在非直角三角形中求角的三角函数值,常通过作垂直构造直角三角形,利用直角三角形中的边角关系解决.例2计算°°-°°°.解:原式=°---=---=2---=1-2.[解题策略]准确地代入特殊角的三角函数值,再根据二次根式的性质进行化简计算.例3 如图①所示,一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处,渔船从A处沿正南方向航行一段距离后,到达位于小岛南偏东60°方向的B处. (1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离(结果用根号表示);(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶,求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45).〔解析〕(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,由∠AME 的度数得∠AMD=∠MAD=45°,根据AM的值和特殊角的三角函数值可得DM的值,即为所求;(2)在Rt△DMB中,由∠BMF=60°,得∠DMB=30°,进而求出MB的值,最后根据路程÷速度=时间,即可得出答案.解:(1)如图②所示,过点M作MD⊥AB于点D,∵∠AME=45°,∴∠AMD=∠MAD=45°,∵AM=180海里,∴MD=AM·cos 45°=90海里.答:渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最短距离是90海里.(2)在Rt△DMB中,∵∠BMF=60°,∴∠DMB=30°,∵MD=90海里,∴MB=60海里,∴60÷20=3≈3×2.45=7.35≈7.4(小时).答:渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时.[规律方法] 实际问题中的许多问题可以用直角三角形的边角关系解决,解决这类问题的关键是将实际问题转化为解直角三角形问题,选择恰当的边角关系(即三角函数)求解.（五）检测达标1.如图所示,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,tan A=,则BC的长是( )A.2B.8C.2D.42.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,若BD∶AD=1∶4,则tan∠BCD的值是( )A. B. C. D.23.10.如图所示,在塔AB前的平地上选择一点C,测出看塔顶的仰角为30°,从C点向塔底B走100米到达D点,测出看塔顶的仰角为45°,则塔AB的高为( )A.50米B.100米米C.米D.-通过本节课的学习，你有什么收获？布置作业：1.-(2015-π)0-4cos 45°+(-3)2;2.如图所示,一渔船由西往东航行,在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向,前进20海里到达B点,此时,测得海岛C位于北偏东30°的方向,则海岛C到航线AB的距离CD 等于海里.3.Rt△ABC中,∠C=90°,cos A=,AC=6 cm,那么BC等于( )A.8 cmB. cmC. cmD. cm。

第二十八章锐角三角函数单元总结【知识要点】知识点一锐角三角形锐角三角函数：如下图，在Rt△ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)定义表达式取值范围关系正弦斜边的对边A A ∠=sin c a A =sin1sin 0<<A (∠A 为锐角)B A cos sin =B A sin cos =1cos sin 22=+A A 余弦斜边的邻边A A ∠=cos c b A =cos1cos 0<<A (∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A ba A =tan 0tan >A (∠A 为锐角)对边邻边斜边ACBba c 【正弦和余弦注意事项】1.sinA、cosA 是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形)。

2.sinA、cosA 是一个比值（数值，无单位）。

3.sinA、cosA 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关。

0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数30°45°60°αsin 212223αcos 232221αtan 3313正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，知识点二解直角三角形一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形．直角三角形五元素之间的关系： 1.勾股定理（）2.∠A+∠B=90°3.sin A==4.cos A==5.tan A==【考查题型】考查题型一正弦典例1．（2020·陕西西安市·西北工业大学附属中学九年级期中）如图，在54⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ABC ∆的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin BAC ∠的值为（）A ．43B ．34C ．35D ．45变式1-1．（2018·西城区·北京四中九年级期中）如图，在Rt ABC ∆中，90C = ∠，10AB =，8AC =，则sin A 等于（）A ．35B ．45C ．34D ．43变式1-2．（2019·山东淄博市·九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6cm ，则BC 的长度为()A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm考查题型二余弦典例2．（2020·福建省泉州市培元中学九年级期中）如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（）A ．55B ．255C 5D ．23变式2-1．（2016·辽宁铁岭市·九年级期末）在ABC 中，C 90∠= ，AB 6=，1cosA 3=，则AC 等于（）A ．18B ．2C ．12D ．118变式2-2．（2019·山东滨州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为M 52），那么cosα的值是（）A B ．23C ．252D ．53考查题型三正切典例3．（2020·广东深圳市·深圳中学八年级期中）如图，A 、B 、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC 的值为（）A ．12B ．1C ．33D 变式3-1．（2018·江苏苏州市·九年级期末）如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，D 是AC 上一点，若1tan 5DBA ∠=，则AD 的长为（）.A ．2B C D ．1变式3-2．（2020·河北唐山市·九年级期末）如图，有一斜坡AB ，坡顶B 离地面的高度BC 为30m ，斜坡的倾斜角是∠BAC ，若2tan 5BAC ∠=，则此斜坡的水平距离AC 为（）A ．75mB ．50mC ．30mD ．12m考查题型四特殊角的三角函数值典例4．（2018·南昌市期末）点M(－sin 60°，cos 60°)关于x 轴对称的点的坐标是()A ．(32，12)B ．(－32，－12)C ．(－32，12)D ．(－12，－32)变式4-1．（2019·山东淄博市·九年级期中）下列式子错误的是（）A ．cos40°=sin50°B ．tan15°•tan75°=1C ．sin 225°+cos 225°=1D ．sin60°=2sin30°变式4-2．（2018·河北唐山市·九年级期末）如果△ABC 中，sin A =cos B =22，则下列最确切的结论是（）A ．△ABC 是直角三角形B ．△ABC 是等腰三角形C ．△ABC 是等腰直角三角形D ．△ABC 是锐角三角形考查题型五同角的三角函数典例5．（2018·山东潍坊市·九年级期末）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sinA=45，则cosB 的值等于()A ．35B ．45C ．34D ．55变式5-1．（2018·浙江台州市·九年级期末）在Rt △ABC 中，cosA=12，那么sinA 的值是（）A ．22B ．32C ．33D ．12变式5-2．（2018·湖南岳阳市·九年级期末）在Rt ABC 中，C 90∠= ，如果4cosA 5=，那么tanA 的值是（）A ．35B ．53C ．34D ．43考查题型六解直角三角形典例6．（2020·东北师大附中明珠学校九年级期中）如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB 与AD 的长度之比为()A ．tan tan αβB ．sin sin βαC ．sin sin αβD ．cos cos βα变式6-1．（2020·山东枣庄市·九年级期末）如图，在ABC ∆中，144CA CB cosC ＝＝，＝，则sinB 的值为（）A ．102B ．3C ．4D ．104变式6-2．（2019·辽宁沈阳市·九年级期末）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼顶A 处看乙楼楼顶B 处仰角为30°，则甲楼高度为（）A ．11米B ．（36﹣）米C ．D ．（36﹣考查题型七利用解直角三角形相关知识解决实际问题典例7．（2019·河南许昌市·九年级期末）如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者.在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别是45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米.为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？（结果保留整数.参考数据：≈1.4）变式7-1．（2018·江苏无锡市·九年级期末）如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C 处603D（点D与楼底C在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为3的斜坡DB前进30米到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为53°，求楼房AC的高度（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值）．变式7-2．（2018·山西晋中市期末）“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截面图编制了如下数学问题，请你解答．如图所示，底座上A，B两点间的距离为90cm．低杠上点C到直线AB的距离CE的长为155cm，高杠上点D到直线AB的距离DF的长为234cm，已知低杠的支架AC与直线AB 的夹角∠CAE为82.4°，高杠的支架BD与直线AB的夹角∠DBF为80.3°．求高、低杠间的水平距离CH的长．（结果精确到1cm，参考数据sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）。

知识点总结一、锐角三角函数的概念：在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C对的边分别是a、b、c，则锐角A 的各三角函数的定义如下：1、角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA ＝；2、角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA＝；3、角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA＝.二、特殊角的三角函数值：三、解直角三角形：1、直角三角的边角关系：如图，在Rt△ABC 中，∠A、∠B为锐角，∠C=90º,它们所对的边分别为a,b,c，其中除直角∠C外，其余的5个元素之间有以下关系：（1）三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90º；（3）边角之间的关系：sinA=cosB=，cosA=sinA=，tanA=，tanB=.2、解直角三角型的类型与解法：四、解直角三角形的简单应用：1、与仰角俯角有关的实际问题2、与方向角有关的实际问题3、与坡度坡角有关的实际问题4、与生活有关的实际问题易错点知识分析一、对锐角三角函数的定义理解错误：例1 如图所示，在△ABC 中，AB=AC=3，BC=4，求sinB 的值.∴sinB=【点评】锐角三角函数是在直角三角形中定义的，而△ABC 不是直角三角形，必须构建直角三角形解决问题.二、混淆特殊角的三角函数值例2、计算：tan45°－cos60°sin60°·tan30°三、对仰角、俯角、坡角、坡度方向角等概念理解错误例3、如图，某飞机于空中A 处探测到目标C ，此时飞行高度AC=h 米，从飞机上看地面控制点B 的俯角为α，则BC 的距离约为（ ）.A. h ·tan α米B. 米C. 米D. h ·sin α米。

“锐角三角函数-小结与复习(1)”课堂教学设计课题锐角三角函数--小结与复习(1) 课时第1课时课型新授修改意见教学目标1、知识与技能：（1）进一步巩固三角函数的概念和用直角三角形边之比来表示某个锐角的三角函数；（2）熟记30°、45°、60°角的三角函数值.能由一个特殊角的三角函数值说出这个角；（3）提高学生解直角三角形的能力，能灵活运用解直角三角形知识解决实际问题。

2、过程与方法：经历探究直角三角形边角关系的过程，应用于解决有关的实际问题．体会转化思想,数形结合思想。

3、情感态度、价值观：形成数形结合的分析方法和应用意识,在实际应用中提高学生学习数学的兴趣。

教学重点锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法以及解直角三角形的实际应用。

教学难点锐角三角函数的概念和解直角三角形的实际应用。

学情分析本班学生数学基础和学习能力有很大的差别，部分学生学习感到很困难。

另外从历年中考情况来看，学生经常出错的地方往往是由于对数学概念的错误认识造成的。

解决实际问题时如何建模，学生普遍感到困难。

学法指导采用“合作交流——展示探究——检测提高”。

在共同分析、合作探究、分析交流的过程中，教师适时点拨、肯定、给予鼓励与表扬，向学生提供充分从事数学活动的机会，激发学生的学习积极性，使学生主动参与学习的全过程。

教学过程教学内容教师活动学生活动效果预测及补救措施修改意见活动一：知识回顾1、举例说明锐角三角函数的定义：（1）正弦（2）余弦（3）正切2、记住 30°、45°、60°特殊角的三角函数值。

30°45°60°siaAcosAtanA3、各锐角三角函数间的函数关系式①在三角形中共有几个元素？②直角三角形ABC中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量关系呢？(1)边角之间关系：(2)三边之间关系：(3)锐角之间关系：4. 三角函数在实际生活中的应用【教师板书，形成知识结构网】【归纳】1、特殊角三角函数值记忆规律：1、2、3、3、2、1、3、9、27线上“”线下2正切线下换成32、正弦值、余弦值、正切值随角度变化的规律：【思考】锐角A的正弦值、余弦值有无变化范围？易混淆特殊角的三角函数值.如cos60°、cos30°。

锐角三角函数知识点总结与复习1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方;2、如下图,在Rt △ABC 中,∠C 为直角, 则∠A 的锐角三角函数为∠A 可换成∠B ：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值;4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值;5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值重要A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A直角三角形中 的边角关系解直角三角形当0°≤α≤90°时,sin α随α的增大而增大,cos α随α的增大而减小; 7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时,tan α随α的增大而增大,cot α随α的增大而减小;一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义例 1 在Rt △ABC 中,∠ACB ＝90°,BC ＝1,AB ＝2,则下列结论正确的是 A ．sin A B ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B 分析 sin A ＝BC AB ＝12,tan A ＝BC AC ,cos B ＝BCAB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中,∠C ＝90°,cos A ＝35,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC 中,设AC ＝3k ,AB ＝5k ,则BC ＝4k ,由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中,BC =3,∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例312·哈尔滨在Rt △ABC 中,∠C=900,AC=4,AB=5,则sinB 的值是 ； 解析本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中,锐角的正弦等于对边比邻边,故sinB=54. 例42012内江如图4所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则sinA 的值为 ；解析欲求sinA,需先寻找∠A 所在的直角三角形,而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形,所以需要作高．观察格点图形发现连接CD 如下图所示,恰好可证得CD ⊥AB,于是有图4图4sinA ＝CD AC ＝210＝55．例5 2012宁波,Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=错误!,则BC 的长为 ；解析cosB=错误!=错误!,又∵AB=6∴BC=4例62012贵州铜仁如图,定义：在直角三角形ABC 中,锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切,记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα,根据上述角的余切定义,解下列问题：1ctan30◦= ；2如图,已知tanA=43,其中∠A 为锐角,试求ctanA 的值．分析1可先设最小边长为一个特殊数这样做是为了计算方便,然后在计算出其它边长,根据余切定义进而求出ctan30◦;2由tanA=43,为了计算方便,可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．解析1设BC=1, ∵α=30◦∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=32 ∵tanA=43∴设BC=3 AC=4∴ctanA =BC AC =34例72012山东滨州把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍,则锐角A 的正弦函数值 A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 解析因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似,所以锐角A 的大小没改变,所以锐角A 的正弦函数值也不变．答案选A ．例82012湖南观察下列等式 ①sin30°= cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°= cos30°=根据上述规律,计算sin 2a+sin 290°﹣a= ．解析：根据①②③可得出规律,即sin 2a+sin 290°﹣a=1,继而可得出答案． 答案：解：由题意得,sin 230°+sin 290°﹣30°=1；sin 245°+sin 290°﹣45°=1； sin 260°+sin 290°﹣60°=1；故可得sin 2a+sin 290°﹣a=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系,属于规律型题目,注意根据题意总结,另外sin 2a+sin 290°﹣a=1是个恒等式,同学们可以记住并直接运用．例9 2012山东德州为了测量被池塘隔开的A ,B 两点之间的距离,根据实际情况,作出如下图形,其中AB BE ⊥,EF BE ⊥,AF 交BE 于D ,C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据：22题图①BC ,∠ACB ； ②CD ,∠ACB ,∠ADB ；③EF ,DE ,BD ；④DE ,DC ,BC ．能根据所测数据,求出A ,B 间距离的有哪 组解析对于①,可由公式AB=BC ×tan ∠ACB 求出A 、B 两点间的距离；对于②,可设AB 的长为x,则BC=x tan ACB ∠,BD=xtan ADB ∠,BD-BC=CD,可解出AB ．对于③,易知△DEF ∽△DBA,则DE BDEF AB=,可求出AB 的长；对于④无法求得,故有①、②、③三组点评此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA,SAS,SSS,两直角三角形相似的判定还有HL ． 例102012江苏泰州18如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上,AB 、CD 相交于点P,则tan ∠APD 的值是 ．解析 要求tan ∠APD 的值,只要将∠APD 放在直角三角形中,故过B 作CD 的垂线,然后利用勾股定理计算出线段的长度,最后利用正切的定义计算出结果即可． 答案作BM ⊥CD,DN ⊥AB 垂足分别为M 、N,则2,易得：10,设PM=x,则PD=22-x,由△DNP ∽△BMP,得：PN DN PM BM =,即10102PN x =,∴PN=55x,由DN 2+PN 2=PD 2,得：110+15x 2=22-x 2,解得：x 1=24,x 2=2舍去,∴tan ∠APD=2224BM PM ==2．例11. 2011江苏苏州如图,在四边形ABCD 中,E 、F 分別是AB 、AD 的中点,若EF=2,BC=5,CD=3,则tanC 等ABCDEFF于 ．分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长,然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD 是直角三角形,然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5,CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC= 43例122011山东日照在Rt△ABC 中,∠C=90°,把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义,得 A 、tanA•c otA=a b b a ⋅=1,关系式成立；B 、sinA=c a ,tanA•cosA=cac b b a =⋅,关系式成立； C 、cosA=,cotA•sinA=c b a b c a =⋅,关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=b a 2+ab 2≠1,关系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．1平方关系：sin 2A+cos 2A=1 2正余弦与正切之间的关系积的关系：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=BAcos sin 或sinA=tanA•cosA．3正切之间的关系：tanA•tanB=1． 例132011•贵港如图所示,在△ABC 中,∠C=90°,AD 是BC 边上的中线,BD=4,AD=2,则tan∠CAD 的值是 ．解答：解：∵AD 是BC边上的中线,BD=4,∴CD=BD=4,在Rt△ACD中,AC===2,∴tan∠CAD===2．故选A ．例142011烟台如果△ABC 中,sin A =cos B 2,则下列最确切的结论是 A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形C. △ABC 是等腰直角三角形D. △ABC 是锐角三角形 解：∵sinA=cosB=22,∴∠A =∠B =45°,∴△ABC 是等腰直角三角形．故选C ． 例152011四川如图所示,在数轴上点A 所表示的数x 的范围是A 、330sin 602sin x ︒︒<< B 、3cos302x ︒︒<<cos45C 、3tan 302x ︒︒<<tan45D 、3cot 4502x ︒︒<<cot3 解答：故选D ．同步练习12011甘肃如图,A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处,若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ’B ’,则tanB ’的值为 ．解答：解：过C 点作CD ⊥AB ,垂足为D ．根据旋转性质可知,∠B′=∠B ．在Rt△BCD 中,tanB= CD ：BD =13,∴tan B′=tan B = 13． 2 2011甘肃兰州点M －sin60°,cos60°关于x 轴对称的点的坐标是 ． 解：∵sin60°=32,cos60°= 12,∴点M －32,12．∵点P m ,n 关于x 轴对称点的坐标P′m ,-n ,∴M 关于x 轴的对称点的坐标是－32,－12．故选B ． 32011广东已知：45°＜A ＜90°,则下列各式成立的是A 、sinA =cosAB 、sinA ＞cosAC 、sinA ＞tanAD 、sinA ＜cosA解答：解：∵45°＜A ＜90°,∴根据sin 45°=cos 45°,sinA 随角度的增大而增大,cosA 随角度的增大而减小,当∠A ＞45°时,sinA ＞cosA ,故选：B ．4、2011•宜昌教学用直角三角板,边AC=30cm,∠C=90°,tan∠BAC=33,则边BC 的长为 ．cm解：在直角三角形ABC 中,根据三角函数定义可知：tan ∠BAC=BCAC,又AC=30cm,tan ∠3则BC=ACtan 33cm ．故选C ． 5、 2011福建莆田如图,在矩形ABCD 中,点E 在AB 边上,沿CE 折叠矩形ABCD ,使点B 落在AD 边上的点F 处,若AB =4,BC=5,则tan ∠AFE 的值为 ．ABCC ’ B ’解答：解：∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =∠B =∠D =90°,CD =AB =4,AD =BC =5,由题意得：∠EFC =∠B =90°,CF =BC =5,∴∠AFE +∠DFC =90°,∠DFC +∠FCD =90°, ∴∠DCF =∠AFE ,∵在Rt △DCF 中,CF =5,CD =4,∴DF =3,∴tan ∠AFE =tan ∠DCF =DFDC =34 ．6、2012连云港小明在学习“锐角三角函数”中发现,将如图所示的矩形纸片ABCD 沿过点B的直线折叠,使点A 落在BC 上的点E 处,还原后,再沿过点E 的直线折叠,使点A 落在BC 上的点F 处,这样就可以求出°的角的正切值是 ．EC DA BF答案设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中,用勾股定理求出AE=EF=2x,于是2在直角三角形ABF 中,tan ∠FAB=21)BF xAB x=2°.选B; 7、2012福州如图15,已知△ABC,AB=AC=1,∠A=36°,∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D,则AD 的长是 ,cosA 的值是 .结果保留根号解析：由已知条件,可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形,且DA=DB=BC,可证△BDC ∽△ABC,则有BC DC AC BC =,设BC=x,则DC=1-x,因此21,101x xx x x -=+-=即,解方程得, 125151x x ---==,舍去,即AD=512；又cosA=512451512AB AD===--⨯答案：5151,24 8、2012南京如图,将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合,OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米,若按相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上,则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 厘米.结果精确到厘米,参考数据sin370≈,cos370≈,tan370≈C B AO4321解析：由于∠AOB=45°,B 点读书为2厘米,则直尺的宽为2厘米,解直角三角形得点C 的读数为2÷tan370≈2÷≈厘米.答案：9、2012·湖南张家界黄岩岛是我国南海上的一个岛屿,其平面图如图甲所示,小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示,其中∠A=∠D=90°,AB=BC=15千米,CD=23千米,请据此解答如下问题：1 求该岛的周长和面积结果保留整数,参考数据2≈ 73.13≈45.26≈ 2 求∠ACD 的余弦值.解答1结AC,∵AB=BC=15千米,∠B=90°,∴∠BAC=∠ACB=45°,AC=152千米. 又∵∠D=90°, ∴AD=2222)23()215(-=-CD AC =123千米∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30++≈55千米. 面积=S △ABC +S △ADC =21×15×15+21×123×32=2225+186≈157平方千米. 2cos ∠ACD=5121523==AC CD . 10、2012甘肃兰州在建筑楼梯时,设计者要考虑楼梯的安全程度;如图1,虚线为楼梯的倾斜度,斜度线与地面的夹角为倾角θ,一般情况下,倾角越小,楼梯的安全程度越高；如图2,设计者为了提高楼梯的安全程度,要把楼梯的倾角1θ减至2θ,这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2 ,已知d 1=4米,140θ∠=,236θ∠=,楼梯占用地板的长度增加了多少米 计算结果精确到米;参考数据：tan40°=,tan36°=AC解析：根据在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,即可得出d2的值,进而求出楼梯占用地板增加的长度．解：由题意可知可得,∠ACB=∠θ1,∠ADB=∠θ2在Rt△ACB中,AB=d1tanθ1=4tan40°,在Rt△ADB中,AB=d2tanθ2=d2tan36°,得4tan40°=d2tan36°,∴d2=4tan40tan36≈,∴d2-d1==≈,答：楼梯占用地板的长度增加了米．11、2012贵州为促进我市经济的快速发展,加快道路建设,某高速公路建设工程中需修隧道AB,如图,在山外一点C测得BC距离为200m,∠CAB=54°,∠CBA=30°,求隧道AB的长．参考数据：sin54°≈,cos54°≈,tan54°≈,≈,精确到个位解析：首先过点C作CD⊥AB于D,然后在Rt△BCD中,利用三角函数的知识,求得BD,CD的长,继而在Rt△ACD 利用∠CAB的正切求得AD的长,继而求得答案．答案：解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m,∠CBA=30°,∴在Rt△BCD中,CD=BC=100m,BD=BC•cos30°=200×=100≈173m,∵∠CAB=54°,在Rt△ACD中,AD=≈≈74m,∴AB=AD+BD=173+74=247m．答：隧道AB的长为247m．12、2011新疆建设兵团如图,在△ABC中,∠A＝90°．1用尺规作图的方法,作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1保留作图痕迹；2若AB＝3,BC＝5,求tan∠AB1C1．第22题图d2解答：解：1作∠CAB 的平分线,在平分线上截取AB 1＝AB ,作C 1A ⊥AB 1,在AC 1上截取AC 1＝AC ,如图所示即是所求．2∵AB ＝3,BC ＝5,∴AC ＝4,∴AB 1＝3,AC 1＝4,tan∠AB 1C 1＝错误!＝错误!． 专题2 特殊角的三角函数值例12012,湖北孝感计算：cos 245°+tan30°·sin60°=________．答案1例22012陕西计算：(02cos 45-38+1-2=︒　．解析原式2=2-322+1=-52+12⨯⨯答案-52+1 例32012广安计算：---)32(218cos45o +13- ； 解析：1182()cos 4533---︒+=322212323+-+21 例4 计算|－3|＋2cos 45310． 解：原式＝3＋22－122． 例5 计算－12⎛⎫- ⎪⎝⎭9＋－12007－cos 60°．解：原式＝12＋3＋－1－12＝3－1＝2． 例6 计算|2＋cos 60°－tan 30°08 21十＋221． 例7 计算312-⎛⎫ ⎪⎝⎭－π－0－|1－tan 60°|32-.解：原式＝8－13132＝10. 例82012呼和浩特计算：11|122sin 45--+︒解析三角函数、绝对值、乘方答案11|12sin 45--+︒11)2211232=-+=+=例92011天水计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ． 分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA •tan 90°﹣A =1． 解答：解：原式=14+1+34=2．故答案为2． 例102011•莱芜若a=3﹣tan60°,则196)121(2-+-÷--a a a a = ;33-解答：解：a=3﹣tan60°=3﹣3,∴原式=23-a 1-a 121）（⨯---a a =31-a =33313331-=-=--故答案为：33-． 练习1、2011浙江计算：|－1|5－π0+4cos45°. 解原式=1－122练习2、2011浙江衢州1计算：|﹣2|﹣3﹣π0+2c os45°；解答：解：1原式=2122-+⨯,=1 练习3、计算：20110＋8－2sin45°；原式＝1＋22－2＝1＋2；练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1α是锐角；③tan 30°＋tan 60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 练习3、C 提示：sin 59°＞sin 28°成立,0＜cos α＜1α是锐角成立,tan 30°＋tan 60tan 90°,tan 44°＜tan 45°,即tan 44°＜1．练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．练习5、如图28－146所示,在△ABC 中,∠A ＝30°,tan B ＝13,BC 10则AB 的长为 ． 练习6、当x ＝sin 60°时,代数式2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-的值是 ．练习7、已知cos 59°24′≈,则sin 30°36′≈ ．练习8、若∠A ,∠B 互余,且tan A －tan B ＝2,则tan 2A ＋tan 2B ＝ ．练习9、如图28－147所示,在菱形ABCD 中,AE ⊥BC 于E ,EC ＝1,cos B＝513,则这个菱形的面积是 . 10．已知正方形ABCD 的边长为1,若将线段BD 绕着点B 旋转后,点D落在DC 延长线上的点D ′处,则∠BAD ′的正弦值为 . 11．如图28－148所示,若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状,并使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．12．在△ABC 中,∠B ＝30°,tan C ＝2,AB ＝2,则BC ＝ ．13．设θ为锐角,且x 2＋3x ＋2sin θ＝05．则θ＝ ． 14．如图28－149所示,在△ABC 中,∠C ＝90°,点D 在BC 边上,BD ＝4,AD ＝BC ,cos ∠ADC ＝35． 1求DC 的长；2求sin B 的值．练习4、23 提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×1231＝23 练习5、33提示：过点C 作CD ⊥AB ,垂足为D ,在Rt △BDC 中,tan B ＝13．∴13CD BD =,∴BD ＝3CD ,∵BC 10∴CD 2＋3CD 210,∴CD ＝1,BD ＝3．在Rt △ADC 中,tan A ＝CDAD,∴AD 3∴AB ＝AD ＋BD ＝33 练习632242x x x -+·22244x x x x +-+＋42xx-＝2x ,∴原式＝2sin 603练习7、提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．练习8、6提示：∵∠A ,∠B 互余,∴tan A ·tan B ＝1,tan 2A ＋tan 2B ＝tan A －tan B 2＋2tan A ·tan B ＝22＋2＝6． 练习9、3916提示：∵cos B ＝513,设BE ＝5x ,则AB ＝13x ,∴AE 22AB BE -12x ．∵AB ＝BC ＝BE ＋CE ,∴13x ＝5x ＋1,∴x ＝18,则AE ＝12x ＝12×18＝32,BC ＝5x ＋1＝5×18＋1＝138,∴S ＝32×138＝3916．10．5提示:如图28－155所示,根据题意得DD ′＝2DC ,设正方形的边长为x ,则AD ＝x ,DD ′＝2x ．∵∠ADD ′＝90°,根据勾股定理得AD 22AD DD '+5x ．∵AD ＝x ,∴sin ∠AD ′D ＝ADAD '＝555x x=.∵AB ∥DD ′,∴∠BAD ′＝∠AD ′D ,∴sin ∠BAD ′＝55．11．30°提示：如图28＝156所示,∵S ABCD＝12S 矩形BEFC ,且BC ＝BC 底相同, ∴GC ＝12FC ．∵CF ＝DC ,∴GC ＝12DC ,12CG DC =．∵∠DGC ＝90°,sin 30°＝12,∴∠CDG ＝30°,即这个平行四边形的一个最小内角为30°． 12．12＋3 13．30°提示：x 1·x 2＝2sin θ,x 1＋x 2＝－3,则x 1－x 22＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝9－8sin θ＝52,∴sin θ＝12,∴θ＝30°． 14．解：1∵cos ∠ADC ＝35,∴设CD ＝3x ,则AD ＝5x ,AC ＝4x ,∴BC ＝AD ＝5x ．∵BD ＝BC－CD ,∴5x －3x ＝4,∴x ＝2,∴CD ＝3x ＝6． 2∵AC ＝4x ＝8,BC ＝5x ＝10,∴AB ＝2222810241AC BC +=+=,∴sin B ＝844141241AC AB ==． ★ 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；★ 俯角：视线在水平线下方的角;仰角铅垂线水平线视线视线俯角例1、2012湖北襄阳在一次数学活动中,李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪,去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5,已知李明距假山的水平距离BD 为12m,他的眼睛距地面的高度为,李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C,此时,铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线,则假山的高度为 m ．解析如下图,过点A 作AF⊥CD 于F,则AF ＝BD ＝12m,FD ＝AB ＝．再由OE∥CF 可知∠C＝∠AOE＝60°．所以,在Rt△ACF 中,CF ＝tan 60AF＝43,那么CD ＝CF ＋FD ＝43＋m ．例2、2012珠海如图,水渠边有一棵大木瓜树,树干DO 不计粗细上有两个木瓜A 、B 不计大A O BE D CF图5 CDA BO E小,树干垂直于地面,量得AB=2米,在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°.求C 处到树干DO 的距离CO.结果精确到1米参考数据：41.12,73.13≈≈第16题图D BA OC解析如图,根据题意,得∠COD ＝90°, ∠ACO ＝45°, ∠BCO ＝30°, AB ＝2,求CO.设CO 为x 米, 根据AO ＝CO,列方程,解得即可.答案解:设CO 为x 米在Rt △BCO 中,tan30°＝BO CO ,则BO ＝33x 在Rt △ACO 中,AO ＝CO,得方程33x ＋2＝x 解得x ≈5.答: CO 长大约是5米. 例3、2012江苏盐城如图所示,当小华站立在镜子EF 前A 处时,他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退米到B 处,这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300.求小华的眼睛到地面的距离;结果精确到米,参考数据：3≈.答案设AC=BD=x,在Rt △ACA 1中,∠AA 1C=450,∴AA 1=x,在Rt △DBB 1中,BB 1=tan30x=3x ,又∵12BB 1-12AA 1=12,即12×3x -12x=12,解得：x=312+≈米． 例4、2012山西如图,为了开发利用海洋资源,某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离,飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°,然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米,在点D 测得端点B 的俯角为45°,求岛屿两端A ．B 的距离结果精确到米,参考数据：解析解：过点A 作AE⊥CD 于点E,过点B 作BF⊥CD 于点F,∵AB∥CD,∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°,∴四边形ABFE 为矩形．第24题图∴AB=EF,AE=BF．由题意可知：AE=BF=100米,CD=500米．…2分 在Rt△AEC 中,∠C=60°,AE=100米．∴CE===米． …4分在Rt△BFD中,∠BDF=45°,BF=100． ∴DF===100米．…6分∴AB=EF=CD+DF﹣CE=500+100﹣≈600﹣×≈600﹣≈米． …8分答：岛屿两端A ．B 的距离为米．例5、2012呼和浩特22如图,线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高;某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高,用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α,在A 处测得D 点的仰角为β;已知甲、乙两建筑物之间的距离BC 为m ;请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度;答案解：过点A 作AM ⊥CD 于M在Rt △BCD 中,tan α=CD BC ∴CD =BC ·tan α=m tan α在Rt △AMD 中,tan β=DMAM∴DM =AM ·tan β=m tan β∴AB =CD –DM =mtan α–tan β例6、2012湖北随州,20在一次暑假旅游中,小亮在仙岛湖的游船上A 处,测得湖西岸的山峰太婆尖C 处和湖东岸的山峰老君岭D 处的仰角都是45°,游船向东航行100米后B 处,测得太婆尖、老君岭的高度为多少米3 1.732 ,结果精确到米;解析：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米;可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度,再利用移动距离为AB=100米,可建立关于h 1、h 2的方程组,解这个方程组求得两山峰高度;答案：设太婆尖高h 1米,老君岭高h 2米,依题意,有FE第20题图60304545D (老君岭)C （太婆尖）BAβα乙甲ADB M C⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-10060tan 45tan 10045tan 30tan 2211h h h h 1376.136)1732.1(50)13(5045tan 60tan 1001≈=+=+=-=h 米33110030tan 45tan 1002-=-=h 2376.236)732.13(50)33(50)13(350≈=+=+=+=米答：太婆尖高度为137米,老君岭高度为237米;题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角;如图3,OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°;2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角,叫做方向角;如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°东北方向,南偏东45°东南方向,南偏西60°西南方向,北偏西60°西北方向;例1、2011山东省潍坊轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行,在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上,轮船航行半小时到达C 处,在观测灯塔A 北偏东60°方向上,则C 处与灯塔A 的距离是 ．海里解答： BC=50×=25海里；根据方位角知识得,∠BCD=30°,=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里例2、2012年四川德阳某时刻海上点P 处有一客轮,测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向,且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行32小时到达B 处,那么tan ∠ABP=A.21 C.55 D.552解析如图6所示,根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×23=40. 所以tan ∠ABP=201402PA PB ==例3、2012连云港已知B 港口位于A 观测点北偏东°方向,且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16km;一艘货轮从B 港口以40km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行,15min 后到达C 处;现测得C 处位于Ａ观测点北偏东°方向;求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长精确到.25东北CBDCBH解析过点B 作AC 的垂线,把所求线段AC 换为两线段的差;利用Rt △ABH 和Rt △BCH 求线段AH 、CH 的长,利用AH －CH 确定AC 的长; 答案BC=40×1560=10.在Rt△ADB 中,sin ∠DAB=DB AB , °≈;所以AB=DAB DB ∠sin ≈1.60.8=20.如图,过点B 作BH⊥AC,交AC 的延长线于H;在Rt△AHB 中,∠BAH=∠DAC －∠DAB=°―37°=°,tan∠BAH=BH AH ,=BH AH,AH =＋CH 2=AB 2,BH 2+2BH 2=2025所以AH=85,在Rt△AHB 中, BH 2＋CH 2=BC 2,CH=2108025-=所以第22题图APCB °°AC=AH―CH=85―25＝65≈.例4、2012四川攀枝花如图6,我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A地观测到我渔船C在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B 处,此时观测到我渔船C在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久,离我渔船C的距离最近假设我渔船C捕鱼时移动距离忽略不计,结果不取近似值．答案作CD⊥AB于D,设BD=x,∵∠BCD=30°,∴CD=3x,因为∠CAD=45°,∴AD=CD3,AB3–x,依据题意3x–x=,x 31+,31+小时,离渔船C的距离最近;例5、2012山东东营如图某天上午9时,向阳号轮船位于A处,观测到某港口城市P位于轮船的北偏西°,轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶,下午2时该船到达B处,这时观测到城市P位于该船的南偏西°方向,求此时轮船所处位置B 与城市P的距离参考数据：°≈35,°≈34,°≈1213,°≈125解析过点P作PC⊥AB,构造直角三角形,设PC=x海里,用含有x的式子表示AC,BC的值,从而求出x的值,再根据三角函数值求出BP的值即可解答．答案过点P作PC⊥AB,垂足为C,设PC=x海里．在Rt△APC中,∵tan∠A=PCAC,∴AC=5tan67.512PC x=︒．在Rt△PCB中,∵tan∠B=PCBC,∴BC=4tan36.93x x=︒．∵AC＋BC=AB=21×5,∴54215123x x+=⨯,解得60x=.∵sinPCBPB∠=,∴60560100sin sin36.93PCPBB===⨯=∠︒海里．∴向阳号轮船所处位置B与城市P的距离为100海里．例6、2012山东省青岛如图,某校教学楼AB的后面有一建筑物CD,当光线与地面的夹角是22°时,教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE ；而当光线与地面夹角是45°时,教学楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有13米的距离B 、F 、C 在一条直线上 ⑴求教学楼AB 的高度；⑵学校要在A 、E 之间挂一些彩旗,请你求出A 、E 之间的距离结果保留整数.参考数据：sin22°≈错误!,cos22°≈错误!,tan22°≈错误! 答案解：⑴过点E 作EM ⊥AB,垂足为M.设AB 为x.Rt △ABF 中,∠AFB=45°,∴BF=AB=x,∴BC=BF+FC=x+13在Rt △AEM 中,∠AEM=22°,AM=AB-BM=AB-CE=x-2,∴tan22°= 错误!, 错误!=错误!,x=12.即教学楼的高12m.⑵由1可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt △AME 中,cos22°= 错误!, ∴ＡＥ＝ 错误!≈ 错误!≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值,即是坡角的正切值应用举例： 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度坡比;用字母i 表示,即hi l=;坡度一般写成1:m 的形式,如1:5i =等;把坡面与水平面的夹角记作α叫做坡角,那么tan hi lα==;例1、2012广安如图2,某水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡比是1：3,堤坝高BC=50m,则迎水坡面AB 的长度是 ．m解：tan∠BAC=13,∠BAC=30°,sin∠BAC=12, sin∠BAC=BC AB ,AB=2BC=100m例2、小强在教学楼的点P 处观察对面的办公大楼．为了测量点P 到对面办公大楼上部AD的距离,小强测得办公大楼顶部点A 的仰角为45°,测得办公大楼底部点B 的俯角为60°,已知办公大楼高46米,CD ＝10米．求点P 到AD 的距离用含根号的式子表示．图2:i h l=hlαABCDPN M解析连结PA 、PB ,过点P 作PM ⊥AD 于点M ；延长BC ,交PM 于点N则∠APM =45°,∠BPM =60°,NM =10米………1分设PM =x 米 在Rt △PMA 中,AM =PM ×tan ∠APM =x tan 45°＝x 米…3分在Rt △PNB 中,BN =PN ×tan ∠BPM =x －10tan 60°＝x －103米…5分 由AM +BN =46米,得x +x －103 ＝46……6分解得,4610313x +=+ ,∴点P 到AD 的距离为4610313++米．结果分母有理化为()1838-米也可……8分答案4610313++结果分母有理化为()1838-米也可例3、2012湖北如图,某公园入口处原有三级台阶,每级台阶高为18cm,深为30cm,为方便残疾人士,拟将台阶改为斜坡,设台阶的起点为A ,斜坡的起始点为C ,现设计斜坡BC 的坡度1:5i =,则AC 的长度是 cm ．解析如图,过点B 作BD ⊥AC 于D,依题意可求得AD ＝60cm,BD ＝54cm ；由斜坡 BC 的坡度i ＝1：5,求得CD ＝270cm,故AC ＝CD －AD ＝270－60＝210cm ．例4、2012浙江省绍兴,19如图1,某超市从一楼到二楼的电梯AB 的长为米,按坡角∠BAC 为32°.1求一楼与二楼之间的高度BC 精确到米；2电梯每级的水平级宽均是米,如图2.小明跨上电梯时,该电梯以每少上升2级的高度运行,10秒后他上升了多少米精确到米 备用数据：sin 32°=,cos 32°=,tan 32°=.解析1在Rt△ABC 中,已知∠B AC=32°,斜边AB 的长为米,根据锐角三角函数的定义即可求得第20题图MPDCBA第12题A BC3018一楼与二楼之间的高度BC ．2先计算1级电梯的高,再根据10秒钟电梯上升了20级可计算10秒后他上升的高度．答案解：1∵sin ∠BAC =ABBC ,∴BC =AB ×sin32°=×≈米. 2∵tan32°= 级高级宽,∴级高=级宽×tan32°=×=,∵10秒钟电梯上升了20级,∴小明上升的高度为：20×米. 例5、2012浙江丽水,19学校校园内有一小山坡,经测量,坡角∠ABC=30°,斜坡AB 长为12米.为方便学生行走,决定开挖小山坡,使斜坡BD 的坡比是1:3即为CD 与BC 的长度之比,A,D 两点处于同一铅垂线上,求开挖后小山坡下降的高度AD.解析：∴AD=AC-CD=6-23.答：开挖后小山坡下降的高度AD 为6-23米.例6、2012深圳小明想测一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上,如图3,此时测得地面上的影长为8米,坡面上的影长为4米,已知斜坡的坡角为30,同一时刻,一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米,则树的高度为 ．米解答：如图3—1,根据坡角易求树的下半部分的高为2米,树的上半部分所在直角三角形的水平距离为(+823米,由两个直接三角形相似易求树的上半部分高度为(43米,知树的高度为()63米,选择A例72012江苏泰州24如图,一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上,小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°,然后他从P 处沿坡角为45°的山坡上走到C 处,这时,PC=30m,点C 与点A 在同一水平线上,A 、B 、P 、C 在同一平面内．1求居民楼AB 的高度；2求C 、A 之间的距离．精确到,参考数据：2≈,3≈,6≈60° CA B 45°图330°21图3-1第24题图解析过C作BP的垂线,垂足为G,利用特殊Rt△PCG和Rt△ABP中的边角关系,我们容易计算出CG即AB的长,最后用AC=BP+PG,就是C、A之间的距离．答案1过C作BP的垂线,垂足为G,在Rt△PCG中,CG=PCsin450=30×2所以=m2PG= PCcos450=30×2=所以C、A之间的距离例82012四川水务部门为加强防汛工作,决定对某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形ABCD．如图9所示,已知迎水坡面AB的长为16米,∠B＝60°,背水坡面CD的长为,加固后大坝的横截面为梯形ABED,CE的长为8米．1已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米2求加固后大坝背水坡面DE的坡度．解析1求出横截面△DCE的面积,然后乘以坝堤长度即可得出体积．可以分别过点A,D 作BC边上的高将问题转化为解直角三角形问题．2求大坝背水坡面DE的坡度就是求坡面DE上一点到BE的铅直高度与它到点E的水平宽度的比,这一点通常取梯形的顶点．答案解：1过点A作AG⊥BC于G,过点D作DH⊥BC于H,∴AG＝DH．在Rt△ABG中,AG＝sin60°·AB×16＝∴DH＝S△DCE＝12·DH·CE＝12×8＝∴需要填土石方150＝3．2在Rt△DHC中,HC24,∴HE＝HC＋CE＝24＋8＝32．∴加固后大坝背水坡面DE的坡度＝DHHE．AB CD图9E例9 2012江苏苏州如图,已知斜坡AB 长60米,坡角即∠BAC 为30°,BC⊥AC,现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．请讲下面2小题的结果都精确到米,参考数据：≈．1若修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,则平台DE 的长最多为 米；2一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远即AG=27米,小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角即∠HDM 为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内,点C 、A 、G 在同一条直线上,且HG⊥CG,问建筑物GH 高为多少米解答： 解：1∵修建的斜坡BE 的坡角即∠BEF 不大于45°,∴∠BEF 最大为45°当∠BEF=45°时,EF 最短,此时ED 最长,∵∠DAC=∠BDF=30°,AD=BD=30,∴BF=EF=BD=15,DF=15,故：DE=DF ﹣EF=15﹣1≈；2过点D 作DP⊥AC,垂足为P ．在Rt△DPA中,DP=AD=×30=15,PA=AD•cos30°=×30=15． 在矩形DPGM 中,MG=DP=15,DM=PG=15+27,在Rt△DMH 中,HM=DM•tan30°=×15+27=15+9． GH=HM+MG=15+15+9≈．答：建筑物GH 高为米．A B C DE GH。