2018年秋新课堂高中数学人教A版必修4教师用书 第3章 3.1 3.1.1 两角差的余弦公式

Section ⅣGrammar & Writing虚拟语气(Ⅱ)阅读下列句子，体会黑体部分的用法1．Have you ever wished you could paint as well as a professional artist?2．It is necessary that we (should) learn English well.3．My mom suggests that we (should) eat out for a change this weekend.虚拟语气可以应用于主语从句、宾语从句、表语从句、同位语从句等从句中。

一、用于主语从句中常用虚拟语气(谓语动词用should do，其中should可以省略)的主语从句有以下三个句式：1．It is/was＋important/necessary/essential/impossible/natural/strange/ surprising...＋that从句。

如：It is very important that we(should)master the basic skills of computer.掌握电脑的基本技能是很重要的。

2．It is/was＋a/an rule/shame/honour/surprise...＋that从句。

如：It is a rule that everyone(should)obey the law of the country.条例规定人人都应该遵守国家的法律。

3．It is/was＋uggested/requested/required/demanded/ordered/commanded/ proposed... ＋that从句。

如：It is suggested we(should)start before sunset.建议我们应该日落前出发。

二、用于宾语从句中1．用在wish之后的宾语从句中wish后的宾语从句使用虚拟语气表示不能实现的愿望。

人教A版高中数学必修四全册学案汇编目录第一章三角函数1.1任意角和蝗制1.1.1任意角1.1.2蝗制1.2任意的三角函数1.2.1第1课时任意角的三角函数的定义1.2.1第2课时三角函数线及其应用1.2.2同角三角函数的基本关系1.3三角函数的诱导公式第1课时公式二公式三和公式四第2课时公式五和公式六1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数余弦函数的图象1.4.2第1课时正弦余弦函数的周期性与奇偶性1.4.2第2课时正弦余弦函数的单调性与最值1.4.3正切函数的性质与图象1.5函数y＝Asinωx＋φ的图象1.6三角函数模型的简单应用阶段复习课第1课任意角的三角函数及诱导公式阶段复习课第2课三角函数的图象与性质及其应用第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念2.1.1向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义2.2.2向量减法运算及其几何意义2.2.3向量数乘运算及其几何意义2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算2.3.4平面向量共线的坐标表示2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 2.4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角 2.5平面向量应用举例2.5.1平面几何中的向量方法2.5.2向量在物理中的应用举例阶段复习课第3课平面向量第三章三角恒等变换3.1两角和与差的正弦余弦和正切公式3.1.1两角差的余弦公式3.1.2第1课时两角和与差的正弦余弦公式 3.1.2第2课时两角和与差的正切公式3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式3.2简单的三角恒等变换阶段复习课第4课三角恒等变换1.1.1 任意角学习目标：1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3.掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点)[自主预习·探新知]1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．2．角的表示：如图1­1­1，图1­1­1(1)始边：射线的起始位置OA，(2)终边：射线的终止位置OB，(3)顶点：射线的端点O.这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．3．任意角的分类(1)按旋转方向分(2)按角的终边位置分①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合②分类：[基础自测]1．思考辨析(1)第二象限角大于第一象限角．( )(2)第二象限角是钝角．( )(3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( )(4)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( )[解析](1)错误．如第二象限角100°小于第一象限角361°.(2)错误．如第二象限角－181°不是钝角．(3)(4)都正确．[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转2周，所得角是________．－670°[由题意知，所得角是50°－2×360°＝－670°.]3．已知0°≤α＜360°，且α与600°角终边相同，则α＝________，它是第________象限角．240°三[因为600°＝360°＋240°，所以240°角与600°角终边相同，且0°≤240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．][合作探究·攻重难](1)①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°.②855°.③－510°. 【导学号：84352000】(1)①[(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．](2)作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．[规律方法] 1.判断角的概念问题的关键与技巧：(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可．2．象限角的判定方法：(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．[跟踪训练]1．已知集合A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A ．A ＝B ＝CB ．A ⊆C C ．A ∩C ＝BD ．B ∪C ⊆CD [由已知得B C ，所以B ∪C ＝C ，故D 正确．]2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )【导学号：84352001】A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都是正确的．](1)．(2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．[思路探究] (1)根据－885°与k ·360°，k ∈Z 的关系确定k .(2)先写出与α终边相同的角k ·360°＋α，k ∈Z ，再由已知不等式确定k 的可能取值．(1)(－3)×360°＋195° [(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.](2)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4,5,6. k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.[规律方法] 1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中的β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．提醒：表示终边相同的角，k∈Z这一条件不能少．[跟踪训练]3．下面与－850°12′终边相同的角是( )A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′B[与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.]4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．①790°；②－20°. 【导学号：84352002】[解]①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是70°和－290°，它们都是第一象限的角．②∵－20°＝－360°＋340°，∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和340°，它们都是第四象限的角．[探究问题1．若射线OA的位置是k·360°＋10°，k∈Z，射线OA绕点O逆时针旋转90°经过的区域为D，则终边落在区域D(包括边界)的角的集合应如何表示？提示：终边落在区域D包括边界的角的集合可表示为{α|k·360°＋10°≤α≤k·360°＋100°，k ∈Z}．2．若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？[提示] (1)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .(1)若α是第一象限角，则－α2是( ) A ．第一象限角B ．第一、四象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图1­1­2所示．图1­1­2①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合．②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.[思路探究] (1)由α的范围写出α2的范围→确定α2是第几象限角→ 根据角终边的对称性确定－α2是第几象限角 (2)①观察图形→确定终边落在OA ，OB 位置上的角②由小到大分别标出起始和终止边界对应的角→加上360°的整数倍，得所求集合(1)D [(1)因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋90°，k ∈Z ， 所以α2是第一、三象限角，又因为－α2与α2的终边关于x 轴对称， 所以－α2是第二、四象限角．] (2)①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }；终边落在OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k ·360°≤α≤135°＋k ·360°，k ∈Z }．母题探究：1.若将本例(2)改为如图1­1­3所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合如何表示？图1­1­3[解] 在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k ·360°＋60°≤β＜k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β＜k ·360°＋285°，k ∈Z }＝{β|2k ·180°＋60°≤β＜2k ·180°＋105°，k ∈Z }∪{β|(2k ＋1)·180°＋60°≤β＜(2k ＋1)·180°＋105°，k ∈Z }＝{β|n ·180°＋60°≤β＜n ·180°＋105°，n ∈Z }．故角β的取值集合为{β|n ·180°＋60°≤β＜n ·180°＋105°，n ∈Z }．2．若将本例(2)改为如图1­1­4所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同的角的集合如何表示？图1­1­4[解] 在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k ·360°＋150°≤β≤k ·360°＋225°，k ∈Z }．[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x |α<x <β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2．n α或αn 所在象限的判断方法：(1)用不等式表示出角n α或αn 的范围；(2)用旋转的观点确定角n α或αn 所在象限．例如：k ·120°＜α3＜k ·120°＋30°，k ∈Z .由0°＜α3＜30°，每次逆时针旋转120°可得α3终边的位置．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列说法正确的是( )A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第四象限的角一定是负角C ．60°角与600°角是终边相同的角D ．将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角为60°D [A 错误，90°角既不是第一象限角也不是第二象限角；B 错误，280°角是第四象限角，但它不是负角；C 错误，600°－60°＝540°不是360°的倍数；D 正确，分针转一周为60分钟，转过的角度为－360°，将分针拨慢是逆时针旋转，拨慢10分钟转过的角为360°×16＝60°.]2．下列各个角中与2 017°终边相同的是( )A ．－147°B ．677°C ．317°D ．217°D [因为2 017°＝360°×5＋217°，所以与2 017°终边相同的角是217°.]3．已知角α的终边在如图1­1­5阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________. 【导学图1­1­5{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}[观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}．]4．角α，β的终边关于y轴对称，若α＝30°，则β＝________.150°＋k·360°，k∈Z[∵30°与150°的终边关于y轴对称，∴β的终边与150°角的终边相同．∴β＝150°＋k·360°，k∈Z.]5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：(1)－120°；(2)640°.【导学号：84352005】[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．1.1.2 弧度制学习目标：1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3.了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)[自 主 预 习·探 新 知]1．度量角的两种单位制 (1)角度制：①定义：用度作为单位来度量角的单位制． ②1度的角：周角的1360.(2)弧度制：①定义：以弧度作为单位来度量角的单位制． ②1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角． 2．弧度数的计算思考：比值l r与所取的圆的半径大小是否有关？[提示] 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关． 3．角度制与弧度制的换算4．一些特殊角与弧度数的对应关系设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则(1)弧长公式：l ＝αR .(2)扇形面积公式：S ＝12lR ＝12αR 2.[基础自测]1．思考辨析(1)1弧度的角是周角的1360.( )(2)弧度制是十进制，而角度制是六十进制．( ) (3)1弧度的角大于1度的角．( )[解析] (1)错误，1弧度的角是周角的12π.(2)(3)都正确．[答案] (1)× (2)√ (3)√ 2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252° (2)7π12 [(1)7π5＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180 rad ＝7π12rad.]3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．π3 [由已知得S 扇＝12×π6×22＝π3.] [合 作 探 究·攻 重 难](1)②将－5π12rad 化为角度为________．(2)已知α＝15°，β＝π10，γ＝1，θ＝105°，φ＝7π12，试比较α，β，γ，θ，φ的大小.【导学号：84352012】(1)①5π8rad ②－75° [(1)①因为1°＝π180rad ，所以112°30′＝π180×112.5 rad＝5π8rad.②因为1 rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫180π°，所以－5π12rad ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°.] (2)法一(化为弧度)：α＝15°＝15×π180＝π12，θ＝105°＝105×π180＝7π12.显然π12＜π10＜1＜7π12.故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二(化为角度)：β＝π10＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝7π12×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝105°.显然，15°＜18°＜57.30°＜105°. 故α＜β＜γ＜θ＝φ.[规律方法] 角度制与弧度制互化的关键与方法关键：抓住互化公式π rad ＝180°是关键；方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数； 角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度. [跟踪训练]1．(1)将－157°30′化成弧度为________． (2)将－11π5化为度是________．(1)－78π rad (2)－396° [(1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180 rad ＝－78π rad.(2)－11π5＝－11π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－396°.]2．在[0,4π]中，与72°角终边相同的角有________．(用弧度表示) 25π，125π [因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k ·360°(k ∈Z )． 当k ＝0时，θ＝72°＝25π；当k ＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[0,4π]中与72°终边相同的角有25π，125π.](1)A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π4，5π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋2k π，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z (2)用弧度表示终边落在如图1­1­7所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合.图1­1­7[思路探究] (1)判断角α的终边位置→用弧度制表示角α的集合(2)在[0，2π内找角表示终边落在第一象限阴影内的角→加k πk ∈Z 表示角θ的集合(1)D [(1)因为角α的终边经过点(a ，a )(a ≠0)， 所以角α的终边落在直线y ＝x 上，所以角α的集合是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π4＋k π，k ∈Z .] (2)因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z. [规律方法] 1.弧度制下与角α终边相同的角的表示：在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤： (1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角． 提醒：角度制与弧度制不能混用. [跟踪训练]3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )C [A ，B 中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图1­1­8阴影部分(不包括边界)内的角的集合．图1­1­8[解] 30°＝π6，150°＝5π6.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪π6＋k π＜β＜5π6＋k π，k ∈Z .[1．用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？ 提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．(1)如图1­1­9，以正方形ABCD 中的点A 为圆心，边长AB 为半径作扇形EAB ，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为________．图1­1­9(2)已知扇形OAB 的周长是60 cm ，面积是20 cm 2，求扇形OAB 的圆心角的弧度数． [思路探究] (1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程再解方程求∠EAD 的弧度数．(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．(1)2－π2 [(1)设AB ＝1，∠EAD ＝α，∵S 扇形ADE ＝S 阴影BCD ，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.](2)设扇形的弧长为l ，半径为r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝60，12lr ＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15＋205，l ＝4015＋205或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝15－205，l ＝4015－205，∴扇形的圆心角的弧度数为lr＝43－3205或43＋3205. 母题探究：1.(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10，①12lr ＝4.②由①得l ＝10－2r ，代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20 cm 2”删掉，求扇形OAB 的最大面积及此时弧长AB . [解] 设弧长为l ，半径为r ，由已知l ＋2r ＝60， 所以l ＝60－2r ，|α|＝l r ＝60－2rr，从而S ＝12|α|r 2＝12·60－2r r ·r 2＝－r 2＋30r ＝－(r －15)2＋225，当r ＝15时，S 取最大值为225，这时圆心角α＝l r ＝60－2rr＝2，可得弧长AB ＝αr ＝2×15＝30.[规律方法] 弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr .(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式． (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解． 提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列转化结果错误的是( )A ．60°化成弧度是π3B ．－103π化成度是－600°C ．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15° C [对于A,60°＝60×π180＝π3；对于B ，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.故选C.]2．29π6是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角B [29π6＝4π＋5π6.∵56π是第二象限角，∴29π6是第二象限角．]3．圆的半径为r ，该圆上长为32r 的弧所对的圆心角是( )A.23 rad B.32 rad C.23π D.32π B [由弧度数公式α＝l r ，得α＝32r r ＝32，因此圆弧所对的圆心角是32 rad.]4．若把－570°写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝________. 5π6 [－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.] 5．求半径为π cm ，圆心角为120°的扇形的弧长及面积． [解] 因为r ＝π，α＝120×π180＝2π3，所以l ＝αr ＝2π23 cm ，S ＝12lr ＝π33cm 2.第1课时任意角的三角函数的定义学习目标：1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)3.掌握公式——并会应用．[自主预习·探新知]1．单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．任意角的三角函数的定义(1)条件在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：图1­2­1(2)结论①y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；③yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．(3)总结正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数．3．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域4(1)图示：图1­2­2(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 5．诱导公式一[基础自测]1．思考辨析(1)sin α表示sin 与α的乘积．( )(2)设角α终边上的点P (x ，y )，r ＝|OP |≠0，则sin α＝y r，且y 越大，sin α的值越大．( ) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．( ) (4)终边落在y 轴上的角的正切函数值为0.( )[解析] (1)错误．sin α表示角α的正弦值，是一个“整体”．(2)错误．由任意角的正弦函数的定义知，sin α＝y r.但y 变化时，sin α是定值． (3)正确．(4)错误．终边落在y 轴上的角的正切函数值不存在． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．已知sin α＞0，cos α＜0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角B [由正弦、余弦函数值在各象限内的符号知，角α是第二象限角．] 3．sin 253π＝________.32 [sin 253π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＝sin π3＝32.] 4．角α终边与单位圆相交于点M ⎝⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α＋sin α的值为________．3＋12 [cos α＝x ＝32，sin α＝y ＝12， 故cos α＋sin α＝3＋12.] [合 作 探 究·攻 重 难][探究问题]1．一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x ，y )，它与原点的距离为r ，则sin α，cos α，tan α为何值？提示：sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x.2．sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？提示：sin α，cos α，tan α的值只与α的终边位置有关，不随P 点在终边上的位置的改变而改变．(1)已知角θ的终边上有一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，则sin θ＋tan θ的值为________．(2)已知角α的终边落在直线3x ＋y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [思路探究] (1)依据余弦函数定义列方程求x →依据正弦、正切函数定义求sin θ＋tan θ(2)判断角α的终边位置→分类讨论求sin α，cos α，tan α (1)310＋3010或310－3010 [(1)因为r ＝x 2＋9，cos θ＝x r ，所以1010x ＝xx 2＋9. 又x ≠0，所以x ＝±1，所以r ＝10. 又y ＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．当θ为第一象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝310＋3010.当θ为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，则sin θ＋tan θ＝310－3010.](2)直线3x ＋y ＝0，即y ＝－3x ，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－2＋32＝2，所以sin α＝32，cos α＝－12，tan α＝－3； 在第四象限取直线上的点(1，－3)， 则r ＝12＋－32＝2，所以sin α＝－32，cos α＝12，tan α＝－ 3. 母题探究：1.将本例(2)的条件“3x ＋y ＝0”改为“y ＝2x ”其他条件不变，结果又如何？ [解] 当角的终边在第一象限时，在角的终边上取点P (1,2)，由r ＝|OP |＝12＋22＝5，得sin α＝25＝255，cos α＝15＝55，tan α＝21＝2.当角的终边在第三象限时，在角的终边上取点Q (－1，－2)， 由r ＝|OQ |＝－2＋－2＝5，得：sin α＝－25＝－255，cos α＝－15＝－55，tan α＝－2－1＝2.2．将本例(2)的条件“落在直线3x ＋y ＝0上”改为“过点P (－3a,4a ) (a ≠0)”，求2sin α＋cos α.[解] 因为r ＝－3a2＋a2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35，所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.[规律方法] 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤： (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值． ②在α的终边上任选一点P (x ，y )，P 到原点的距离为r (r >0)．则sin α＝yr ，cos α＝x r.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论.(1)【导学号：84352022】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.[思路探究] (1)先判断tan α，cos α的符号，再判断角α终边在第几象限． (2)先判断已知角分别是第几象限角，再确定各三角函数值的符号，最后判断乘积的符号．(1)C [(1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α终边在第三象限．](2)①∵145°是第二象限角， ∴sin 145°＞0，∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos(－210°)＜0， ∴sin 145°cos(－210°)＜0.②∵π2＜3＜π，π＜4＜3π2，3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.[规律方法] 判断三角函数值在各象限符号的攻略：基础：准确确定三角函数值中各角所在象限； 关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误. 提醒：注意巧用口诀记忆三角函数值在各象限符号. [跟踪训练]1．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是________． －2＜a ≤3 [因为cos α≤0，sin α＞0，所以角α的终边在第二象限或y 轴非负半轴上，因为α终边过(3a －9，a ＋2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，所以－2＜a ≤3.]2．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第________象限角．四 [角α是第三象限角，则角α2是第二、四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，∴角α2是第四象限角．]求值：(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sin 7π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4cos 13π3.[解] (1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30° ＝1－1＋32＝32. (2)原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π3＝sin π3cos π6＋tan π4cos π3＝32×32＋1×12＝54.[规律方法] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤(1)定形：将已知的任意角写成2k π＋α的形式，其中α∈[0,2π)，k ∈Z . (2)转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值． (3)求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值． [跟踪训练] 3．化简下列各式：(1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π. 【导学号：84352023】[解] (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° ＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2.(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＋cos 125π·tan 4π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2π＋π6＋cos 25π·ta n 0＝sin π6＋0＝12.[当 堂 达 标·固 双 基]1．sin(－315°)的值是( ) A ．－22B ．－12C ．22D ．12C [sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝22.] 2．若sin θ·cos θ＞0，则θ在( ) A ．第一或第四象限 B ．第一或第三象限 C ．第一或第二象限D ．第二或第四象限B [因为sin θ·cos θ＞0，所以sin θ＜0，cos θ＜0或sin θ＞0，cos θ＞0所以θ在第三象限或第一象限．]3．已知角α终边过点P (1，－1)，则tan α的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．22D ．－22B [由三角函数定义知tan α＝－11＝－1.]4．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若sin α＝15，则sin β＝________. －15 [设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )， 则角β的终边与单位圆相交于点Q (x ，－y )， 由题意知y ＝sin α＝15，所以sin β＝－y ＝－15.]5．求值：(1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°. (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4. 【导学号：84352024】[解] (1)sin 180°＋cos 90°＋tan 0°＝0＋0＋0＝0. (2)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫－15π4 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋π3＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.第2课时 三角函数线及其应用学习目标：1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点)2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．有向线段(1)定义：带有方向的线段．(2)表示：用大写字母表示，如有向线段OM ，MP . 2．三角函数线(1)作图：①α的终边与单位圆交于P ，过P 作PM 垂直于x 轴，垂足为M . ②过A (1,0)作x 轴的垂线，交α的终边或其反向延长线于点T . (2)图示：图1­2­3(3)结论：有向线段MP 、OM 、AT ，分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线．[基础自测]1．思考辨析(1)角α的正弦线的长度等于sin α.( )(2)当角α的终边在y 轴上时，角α的正切线不存在．( ) (3)余弦线和正切线的始点都是原点．( )[解析] (1)错误．角α的正弦线的长度等于|sin α|. (2)正确．(3)错误．正切线的始点是(1,0)． [答案] (1)× (2)√ (3)× 2．角π7和角8π7有相同的( )A ．正弦线B ．余弦线C ．正切线D ．不能确定C [角π7和角8π7的终边互为反向延长线，所以正切线相同．]3．如图1­2­4，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )图1­2­4A ．正弦线MP ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线MP ，正切线ATC [α为第三象限角，故正弦线为MP ，正切线为AT ，C 正确．][合 作 探 究·攻 重 难](1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.[解] 如图．其中MP 为正弦线，OM 为余弦线，AT 为正切线． [规律方法] 三角函数线的画法作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得正弦线和余弦线.作正切线时，应从A，点引x 轴的垂线，交α的终边α为第一或第四象限角或α终边的反向延长线α为第二或第三象限角于点T ，即可得到正切线AT .[跟踪训练]1．作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线．[解] 如图：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝MP ， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝OM ， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8＝AT .[1．利用三角函数线如何解答形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如sin α≥a ，sin α≤a (|a |≤1) 的不等式：画出如图①所示的单位圆；在y 轴上截取OM ＝a ，过点(0，a )作y 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，并作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式sin α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式sin α≥a 的角α的范围．图①2．利用三角函数线如何解答形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式？ 提示：对形如cos α≥a ，cos α≤a (|a |≤1)的不等式：画出如图②所示的单位圆；在x 轴上截取OM ＝a ，过点(a,0)作x 轴的垂线交单位圆于两点P 和P ′，作射线OP 和OP ′；写出终边在OP 和OP ′上的角的集合；图中阴影部分即为满足不等式cos α≤a 的角α的范围，其余部分即为满足不等式cos α≥a 的角α的范围．图②利用三角函数线确定满足下列条件的角α的取值范围． (1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.。

2.1 平面向量的实际背景及基本概念2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2 向量的几何表示2.1.3 相等向量与共线向量学习目标：1.理解向量的有关概念及向量的几何表示．(重点)2.理解共线向量、相等向量的概念．(难点)3.正确区分向量平行与直线平行．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．向量与数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．向量的几何表示(1)带有方向的线段叫做有向线段．它包含三个要素：起点、方向、长度．(2)向量可以用有向线段表示．向量AB →的大小，也就是向量 AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.向量也可以用字母a ，b ，c ，…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB →，CD →.思考：(1)向量可以比较大小吗？(2)有向线段就是向量吗？[提示] (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(2)有向线段只是表示向量的一个图形工具，它不是向量．3．向量的有关概念零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量向量a，b平行，记作规定：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a＝b[基础自测]1．思考辨析(1)零向量没有方向．()(2)向量AB→的长度和向量BA→的模相等．()(3)单位向量都平行．()(4)零向量与任意向量都平行．()[解析](1)错误．零向量的方向是任意的．(2)正确．(3)错误．单位向量的方向不一定相同或相反，所以不一定平行．(4)正确．[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．有下列物理量：①质量；②温度；③角度；④弹力；⑤风速．其中可以看成是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个B[①②③不是向量，④⑤是向量．]3．如图2-1-1，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是________(填序号)．图2-1-1(1)AD →与BC →；(2)OB →与OD →；(3)AC →与BD →；(4)AO →与OC →.(1)(4) [由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：AD →＝BC →，OB →≠OD →AC →≠BD →，AO →＝OC →.][合 作 探 究·攻 重 难] 向量的有关概念(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a |＝|b |，若a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．[思路探究] 解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要素．[解] (1)不正确．因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小．(2)不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系．(3)正确．因为|a |＝|b |，且a 与b 同向，由两向量相等的条件，可得a ＝b .(4)不正确．依据规定：0与任意向量平行．(5)不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不定．[规律方法] 1.理解零向量和单位向量应注意的问题(1)零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等．(2)单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．2．共线向量与平行向量．(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同；(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．提醒：解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度．[跟踪训练]1．给出下列命题：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .②若单位向量的起点相同，则终点相同．③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB →与CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是________．③ [①错误．若b ＝0，则①不成立；②错误．起点相同的单位向量，终点未必相同；③正确．对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的． ④错误．共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可．并不要求两个向量AB →，CD →必须在同一直线上．] 向量的表示及应用(1)和终点，可以写出________个向量．图2-1-2(2)在如图2-1-3所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：图2-1-3①OA →，使|OA →|＝42，点A 在点O 北偏东45°；②AB →，使|AB →|＝4，点B 在点A 正东；③BC →，使|BC →|＝6，点C 在点B 北偏东30°.【导学号：84352172】(1)12 [(1)可以写出12个向量，分别是：AB →，AC →，AD →，BC →，BD →，CD →，BA →，CA →，DA →，CB →，DB →，DC →(2)①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA →|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA →如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB →|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB →如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC →|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC →如图所示．][规律方法] 1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点．(2)字母表示法：为了便于运算可用字母a ，b ，c 表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB →，CD →，EF →等．2．两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础．(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算．[跟踪训练]2．某人从A 点出发向东走了5米到达B 点，然后改变方向按东北方向走了102米到达C 点，到达C 点后又改变方向向西走了10米到达D 点．(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求AD →的模．[解] (1)作出向量AB →，BC →，CD →，如图所示：(2)由题意得，△BCD 是直角三角形，其中∠BDC ＝90°，BC ＝102米，CD ＝10米，所以BD ＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD ＝90°，AB ＝5米，BD ＝10米，所以AD ＝52＋(10)2＝55(米)，所以|AD →|＝55米.寻找相等向量和共线向量[探究问题]1．两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合？提示：不一定．因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关．2．若AB →∥CD →，则从直线AB 与直线CD 的关系和AB →与CD →的方向关系两个方面考虑有哪些情况？提示：分四种情况(1)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →同向；(2)直线AB 和直线CD 重合，AB →与CD →反向；(3)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →同向；(4)直线AB ∥直线CD ，AB →与CD →反向．如图2-1-4，四边形ABCD 为边长为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取两个交点作为向量的起点和终点，则与AC →平行且长度为22的向量有哪些？(在图中标出相关字母，写出这些向量)【导学号：84352173】图2-1-4[思路探究] 所求向量有以下两个特征：(1)表示此向量的有向线段所在直线与AC 平行或重合．(2)长度是边长为2的正方形的对角线．8 [如图所示，满足与AC →平行且长度为22的向量有AF →，F A →，EC →，CE →，GH →，HG →，IJ →，JI →共8个．]母题探究：1.本例中，与向量AC →同向且长度为22的向量有几个？[解] 与向量AC →同向且长度为22的向量占与向量AC →平行且长度为22的向量中的一半，共4个．2．本例中，如图2-1-5，与向量AO →相等的向量有多少个？图2-1-5[解] 图中每个小正方形的对角线所在的向量中，与向量AO →方向相同的向量与其相等，共有8个．[规律方法] 相等向量与共线向量的探求方法(1)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．(2)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．提醒：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量．[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列结论正确的个数是( )(1)温度含零上和零下温度，所以温度是向量；(2)向量的模是一个正实数；(3)向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量；(4)若|a |>|b |，则a >b .A ．0B ．1C ．2D ．3B [(1)错误．温度是数量不是向量；(2)错误．零向量的模为0.(3)正确．因为零向量与任意向量共线；(4)错误．向量不能比较大小．]2．设O 是正方形ABCD 的中心，则向量AO →，BO →，OC →，OD →是( )A ．相等的向量B ．平行的向量C ．有相同起点的向量D ．模相等的向量D [由正方形的性质知|AO →|＝|BO →|＝|OC →|＝|OD →|.]3．在下列判断中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线.【导学号：84352174】 A ．①②③B ．②③④C ．①②⑤D ．①③⑤D [由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确．显然③⑤正确，④不正确，故选D.]4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________．④⑥ [由向量的相关概念可知④⑥正确．]5．如图2-1-6所示菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O 点，∠DAB ＝60°，分别以A ，B ，C ，D ，O 中的不同两点为始点与终点的向量中，图2-1-6(1)写出与DA →平行的向量；(2)写出与DA →模相等的向量．[解] 由题图可知，(1)与DA →平行的向量有：AD →，BC →，CB →；(2)与DA →模相等的向量有：AD →，BC →，CB →，AB →，BA →，DC →，CD →，BD →，DB →.。

2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一)第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二)第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三)模块综合评价第一章三角函数1.1 任意角和弧度制1.1.1 任意角A级基础巩固一、选择题1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是()A．B＝A∩C B．B∪C＝CC．A C D．A＝B＝C解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α()A．是第三象限角B．是第四象限角C．既是第三象限角，又是第四象限角D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D3．若α是第四象限角，则－α一定在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z.所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，由此可知－α是第一象限角．答案：A4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()A．{α|α＝k·360°，k∈Z}B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°，k∈Z}D．{α|α＝k·90°，k∈Z}解析：终边在坐标轴上的角为90°或90°的倍数角，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．答案：D5．下面说法正确的个数为()(1)第二象限角大于第一象限角；(2)三角形的内角是第一象限角或第二象限角；(3)钝角是第二象限角．A．0 B．1 C．2 D．3解析：第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故(1)错；三角形的内角可能为直角，直角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故(2)错；(3)中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．答案：B二、填空题6．50°角的始边与x轴的非负半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．解析：顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.答案：－1 030°7．若α为锐角，则角－α＋k·360°(k∈Z)是第________象限角．解析：α为锐角，则角α是第一象限角，所以角－α是第四象限角，又因为角－α＋k·360°(k∈Z)与－α的终边相同，所以角－α＋k·360°(k∈Z)是第四象限角．答案：四8．在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．解析：根据终边相同角定义知，与－60°终边相同角可表示为β＝－60°＋k·360°(k∈Z)，当k＝1时β＝300°与－60°终边相同，终边在其反向延长线上且在0°～360°范围内角为120°.答案：120°，300°三、解答题9.如图所示，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．解：题图阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，所以－950°12′不是该集合中的角．10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素．解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，取k＝－2，得β＝－300°，取k＝－1，得β＝－120°，取k＝0，得β＝60°，取k＝1，得β＝240°，取k＝2，得β＝420°，取k＝3，得β＝600°.所以S中适合不等式－360°＜β＜720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.B级能力提升1．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B等于()A．{－36°，54°} B．{－126°，144°}C．{－126°，－36°，54°，144°} D．{－126°，54°}解析：令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.答案：C2．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是________．解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}3．已知角α的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M有几类终边不相同的角？(2)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(3)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．解：(1)集合M的角可以分成四类，即终边分别与－150°，－60°，30°，120°的终边相同的角．(2)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又因为k∈Z，所以k＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，所以集合M中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330，－240°，－150，－60°，30°，120°，210°，300.(3)集合M中的第二象限角与120°角的终边相同，所以β＝120°＋k·360°，k∈Z.第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1.1.2 弧度制A 级 基础巩固一、选择题1．下列说法中，错误的是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A 、B 、C 均正确，D 错误． 答案：D2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143π B ．－143π C.718π D ．－718π解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π. 答案：B3．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203πC.2003π D.4003π 解析：240°＝240180π＝43π，所以弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π.答案：A4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)．取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.答案：A5．一段圆弧的长度等于其圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) A.π2 B.π3 C. 3D. 2解析：设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ， 所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角为α＝l r ＝a22a ＝ 2.答案：D二、填空题6．π12 rad ＝________度，________ rad ＝－300°. 解析：π12＝180°12＝15°；－300°＝－300×π180＝－5π3.答案：15 －5π37．已知扇形的圆心角为60°，半径为3，则扇形的面积是________． 解析：因为60°＝π3 rad则扇形的面积S ＝12×π3×32＝32π.答案：32π8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米； (2)1 rad 的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米． 解析：(1)因为|α|＝1°＝π180，l ＝1，所以r ＝l|α|＝1π180＝180π.(2)因为l ＝1，|α|＝1，所以r ＝l|α|＝1. 答案：(1)180π (2)1三、解答题 9．已知α＝2 000°.(1)把α写成2k π＋β [k ∈Z ，β∈[0，2π)]的形式； (2)求θ，使得θ与α的终边相同，且θ∈(4π，6π)．解：(1)α＝2 000°＝5×360°＋200°＝10π＋109π. (2)θ与α的终边相同，故θ＝2k π＋109π，k ∈Z ， 又θ∈(4π，6π)，所以k ＝2时，θ＝4π＋109π＝46π9.10．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．解：(1)如题图①，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6＜θ＜2k π＋5π12，k ∈Z .(2)如题图②，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同，因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6＜θ＜k π＋π2，k ∈Z .B 级 能力提升1．集合⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.答案：C2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad ，所以经过一小时，时针转过－π6rad.答案：－π63．已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.求α(∠AOB )所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S .解：由⊙O 的半径r ＝10＝AB ，知△AOB 是等边三角形， 所以α＝∠AOB ＝60°＝π3.所以弧长l ＝a ·r ＝π3×10＝10π3，所以S 扇形＝12lr ＝12×10π3×10＝50π3，又S △AOB ＝12·AB ·53＝12×10×53＝5032，所以S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数A 级 基础巩固一、选择题1．已知角α终边经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则cos α等于( )A.12B.32C.33 D ．±12解析：由三角函数定义可知，角α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，故cos α＝32. 答案：B2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP ＜OM ＜0B ．OM ＞0＞MPC ．OM ＜MP ＜0D ．MP ＞0＞OM解析：因为78π是第二象限角，所以sin 78π＞0，cos 78π＜0，所以MP ＞0，OM ＜0， 所以MP ＞0＞OM . 答案：D3．若α＝2π3，则α的终边与单位圆的交点P 的坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32C.⎝⎛⎭⎪⎫－32，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32解析：设P (x ，y )，因为角α＝2π3在第二象限，所以x ＝－12，y ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝32，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案：B4．若三角形的两内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形必为( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．以上三种情况都可能解析：因为sin αcos β＜0，α，β∈(0，π)，所以sin α＞0，cos β＜0，所以β为钝角．答案：B5．函数y ＝11＋sin x的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π2＋2k π，k ∈ZC.{}x |x ≠2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－3π2＋2k π，k ∈Z解析：因为1＋sin x ≠0，所以sin x ≠－1.又sin 3π2＝－1，所以x ≠3π2＋2k π，k ∈Z.答案：A 二、填空题6．(2016·四川卷)sin 750°＝________．解析：sin 750°＝sin(30°＋2×360°)＝sin 30°＝12.答案：127．sin 1 485°的值为________．解析：sin 1 485°＝sin(4×360°＋45°)＝sin 45°＝22.答案：228．已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是MP ，OM ，AT ，则它们从大到小的顺序为____________．解析：作图如下，因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以θ >π4，根据三角函数线的定义可知AT >MP >OM .答案：AT >MP >OM 三、解答题9．求下列各式的值：(1)sin(－1 320°)cos(1 110°)＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－233π＋tan 17π4.解：(1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝32×32＋12×12＝1.(2)原式＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋（－4）×2π＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2×2π＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.10．已知P (－2，y )是角α终边上一点，且sin α＝－55，求cos α与tan α的值．解：因为点P 到原点的距离为r ＝4＋y 2， 所以sin α＝y 4＋y 2＝－55，所以y 2＋4＝5y 2，所以y 2＝1.又易知y <0，所以y ＝－1，所以r ＝5， 所以cos α＝－25＝－255，tan α＝－1－2＝12.B 级 能力提升1．若α是第三象限角，则|sin α|sin α－cos α|cos α|＝( )A ．0B ．1C ．2D ．－2解析：因为α是第三象限角，所以sin α<0，cos α<0， 所以|sin α|sin α－cos α|cos α|＝－1－(－1)＝0. 答案：A2．已知角α的终边过点(－3cos θ，4cos θ)，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos α＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos θ<0， 所以点(－3cos θ，4cos θ)到原点的距离r ＝5|cos θ|＝－5cos θ， 所以cos α＝－3cos θ－5cos θ＝35.答案：353．利用三角函数线，写出满足|cos α|＞|sin α|的角α的集合． 解：如图，作出单位圆．所以角α满足的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪k π－π4＜α＜k π＋π4，k ∈Z .第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.2 同角三角函数的基本关系A 级 基础巩固一、选择题1．化简1－sin 2160°的结果是( ) A ．cos 160° B ．－cos 160° C ．±cos 160° D ．±|cos 160°| 解析：1－sin 2160°＝cos 2160°＝|cos 160°|＝－cos 160°. 答案：B2．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α＝( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析：由sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.答案：B3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．答案：A4．若sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2mm ＋5，则m 的值为( )A ．0B ．8C ．0或8D ．3<m <9解析：由sin 2θ＋cos 2θ＝1得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1，解得m ＝0或8. 答案：C5．已知sin αcos α＝18，且π＜α＜5π4，则cos α－sin α的值为( )A.32B ．－32C.34 D ．－34解析：(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，因为π＜α＜54π，所以cos α＜sin α，所以cos α－sin α＜0， 所以cos α－sin α＝－34＝－32. 答案：B 二、填空题6．在△ABC 中，若cos(A ＋B )>0，sin C ＝13，则tan C 等于________．解析：在△ABC 中，因为cos(A ＋B )>0， 所以0<A ＋B <π2，又C ＝π－(A ＋B )，所以角C 是钝角，所以cos C ＝－ 1－sin 2C ＝－223，所以tan C ＝sin C cos C ＝13－223＝－24.答案：－247．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α， 所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α. 所以tan α＝－2. 答案：－28．已知－π2<x <0，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．解析：由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x ·cos x ＝4925，又因为－π2<x <0，所以sin x <0，cos x >0，sin x －cos x <0，所以sin x －cos x ＝－75.答案：－75三、解答题9．已知tan α＝23，求下列各式的值；(1)1sin αcos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2α.解：(1)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136.(2)sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2 a ＝ sin 2α－2sin αcos α＋4cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－2tan α＋4tan 2α＋1＝49－43＋449＋1＝2813.10．化简：tan α·1sin2α－1(α是第二象限角)． 解：tan α·1sin2α－1＝tan α·1－sin2αsin2α＝tan α·cos2αsin2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos αsin α. 因为α为第二象限角， 所以sin α＞0，cos α＜0， 所以原式＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.B 级 能力提升1．已知α是锐角，且tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根，则sin α＝( ) A.45 B.35 C.25 D.15解析：因为方程4x 2＋x －3＝0的根为x ＝34或x ＝－1，又因为tan α是方程4x 2＋x －3＝0的根且α为锐角， 所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1， 所以sin 2α＋169sin 2α＝1， 所以sin 2α＝925(α为锐角)，所以sin α＝35.答案：B 2．使1－cos α1＋cos α＝cos α－1sin α成立的α的范围是__________．解析：1－cos α1＋cos α＝（1－cos α）2sin 2α＝1－cos α|sin α|＝cos α－1sin α，所以sin α<0，故2k π－π<α<2k π，k ∈Z. 答案：{α|2k π－π<α<2k π，k ∈Z}3．求证：sin α(1＋tan α)＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α. 证明：左边＝sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin αcos α＋cos α·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos αsin α ＝sin α＋sin2αcos α＋cos α＋cos2αsin α＝sin2α＋cos2αsin α＋sin2α＋cos2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第1课时 诱导公式二、三、四A 级 基础巩固一、选择题1．sin 7π6的值是( )A ．－12B ．－2C ．2 D.12解析：sin 7π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－sin π6＝－12.答案：A2．sin 600°＋tan(－300°)的值是( ) A ．－32 B.32 C ．－12＋ 3 D.12＋ 3 解析：原式＝sin(360°＋240°)＋tan(－360°＋60°)＝－sin 60°＋tan 60°＝32. 答案：B3．已知sin(π＋α)＝35，α为第三象限角，则cos(π－α)＝( )A.35 B ．－35 C.45 D ．－45解析：因为sin (π＋α)＝35，所以sin α＝－35.因为α为第三象限角，所以cos α＝－45.所以cos (π－α)＝－cos α＝45.答案：C4．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，若f (2 017)＝5，则f (2 018)等于( )A ．4B ．3C ．－5D ．5解析：因为f (2 017)＝a sin (2 017π＋α)＋b cos (2 017π＋β)＝－a sin α－b cos β＝5，所以f (2 018)＝a sin (2 018π＋α)＋b cos (2 018π＋β)＝a sin α＋b cos β＝－5.答案：C5．设tan(5π＋α)＝m ，则sin （α＋3π）＋cos （π＋α）sin （－α）－cos （π＋α）的值等于( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1 C ．－1D ．1解析：因为tan(5π＋α)＝tan[4π＋(π＋α)]＝ tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝m ；所以原式＝sin （π＋α）－cos α－sin α＋cos α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1. 答案：A 二、填空题6．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝________．解析：因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋α＝－13.答案：－137．已知sin(π＋α)＝45，且α是第四象限角，则cos(α－2π)＝________．解析：由sin(π＋α)＝－sin α，得sin α＝－45.故cos(α－2π)＝cos α＝1－sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝35.答案：358．化简sin 2(π＋α)－cos(π＋α)cos(－α)＋1的值是________． 解析：原式＝(－sin α)2－(－cos α)·cos α＋1＝ sin 2α＋cos 2α＋1＝2. 答案：2 三、解答题9．计算下列各式的值：(1)cos π5＋cos 2π5＋cos 3π5＋cos 4π5；(2)sin 420°cos 330°＋sin(－690°)cos(－660°)．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5＋cos 4π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5＋cos3π5＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π5＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 2π5＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－2π5＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π5－cos π5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π5－cos2π5＝0. (2)原式＝sin(360°＋60°)cos(360°－30°)＋sin(－2×360°＋30°)·cos(－2×360°＋60°)＝sin 60°cos 30°＋sin 30°cos 60°＝ 32×32＋12×12＝1. 10．已知sin(α＋π)＝45，且sin αcos α<0，求2sin （α－π）＋3tan （3π－α）4cos （α－3π）的值．解：因为sin(α＋π)＝45，所以sin α＝－45，又因为sin αcos α<0， 所以cos α>0，cos α＝ 1－sin 2α＝35，所以tan α＝－43.所以原式＝－2sin α－3tan α－4cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－434×35＝－73.B 级 能力提升1．下列三角函数：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋4π3；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6；③sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3，上述中的n ∈Z.其中与sin π3的值相同的是( )A ．①②B ．①③④C ．②③⑤D ．①③⑤解析：①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π＋43π＝⎩⎨⎧sin π3（n 为奇数），－sin π3（n 为偶数）；②cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n π＋π6＝cos π6＝sin π3；③sin ⎝⎛⎭⎪⎫2n π＋π3＝sin π3；④cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π6＝cos 5π6＝－sin π3；⑤sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（2n ＋1）π－π3＝sin π3.答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx （x <0），f （x －1）－1（x >0），则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝________．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π＝sin π6＝12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16－2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6－2＝－52， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－116＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝12－52＝－2. 答案：－23．已知α是第二象限角，且tan α＝－2. (1)求cos 4α－sin 4α的值；(2)设角k π＋α(k ∈Z)的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于点P ，求点P 的坐标． 解：(1)原式＝(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－（－2）21＋（－2）2＝－35.(2)由tan α＝－2得sin α＝－2cos α， 代入sin 2α＋cos 2α＝1得cos 2α＝15，因为α是第二象限，所以cos α<0， 所以cos α＝－55，sin α＝tan αcos α＝255. 当k 为偶数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos α＝－55，y ＝sin （k π＋α）＝sin α＝255，即P ⎝⎛⎭⎪⎫－55，255. 当k 为奇数时，P 的坐标⎩⎨⎧x ＝cos （k π＋α）＝cos （π＋α）＝－cos α＝55，y ＝sin （k π＋α）＝sin （π＋α）＝－sin α＝－255， 即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255. 综上，点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－55，255或⎝ ⎛⎭⎪⎫55，－255.第一章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 诱导公式五、六A 级 基础巩固一、选择题1．sin 95°＋cos 175°的值为( ) A ．sin 5° B ．cos 5° C ．0D ．2sin 5°解析：原式＝cos 5°－cos 5°＝0. 答案：C2．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ<0，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ>0，则θ是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由于sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＝cos θ<0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ>0.所以角θ的终边落在第二象限．答案：B3．如果角θ的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，那么sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B.43C.34D ．－34解析：易知sin θ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43.答案：B4．若角A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则下列等式中一定成立的是( ) A ．cos(A ＋B )＝cos C B ．sin(A ＋B )＝－sin C C ．cos A ＋C2＝sin BD ．sin B ＋C 2＝cos A2解析：因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋B ＝π－C ，A ＋C 2＝π－B 2，B ＋C 2＝π－A2，所以cos(A ＋B )＝cos (π－C )＝－cos C ， sin(A ＋B )＝sin (π－C )＝sin C ，cos A ＋C 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＝sin B2，sin B ＋C 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2.答案：D5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．－13C.13D.223解析：因为π6－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝13答案：C 二、填空题6．若cos α＝15，且α是第四象限角，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________．解析：因为cos α＝15，且α是第四象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫152＝－265.所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－sin α＝265.答案：2657．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝________． 解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝1010，所以cos α＝1010.又因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－1010.答案：－10108．sin 21°＋sin 22°＋sin 245°＋sin 288°＋sin 289°＝________．解析：原式＝(sin 21°＋sin 289°)＋(sin 22°＋sin 288°)＋sin 245°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1＋1＋12＝52.答案：52三、解答题9．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）＋sin （π－α）cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin （π＋α）.解：因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos α，cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，cos (π＋α)＝－cos α，sin (π－α)＝sin α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α，sin (π＋α)＝－sin α， 所以原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α·（－sin α）－sin α＝－sin α＋sin α＝0.10．已知cos α＝－45，且α为第三象限角．(1)求sin α的值；(2)求f (α)＝tan （π－α）·sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos （π＋α）的值．解：(1)因为cos α＝－45，且α为第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－452＝－35.(2)f (α)＝－tan α·sin α·cos α－cos α＝tan αsin α＝sin αcos α·sin α＝－35－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－920. B 级 能力提升1．已知f (x )＝sin x ，下列式子成立的是( ) A ．f (x ＋π)＝sin xB ．f (2π－x )＝sin xC ．f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos xD ．f (π－x )＝－f (x )解析：f (x ＋π)＝sin(x ＋π)＝－sin x ；f (2π－x )＝sin(2π－x )＝sin(－x )＝－sin x ；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－cos x ；f (π－x )＝sin(π－x )＝sin x ＝f (x )．答案：C2．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13，且－π<α<－π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝ ________．解析：因为－π<α<－π2，所以－7π12<5π12＋α<－π12.又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝13>0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223， 由⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝π2， 得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋α＝－223.答案：－2233．设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a .求证：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫157π＋α＋3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－137πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫207π－α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋227π＝a ＋3a ＋1.证明：左边＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫87π＋α＋3cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3πsin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4π－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋ 87π－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＋3tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋87π＋1.将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋87π＝a 代入得，左边＝a ＋3a ＋1＝右边，所以等式成立．第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象A 级 基础巩固一、选择题1．点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，－m 在函数y ＝sin x 的图象上，则m 等于( ) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 解析：由题意－m ＝sin π2，所以－m ＝1，所以m ＝－1.答案：C2．在同一坐标系中函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与y ＝sin x ，x ∈[2π，4π]的图象( ) A ．重合B ．形状相同，位置不同C ．形状不同，位置相同D ．形状不同，位置不同 解析：解析式相同，定义域不同． 答案：B3．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2的简图是( )解析：可以用特殊点来验证：x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除A 、C.当x ＝3π2时，y＝－sin 3π2＝1，排除B.答案：D4．函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象与直线y ＝2交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：由函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0，2π]的图象(如图所示)，可知其与直线y ＝2只有1个交点．答案：B5．不等式cos x ＜0，x ∈[0，2π]的解集为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π 解析：由y ＝cos x 的图象知，在[0，2π]内使cos x ＜0的x 的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2.答案：A 二、填空题6．用“五点法”画出y ＝2sin x 在[0，2π]内的图象时，应取的五个点为________________．解析：可结合函数y ＝sin x 的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可．答案：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－2，(2π，0) 7．若sin x ＝2m ＋1且x ∈R ，则m 的取值范围是________． 解析：因为－1≤sin x ≤1，sin x ＝2m ＋1， 所以－1≤2m ＋1≤1，解得－1≤m ≤0. 答案：[－1，0] 8．函数y ＝log 12sin x 的定义域是______________． 解析：由log 12sin x ≥0知0<sin x ≤1，由正弦函数图象知2k π<x <2k π＋π，k ∈Z.答案：{x |2k π<x <2k π＋π，k ∈Z} 三、解答题9．用“五点法”作函数y ＝－2cos x ＋3(0≤x ≤2π)的简图． 解：列表：10．判断方程sin x ＝x10的根的个数．解：当x ＝3π时，y ＝x 10＝3π10<1；。