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第三章 直线与方程
1、直线倾斜角的概念：当直线l 与x 轴相交时, 取x 轴作为基准, x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.特别地,当直线l 与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°.
2、 倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°.
3、直线的斜率:⑴一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,常用小写字母k 表示,也就是 k = tan α。
①当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.
当[)
90,0∈α时，0≥k ，k 随着α的增大而增大； 当() 180,90∈α时，0 而增大； 当 90=α时，k 不存在。 由此可知, 一条直线l 的倾斜角α一定存在,但是斜率k 不一定存在. ⑵过两点),(),(222111y x P y x P 、的直线的斜率公式：)(211 21 2x x x x y y k ≠--= 注意下面四点： (1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与21P P 、的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率，再求倾斜角。 ※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的连线都有斜率且都相等，那么这三点共线；反之，三点共线，任意两点连线的斜率不一定相等。解决此类问题要先考虑斜率是否存在。 4、直线方程（注意各种直线方程之间的转化） ①直线的点斜式方程：)(00x x k y y -=-，k 为直线的斜率，且过点()00,y x ，适用条件是不垂直x 轴。 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是0y y =。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的 横坐标都等于x 0，所以它的方程是x =x 0。 ②斜截式：b kx y +=， k 为直线的斜率，直线在y 轴上的截距为b ③两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x ④截矩式：1x y a b +=，其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。 ⑤一般式： 0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：①在平时解题或高考解题时，所求出的直线方程，一般要求写成斜截式或一般式。 ②各式的适用范围 ③特殊的方程如： 平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）；平行于y 轴的直线：a x =（a 为常数）； 5、直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （1）平行直线系 平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数），所以平行于已知直线0000=++C y B x A 的直线方程可设：000,0C C C y B x A ≠=++ 垂直于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线方程可设： 000=+-C y A x B （C 为常数） （2）过定点的直线系 ①斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； ②过两条直线0: 1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为 ()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。 6、两直线平行与垂直 （1）当111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时， 212121,//b b k k l l ≠=⇔；12121-=⇔⊥k k l l 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （2）当0: 1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 时， 0B 0//1221122121≠-=-⇔C B C B A B A l l 且；0212121=+⇔⊥B B A A l l 例：设直线1l 经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线2l 经过点C(1，m)、D(—1，m+1)， 当(1) 1l / /2l (2) 1l ⊥2l 时，分别求出m 的值 7、两条直线的交点 当0:1111=++C y B x A l 0:2222=++C y B x A l 相交时， 交点坐标是方程组⎩⎨ ⎧=++=++0 222111C y B x A C y B x A 的一组解。 方程组无解21//l l ⇔；方程组有无数解⇔1l 与2l 重合。 8. 中点坐标公式：已知两点P 1 (x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则线段的中点M 坐标为(221x x +，2 2 1y y +)例：已知点A(7，—4)、B(—5,6),求线段AB 的垂直平分线的方程。 9、两点间距离公式：设1122(,),A x y B x y ，（）是平面直角坐标系中的两个点，则 22 2121||()()AB x x y y =-+- 10、点到直线距离公式：一点()00,y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为2 2 00B A C By Ax d +++= 11、两平行直线距离公式（1）两平行直线距离转化为点到直线的距离进行求解，即：先在任一直线上任取一点，再利用点到直线的距离进行求解。 （2）两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为l 1：A x +B y +C 1=0，l 2：A x +B y +C 2=0，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 一、选择题 1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0 B ．等于π C ．等于2 π D ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ． 3 π B ． 3 2π C ． 4 π D ． 4 3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )． A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 7．过两直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0 D ．3x ＋19y ＝0 8．直线l 1：x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值 是( )． A ．3 B ．－3 C ．1 D ．－1 9．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a ＞0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l'， 此时直线l' 与l 重合，则直线l' 的斜率为( )． A ． 1 ＋a a B ．1 ＋－ a a C ． a a 1 ＋ D ．a a 1 ＋－ 10．点(4，0)关于直线5x ＋4y ＋21＝0的对称点是( )． A ．(－6，8) B ．(－8，－6) C ．(6，8) D ．(－6，－8) 二、填空题 11．已知直线l 1的倾斜角 α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率k 2的值为 ． 12．若三点A (－2，3)，B (3，－2)，C ( 2 1 ，m )共线，则m 的值为 ． (第2题)
