人教版高中数学必修4章末检测 第三章 三角恒等变换

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．cos75°cos15°－sin435°sin15°的值是( ) A ．0 B ．12C ．32D ．－12[答案] A[解析] cos75°cos15°－sin435°sin15° ＝cos75°cos15°－sin(360°＋75°)sin15° ＝cos75cos15°－sin75°sin15° ＝cos(75°＋15°)＝cos90°＝0.2．在△ABC 中，若sin A sin B <cos A cos B ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] D[解析] ∵sin A sin B <cos A cos B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0， ∴cos(A ＋B )>0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为锐角， ∴C 为钝角．3．下列结论中，错误的是( )A ．存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βB ．不存在无穷多个α和β的值，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin βC ．对于任意的α和β，有cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin βD ．不存在这样的α和β的值，使得cos(α＋β)≠cos αcos β－sin αsin β [答案] B[解析] 当α、β的终边都落在x 轴的正半轴上或都落在x 轴的负半轴上时，cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β成立，故选项B 是错误的．4．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A sin B ，y ＝cos A cos B ，则x 、y 的大小关系是( )A ．x ≥yB ．x ≤yC ．x >yD ．x <y[答案] C[解析] y －x ＝cos(A ＋B )，在锐角三角形中π2<A ＋B <π，y －x <0，即x >y .5．化简sin(x ＋y )sin(x －y )＋cos(x ＋y )cos(x －y )的结果是( ) A ．sin2x B ．cos2y C ．－cos2x D ．－cos2y [答案] B[解析] 原式＝cos[(x ＋y )－(x －y )]＝cos2y .6．△ABC 中，cos A ＝35，且cos B ＝513，则cos C 等于( )A ．－3365B ．3365C ．－6365D ．6365[答案] B[解析] 由cos A >0，cos B >0知A 、B 都是锐角， ∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，sin B ＝1－⎝⎛⎭⎫5132＝1213，∴cos C ＝－cos(A ＋B )＝－(cos A cos B －sin A sin B ) ＝－⎝⎛⎭⎫35×513－45×1213＝3365. 二、填空题7．若cos α＝15，α∈(0，π2)，则cos(α＋π3)＝________.[答案]1－6210[解析] ∵cos α＝15，α∈(0，π2)，∴sin α＝265.∴cos(α＋π3)＝cos αcos π3－sin αsin π3＝15×12－265×32＝1－6210.8．已知cos(π3－α)＝18，则cos α＋3sin α的值为________．[答案] 14[解析] cos(π3－α)＝cos π3cos α＋sin π3sin α＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝18， ∴cos α＋3sin α＝14.三、解答题 9．已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈(0，π2)． 求：cos(2α－β)的值． [解析] ∵α、β∈(0，π2)，∴α－β∈(－π2，π2)，∴sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝31010，∴cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝55×31010－255×1010＝210. 10. 已知sin α＋sin β＝310，cos α＋cos β＝9110，求cos(α－β)的值．[解析] 将sin α＋sin β＝310，两边平方得，sin 2α＋2sin αsin β＋sin 2β＝9100①，将cos α＋cos β＝9110两边平方得，cos 2α＋2cos αcos β＋cos 2β＝91100②，①＋②得2＋2cos(α－β)＝1， ∴cos(α－β)＝－12.一、选择题 1.cos47°＋sin17°sin30°cos17°的值为( )A ．－32B ．－12C ．12D ．32[答案] D [解析]cos47°＋sin17°sin30°cos17°＝cos (30°＋17°)＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°cos17°－sin30°sin17°＋sin17°sin30°cos17°＝cos30°＝32. 2．在△ABC 中，若tan A ·tan B >1，则△ABC 一定是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．钝角三角形[答案] C[解析] ∵sin A ·sin B >cos A ·cos B ， ∴cos A ·cos B －sin A ·sin B <0， 即cos(A ＋B )<0，∵A 、B 、C 为三角形的内角， ∴A ＋B 为钝角，∴C 为锐角． 又∵tan A ·tan B >1， ∴tan A >0，tan B >0，∴A 、B 均为锐角，故△ABC 为锐角三角形．3．在锐角△ABC 中，设x ＝sin A ·sin B ，y ＝cos A ·cos B ，则x 、y 的大小关系为( )A ．x ≤yB ．x >yC ．x <yD ．x ≥y[答案] B[解析] y －x ＝cos A cos B －sin A sin B ＝cos(A ＋B )， ∵△ABC 为锐角三角形， ∴C 为锐角，∵A ＋B ＝π－C ， ∴A ＋B 为钝角， ∴cos(A ＋B )<0，∴y <x .4．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32] [答案] B[解析] f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)＝sin x －cos x cos π6＋sin x sin π6＝32sin x －32cos x ＝3(32sin x －12cos x ) ＝3sin(x －π6)∈[－3，3]．二、填空题 5．形如⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 的式子叫做行列式，其运算法则为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，则行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3 cos π6的值是________． [答案] 0[解析] ⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3 sin π6sin π3cos π6＝cos π3cos π6－sin π3sin π6＝cos(π3＋π6)＝cos π2＝0.6．已知cos(α＋β)＝13，cos(α－β)＝15，则tan α·tan β＝________.[答案] －14[解析] ∵cos(α＋β)＝13，∴cos αcos β－sin αsin β＝13，①∵cos(α－β)＝15，∴cos αcos β＋sin αsin β＝15，②由①②得⎩⎨⎧sin αsin β＝－115cos αcos β＝415，∴tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝－14.三、解答题7．已知cos(α－30°)＝1517，30°<α<90°，求cos α的值．[解析] ∵30°<α<90°， ∴0°<α－30°<60°. ∵cos(α－30°)＝1517，∴sin(α－30°)＝1－cos 2(α－30°)＝817，∴cos α＝cos[(α－30°)＋30°]＝cos(α－30°)cos30°－sin(α－30°)sin30°＝1517×32－817×12＝153－834.8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若向量a 与b 的夹角为60°，求cos(α－β)的值．[解析] ∵a·b ＝6cos αcos β＋6sin αsin β＝6cos(α－β)， ∴|a |＝2，|b |＝3， 又∵a 与b 的夹角为60°，∴cos60°＝a·b |a|·|b|＝6cos (α－β)2×3＝cos(α－β)，∴cos(α－β)＝12.9. 已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α、β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617，求cos(α＋β)的值．[解析] (1)∵T ＝10π＝2πω，∴ω＝15.(2)由(1)得f (x )＝2cos(15x ＋π6)，∵－65＝f (5α＋5π3)＝2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝2cos(α＋π2)＝－2sin α，∴sin α＝35，cos α＝45.∵1617＝f (5β－5π6)＝2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝2cos β， ∴cos β＝817，sin β＝1517.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

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第三章三角恒等变换(B）(时间:120分钟满分：150分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于（)A．0 B。

错误! C.错误! D．12．若函数f（x)＝sin2x－错误!(x∈R），则f（x）是( )A．最小正周期为错误!的奇函数B．最小正周期为π的奇函数C．最小正周期为2π的偶函数D．最小正周期为π的偶函数3．已知α∈(错误!，π)，sin α＝错误!，则tan(α＋错误!)等于( ）A.错误! B．7 C．－错误! D．－74．函数f（x）＝sin x－错误!cos x(x∈[－π,0]）的单调递增区间是（)A．[－π，－5π6] B．［－错误!，－错误!］C．[－错误!，0］ D．[－错误!，0］5．化简：错误!的结果为（)A．1 B。

错误! C。

错误! D．tan θ6．若f（sin x)＝3－cos 2x，则f（cos x)等于（)A．3－cos 2x B．3－sin 2xC．3＋cos 2x D．3＋sin 2x7．若函数f(x)＝sin(x＋错误!)＋a sin(x－错误!)的一条对称轴方程为x＝错误!，则a等于( ）A．1 B。

第三章三角恒等变换综合检测题本试卷分第I 卷选择题和第U 卷非选择题两部分，满分150分，时间120 分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的 ）n 3 41 .已知 0v av 2v 3<n 又 sin a= 5, cos （a+ ®= — 5,贝V sin （）B . 0 或 2424 C.25 24 D . ±25 ［答案］Cn 3 4［解析］•/ 0v av 2 v 3v n 且 sin a= 5, COS ( a+ 3 = — 54 n3 3• cos a= 5 , 2< a+ 3v ㊁ n, • sin( a+ 3 = ±5,=sin( a+ 3cos a — cos( a+ 3)sin a才< 3v n ••• sin 3> 0•故排除 A , B , D.4 3 4⑵由 cos( a+ 3)= — 5及 Sin a= 3可得 sin 3= §(1 + cos 3)代入 sin 2 3+ cos 2 3= 1 中可解得 cos37 n=—1或一25,再结合2<仟n 可求sin 32.若sin Bv 0, cos2 0v 0，则在（0,2 内）B 的取值范围是（）3 n3=0.sin3=- 5x 4-又氏才，n j, • sin 3> 0，故 sin 3= 24当 sin( a+ 3 =,sin 3= sin ［( a+ a［点评］（1）可用排除法求解，T=器53 245 = 25；A . n< 0< 25 nB.5T <e< ¥3 nC.y <e< 2 nD.严< 0<孕4 4［答案］B［解析］2 2 2•/ cos2 e< 0, • 1 —2sin < 0，即sin e>2或sin < —"2，又已知sin < 0, •— 1 < sin e<—亠2,2由正弦曲线得满足条件的e取值为54n<e< ¥3. 函数y= sin2x+ cos2x的图象，可由函数y= sin2x —cos2x的图象（）A .向左平移f个单位得到B .向右平移f个单位得到8c.向左平移n个单位得到4D .向右平移4个单位得到［答案］C［解析］y= sin2x+ cos2x= , 2sin（2x+J=2si n2(x +》_ n _ ny= sin2x—cos2x= 2sin(2x—4)= . 2sin2(x—§)n n n其中x+8=(x+ 4)—8n•••将y= sin2x—cos2x的图象向左平移：个单位可得y= sin2x+ cos2x的图象.44. 下列各式中，值为~2的是()A . 2sin 15 cos15 °2 2B. cos 15。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin 2π12－cos 2π12的值为( ) A ．－12B.12 C ．－32D.32解析： 原式＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32.答案： C 2．若sin ⎝⎛⎭⎫π6－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α等于( ) A ．－79B ．－13C.13D.79解析： cos ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋2α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝－79.答案： A3．已知sin α＝35且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，那么sin 2αcos 2α的值等于( )A ．－34B.34 C ．－32D.32解析： ∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34.∴sin 2αcos 2α＝2sin αcos αcos 2α＝2tan α＝－32.答案： C4．函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C ．2πD ．4π解析： f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故T ＝2π2＝π.答案： B5．若tan α＝3，tan β＝43，则tan (α－β)等于( )A ．－3B ．－13C ．3D.13 解析： tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13.答案： D6．已知点P (cos α，sin α)，Q (cos β，sin β)，则|PQ →|的最大值是( ) A. 2 B ．2 C ．4D.22解析： PQ →＝(cos β－cos α，sin β－sin α)，则|PQ →|＝（cos β－cos α）2＋（sin β－sin α）2 ＝2－2cos （α－β），故|PQ →|的最大值为2.答案： B7．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝2cos 2πx －1 B ．y ＝sin 2πx ＋cos 2πx C ．y ＝tanπx 2＋1 D ．y ＝sin πx cos πx解析： 对于A ，y ＝2cos 2πx －1＝cos 2πx 是偶函数；对于B ，y ＝sin 2πx ＋cos 2πx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πx ＋π4是非奇非偶函数；对于C ，y ＝tan πx2＋1是非奇非偶函数；对于D ，y ＝sin πx cos πx ＝12sin 2πx 是奇函数．故选D.答案： D8．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A.22B.32C. 2D ．2解析： ∵A ＋B ＋C ＝π，∴原式＝3sin A －cos (π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30°) ＝2sin(15°＋30°)＝2sin 45°＝ 2. 答案： C9．已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，设f (B )＝4sin B ·cos 2⎝⎛⎭⎫π4－B2＋cos 2B ，若f (B )－m ＜2恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．m ＜1B ．m ＞－3C ．m ＜3D ．m ＞1解析： f (B )＝4sin B cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－B 2＋cos 2B＝4sin B 1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B 2＋cos 2B＝2sin B (1＋sin B )＋(1－2sin 2B ) ＝2sin B ＋1.∵f (B )－m ＜2恒成立，即m ＞2sin B －1恒成立． ∵0＜B ＜π，∴0＜sin B ≤1. ∴－1＜2sin B －1≤1，故m ＞1. 答案： D10．函数y ＝cos 2x ＋2a sin x 在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π上的最大值为2，则实数a 的值为( )A ．1或－54B ．－54C.54D ．1或54解析： 因为y ＝cos 2x ＋2a sin x ＝1－sin 2x ＋2a sin x ＝－(sin x －a )2＋a 2＋1. 令t ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6≤x ≤π，故t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，f (t )＝y ＝－(t －a )2＋a 2＋1⎝⎛⎭⎫t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 当a ≤－12时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，1单调递减，所以[f (t )]max ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－⎝⎛⎭⎫－12－a 2＋a 2＋1＝34－a ＝2，此时a ＝－54＜－12，符合要求；当－12＜a ＜1时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，a 单调递增，在[a ，1]单调递减，故[f (t )]max ＝f (a )＝a 2＋1＝2，解得a ＝±1∉⎝⎛⎭⎫－12，1舍去；当a ≥1时，f (t )在⎣⎡⎦⎤－12，1单调递增，所以[f (t )]max ＝f (1)＝－(1－a )2＋a 2＋1＝2a ＝2，解得a ＝1∈[1，＋∞)，符合要求．综上可知，a ＝1或a ＝－54，故选A.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．设向量a ＝⎝⎛⎭⎫32，sin θ，b ＝⎝⎛⎭⎫cos θ，13，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，若a ∥b ，则θ＝________． 解析： 若a ∥b ，则sin θcos θ＝12，即2sin θcos θ＝1，∴sin 2θ＝1，又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴θ＝π4.答案：π412．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________．解析： 由tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22，∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2 α2sin αcos α＝tan α＝22.答案：2213．tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°＝________．解析： ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝tan 10°＋tan 50°1－tan 10°tan 50°，∴tan 60°(1－tan 10°tan 50°)＝tan 10°＋tan 50°， 即3－3tan 10°tan 50°＝tan 10°＋tan 50°， ∴3＝tan 10°＋tan 50°＋3tan 10°tan 50°. 答案：314．已知sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝33，则sin ⎝⎛⎭⎫5π6－x ＋sin 2⎝⎛⎭⎫π3－x ＝________．解析： sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝⎛⎭⎪⎫5π6－x ＋cos 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝33＋1－13＝2＋33. 答案：2＋33三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.解析： 方法一 原式＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝2cos 2α－12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2α－1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1.方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α（sin α＋cos α）2＝cos 2α（cos α－sin α）（cos α＋sin α）＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝cos 2αcos 2α＝1.16．(本小题满分12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－277，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝12且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cosα＋β2；(2)tan(α＋β)．解析： (1)∵π2＜α＜π，0＜β＜π2，∴π4＜α－β2＜π，－π4＜α2－β＜π2. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝217. cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝32. ∴cosα＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－277×32＋217×12＝－2114. (2)∵π4＜α＋β2＜3π4，∴sinα＋β2＝ 1－cos 2α＋β2＝5714.∴tanα＋β2＝sinα＋β2cosα＋β2＝－533.∴tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝5311. 17．(本小题满分12分)设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.(1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解析： (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ， |b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1， 及|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，从而sin x ＝12，所以x ＝π6.(2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x ∈[0，π]， ∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，当x ＝π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6取f (x )的最大值为1.所以f (x )的最大值为32.18．(本小题满分14分)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π，3π2上的最大值和最小值．解析： (1)f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx ＝32－3·1－cos 2ωx 2－12sin 2ωx ＝32cos 2ωx －12sin 2ωx ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.∵图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又∵ω＞0，∴2π2ω＝4×π4，∴ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3.故－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 故－1≤f (x )≤32. 故f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [基础训练A 组] 一、选择题1．已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则=x 2tan （ ） A ．247 B ．247- C ．724 D ．724-2．函数3sin 4cos 5y x x =++的最小正周期是（ ）A.5π B.2πC.πD.2π 3．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定 4．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，62c =， 则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b << 5．函数2sin(2)cos[2()]y x x ππ=-+是（ ）A.周期为4π的奇函数 B.周期为4π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数6．已知2cos 23θ=，则44sin cos θθ+的值为（ ） A ．1813 B ．1811 C ．97D ．1- 二、填空题1．求值：0tan 20tan 403tan 20tan 40++=_____________。

2．若1tan 2008,1tan αα+=-则1tan 2cos 2αα+= 。

3．函数f x x x x ()cos sin cos =-223的最小正周期是___________。

4．已知23sincos,223θθ+=那么sin θ的值为 ,cos2θ的值为 。

5．ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，当A 为 时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，且这个最大值为 。

三、解答题1．已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.2．若,22sin sin =+βα求βαcos cos +的取值范围。

阶段质量评估(三) 三角恒等变换本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟． 第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.tan 51°＋tan 9°1－tan 51°tan 9°等于( )A ．tan 42° B.33C. 3D ．－ 3解析：原式＝tan(51°＋9°)＝tan 60°＝ 3. 答案：C2．若sin αsin β＝1，则cos(α－β)的值为( ) A ．0 B ．1 C ．±1D ．－1解析：由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.答案：B3．下列各式中，值为－34的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．cos 215°－sin 215° C ．2sin 215°－1D.12－cos 215° 解析：用二倍角公式求解可知，只有D 的结果为－34. 答案：D4．若tan α＝－12，tan(α－β)＝－25，则tan β的值为( )A.18 B ．－18C ．－112D.112解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan α－β1＋tan αtan α－β＝－112.答案：C5．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，那么|a －b |等于( )A.12B.22C.32D ．1解析：|a －b |＝2－2cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝2－2cos 60°＝1. 答案：D6．计算sin 15°sin 30°sin 75°的值等于( ) A.34B.38C.18D.14解析：原式＝12sin 15°cos 15°＝14×2sin 15°cos 15°＝14sin 30°＝18.答案：C7．在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则C 等于( ) A.π3 B.2π3 C.π6D.π4解析：由条件得tan(A ＋B )＝－3，∴A ＋B ＝2π3，C ＝π3.答案：A8．已知函数f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：f (x )＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝－sin 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝－sin π6＝－12. 答案：B9．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为( )A ．－2B ．－ 3C ．－ 2D ．－1解析：f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π4≤x －π4≤π4.∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.答案：D 10．设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D.79解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝22(sin θ＋cos θ)＝13，两边平方，得12(1＋2sin θcos θ)＝19，∴sin 2θ＝－79. 答案：A11．化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝( )A ．－2B ．－12C ．－1D ．1解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：C12．已知函数f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6，对任意实数α，β，当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是( )A ．3π B.3π2 C.4π3D.2π3解析：f (x )＝sin 23x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＝sin 23x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π6，又当f (α)－f (β)取最大值时，|α－β|的最小值是函数f (x )的最小正周期的一半，而函数的最小正周期T ＝2π23＝3π，从而选B.答案：B第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把正确答案填在题中横线上) 13．(2019·山东高考)函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为__________． 解析：y ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋12，所以其最小正周期为2π2＝π. 答案：π14．已知tan α2＝2，则tan α的值为______________，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值为______．解析：tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2＝2tanα21－tan2α2＝－43，进而有tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－17.答案：－43 －1715．化简2tan 45°－α1－tan 245°－α·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝______. 解析：原式＝tan(90°－2α)·12sin 2αcos 2α＝sin 90°－2αcos90°－2α·12sin 2αcos 2α＝cos 2αsin 2α·sin 2α2cos 2α＝12.答案：1216．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值为______．解析：sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725.答案：725三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知sin α＝cos 2α，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求sin 2α.解：∵sin α＝1－2sin 2α，即2sin 2α＋sin α－1＝0， ∴sin α＝－1或sin α＝12.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝12，α＝π6.∴cos α＝32.∴sin 2α＝2×12×32＝32. 18．(本小题满分12分)求函数y ＝cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3(x ∈R )的最大值和最小值．解：y ＝cos x ＋cos x cos π3＋sin x sin π3＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6cos x ＋sin π6sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. ∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6≤1， ∴y max ＝3，y min ＝－ 3.19．(本小题满分12分)求1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan 5°－tan 5°的值．解：原式＝2cos 210°2sin 20°－2sin 10°·1－tan 25°2tan 5°＝cos 210°2sin 10°cos 10°－2sin 10°·cos 10°sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin 30°－10°2sin 10°＝32.20．(本小题满分12分)已知sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2 ＝2，求cos 2x 的值．解：∵sin 2x 2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋tan x tan x 2＝2sin x cos x 2cos x ·tan x －tanx2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 2＝sin x ·sin x cos x －sinx2cos x 2tan x 2 ＝sin x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos x2－cos x sin x 2cos x cos x 2tanx2＝sin x ·si nx 2cos x ·co s x 2·ta n x 2＝tan x tanx2tanx2＝tan x .由已知，tan x ＝2.∴cos 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x －sin 2xcos 2x ＋sin 2x＝1－tan 2x 1＋tan 2x ＝1－41＋4＝－35. 21．(本小题满分12分)(2019·福建高考)已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值．(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解：方法一：(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22， ∴cos α＝22. ∴f (α)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋22－12＝12. (2)∵f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)∵0＜α＜π2，sin α＝22，∴α＝π4.从而f (α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22sin 3π4＝12.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .22．(本小题满分14分)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－x 2，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4，故f (x )的最小正周期T ＝2π12＝4π.(2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105，则⎝⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21052，即1＋sin α＝85，解得sin α＝35. 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝1－925＝45， 故tan α＝sin αcos α＝34.所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34＝7.。

一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D2．已知函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图像与直线2y =交于,A B 两点，若AB 的最小值为π，则函数()f x 的一条对称轴是（ ）A ．3x π=B ．4x π=C ．6x π=D ．12x π=3．已知函数2()2sin cos (0)f x x x x ωωωω=->图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1--C ．0D ．-4．设函数22()cos sin 2cos sin f x x x x x =-+，下列说法中，错误的是（ ）A ．()f x 的最小值为B ．()f x 在区间,48ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增.C ．函数()y f x =的图象可由函数y x =的图象先向左平移4π个单位，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)而得到. D ．将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位，所得函数的图象关于y 轴对称.5．在ABC 中，cos A =，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．26．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15167．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．168．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-79．已知αβ、均为锐角，满足sin ,cos 510αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 10．已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．17 B ．7C ．17-D ．-711．已知直线524x π=是函数21()sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．812．已知cos()6πα+=sin(2)6πα-的值为（ ） A．3B ．13C ．13-D．3-二、填空题13．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 14．函数2cos sin y x x =+的最大值为____________．15．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.16．已知sin α=，()1cos 3αβ+=-，且,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin β=_____.17．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______. 18．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 19________.20．已知x 是第二象限的角.化简：1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+---+的值为____________. 三、解答题21．已知函数()()23sin cos 3cos 02f x x x x ωωωω=⋅-+>图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π． （1）求函数()y f x =的解析式及其图象的对称轴方程； （2）若函数()13y f x =-在()0,π上的零点为1x 、2x ，求()12cos x x -的值． 22．已知函数()3sin 2cos 2f x x x =-，[,]34x ππ∈-．（1）求函数()f x 的周期和值域； （2）设()3a g x x x =+，若对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．23．已知5sin2α=，()5cos 13αβ+=，()0,απ∈，0,2πβ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （1）求sin 2α的值； （2）求sin β的值.24．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式. （2）若3()5f x =-，且36x ππ-<<，求cos2x 的值.25．已知02πα<<，02πβ-<<，310cos α=3cos()42πβ-=．（1）求cos()4πα+的值；（2）求sin()2+βα的值．26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +4πα⎛⎫= ⎪⎝⎭因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133339=⨯+=. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．D解析：D 【分析】化简得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，由题可得周期为π，即可求出2ω=，令2,32πππ+=+∈x k k Z 求出对称轴即可得出答案.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()f x 直线2y =交于,A B 两点，且AB 的最小值为π，T π=，则22T πω==，即()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2,32πππ+=+∈x k k Z ，则,122k x k Z ππ=+∈， ()f x ∴的对称轴为,122k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=.故选：D. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴问题，解题的关键是利用辅助角公式化简函数得出周期，求出解析式，即可解决.3．D解析：D 【分析】先将函数化简整理，根据相邻对称轴之间距离求出周期，确定1ω=，再求2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【详解】因为()21cos 22sin cos sin 22x f x x x x x ωωωωω-=-=- πsin 222sin 23x x x ωωω⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭由题意知()f x 的最小正周期为π22π⨯=，所以2π2πω=，即1ω=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 23f ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D. 【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是根据已知条件先化简正弦函数的解析式，还要熟练掌握三角函数的性质才能正确的解题，属于中档题.4．D解析：D 【分析】由二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦型函数性质判断AB ，利用图象平移伸缩判断CD. 【详解】由22()cos sin 2cos sin cos 2sin 2)4f x x x x x x x x π=-+=+=+，可知函数的最小值为，故A 正确；当,48x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2,442x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，由正弦函数单调性知())4f x x π=+单调递增，故B 正确；y x =的图象先向左平移4π个单位得)4y x π=+，再将横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变)得)4y x π=+，故C 正确；将函数()y f x =的图象向左平移4π个单位得)]))44424y x x x πππππ=++=++=+，图象不关于y 轴对称，故D 错误. 故选：D 【点睛】关键点点睛：首先要把函数解析式化简，利用正弦型函数的图象与性质判断值域与单调性，利用图象变换的时候，注意平移与伸缩都变在自变量上，属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.6．B解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.7．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.8．B解析：B 【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.9．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．10．A解析：A 【分析】根据角的范围以及平方关系求出4cos ,5α=-再利用商的关系求出3tan 4α=-，最后由两角和的正切公式可得答案. 【详解】 因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos ,5α==-sin 3tan cos 4ααα==-， tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα+⎛⎫+== ⎪⎝⎭-⋅17 故选：A. 【点睛】本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.11．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，12．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.二、填空题13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．14．【分析】将函数解析式变形为且有利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值【详解】且因此当时函数取得最大值故答案为：【点睛】本题考查二次型三角函数的最值利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题解析：98【分析】将函数解析式变形为22sin sin 1y x x =-++，且有1sin 1x -≤≤，利用二次函数的基本性质可求出该函数的最大值. 【详解】2219cos 2sin 12sin sin 2sin 48y x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，且1sin 1x -≤≤，因此，当1sin 4x =时，函数2cos sin y x x =+取得最大值98. 故答案为：98. 【点睛】本题考查二次型三角函数的最值，利用二倍角余弦公式将问题转化为二次函数的最值问题是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.15．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16．【分析】由已知分别求得再由展开两角差的正弦得答案【详解】解：∵∴∴∴又∴则故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的关系正弦的差角公式给值求值型的问题属于中档题解析：9【分析】由已知分别求得cos α，()sin αβ+，再由()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦，展开两角差的正弦得答案.【详解】解：∵sin α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1cos 3α==， ∴,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴()0,αβπ+∈，又()1cos 3αβ+=-，∴()sin αβ+==. 则()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦1133339⎛⎫=⨯--⨯=⎪⎝⎭.故答案为：9. 【点睛】本题考查同角三角函数间的关系，正弦的差角公式，给值求值型的问题，属于中档题.17．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.18．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.19．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题解析：4【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】=4==，由于342ππ<<=故答案为：4 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.20．【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析：2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <进行化简即可得到结果． 【详解】因为x 是第二象限的角，所以cos 0x <，==1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为：2tan x -. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．三、解答题21．（1）()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈；（2）13. 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()sin 23f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出函数()f x 的最小正周期，可得出函数()f x 的解析式，解方程()232x k k Z πππ-=+∈可解得函数()y f x =图象的对称轴方程；（2）求得121sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分析得出点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称，可得出1256x x π+=，再利用诱导公式可求得()12cos x x -的值.【详解】 （1）())221sin cos sin 22cos 12f x x x x x x ωωωωω=⋅+=--1sin 2cos2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 由于函数()f x 图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，则该函数的最小正周期为22T ππ=⨯=，0ω>，所以，222Tπω==，解得1ω=. 所以，()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由()232x k k Z πππ-=+∈，解得()5122k x k Z ππ=+∈， 所以，函数()y f x =图象的对称轴方程为()5122k x k Z ππ=+∈； （2）由题意可得()1111sin 20333f x x π⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，则11sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，同理可得21sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当0πx <<时，则52333x πππ-<-<， 若()20,3x ππ-∈，设232x ππ-=，解得512x π=. 因为()()1213f x f x ==，所以，点()()11,x f x 、()()22,x f x 关于直线512x π=对称. 所以，1256x x π+=. 所以，()12111155cos cos cos 2cos 26632x x x x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦11sin 233x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】思路点睛：利用三角恒等变换思想化简正弦型函数解析式的步骤如下： （1）利用两角和与差的正弦、余弦公式展开；（2）利用二倍角的正弦、余弦的降幂公式将二次式降幂，并合并同类项； （3）利用辅助角公式化简.22．（1）T π=，[-；（2）14a ≥. 【分析】（1）利用辅助角公式化简可得()2sin(2)6f x x π=-，代入周期公式，可求得周期T ，根据x 的范围，求得26x π-的范围，根据正弦型函数的性质，即可求得答案.（2）根据题意可得min max ()()g x f x ≥，由（1）可得max ()f x =0a <，0a =，0a >三种，()3ag x x x=+的最小值，结合对勾函数的性质，即可求得答案.【详解】（1）1()2cos 2)2sin(2)26f x x x x π=-=-， 周期22T ππ== 由[,]34x ππ∈-，则52[,]663x πππ-∈-， 所以当262x ππ-=-，即6x π=-时，()2sin(2)6f x x π=-有最小值-1当263x ππ-=，即4x π=时，()2sin(2)6f x x π=-有最大值2，所以1sin(2)62x π-≤-≤，所以22sin(2)6x π-≤-≤即()f x 的值域为[-（2）对任意的1(0)x ∈+∞，及任意的2[,]34x ππ∈-，都有不等式12() ()g x f x ≥恒成立，只需当min max ()()g x f x ≥由（1）知，max ()f x =当0a <，()3ag x x x=+为(0,)+∞上增函数，值域为R ，不满足题意； 当0a =，()3g x x =为(0,)+∞上增函数，值域为(0,)+∞,不满足题意；当0a >，()3ag x x x=+为对勾函数，所以()3a g x x x =+≥=min ()g x =，当且仅当3ax x=，即x =.由题意，即可，所以14a ≥. 【点睛】解题的关键是将题干条件等价为min max ()()g x f x ≥，分别根据12,x x 的范围，求得两函数的最值，再进行求解，考查分析计算的能力，属中档题. 23．（1）2425；（2）1665．【分析】（1）由二倍角公式求得cos α，再由平方关系得sin α，然后由正弦的二倍角公式得sin 2α；（2）确定α的范围，得αβ+范围，从而可求得sin()αβ+，再由两角差的正弦公式计算． 【详解】（1）由已知223cos 12sin 12255αα⎛⎫=-=-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，又(0,)απ∈，∴(0,)2πα∈，∴sin 45α==， ∴4324sin 22sin cos 25525ααα==⨯⨯=； （2）∵(0,)2πβ∈，∴(0,)αβπ+∈，∴12sin()13αβ+=，∴1235416sin sin[()]sin()cos cos()sin 13513565βαβααβααβα=+-=+-+=⨯-⨯=． 【点睛】关键点点睛：本题考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式，同角间的三角函数关系，解题关键是确定“已知角”和“未知角”之间的关系，确定选用的公式和应用公式的顺序．在应用三角函数恒等变换公式时注意“单角”和“复角”的相对性．如在sin ,cos αβ，求cos()a β+时，,αβ是单角，αβ+是两个单角的和，但象本题中求sin β时，αβ+作为一个单角，α作为一个单角，()βαβα=+-．由此直接应用公式求解．24．（1）()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）310. 【分析】（1）根据最大值求出A ，根据周期求出ω，根据极大值点求出ϕ （2）根据角的范围求出4cos 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将cos2x 写成cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角和与差的余弦公式展开，求解即可.【详解】（1）由图知121,,2362A T πππ==-= ,2πω∴==T又22,,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈26k πϕπ∴=+又||2πϕ<，,()sin 266f x x ππϕ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭ （2）3()5f x =-所以3sin 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ,236262x x πππππ-<<-<+<，又因为34sin 2,cos 26565x x ππ⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 cos 2cos 266x x ππ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos 2cos sin 2sin 6666x x ππππ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭431552=-⨯=【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.25．（1；（2）15. 【分析】（1）根据02πα<<，cos 10α=10sin α=，再利用两角和的余弦公式求解..（2）由（1）求得sin()4+=πα，再由02πβ-<<，求得sin()42πβ-=，然后由sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα，利用两角差的正弦公式求解.【详解】（1）因为02πα<<，cos α=所以sin α= 所以cos()cos cossin sin444πππααα+=-，1021025=⋅-=. （2）因为02πα<<，所以3444πππα<+<，所以sin()45+=πα， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，所以sin()42πβ-=，所以sin()sin[()()]2442+=+--βππβαα， sin()cos()cos()sin()442442=+--+-ππβππβαα，535315=-=. 【点睛】 方法点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则：①一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；②二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；③三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等． 26．（1）b =2）． 【分析】()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->，又3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos1cos sin6θθθθ⨯+==--.【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cosθθ+和cos sinθθ的表达式，再结合()2sin cos12sin cosθθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。

必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。

例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。

例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。

例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

必修4 第三章《三角恒等变换》期末复习制卷：王小凤 学生姓名【知识结构】【公式及其变形】1．两角和与差的三角函数=±)cos(βα_____________________；=±)sin(βα _____________________ =±)tan(βα_________________★辅助角的三角函数公式：)sin(cos sin 22θ±+=±x b a x b x a(其中a b =θtan . 一般地，θ3,4,6πππ取以下三个特殊角) 2．二倍角公式sin2α=__________________；cos2α= __________ = __________ = ______________ tan2α= ____ __3．降幂公式：2sin α= ________________ 2cos α=____________________ 升幂公式：1cos α+=____________ 1cos α-=______________ 4．正切公式的变形：tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m【常用技巧及题型】三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。

即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

一．巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换．如：()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等． 【例题1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值．【例题2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值．【例题3】已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，求y 与x 的函数关系．二．三角函数名互化(切化弦)【例题4】求值sin50(13tan10)+两角差的余弦公式和（差）角公式二倍角公式简单的三角恒等变换三．公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±m 。

1 三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值. 分析 将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系.解 ∵⎝⎛⎭⎫π6＋α＋⎝⎛⎭⎫5π6－α＝π， ∴5π6－α＝π－⎝⎛⎭⎫π6＋α. ∴cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝－33，即cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例2 设α为第四象限角，若sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝_______________________________.分析 要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝135中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析 由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋cos 2α＝135.∵2cos 2α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45.∵α为第四象限角，∴2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )， ∴2α可能在第三、四象限， 又∵cos 2α＝45，∴2α在第四象限，∴sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.答案 －34三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值. 分析 转化为已知角⎝⎛⎭⎫π4－x 的三角函数值，求这个角的其余三角函数值，这样可以将所求式子化简，使其出现⎝⎛⎭⎫π4－x 这个角的三角函数. 解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ， ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，且0<x <π4，∴π4－x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.四、观察式子结构特征，灵活凑出特殊角例4 求函数f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos(x ＋40°)的最大值.分析 观察角(x ＋40°)－(x －20°)＝60°，可以把x ＋40°看成(x －20°)＋60°后运用公式展开，再合并化简函数f (x ).解 f (x )＝1－32sin(x －20°)－cos [(x －20°)＋60°]＝12sin(x －20°)－32sin(x －20°)－cos(x －20°)cos 60°＋sin(x －20°)sin 60°＝12[sin(x －20°)－cos(x －20°)]＝22sin(x －65°)， 当x －65°＝k ·360°＋90°，即x ＝k ·360°＋155°(k ∈Z )时，f (x )有最大值22.2 三角恒等变换的几个技巧三角题是高考的热点，素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外，还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析，希望对同学们有所帮助. 一、灵活降幂例13－sin 70°2－cos 210°＝________.解析3－sin 70°2－cos 210°＝3－sin 70°2－1＋cos 20°2＝3－cos 20°3－cos 20°2＝2. 答案 2点评 常用的降幂技巧还有：因式分解降幂、用平方关系sin 2θ＋cos 2θ＝1进行降幂：如cos 4θ＋sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)2－2cos 2θsin 2θ＝1－12sin 22θ，等等.二、化平方式 例2 化简求值： 12－1212＋12cos 2α(α∈(3π2，2π)). 解 因为α∈(3π2，2π)，所以α2∈(3π4，π)，所以cos α>0，sin α2>0，故原式＝ 12－121＋cos 2α2＝ 12－12cos α＝ sin 2α2＝sin α2. 点评 一般地，在化简求值时，遇到1＋cos 2α、1－cos 2α、1＋sin 2α、1－sin 2α常常化为平方式：2cos 2α、2sin 2α、(sin α＋cos α)2、(sin α－cos α)2. 三、灵活变角例3 已知sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)＝________.解析 cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.答案 －79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6－α”表示待求角“2π3＋2α”，善于发现前者和后者的一半互余.四、构造齐次弦式比，由切求弦例4 已知tan θ＝－12，则cos 2θ1＋sin 2θ的值是________.解析 cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＋2sin θcos θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＋2tan θ＝1－141＋14＋2×(－12)＝3414＝3. 答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1＋sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4αcos 8α…cos 2n －1·α的值例5 求cosπ11cos 2π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11的值. 解 原式＝－cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π11＝－24sin π11cos π11cos 2π11cos 4π11cos 8π11cos 5π1124sinπ11＝－sin 16π11cos 5π1124sin π11＝sin 5π11cos 5π1124sin π11＝12·sin 10π1124sinπ11＝sinπ1125sinπ11＝132.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.3 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式求解例1 求函数f (x )＝sin 4x ＋cos 4x ＋sin 2x cos 2x2－sin 2x 的最值.解 原函数变形得f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－sin 2x cos 2x2－sin 2x＝1－14sin 22x 2－sin 2x ＝⎝⎛⎭⎫1＋12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1－12sin 2x＝14sin 2x ＋12.∴f (x )max ＝34，f (x )min ＝14. 例2 求函数y ＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x 的最小值，并写出y 取最小值时x 的集合. 解 原函数化简得y ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2. 当2x ＋π4＝2k π＋32π，k ∈Z ，即x ＝k π＋58π，k ∈Z 时，y min ＝2－ 2.此时x 的集合为{x |x ＝k π＋58π，k ∈Z }.点评 形如y ＝a sin 2ωx ＋b sin ωx cos ωx ＋c cos 2ωx ＋d (a ，b ，c ，d 为常数)的式子，都能转化成y ＝A sin(2ωx ＋φ)＋B 的形式求最值. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3 求函数y ＝2sin x ＋12sin x －1的值域.解 原函数整理得sin x ＝y ＋12(y －1).∵|sin x |≤1，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y ＋12(y －1)≤1，解出y ≤13或y ≥3.∴函数的值域为{y |y ≤13或y ≥3}.例4 求函数y ＝sin x ＋3cos x －4的值域.解 原函数整理得sin x －y cos x ＝－4y －3， ∴y 2＋1sin(x ＋φ)＝－4y －3，∴sin(x ＋φ)＝－4y －31＋y2. ∵|sin(x ＋φ)|≤1，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪－4y －31＋y 2≤1得－12－2615≤y ≤－12＋2615. 点评 对于形如y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d 或y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 的这类函数，均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y ＝cos 2x －2a cos x －2a 的最小值为f (a )，写出f (a )的表达式.解 y ＝cos 2x －2a cos x －2a ＝2cos 2x －2a cos x －(2a ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫cos x －a 22－⎝⎛⎭⎫a22＋2a ＋1. 当a2<－1，即a <－2时，f (a )＝y min ＝1，此时cos x ＝－1. 当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (a )＝y min ＝－a 22－2a －1，此时cos x ＝a2.当a2>1，即a >2时，f (a )＝y min ＝1－4a ，此时cos x ＝1. 综上所述，f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(a <－2)，－12a 2－2a －1(－2≤a ≤2)，1－4a (a >2).点评 形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数可转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c 在区间[－1，1]上的最值问题解决.例6 试求函数y ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x ＋2的最值.解 设sin x ＋cos x ＝t ，t ∈[－2，2 ]，则2sin x cos x ＝t 2－1，原函数变为y ＝t 2＋t ＋1，t ∈[－2， 2 ]，当t ＝－12时，y min ＝34；当t ＝2时，y max ＝3＋ 2.点评 一般地，既含sin x ＋cos x (或sin x －cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用，设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(t 2－1)；sin x －cos x ＝t ，则sin x cos x ＝12(1－t 2).四、利用函数的单调性求解例7 求函数y ＝(1＋sin x )(3＋sin x )2＋sin x 的最值.解 y ＝sin 2x ＋4sin x ＋3sin x ＋2＝(sin x ＋2)2－1sin x ＋2＝(sin x ＋2)－1(sin x ＋2)，令t ＝sin x ＋2，则t ∈[1，3]，y ＝t －1t.利用函数单调性的定义易证函数y ＝t －1t 在[1，3]上为增函数.故当t ＝1，即sin x ＝－1时，y min ＝0； 当t ＝3，即sin x ＝1时，y max ＝83.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC 上，设AB ＝a ，∠ABC ＝θ，△ABC 的面积为P ，正方形面积为Q .求PQ的最小值.解 AC ＝a tan θ，P ＝12AB ·AC ＝12a 2tan θ.设正方形的边长为x ，AG ＝x cos θ，BC ＝acos θ.BC 边上的高h ＝a sin θ， ∵AG AB ＝h －x h ，即x cos θa ＝a sin θ－xa sin θ， ∴x ＝a sin θ1＋sin θcos θ，∴Q ＝x 2＝a 2sin 2θ(1＋sin θcos θ)2.从而P Q ＝sin θ2cos θ·(1＋sin θcos θ)2sin 2θ＝(2＋sin 2θ)24sin 2θ＝1＋⎝⎛⎭⎫sin 2θ4＋1sin 2θ. 易知函数y ＝1t ＋t4在区间(0，1]上单调递减，从而，当sin 2θ＝1时，⎝⎛⎭⎫P Q min ＝94.点评 一些复杂的三角函数最值问题，通过适当换元转化为简单的代数函数后，可利用函数单调性巧妙解决.4 行百里者半九十——《三角恒等变换》一章易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错 例1 已知sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，求α＋β的值. [错解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010， sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β ＝55×31010＋255×1010＝22. 因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β∈(0，π). 所以α＋β＝π4或3π4.[剖析] 由sin α＝55，sin β＝1010，α和β都是锐角，可以知道α和β都是定值，因此α＋β也是定值，因此上述解法出现两个答案，其中就有一个是错误的.这是因为sin(α＋β)在第一、第二象限没有区分度，应选择计算cos(α＋β)的值.[正解] 因为α和β都是锐角，且sin α＝55，sin β＝1010，所以cos α＝255，cos β＝31010，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.因为α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝π4.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α＋6tan α＋7＝0，tan 2β＋6tan β＋7＝0，α、β∈(0，π)，且α≠β，求α＋β的值.[错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2＋6x ＋7＝0的两根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6， ①tan αtan β＝7， ② ∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－61－7＝1.∵0<α<π，0<β<π，∴0<α＋β<2π， ∴α＋β＝π4或α＋β＝54π.[剖析] 由①②知tan α<0，tan β<0，角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝－6，tan αtan β＝7易知tan α<0，tan β<0.∵α、β∈(0，π)，∴π2<α<π，π2<β<π，∴π<α＋β<2π. 又∵tan(α＋β)＝1，∴α＋β＝54π.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中，已知sin A ＝35，cos B ＝513，求cos C .[错解] 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，由cos B ＝513，得sin B ＝1213，当cos A ＝45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.当cos A ＝－45时，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝5665.[剖析] 在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的和为π，解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A ＝±45后，没有对cos A ＝－45这一结果是否合理进行检验，从而导致结论不正确.[正解] 由cos B ＝513>0，得B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin B ＝1213. 由sin A ＝35，得cos A ＝±45，当cos A ＝－45时，cos A <－12，∴A >2π3.∵sin B ＝1213>32，B ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴B >π3. 故当cos A ＝－45时，A ＋B >π，与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A ＝45，cos C ＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝1665.四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )＝1＋sin x －cos x 1＋sin x ＋cos x 的奇偶性.[错解] f (x )＝1＋sin x －cos x1＋sin x ＋cos x＝1＋2sin x 2cos x2－⎝⎛⎭⎫1－2sin 2x 21＋2sin x 2cos x 2＋⎝⎛⎭⎫2cos 2x2－1＝2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2＋sin x 22cos x2⎝⎛⎭⎫sin x 2＋cos x 2＝tan x2，由此得f (－x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x2＝－f (x )， 因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )＝tan x2的定义域为{}x |x ∈R ，x ≠2k π＋π，k ∈Z .两函数的定义域不同，变形后的函数定义域扩大致错. [正解] 事实上，由1＋sin x ＋cos x ≠0可得 sin x ＋cos x ≠－1，即2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－1， 从而sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≠－22， 所以x ＋π4≠2k π＋5π4且x ＋π4≠2k π＋7π4(k ∈Z )，故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π＋π且x ≠2k π＋3π2，k ∈Z ，显然该定义域不关于原点对称. 因此，函数f (x )为非奇非偶函数.温馨点评 判断函数的奇偶性，首先要看定义域，若定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数.上述解法正是由于忽视了对函数定义域这一隐含条件的考虑致错. 五、误用公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)而致错例5 若函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)，x ∈R 是偶函数，求θ的值. [错解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)， ∴f (0)＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴|f (0)|＝f (x )max ＝ 2. ∴f (0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝±1， ∴θ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .即θ＝k π＋π4，k ∈Z .[剖析] ∵x ＋θ与x －θ是不同的角.∴函数f (x )的最大值不是2，上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理. [正解] ∵f (x )＝sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)是偶函数. ∴f (x )＝f (－x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)恒成立. ∴[sin(x ＋θ)＋sin(x －θ)]＋[cos(x －θ)－cos(x ＋θ)]＝0. ∴2sin x cos θ＋2sin x sin θ＝0恒成立. 即2sin x (cos θ＋sin θ)＝0恒成立. ∴cos θ＋sin θ＝0.∵cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝0. ∴θ＋π4＝k π，即θ＝k π－π4，k ∈Z .5 平面向量与三角函数的交汇题型大全平面向量与三角函数的交汇是当今高考命题的一个热点，这是因为此类试题既新颖而精巧，又符合在知识的“交汇处”构题的命题思想.这类试题解答的关键是利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积公式将问题转化为三角问题，然后联想相关的三角函数知识求解. 一、平面向量平行与三角函数交汇例1 已知a ＝(2cos x ＋23sin x ，1)，b ＝(y ，cos x )，且a ∥b .若f (x )是y 关于x 的函数，则f (x )的最小正周期为________.解析 由a ∥b 得2cos 2x ＋23sin x cos x －y ＝0， 即y ＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1 ＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋1，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.答案 π点评 解答平面向量平行与三角函数的交汇试题一般先用平面向量平行的条件求涉及到三角函数的解析式或某角的函数值，然后再利用三角知识求解.二、平面向量垂直与三角函数交汇例2 已知向量a ＝(4，5cos α)，b ＝(3，－4tan α)，α∈(0，π2)，若a ⊥b ，则cos(2α＋π4)＝________.解析 因为a ⊥b ，所以4×3＋5cos α×(－4tan α)＝0， 解得sin α＝35.又因为α∈(0，π2)，所以cos α＝45.cos 2α＝1－2sin 2α＝725，sin 2α＝2sin αcos α＝2425，于是cos(2α＋π4)＝cos 2αcos π4－sin 2αsin π4＝－17250.答案 －17250点评 解答平面向量垂直与三角函数的交汇试题通常先利用平面向量垂直的条件将向量问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的知识进行处理. 三、平面向量夹角与三角函数交汇例3 已知向量m ＝(sin θ，1－cos θ)(0<θ<π)与向量n ＝(2，0)的夹角为π3，则θ＝________.解析 由条件得|m |＝sin 2θ＋(1－cos θ)2＝2－2cos θ，|n |＝2，m ·n ＝2sin θ，于是由平面向量的夹角公式得cos π3＝m ·n |m ||n |＝2sin θ22－2cos θ＝12，整理得2cos 2θ－cos θ－1＝0，解得cos θ＝－12或cos θ＝1(舍去).因为0<θ<π，所以θ＝2π3.答案2π3点评 解答平面向量的夹角与三角函数的交汇试题主要利用平面向量的夹角公式建立某角的三角函数的方程或不等式，然后由三角函数的知识求解. 四、平面向量的模与三角函数交汇例4 若向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________. 解析 由条件可得|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝3cos θ－sin θ， 则|2a －b |＝|2a －b |2＝ 4a 2＋b 2－4a ·b＝8－4(3cos θ－sin θ)＝ 8－8cos (θ＋π6)≤4，所以|2a －b |的最大值为4. 答案 4点评 解答平面向量的模与三角函数交汇一般要用到向量的模的性质|a |2＝a 2.如果是求模的大小，则一般可直接求解；如果是求模的最值，则常常先建立模关于某角的三角函数，然后利用三角函数的有界性求解. 五、平面向量数量积与三角函数交汇例5 若函数f (x )＝2sin(π6x ＋π3)(－2<x <10)的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA →等于( ) A.－32 B.－16 C.16D.32解析 由f (x )＝0，解得x ＝4，即A (4，0)，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，根据对称性可知，A 是BC 的中点，所以OB →＋OC →＝2OA →，所以(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA →＝2|OA →|2＝2×42＝32，答案 D点评 平面向量数量积与三角函数的综合主要体现为两类：(1)利用三角函数给出向量的坐标形式，然后求数量积，解答时利用数量积公式可直接解决；(2)给出三角函数图象，求图象上相关点构成的向量之间的数量积，解答时关键是求涉及到的向量的模、以及它们的夹角.6 单位圆与三角恒等变换巧结缘单位圆与三角函数有着密切联系，下面我们通过例题来看看单位圆与三角恒等变换是如何结缘的.一、借助单位圆解决问题例1 已知sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，求tan α＋β2.(提示：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，⎝⎛⎭⎫y 1＋y 22解 设A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)均在单位圆上，如图，则以OA 、OB 为终边的角分别为α、β，由已知，sin α＋sin β＝14，cos α＋cos β＝13，用题设所给的中点坐标公式，得AB 的中点C ⎝⎛⎭⎫16，18，如图，由平面几何知识知，以OC 为终边的角为β－α2＋α＝α＋β2，且过点C ⎝⎛⎭⎫16，18，由三角函数的坐标定义，知tan α＋β2＝1816＝34.点评 借助单位圆使问题简单化，这种思维方法贯穿整个三角函数问题的始终，特别在求值中更能显出它的价值. 二、单位圆与恒等变换的交汇例2 已知圆x 2＋y 2＝R 2与直线y ＝2x ＋m 相交于A 、B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边(O 是坐标原点)的角为α，OB 为终边的角为β，则tan(α＋β)的值为________. 解析 如图，过O 作OM ⊥AB 于点M ，不妨设α、β∈[0，2π]，则∠AOM ＝∠BOM ＝12∠AOB＝12(β－α)， 又因为∠xOM ＝α＋∠AOM ＝α＋β2， 所以tanα＋β2＝k OM ＝－1k AB ＝－12， 故tan(α＋β)＝2tanα＋β21－tan 2α＋β2＝－43.答案 －43点评 若是采用先求A 、B 两点的坐标，再求α、β的正切值这一思路就很繁锁甚至做不下去，可见用不同的解决方法繁简程度不同.例3 如图，A ，B 是单位圆O 上的点，OA 为角α的终边，OB 为角β的终边，M 为AB 的中点，连接OM 并延长交圆O 于点C .(1)若α＝π6，β＝π3，求点M 的坐标；(2)设α＝θ(θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3)，β＝π3，C (m ，n )，求y ＝m ＋n 的最小值，并求使函数取得最小值时θ的取值.解 (1)由三角函数定义可知，A ⎝⎛⎭⎫32，12，B ⎝⎛⎭⎫12，32， 由中点坐标公式可得M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋14，3＋14.(2)由已知得∠xOC ＝12(α＋β)＝12(θ＋π3)，即C ⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 故m ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6，n ＝sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6， 所以y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫12θ＋5π12， 又因为θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3，故5π12≤12θ＋5π12≤7π12， 当θ＝0或π3时，函数取得最小值y min ＝2sin 5π12＝3＋12.点评 借助单位圆和点的坐标，数形结合，利用平面几何知识和三角函数的定义使问题简单化.7 教你用好辅助角公式在三角函数中，辅助角公式a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2·sin(θ＋φ)，其中角φ所在的象限由a ，b 的符号确定，φ的值由tan φ＝ba 确定，它在三角函数中应用比较广泛，下面举例说明，以供同学们参考. 一、求最值例1 求函数y ＝2sin x (sin x －cos x )的最小值.解 y ＝2sin x (sin x －cos x )＝2sin 2x －2sin x cos x ＝1－cos2x －sin 2x＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x ·22＋cos 2x ·22＝1－2⎝⎛⎭⎫sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4 ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数y 的最小值为1－ 2. 二、求单调区间例2 求函数y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1的单调区间.解 y ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＋1＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＋1 ＝34sin 2x ＋14cos 2x ＋54＝12⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋54 ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋54. 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z ).由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z ).所以函数的单调增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )；函数的单调减区间是[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z ).三、求周期例3 函数y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x 的最小正周期是( ) A.2π B.π C.π2 D.π4答案 C解析 y ＝cos 22x ＋4cos 2x sin 2x ＝12cos 4x ＋2sin 4x ＋12＝172sin(4x ＋φ)＋12(其中sin φ＝1717，cos φ＝41717)，函数的最小正周期为T ＝2π4＝π2.故选C.四、求参数的值例4 如果函数y ＝sin 2x ＋a cos 2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则实数a 的值为( )A. 2B.－ 2C.1D.－1 答案 D解析 y ＝1＋a 2sin(2x ＋φ)(其中tan φ＝a ).因为x ＝－π8是对称轴，所以直线x ＝－π8过函数图象的最高点或最低点.即当x ＝－π8时，y ＝1＋a 2或y ＝－1＋a 2.所以sin ⎝⎛⎭⎫－π4＋a cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝±1＋a 2. 即22(a －1)＝±1＋a 2.所以a ＝－1.故选D.。

学习目标 1.进一步掌握三角恒等变换的方法.2.会运用正弦、余弦、正切的两角和与差公式与二倍角公式对三角函数式进行化简、求值和证明.1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2.二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3.升幂缩角公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α.4.降幂扩角公式sin x cos x ＝sin 2x2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2，sin 2x ＝1－cos 2x 2. 5.和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β). 6.辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ).类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值.解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan [α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝⎛⎭⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等.跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值.解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255.由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55， 故tan α＝13，tan β＝12，则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值. 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]，∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2].当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1， 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z时，f (x )取得最大值，f (x )max ＝2＋12.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来.跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域. 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知，t ∈[－2，2]. 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2 ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54. 当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1. ∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π2－1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值. 解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π.又因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45， cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. 反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值. 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π， 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210. ∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210， sin 2x ＝725.∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围.解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎨⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a3，从而⎩⎨⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，52. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决.跟踪训练4 已知关于θ的方程3cos θ＋sin θ＋a ＝0在区间(0，2π)上有两个不相等的实数解α，β，求cos(α＋β)的值.解 设x ＝cos θ，y ＝sin θ，则有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＋a ＝0，消去y ，并整理得4x 2＋23ax ＋a 2－1＝0.①由已知得cos α，cos β是①的两个实数解，由根与系数的关系，得⎩⎨⎧cos α＋cos β＝－32a ，cos αcos β＝a 2－14.∴sin αsin β＝(3cos α＋a )(3cos β＋a ) ＝3cos αcos β＋3(cos α＋cos β)a ＋a 2 ＝a 2－34.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝a 2－14－a 2－34＝12.1.若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A.－5B.－513C.1213 D.5答案 A解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)－β]＝sin α＝－513， 又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－1213－513＝－5.2.已知θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ等于( )A.223B.－223C.23D.－23答案 A解析 由59＝sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ ＝1－12sin 22θ，得12sin 22θ＝49，即sin 22θ＝89. 又∵2k π＋π<θ<2k π＋3π2(k ∈Z )，∴4k π＋2π<2θ<4k π＋3π(k ∈Z )， 故sin 2θ＝223.故选A.3.已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝ .答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4.设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为 . 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝17250. 5.已知函数f (x )＝cos x ·sin(x ＋π3)－3cos 2x ＋34，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值.解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·(12sin x ＋32cos x )－3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin(2x －π3). 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f (－π4)＝－14，f (－π12)＝－12，f (π4)＝14，所以，函数f (x )在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确，快速化到最简，再进一步研究函数的性质.课时作业一、选择题1.cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A.0 B.12 C.22 D.1答案 D解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2.函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，32B.⎣⎡⎦⎤－32，12C.⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎡⎦⎤－22－12，22－12 答案 C解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝22(22sin 2x －22cos 2x )＋12 ＝22sin(2x －π4)＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R ，∴sin(2x －π4)∈[－1，1]，∴函数的值域是⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 3.函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A.π，1 B.π，2 C.2π，1 D.2π，2答案 A解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4.已知tan(α＋π4)＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)等于( )A.255B.－255C.－355D.－31010答案 B解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12， ∴tan α＝－3 ，∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos α＝－1010. 则sin 2α－2cos 2αsin (α－π4)＝22cos α＝22×⎝⎛⎭⎫－1010＝－255.5.已知向量a ＝(sin α，1)，b ＝(2，2cos α－2)(π2<α<π)，若a ⊥b ，则sin(α－π4)等于( )A.－32B.－12C.12D.32答案 D 解析 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2sin α＋2cos α－2＝22sin(α＋π4)－2＝0，∴sin(α＋π4)＝12.∵π2<α<π， ∴3π4<α＋π4<5π4， ∴cos(α＋π4)＝－32.∴sin(α－π4)＝－sin(π4－α)＝－cos(α＋π4)＝32.6.若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( ) A.－65B.－45C.45D.65答案 D解析 由题意知，tan θ＝13， 则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65. 7.函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( )A.⎝⎛⎭⎫2π3，－32 B.⎝⎛⎭⎫5π6，－32 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，32 D.⎝⎛⎭⎫π3，－3 答案 B解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝2时，x ＝5π6， ∴函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π6，－32. 二、填空题8.若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝ .答案 －2解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2. 9.函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝ ，b ＝ . 答案 1 ±2 2解析 y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a 2＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a 2， a 2＋b 22＋a 2＝2，－a 2＋b 22＋a 2＝－1， a ＝1，b ＝±2 2.10.若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝ .答案 4解析 由已知得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)，即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4. ∴tan(α－β)＝4.三、解答题11.已知函数f (x )＝(1＋1tan x)sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12， 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35， 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为[0，1＋22]. 12.已知△ABC 的内角B 满足2cos 2B －8cos B ＋5＝0，若BC →＝a ，CA →＝b ，且a ，b 满足：a ·b＝－9，|a |＝3，|b | ＝5，θ为a ，b 的夹角.求sin(B ＋θ).解 2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0，4cos 2B －8cos B ＋3＝0，解得cos B ＝12，sin B ＝32， cos θ＝a·b |a ||b |＝－35，sin θ＝45， sin(B ＋θ)＝sin B cos θ＋cos B sin θ＝4－3310. 13.设函数f (x )＝sin 2x ＋cos(2x ＋π3). (1)求函数f (x )的最大值及此时x 的取值集合；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，已知cos B ＝13，f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A 的值. 解 (1)∵f (x )＝1－cos 2x 2＋12cos 2x －32sin 2x ＝12－32sin 2x ， ∴当sin 2x ＝－1时，f (x )max ＝1＋32， 此时2x ＝2k π－π2(k ∈Z )，x ＝k π－π4(k ∈Z )， ∴x 的取值集合为{x |x ＝k π－π4，k ∈Z }. (2)∵f (C 2)＝12－32sin C ＝－14， ∴sin C ＝32. ∵C 为锐角，∴C ＝π3. 由cos B ＝13，得sin B ＝1－cos 2B ＝223， ∴sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝32cos B ＋12sin B＝3＋226. 四、探究与拓展14.若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝ . 答案 2215.已知向量OA →＝(cos α，sin α)，α∈[－π，0].向量m ＝(2，1)，n ＝(0，－5)，且m ⊥(OA →－n ).(1)求向量OA →；(2)若cos(β－π)＝210，0<β<π，求cos(2α－β)的值.解 (1)∵OA →＝(cos α，sin α)，∴OA →－n ＝(cos α，sin α＋5).∵m ⊥(OA →－n )，∴m ·(OA →－n )＝0， ∴2cos α＋sin α＋5＝0. ①又sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①②得sin α＝－55，cos α＝－255，∴OA →＝(－255，－55).(2)∵cos(β－π)＝210，∴cos β＝－210.又∵0<β<π，∴sin β＝1－cos 2β＝7210.又∵sin 2α＝2sin αcos α＝2×(－55)×(－255)＝45，cos 2α＝2cos 2α－1＝2×45－1＝35，∴cos(2α－β)＝cos 2αcos β＋sin 2αsin β＝35×(－210)＋45×7210＝25250＝22.。