不等式性质的三个应用
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不等式性质的三个应用
陈凯辉
关于不等式的性质及其推论有哪些应用教材中叙述很少，但我们学习不等式的性质及其推论时非常关心如何和其他章节内容相结合，如何应用它们解题，下面就其应用，举例加以说明。
一、利用不等式性质证明不等式
利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。
解决此类问题一定要在充分理解的基础上，记准不等式的性质并注意在解题中灵活准确地应用。
例1 若0e ,0d c ,0b a <<<>>，求证：d
b e
c a e ->-。
本题考查同学们对不等式性质的掌握程度，注意性质的使用条件。
证明：∵0d c ,0d c >->-<<，且0b a >>， ∴d
b 1
c a 1,
0d b c a -<->->-。
而0e <，所以d b e c a e ->-。
二、利用不等式性质求范围
利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，但这种转化不是等价变形。
在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎。
应先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过一次不等式关系的运算，求得待求的范围，这是解这类题的最有效的方法。
例2 已知二次函数bx ax )x (f 2+=，且满足4)1(f 2,2)1(f 1≤≤≤-≤，求)2(f -的取值范围。
如果试图把b a 、从两个约束不等式中解出来，然后求)2(f -的范围，这是一种扩大解集的方法，若用)1(f )1(f 、-表示)2(f -，用待定系数法求此三者的关系，就不会出错。
解：令)1(nf )1(mf )2(f +-=-，即b )m n (a )n m ()b a (n )b a (m b 2a 4-++=++-=-。
比较两边的系数，得⎩
⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=-=+.1n ,3m 2m n ,4n m 又∵4)1(f 2,2)1(f 1≤≤≤-≤，
∴10)2(f 5),1(f )1(f 3)2(f ≤-≤+-=-。
评注：从本例可以看出，待定系数法可以整体使用已知条件，简化运算过程，避免错解。
例 3 已知7z y 2x 3,9z y x 2,8z y x 21≤-+≤-≤+-≤≤-+≤-，求证：47z 2y 5x 76≤-+≤-。
证明：令z 2y 5x 7)z y 2x (C )z y x (B )z y x 2(A -+=-+++-+-+。
比较两边系数，得⎪⎩
⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=++.3C ,2B ,1A 2C B A ,5C 2B A ,7C B A 2
由于21
)z y 2x (39,18)z y x (24,8z y x 21≤-+≤-≤+-≤≤-+≤-，所以47z 2y 5x 76≤-+≤-。
三、利用不等式性质，探求不等式成立的条件
不等式的性质是不等式的基础，包括五个性质定理及三个推论，不等式的性质是解不等式和证明不等式的主要依据，只有正确地理解每条性质的条件和结论，注意条件的变化才能正确地加以运用，利用不等式的性质，寻求命题成立的条件是不等式性质的灵活运用。
例 4 已知三个不等式：①0ab >；②b
d a c >；③ad bc >。
以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题。
解：对命题②作等价变形：
0ab
ad bc b d a c >-⇔>。
于是，由ad bc ,0ab >>，可得②成立，即①③⇒②。
若0ab
ad bc ,0ab >->，则ad bc >，故①②⇒③。
若ad bc >，0ab ad bc >-，则0ab >，故②③⇒①。
∴可组成三个正确命题。
例5 已知b
1b a 1a ,b a ->-
>同时成立，则ab 满足的条件是________。
解：由题意知0ab )1ab )(b a (b 1b a 1a >+-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-。
由b a >知0ab )1ab (>+，从而0)1ab (ab >+。
∴0ab >或1ab -<。
