山西省太原市第五中学2015届高三五月月考数学(理)试卷及答案

太原五中2014—2015学年度第二学期阶段检测高 三 数 学(理)命题人、校题人：吕兆鹏 刘锦屏 (2015.5.7)一．选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一选项是符合题目要求的）1. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=2121,,A , {}A x x y yB ∈==,|2， 则B A = （ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21 B. {}2 C. {}1 D. Φ 2. 在复平面内，复数iiz 212+-=的共轭复数的虚部为 ( )A ．- 25B ． 25C ．25 iD ．- 25 i3．将函数)sin(ϕ+=x y 2的图象沿x 轴向左平移8π个 单位后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取 值为( )A.43π B. 4π C. 0 D. - 4π 4．阅读程序框图，若输入64==n m ,， 则输出i a ,分别是（ ）A ．312==i a ,B ．412==i a ,C ．38==i a ,D ．48==i a ,5．某校在一次期中考试结束后，把全校文、理科总分前10名学生的数学成绩（满分150分）抽出来进行对比分析，得到如图所示的茎叶图. 若从数学成绩高于120分的学生中抽取3人， 分别到三个班级进行数学学习方法交流， 则满足理科人数多于文科人数的情况有( )种A ． 3081B ． 1512C ． 1848D ． 20146．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为 （ ）A ．34πB ．23πC ．πD ．π3正视图侧视图理科 文科1413 1211 8 6 6 9 8 810 9 8 9 80 1 2 6 8 8 6 9 9 6 第（5）题 图7．下列说法正确的是（ ）A ．命题“若1<x , 则 11<≤-x ”的逆否命题是“若1≥x , 则1-<x 或1≥x ”;B ．命题“R x ∈∀, 0>xe ”的否定是“R x ∈∀, 0≤xe ”；C ．“0>a ”是“函数x ax x f )()(1-=在区间),(0-∞上单调递减”的充要条件；D ．已知命题x x R x p lg ln ,:<∈∀；命题203001x x R x q -=∈∃,: , 则 “)()(q p ⌝∨⌝为真命题”. 8. 已知点M 是AB C 的重心，若A =60°，3=⋅AC AB ，则||AM 的最小值为（ ）A B C ．3D ．2 9．设21x x ,分别是方程1=⋅xa x 和1=⋅x x a log 的根(其中1>a ), 则212x x +的取值范围是( )A. ),(+∞3B. ),[+∞3C. ),(+∞22D. ),[+∞2210．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,*N n S a a n n ∈+==+12111，在等差数列{}n b 中，52=b ，且公差2=d .使得n b a b a b a n n 602211>+++ 成立的最小正整数n 为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．511．已知F 为抛物线x y =2的焦点，点A 、B 在该抛物线上且位于x 轴两侧，且 6=⋅（O 为坐标原点），则ABO ∆与AOF ∆面积之和的最小值为( ) A. 4 B.3132 C. 1724 D.1012．已知函数;)(201543212015432x x x x x x f ++-+-+= ;)(201543212015432x x x x x x g --+-+-= 设函数),()()(43-⋅+=x g x f x F 且函数)(x F 的零点均在区间),,](,[Z b a b a b a ∈<内,则a b -的最小值为（ ）8.A 9.B 10.C 11.D二．填空题（本题共4个小题，每小5分，满分20分）13．已知11(1a dx -=+⎰，则61[(1)]2a x xπ---展开式中的常数项为_____ 14．任取],[11-∈k ,直线)(2+=x k y 与圆422=+y x 相交于N M ,两点，则32≥||MN 的概率是15. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ， 满足322211-=≥=++a n a S S n n n ),(， 则=n S第18题图16．已知)()(02≠+=a bx ax x f ， 若,)(,)(412211≤≤≤-≤-f f 且02=-+b bc ac （a,b,c R ），则实数c 的取值范围是三．解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．( 本小题满分12分) 在ABC ∆中，若32=||AC ，且.sin cos cos B C A ⋅=⋅+⋅ （1）求角B 的大小；（2）求ABC ∆的面积S .18. ( 本小题满分12分) 某高校在上学期依次举行了“法律、环保、交通”三次知识竞赛活动，要求每位同学至少参加一次活动.该高校2014级某班50名学生在上学期参加该项活动的次数统计如图所示. （1）从该班中任意选两名学生，求他们参加活动次数不相等的概率.（2）从该班中任意选两名学生，用ξ表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.（3）从该班中任意选两名学生，用η表示 这两人参加活动次数之和，记“函数2()1f x x x η=--在区间（3，5）上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率.19．(本题满分12分)已知四棱锥ABCD P -中，ABCD PC 底面⊥，2=PC ，且底面ABCD 是边长为1的正方形，E 是侧棱PC 上的一点(如图所示).（1）如果点F 在线段BD 上，BF DF 3=，且PAB EF 平面//，求ECPE的值； （2）在（1）的条件下，求二面角C EF B --的余弦值.20．(本题满分12分)已知椭圆)(:0122221>>=+b a b y a x C 的离心率为23=e ,且过点),(231,抛物线)(:0222>-=p py x C 的焦点坐标为),(210-.P C D A BEF 第19题图（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；(2)若点M 是直线0342=+-y x l :上的动点，过点M 作抛物线2C 的两条切线，切点分别是B A ,，直线AB 交椭圆1C 于Q P ,两点.(i)求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标； (ii)当OPQ ∆的面积取最大值时，求直线AB 的方程.21.(本小题满分12分)已知函数.ln )(x x f = （1）若直线m x y +=21是曲线)(x f y =的切线，求m 的值； （2）若直线b ax y +=是曲线)(x f y =的切线，求ab 的最大值；（3）设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x f y =上相异三点，其中.3210x x x <<< 求证：.)()()()(23231212x x x f x f x x x f x f -->--选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图,⊙O 的直径AB 的延长线与弦CD 的延长线相交于点P ,E 为⊙O 上一点,AE ＝AC ,DE 交AB 于点F ,且42==BP AB , （I ）求PF 的长度.（II ）若圆F 与圆O 内切，直线PT 与圆F 切于点T ，求线段PT 的长度 23.(本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． (1)求圆心C 的直角坐标；(2)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲AC PDOE F B第20 题图已知函数()|2|,()|3|.f x x g x x m =-=-++ (1) 解关于x 的不等式()10()f x a a R +->∈；(2) 若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求m 的取值范围.太原五中2014—2015年度高三年级阶段性检测高三数学参考答案一．CBBAC BDBAC BC 二．13． __-20___ ；14. 33；15.- n+1n+2 ；16. [-3-212 , -3+212 ]三．解答题17. 解：（1）由题可知：在∆ABC 中，⎪AC uuu r⎪ = 2 3 , AB uuu r⋅cosC + BC uuu r⋅cosA = AC uuu r⋅sinB ，因为： ＝ AB + ，AB uuu r⋅cosC + BC uuu r ⋅cosA = （AB uuu r +BC uuur ）⋅sinB ， 即：（cosC － sinB ）AB uuu r+ （cosA － sinB ）BC uuu r＝ -------2分而AB uuu r 、BC uuu r是两不共线向量，所以：⎩⎨⎧==B A BC sin cos sin cos ⇒ cosC ＝ cosA ，0 < A,C < π , ∴ A = C , ∆ABC 为等腰三角形.在等腰∆ABC 中，A + B + C ＝ π ， ∴ 2A + B = π , A = π2 - B 2 ；由上知：cosA = cos( π2 - B2 )= sin B 2 = sinB, ∴sin B 2 = 2sin B 2 cos B 2 , ∴ cos B 2 ＝ 12 , 0 < B 2 < π2,∴ B 2 = π3 , B = 2π3,-------------6分 （2）由（1）知：则A = C = π6 , 由正弦定理得：⎪AC ⎪sin 2π3= ⎪BC ⎪sin π6 ,∴⎪⎪ = 2 , S ∆ABC = 12 ⎪AC uuu r⎪⋅⎪⎪sin π6 = 12 ×2 3 ×2 ×12 = 3 --12分18.解：（1）从该班任取两名学生，他们参加活动的次数恰好相等的概率：P = 25022022525C C C C ++ = 2049 ,故P = 1 - 2049 = 2949 .-----4分 (2) 从该班中任选两名学生，用ξ表示这两学生参加活动次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别为：0 ，1，2，于是P(ξ = 0)= 2049 , P(ξ = 1)= 25012512012515CC C C C += 2549 ,P(ξ = 2)= 25012015C C C = 449 , 从而ξ的分布列为： E ξ = 0⨯2049 + 1⨯ 2549 + 2⨯ 449 = 3349.---------------8分(3) 因为函数f(x) = x 2- ηx – 1 在区间(3,5)上有且只有一个零点，则 f(3)⋅f(5) < 0 , 即：(8 - 3η)(24- 5η) < 0 , ∴83 < η < 245 -------10分又由于η的取值分别为：2,3,4,5,6,故η = 3或4,故所求的概率为：P(A)= 2502251512012515C C C C C C ++ = 37 .------------------12分 19．解：(1)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK ，因为：EF//平面PAB ,EF ⊂ 平面PCK ，平面PCK ⋂平面PAB = PK ， ∴ EF// PK ，因为DF=3FB ，AB//CD ，∴ CF=3KF ， 又因为：EF// PK ，∴ CE= 3PE, ∴ PE EC = 13-----4分(2) 以C 为原点，CD ，CB ，CP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间坐标系 （如图所示）则有：C(0,0,0) , D(1,0,0),A(1,1,0)B(0,1,0),P(0,0,2), E(0,0, 32 ),F(14 ,34 ,0)故EFuu u r= (14 ,34 ,- 32),BF uu u r= (14 ,- 14,0) zCFuu r= (14 ,34,0)-----------6分 设1n u r= (x 1,y 1,z 1)是平面BEF 的一个法向量则有：11113044211044n EF x y z n BF x y ìïï?+-=ïïíïï?-=ïïîu r uu u r u r uu u r ,取x=1得：1n u r = (1，1，23) ----------------------------------8分 同理：平面CEF 的一个法向量为：2n ur= (3,-1,0) -----------------10分cos<1n u r ,2n ur > = 1n u r ⋅2n ur|1n u r |⋅|2n ur | = 35555 所以：二面角B —EF —C 的余弦值为：- 35555 .-----------12分20．解：(1)椭圆C 1：x 24+ y 2=1；C 2：x 2=-2y ----4分(2)(i)设点M(x 0,y 0),且满足2x 0-4y 0+3=0,点A(x 1,y 1) ,B(x 2 ,y 2), 对于抛物线y= - x22 ,y ' = - x , 则切线MA 的斜率为-x 1 ,从而切线MA 的方程为：y –y 1=-x 1(x-x 1),即：x 1x+y+y 1=0 ,同理：切线MB 的方程为：x 2x+y+y 2=0 ，又因为同时过M 点，所以分别有：x 1x 0+y 0+y 1=0和x 2x 0+y 0+y 2=0，因此A ，B 同时在直线x 0x+y+y 0=0上，又因为：2x 0-4y 0+3=0，所以：AB 方程可写成：y 0(4x+2)+(2y-3x)= 0,显然直线AB 过定点：(- 12 ,- 34 ).---------6分(ii)直线AB 的方程为：x 0x+y+y 0=0，代入椭圆方程中得：(1+4x 02)x 2+8x 0y 0x+4y 02-4=0令P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4) , ∆ = 16(4x 02- y 02+1)>0, x 3+x 4 = - 8x 0y 04x 02+1 ；x 3x 4 = 4y 02-44x 02+1|PQ | = 1+x 02·(x 3+x 4)2-4x 3x 4 = 1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02-------8分 点O 到PQ 的距离为：d= |y 0|1+x 02从而S ∆OPQ = 12 ·|PQ |·d = 12 ×1+x 02·16(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ×|y 0|1+x 02= 2×y 02(4x 02-y 02+1)1+4x 02 ≤ y 02+(4x 02- y 02+1)1+4x 02=1 ---------10分A C PDOE F B 当且仅当y 02 = 4x 02- y 02+1时等号成立,又2x 0-4y 0+3=0联立解得：x 0= 12 ,y 0= 1或x 0= - 114 ,y 0= 57 ；从而所求直线AB 的方程为：x+2y+2=0 或x-14y-10=0------------12分 21.解：(1)设切点为(x 0,lnx 0), k=f '(x)= 1x 0 = 12 ,x 0 = 2 ,∴切点为(2,ln2),代入y= 12x + m 得：m = ln2-1.----------------4分(2)设y = ax+b 切f(x)于(t,lnt)(t>0), f '(x)= 1x , ∴ f '(t)= 1t ,则切线方程为：y = 1t (x-t)+lnt ,y = 1t x+lnx-1 , a= 1t ,b= lnt-1∴ab= 1t (lnt-1), 令g(t)= 1t (lnt-1), g '(t)= - 1t 2 (lnt-1)+ 1t 2 = 2-lntt2若t ∈(0,e 2)时，g '(t)>0，∴ g(t)在(0,e 2)上单调增；t ∈(e 2,+∞)时，g '(t)<0, ∴ g(t)在(e 2,+∞)上单调递减；所以，当t= e 2时，ab 的最大值为：g(e 2)= 1e 2 (lne 2-1)= 1e 2 ------------------------8分(3)先证：1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 ,即证：1x 2 <lnx 2-lnx 1x 2-x 1 < 1x 1,只证：1- x 1x 2 <ln x 2x 1 < x 2x 1 - 1 , 令x 2x 1= t >1, 设h(m) =lnt –t +1 ,h '(m)= 1t - 1<0 , 所以：h(t)在(1,+ ∞)上单调递减，则h(t)<h(1)=ln1-1+1=0,即证：ln x 2x 1 < x 2x 1 – 1. 以下证明：1- x 1x 2 <ln x 2x 1令p(t)= lnt+1t -1 , p '(t)= 1t - 1t 2 >0 , 所以：p(t)= lnt+1t -1在(1,+ ∞)上单调递增，即：p(t)>p(1)=0 ,即有：lnt+1t -1>0, ∴1- x 1x 2 <ln x 2x 1获证.故1x 2 <f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 < 1x 1 成立 ,同理可证：1x 3 <f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 < 1x 2 ，综上可知：：f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1 > f(x 3)-f(x 2)x 3-x 2 成立------------12分选做题：请考生在22,23,24题中任选一题作答，如果多选则按所做的第一题记分，作答时，请涂明题号. 22.解：（I ）连结,,OC OD OE ,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系结合题中条件弧长AE 等于弧长AC 可得CDE AOC ∠=∠,又CDE P PFD ∠=∠+∠,AOC P OCP ∠=∠+∠, 从而PFD OCP ∠=∠,故PFD ∆∽PCO ∆,∴PF PD PC PO=, …………4分 由割线定理知12PC PD PA PB ⋅=⋅=,故1234PC PD PF PO ⋅===. …………6分 （II ）若圆F 与圆O 内切，设圆F 的半径为r ，因为21OF r =-=即1r =所以OB 是圆F 的直径，且过P 点圆F 的切线为PT则2PT 248PB PO =⋅=⨯=，即PT = …………10分 23.解：（I ）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分） 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分） 即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 ………（10分） 24.解：(1)不等式()10f x a +->，即210x a -+->。