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第二讲(全等三角形)

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第二讲:全等三角形
知识考点：
一、全等三角形的性质
两个三角形全等则对应角、边相等
二、全等三角形的判定
1、三边对应相等的两个三角形全等，简写成“边边边”或“SSS ”．
2、两角和它们的夹边对应相等的两个二角形全等，简写成“角边角”或"ASA”
3、两角和其中一角的对边对应角相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．
4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”．
5、有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜过直角边定理”或“ HL ”． 注意事项：
1、说明两个三角形全等时，应注意紧扣判定的方法，找出相应的条件，同时要从实际图形出发，弄清对应关系，把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
2、注意三个内角对应相等的两个三角形不一定全等，另外已知两个三角形的两边与一角对应相等的两个三角形也不一定全等．
精典例题：
【例1】如图已知AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，E 在BC 上，AE ＝AD ，AB ＝BC 。

求证：CE ＝CD 。

例1图
F
E D
C
B A
例2图
2
1E
D
C B
A 例3 图
【例2】如图，已知在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2，求证：AB ＝AC ＋CD 。

【例3】已知，如图正方形ABCD 中，若∠EPF=45°，证明：EF=BF+DE ；
【例4】在ΔＡＢＣ中，ＡＤ是中线，Ｏ为ＡＤ的中点，直线a 过点Ｏ，过Ａ、Ｂ、Ｃ三点分别作直线a 的垂线，垂足分别为Ｇ、Ｅ、Ｆ，当直线a 绕点Ｏ旋转到与ＡＤ垂直时（如图１），易证：ＢＥ＋ＣＦ＝２ＡＧ.
当直线a 绕点Ｏ旋转到与ＡＤ不垂直时，在图２、图３两种情况下，线段ＢＥ、ＣＦ、ＡＧ又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对图３的猜想给予证明.
A
B C
D O
G
E
F a
图2
D
A C
B
O
E
a
G
图3
D 图 A B
C
O (G)
E F
a
?
1
跟踪训练：
一、填空题：
1、若△ABC ≌△EFG ，且∠B ＝600，∠FGE －∠E ＝560，则∠A ＝ 度。

2、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900
，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形 对。

3、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝40，AD 是∠BAC 的平分线交BC 于D ，且DC ∶DB ＝3∶5，则点D 到AB 的距离是 。

第2题图 F E
D
C
B
A 第3题图
D C B
A
第4题图 H
E
D C
B A
4、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，请你
添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。

5、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿BD 对折，使C 点落在E 处，BE 与AD 相交于点O ，写出一组相等的线段 （不包括AB ＝CD 和AD ＝BC ）。

6、如图，∠E ＝∠F ＝900，∠B ＝∠C ，AE ＝AF 。

给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD ＝DN 。

其中正确的结论是 （填序号）。

二、选择题：
1、如图，AD ⊥AB ，EA ⊥AC ，AE ＝AD ，AB ＝AC ，则下列结论中不正确的是（ ） A 、△ADF ≌△AEG B 、△ABE ≌△ACD
C 、△BMF ≌△CMG
D 、△ADC ≌△ABE
填空第5题图
O
E
D
C
B
A
填空第6题图
2
1F
N M
E
D
C
B
A
选择第1题图 M
G
F
E
D
C
B
A
2、如图，AE ＝AF ，AB ＝AC ，EC 与BF 交于点O ，∠A ＝600，∠B ＝250，则∠EOB 的度数为（ ）
A 、600
B 、700
C 、750
D 、850 3、如果两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角（ ）
A 、相等
B 、不相等
C 、互余
D 、互补或相等
选择第2题图 O
F
E
C
B
A
选择第4题图 P
D
C B A
4、如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设
PB ＝m ，PC ＝n ，AB ＝c ，AC ＝b ，则)(n m +与)(c b +的大小关系是（ ） A 、n m +＞c b + B 、n m +＜c b +
C 、n m +＝c b +
D 、无法确定 三、解答题：
1、如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC ＝AD 。

求证：△ABE 和△BDC 是等腰三角形。

解答题第1题图
D 4
3
21
E
C
B
A
解答题第2题图
D
F E
C B A
2、如图，AB ＝AE ，∠ABC ＝∠AED ，BC ＝ED ，点F 是CD 的中点。

（1）求证：AF ⊥CD ；
（2）在你连结BE 后，还能得出什么新结论？请再写出两个。

3、如图，已知∠MON 的边OM 上有两点A 、B ，边ON 上有两点C 、D ，且AB ＝CD ，P 为∠MON 的平分线上一点。

问：
（1）△ABP 与△PCD 是否全等？请说明理由。

（2）△ABP 与△PCD 的面积是否相等？请说明理由。

4、已知∠AOB=900
，在∠AOB 的平分线OM 上有一点C ，将一个三角板的直角顶点与C 重合，它的两条直角边分别与OA 、OB(或它们的反向延长线)相交于点D 、E ． 当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC ．
当三角板绕点C 旋转到CD 与OA 不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立?若成立，请给予证明；若不成立，线段OD 、OE 、OC 之间又有怎样的数量关系?请写出你的猜想，不需证明．
解答题第 3 题图
D
N
O
C。

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说课教案 三角形全等(二)

说课教案 三角形全等(二)

说课稿大家好，我说课的内容是八年级上册第十一章第三节，用“角边角”、“角角边”证明两个三角形全等。

一、教材分析本节之前已经学习了两种判定三角形全等的方法，学生对全等三角形的判定有了一定的了解，这为过渡到本节的进一步学习起着铺垫作用。

本节内容是在本章内容中，占据重要的的地位。

它为其它学科和今后的几何学习打下基础。

二、教材目标1、探究并掌握两个三角形全等的条件：“ASA”“AAS”，并能运用它们判别两个三角形是否全等。

2、经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力。

三、教学重难点重点：理解、掌握三角形全等的条件：“ASA”“AAS”。

难点：探究出“ASA”“AAS”以及它们的运用。

四、学情分析刚进入初二的学生观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、结密性、灵活性比较欠缺，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步加强和引导。

五、教学过程1、回顾旧知。

首先通过两个题目回忆前面讨论的用“边边边”、“边角边”证明三角形全等，其中第二题在原有基础上有所提升，且起到承上启下的作用。

题目为已知△ABD≌△ACE，那么△ABE≌△ACD吗？2、引入新课。

探究两角和两角的夹边对应相等，两三角形是否全等，学生经历自己画图、小组合作得出结论。

让学生总结条件中的注意点。

3、题型展现AD平分∠BAC,AD垂直于BC,△ABD≌△ACD吗？此题肯定能很快想到思路，让多个学生叙述过程，老师并要板书过程，目的强调条件顺序为“角边角”。

仍由此图转化条件为：AD平分∠BAC,∠B=∠C，△ABD还全等于△ACD吗？由刚刚讲的“角边角”，学生很容易进入误区，而且坚定的认为这个结论是不成立的，这时老师可以把思路直接说给学生听，让学生自己判断过程的正确性，从而得到全等的第四种判定方法“角角边”，在这里强调“角角边”就是一种判定方法，遇到相应的条件就可以直接用了，无需再转化成“角边角”。

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形的讲义整理讲义

全等三角形专题一 全等三角形的性质【知识点1】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

（两个三角形全等是指两个三角形的大小和形状完全一样，与他们的位置没有关系。

）【知识点2】两个三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做 对应边；重合的角叫做对应角。

【例题1】如图，已知图中的两个三角形全等，填空：(1)AB 与 是对应边，BC 与 是对应边， CA 与 是对应边；(2)∠A 与 是对应角，∠ABC 与 是对应角， ∠BAC 与 是对应角【方法总结】在两个全等三角形中找对应边和对应角的方法。

(1)有公共边的，公 共边一定是对应边；(2)有公共角的，公共角一定是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；(4)在两个全等三角形中，最长的边对最长的边，最短的边对最短的边，最大的角对最大的角，最小的角对最小的角。

【练习1】 如图，图中有两对三角形全等，填空： (1)△BOD ≌ ； (2)△ACD ≌ .【知识点3】 全等三角形的对应边相等，对应角相等。

（由定义还可知道，全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的中线和高相DABCOE ABCD等，对应角的角平分线相等）【例题2】 （海南省中考卷第5题） 已知图2中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A.72°B.60°C.58°D.50°【例题3】（清远）如图，若111ABC A B C △≌△，且11040A B ∠=∠=°，°，则1C ∠= ．【练习2】 如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则ACA '∠的度数为（ ）A 20° B．30° C ．35° D ．40°【练习3】如图，△ABD 绕着点B 沿顺时针方向旋转90°到△EBC ， 且∠ABD=90°。

全等三角形(知识点讲解)

全等三角形(知识点讲解)

学习必备 欢迎下载全等三角形 全等三角形 知识梳理性质对应角相等 对应边相等二、基础知识梳理 一）、基本概念1、“全等 ”的理解 全等的图形必须满足： （1）形状相同的图形； （2）大小相等的图形；即能够完全重合的两个图形叫全等形。

同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

2、全等三角形的性质（ 1）全等三角形对应边相等； （2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法（1）三边对应相等的两个三角形全等。

（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 （二）灵活运用定理、知识网络全等形 全等三角形边边边SSS边角边SAS判定 角边角ASA角角边 AAS斜边、 直角边HL角平分线作图性质与判定定理应用1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。

2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。

3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。

（1） 已知条件中有两角对应相等， 可找：①夹边相等（ ASA ）②任一组等角的对边相等 （AAS ） （2） 已知条件中有两边对应相等， 可找①夹角相等 （SAS ） ②第三组边也相等 （SSS ） （3） 已知条件中有一边一角对应相等， 可找①任一组角相等 （AAS 或 ASA ） ②夹等角的另一组边相等 （SAS ） 5. 经典例题透析 证明图形全等 基础版—— “ SSS ” （1）已知： AB=DC ，AD=BC ，求证：∠ A= ∠C2）如图， E 是 AD 上的一点， AB=AC ，AE=BD ，CE=BD+DE ，求证：∠ CED=∠ B+ C基础版—— “ SAS ”（3）如图， AD ∥ BC ，AD=CB ， AE=CF ，求证： BE=DF4） 已知：如图，点 A 、B 、C 、D 在同一条直线上， EA AD ，FD AD ， AE DF ， AB DC ．求证： ACE DBF ．基础版——“ ASA ”与“ AAS ”（5）如图，已知： AB ＝ AC ，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，BE 和CD 相交 于点 O ，∠B ＝∠ C ，求证： BD ＝CEDB举一反三：变式 1】如图，△ABC ≌△ DBE . 问线段 AE 和 CD 相等吗？为什么？（ 6）如图，△ABC 中，∠BAC=90 ，AB ＝AC ，直线 MN 过点 A ， 于 E ，求证： DE ＝BD+CE基础版 HL ”（ Rt △） N（7）如图， AB AC ，AB//CD ，AC=CD ，BC=DE ，BC 与 DE 相交于点 O ，求 证： DE BC 类型一：全等三角形性质的应用 1、如图，△ ABD ≌△ ACE ， AB =AC ，写出图中的对应边和对应角、如图，已知ΔABC≌ΔDEF，∠A=30°，∠ B=50°，BF=2，求∠ DFE的度数与EC举一反三：如图所示，ΔACD≌ΔECD，ΔCEF≌ΔBEF，∠ACB=90°求证：（ 1）CD⊥AB；（ 2） EF∥ AC.变式 1】类型二：全等三角形的证明3、如图， AC＝BD，DF＝CE，∠ ECB＝∠ FDA，求证：△ ADF≌△BCE．举一反三：【变式 1】如图，已知 AB∥DC，AB＝ DC，求证：AD∥BC【变式 2】如图，已知 EB⊥ AD于 B，FC⊥ AD 于 C，且 EB＝ FC，AB＝CD．求证 AF ＝DE．、类型三：综合应用4、如图，AD为ΔABC的中线。

第二讲：全等三角形与轴对称

第二讲：全等三角形与轴对称

第二讲：全等三角形与轴对称模型一：手拉手模型特点：由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC =180°（3）OA 平分∠BOC例1.如图在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD ∆与BCE ∆，连结AE 与CD ，求证：（1）DBC ABE ∆≅∆（2）DC AE =（3）AE 与DC 之间的夹角为︒60（4）DFB AGB ∆≅∆（5）CFB EGB ∆≅∆（6）BH 平分AHC ∠（7）ACGF //变式精练1：两个等腰三角形ABD ∆与BCE ∆，其中BD AB =,,EB CB =α=∠=∠CBE ABD ,连结AE 与CD ，问：（1）DBC ABE ∆≅∆是否成立？（2）AE 是否与CD 相等？（3）AE 与CD 之间的夹角为多少度？（4）HB 是否平分AHC ∠？变式精练2：如图，两个正方形ABCD 与DEFG ,连结CE AG ,,二者相交于点H 问：（1）CDE ADG ∆≅∆是否成立？（2）AG 是否与CE 相等？（3）AG 与CE 之间的夹角为多少度？（4）HD 是否平分AHE ∠？模型二：对角互补模型（1）全等型——90°条件：①90AOB DCE ∠=∠=︒②OC 平分∠AOB结论：①CD CE =；②2OD OE OC +=；③212OCD OCE ODCE S S S OC ∆∆=+=四边形辅助线之一：作垂直，证明CDM CEN∆∆≌辅助线之二：过点C 作CF ⊥OC ，证明ODC FEC∆∆≌结论：①CD CE =；②2OE OD OC -=；③212OCE OCD S S OC ∆∆-=条件：①90AOB DCE ∠=∠=︒②CD CE=结论：①OC 平分∠AOB ；②2OD OE OC +=；③212OCD OCE ODCE S S S ∆∆=+=四边形（2）全等型——120°条件：①2120AOB DCE∠=∠=︒②OC平分∠AOB结论：①CD CE=；②OD OE OC+=；③234OCD OCEODCES S S OC∆∆=+=四边形模仿（全等型——90°）辅助线之一完成证明辅助线之二：在OB上取一点F，使OF=OC,证明△OCF为等边三角形（3）全等型——任意角α条件：①2,1802AOB DCEαα∠=∠=︒-②CD CE=结论：OC平分∠AOB例：四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角三角形ABD和直角三角形CBD，其中A∠和C∠都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．DCBA变式精练1：已知MAN∠．∠，AC平分MAN（1）在图1中，若MAN∠=∠=︒，求证：AB AD AC+=；=︒，90ABC ADC∠120（2）在图2中，若MAN∠+∠=︒，则⑴中的结论是否仍然成立？ABC ADC∠120=︒，180若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;变式精练2：已知：如图所示，Rt△ABC中，AB=AC，90∠=°，O为BC的中点，BAC⑴写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保持AN=CM.试判断△OMN的形状，并证明你的结论.⑶如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN=CM，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明．模型三：角含半角模型（1）角含半角模型90°-1条件：①正方形ABCD ②45EAF ∠=︒结论：①EF DF BE =+；②CEF ∆的周长为正方形ABCD 周长的一半；也可以这样：条件：①正方形ABCD ②EF DF BE =+结论：①45EAF ∠=︒；口诀：角含半角要旋转（2）角含半角模型90°-2条件：①正方形ABCD ②45EAF ∠=︒结论：①EF DF BE =-；辅助线：（2）角含半角模型90°-3条件：①等腰直角三角形ABC ②45DAE ∠=︒结论：①222BD CE DE +=；（勾股定理知识）辅助线：将△ACE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABF ，并连接DF .若DAE ∠旋转到△ABC 外部时，结论222BD CE DE +=仍然成立。