高等流体力学第四章
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守恒定律：
div V J S t
扩散通量
(4-9)
J grad ；
由 梯度引起的。
div V div grad S t
4.1.1 湍流粘性系数法
动量方程：
2 ( u i ) ( u i ) ui p uj t x j xi x j xi
标准 k 模型是典型的两方程模型； 该模型是在一方程模型的基础上，新引入 一个关于湍流耗散率 的方程后形成的；
该模型是目前使用最广泛的湍流模型。
4.3.1 标准 k 两方程模型的定义
标准 k 模型由Launder和Spalding于1972年提出。
uiui 1 2 2 2 k为湍动能， k u v w 模型中， 2 2 ui ui (4-14) 为湍动耗散率， xk xk
即：
u v w 0 x y z u v w 0 x y z
4.1.1 湍流粘性系数法
动量方程
以x方向的动量方程为例，作类似于上面的处 理，有
u u u u u uv v u uw w 1 p p t x y z x
4.1 湍流模型
完全模拟(直接模拟)
用非稳态Navier—Stokes(N—S)方程来对湍流进 行直接计算的方法。 这种方法，必须采用很小的时间与空间步长， 因而它对内存空间的要求很高，同时计算时间 也很长。 目前世界上只有少数能使用超级计算机的研究 者才能对从层流到湍流的过渡区流动进行这种 完全模拟的探索。
1 2 2 2 2 pt u v w k 3 3
4.1.1 湍流粘性系数法
对其他变量附加项：
u j t x j
紊流粘性系数与紊流扩散系数：
t
t
4.2 零方程模型与一方程模型
零方程模型
定义
不使用微分方程，而是用代数关系式，把涡粘系 数与时均值联系起来的模型。
k2 t C ， (4-15) 湍流粘度 t 表示成k和 的函数， C 为经验常数。 其中，
4.3.1 标准 k 两方程模型的定义
在标准 k 模型中， k和 是两个基本的未知量， 脉 速 浮 动 与之对应的输运方程为： 度 扩 力
t
u j t x j
(4-6)
4.1.1 湍流粘性系数法
说明
连续性方程： div V 0
பைடு நூலகம்t
(4-8)
散度表示单位体积的净通量。 引入物理量 表示某一物理量。
( ) div V 0 t
4.1.1 湍流粘性系数法
其中，混合长度lm由经验公式或试验确定。
4.2 零方程模型与一方程模型
优点
直观简单，对于带有薄的剪切层的流动（射流、混 合层、扰动和边界层等）比较有效。
缺点
混合长度lm在简单流中容易确定，复杂流中很难确 定，不能用于模拟带有分离回流的流动。
应用
在复杂的实际工程中很少使用。
4.2 零方程模型与一方程模型
4.1 湍流模型
这种模型把未知的更高阶的时间平均值表表示成 较低阶的、在计算中可以确定的量的函数。 湍流输运模型法又叫Reynolds时均方程法，当前 在室内气流计算方面，国际上主要还是采用这种 方法，在时均Reynolds方程法中，又有Reynolds 应力方程法及湍流粘性系数法两大类。
4.1.1 湍流粘性系数法
4.1.1 湍流粘性系数法
类似于紊流切应力的处理，对其它变量的紊流脉 动附加项可以引入相应的紊流扩散系数，为简便 起见均以 t 表示，则紊流脉动所传递的通量可 以通过下列关系式而与时均参数联系起来：
t 与 t的比值，即紊流Prandtl数或紊 实验表明， 流Schmidt数则几乎是一常数。在紊流数值计算 的文献中常用符号 表示该比值，即： t (4-7)
一方程模型
对流项 扩散项 产生项 耗散项
组成方程
瞬态项
3 2 u j ui u ( k ) ( kui ) t k k i CD (4-12) t t xi x j l k x j x j xi x j
紊流的时均化
紊流物理量对时间平均值有两种定义，即经典 的Reynolds定义及质量加权平均的定义。 对不可压缩流体，两种平均方法得出相同的结 果。 我们采用Reynolds平均方法来研究不可压缩流 体的紊流流动。
4.1.1 湍流粘性系数法
任一变量 的时间平均值定义为：
1 t
t t
( u i ) u i u j p t x j xi x j u i x u iu j
i 1,2,3
4.1.1 湍流粘性系数法
div V grad S t u j ( ) S t x j x j x j
任一变量 的时间平均值定义为：
1 t
t t
t dt
t
4.1.1 湍流粘性系数法
对 变量作平均处理，可得：
u j u j S t x j x j x j 对于动量方程，附加项为： ui u j 2 ij divV uiu j ij t pt ij t x 3 x i j
2
u u 2 u v u w 1 p t x y z x u u u 2 u u v u w x x y y z z
2 u u 2 u u 2 u u 2 2 2 x y z
0
4.1.1 湍流粘性系数法
对其它两个方向也可作类似的推导。现在把三 个方向上的动量方程写成直角坐标中张量符导 形式：
( ui ) ui u j p t x j xi x j ui uiu j x j
方案
最著名的是Prandtl提出的混合长度模型（mixing length model）。Prandtl假定湍动粘度 μt正比于 时均速度 ui的梯度和混合长度lm 的乘积。
4.2 零方程模型与一方程模型
举例
在二维问题中，有： t l
2 m
u y
2 m
(4-10) (4-11)
u u 湍流切应力表示为： u v l y y
4.1 湍流模型
大涡旋模拟
基于把湍流流动分为大涡旋和小涡旋流动的假 设，用一组三维非定常的方程求解大涡旋，用 近似紊流输运模型求解。 它不必对雷诺应力等输运项作假设，并能得到 非常丰富的紊流信息，但它仍需要相当大容量 内存的高速计算机，同时十分费机时，故在应 用中比较有限。
4.1 湍流模型
(4-5)
这里K是单位质量流体紊流脉动动能： 1 2 2 2 K u v w 2
4.1.1 湍流粘性系数法
引入Boussinesq假设以后，计算紊流流动 的关键就在于如何确定 t 。 所谓紊流模型，在这里也就是指把 t 与 紊流时均参数联系起来的关系式。 依据确定 t 的微分方程数目的多少，又 有所谓零方程模型、一方程模型及两方 程模型等。
t C kl
上式中 k
(4-13)
湍动能k的输运方程
C ，C D ，
为经验常数，l为湍流脉动的长度比尺
4.2 零方程模型与一方程模型
合理性
考虑到湍流的对流输运和扩散输运，比零方程模 型更为合理。
应用
长度比尺l的确定不易解决，很少在实际工程计算 中应用。
4.3 标准 k 两方程模型
将三个坐标方向的瞬时速度表示成时均值与脉 动值之和并代入连续性方程，再对该式作时均 运算，得：
u u v v w w 0 x y z
4.1.1 湍流粘性系数法
显然：
u v w u v w 0 x y z x y z
(4-3)
i 1,2,3
4.1.1 湍流粘性系数法
其它 变量方程 对其它 变量作类似的处理，可得
u j t x j x j
u j S x j
(4-4)
4.1.1 湍流粘性系数法
4.1.1 湍流粘性系数法
实际上，紊流脉动值附加项的规定是Reynolds 时均方程计算紊流的核心内容。 所谓紊流模型就是指把紊流的脉动值附加项与 时均值联系起来的一些特定关系式。 在紊流粘性系数法中，把紊流应力表示成紊流 粘性系数的函数，整个计算的关键就在于确定 这种紊流粘性系数。 Boussis(1877)假设，紊流脉动所造成的附加应 力也与层流运动应力那样可以同时均的应变率 关联起来。
关于脉动值附加项的讨论
由上述时均方程的导出过程可见，一次项在时 均前后的形式保持不变，而二次项(即乘积项) 在时均化处理后则产生包含脉动值的附加项。 这些附加项代表了由于紊流脉动所引起的通量 转移(应力、热流密度等)，其称为Reynolds应 力或紊流应力。 为了使描写紊流对流换热的方程织得以封闭， 必须找出确定这些附加项而又不引入新未知量 的关系式。
